精品解析：安徽省合肥一六八中学2024-2025学年高二下学期第二次检测数学试卷

高二下第二次检测 一.选择题（共8小题） 1. 若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线平行，则l的方程为（ ） A. 4x－y－4＝0 B. x＋4y－5＝0 C. x－4y＋3＝0 D. 4x＋y＋4＝0 【答案】D 【解析】 【分析】设切点为，则切线的斜率为，然后根据条件可得的值，然后可得答案. 【详解】设切点为，因为，所以切线的斜率为 因为曲线f (x)＝x2的一条切线l与直线平行，所以，即 所以l的方程为，即 故选：D 2. 已知函数在处的导数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的定义即可求解. 【详解】根据题意，. 故选：C 3. 设是函数的导函数，的图像如图所示，则的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由图像分析出的正负，直接解不等式即可得到答案. 【详解】由函数的图像可知, 在区间上单调递减,在区间(0,2)上单调递增，即当时, ;当x∈(0,2)时, . 因为可化为或，解得：0<x<2或x<0, 所以不等式的解集为. 故选:C 4. 满足，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】满足等价于在恒成立，构造函数，利用导数判断其单调性，进而即可判断结果. 【详解】满足，即， 令，，，， 当时，在恒成立， 在为增函数，则，即，符合题意， 当时，令，，当时，， 当时，， 所以在为增函数，在为减函数，，命题成立只需即可. 令，，当，， 即，即，命题不成立. 综上. 故选：D. 5. 若函数在上为单调减函数，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知对任意的恒成立，利用参变量分离法结合二次函数的基本性质可求得实数的取值范围. 【详解】因为，则， 由题意可知，对任意的恒成立，则， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，，故. 故选：A. 6. 函数在处有极小值5，则（ ） A. B. C. 或 D. 或3 【答案】A 【解析】 【分析】由题意条件和，可建立一个关于的方程组，解出的值，然后再将带入到中去验证其是否满足在处有极小值，排除增根，即可得到答案. 【详解】由题意可得，则，解得，或．当，时，．由，得；由，得．则在上单调递增，在上单调递减，故在处有极大值5，不符合题意．当，时，．由，得；由，得．则在上单调递减，在上单调递增，故在处有极小值5，符合题意，从而． 故选：A. 7. 设是定义在R上的奇函数，且，当时，恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知在内单调递减，又，且是定义在R上的奇函数，可得不等式的解集. 【详解】因为当时，有恒成立，即恒成立， 所以在内单调递减． 因为（3）， 所以在内恒有；在内恒有． 又因为是定义在上的奇函数， 所以在内恒有；在内恒有． 又不等式的解集，即不等式的解集． ∴不等式的解集为 故选：A． 8. 已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得出，构造函数，可知函数在区间上单调递增，可得出对任意的恒成立，利用参变量分离法可得出，利用导数求得函数在区间上的最大值，由此可求得实数的取值范围. 【详解】函数的定义域为，当时，恒成立， 即，构造函数，则， 所以，函数在区间上为增函数， 则对任意恒成立，， 令，其中，则. ，所以函数在上单调递减； 又，所以. 因此，实数的取值范围是. 故选：C. 二.多选题（共4小题） 9. 下列函数在区间（0，+∞）上单调递增的是（　　） A. y＝x﹣（）x B. y＝x+sinx C. y＝3﹣x D. y＝x2+2x+1 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，利用基本函数的单调性，可得答案． 【详解】对于A，∵与，都是增函数，∴在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意； 对于B，y＝x+sinx，其导数y′＝1+cosx，由y′≥0在R上恒成立，则这个函数在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意； 对于C，y＝3﹣x，是一次函数，在R上是减函数，不符合题意； 对于D，y＝x2+2x+1＝（x+1）2，是二次函数，其开口向上，对称轴为x＝﹣1，则这个函数在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意； 故选：ABD． 10. 已知定义在上的奇函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 方程无解 【答案】BC 【解析】 【分析】利用奇函数及导数的定义，依次分析选项，综合可得答案． 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A，为奇函数，且，则（2），A错误； 对于B，为奇函数，且，则（1），则有（1）（2），B正确； 对于C，由所给的函数的图象，可得，， 则，C正确； 对于D，由C的结论，则必定存在，使得， 即一定有解，D错误； 故选：BC 11. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 在处的切线方程为 B. 单调递减区间为 C. 的极小值为 D. 方程有两个不同的解 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，利用导数的几何意义求解；对于B，求导后，由导数小于零求解；对于C，求导后求极值；对于D，函数与的交点个数判断. 【详解】解：对于A，由（），得， 所以， ，所以在处的切线方程为，所以A正确； 对于B，由，得，解得，所以的单调递减区间为，所以B正确； 对于C，由，得，当时，，当时，，所以当时，取得极大值，所以C不正确； 对于D，由C选项可知的最大值为，且当时，，当时，， 所以函数与的交点个数为1，所以有1个解，所以D不正确， 故选：AB. 12. 已知函数，则下列关于函数说法正确的是（ ） A. 函数有一个极大值点 B. 函数有一个极小值点 C. 若当时，函数的值域是，则 D. 当时，函数恰有6个不同的零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用极大值、极小值意义判断选项A，B；分段探讨函数的值域，解不等式 判断选项C；利用函数的图象，数形结合判断选项D作答. 【详解】当时，，当或时，，当时，， 因此，在，上单调递增，在上单调递减，在上单调递减， ，，，其图象如图， 函数有一个极大值点1，A正确，有两个极小值点0和3，B不正确； 因在上递增，且，当时，函数的值域是，而在上递减，，则， 又在上递减，在上递增，则必有，即，解得， 因此得，C正确； 依题意，，由得或， 观察图象知，直线与的图象有2个公共点，当时，直线与的图象有4个公共点， 所以当时，函数恰有6个不同的零点，D正确. 故选：ACD 三.填空题（共4小题） 13. 曲线在点处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义得出切线方程. 【详解】，点在曲线上 ， 即切线方程为 故答案为： 14. 已知函数，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，两边求导再赋值计算得解. 【详解】函数，求导得：函数， 当时：，解得， 所以. 故答案为： 15. 数学中，多数方程不存在求根公式.因此求精确根非常困难，甚至不可能.从而寻找方程的近似根就显得特别重要.例如牛顿迭代法就是求方程近似根的重要方法之一，其原理如下：假设是方程的根，选取作为的初始近似值，在点处作曲线的切线，则与轴交点的横坐标称为的一次近似值，在点处作曲线的切线.则与轴交点的横坐标称为的二次近似值.重复上述过程，用逐步逼近.若给定方程，取，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据牛顿迭代法的知识求得. 【详解】构造函数，， 切线的方程为，与轴交点的横坐标为. ， 所以切线的方程为，与轴交点的横坐标为. 故答案为： 16. 设函数，若存在实数使得成立，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】将变形为，令，，分别研究其单调性 及值域，使问题转化为即可. 详解】由题，， 令，则，由，得，由，得， 所以在递减，在递增，所以， 令，则，由，得，由，得， 所以在递增，在递减，所以， 若存在实数使得成立，即存在实数使得成立， 即存在实数使得恒成立 所以， 即，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是将所求问题转为存在实数使得恒成立，结合的值域进一步转化为存在实数使得恒成立，再只需即可. 四.解答题（共6小题） 17. 求下列函数的导函数： （1）（为常数）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据基本初等函数导数公式及和、积的导数公式即可求得答案； （2）根据基本初等函数的导数公式和复合函数的导数公式及商的导数公式即可得出答案. 【详解】解：（1）； （2） . 18. 设函数，曲线在处的切线方程为. （1）求实数，的值； （2）求的极值. 【答案】（1）， （2）没有极小值，没有极大值 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义建立方程求解即可； （2）先根据导数符号与函数单调性之间的关系，求出函数的单调性，进而求的极值. 【小问1详解】 ， ，， 曲线在处切线方程为， 整理得. 曲线在处的切线方程为. ，解得，. 【小问2详解】 由（1）得，定义域为，. ，，在上单调递减， 没有极小值，没有极大值. 19. 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为4千元.设该容器的建造费用为千元. （1）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域； （2）求该容器的建造费用最小时的值，并求出最小值. 【答案】（1），定义域为； （2）当时，最小值 【解析】 【分析】（1）由题意，利用体积公式求出和的关系，然后求解建造费用，化简即可得到关于的函数表达式，结合实际意义求解定义域即可； （2）利用导数，判断函数的单调性，从而得到函数的最值，即可得到答案. 【小问1详解】 由题意可得，， 解得，则， 所以容器的建造费用为， 故，定义域为； 【小问2详解】 因为， 令，得， 又， 当时，，函数为减函数， 故当时，有最小值，此时， 因此可得该容器的建造费用最小时的半径为2米，最小值千元. 20. 已知函数． （1）若在R上为增函数，求实数a的取值范围； （2）若时，过点可以作三条直线与曲线相切，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）或或 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据题意可知在R上恒成立，分离参数，变为函数的最值问题求解； （2）设切点坐标，表示出切线方程，根据题意可知方程有三个不同实根，由此转化为函数的零点问题，利用导数研究该函数的单调性以及最值，列出相应的不等式组，解得实数m的取值范围． 【小问1详解】 因为，又在R上为增函数， 所以在R上恒成立， 即， 因为的最大值为2，所以； 【小问2详解】 当时，， 设过点的直线与曲线相切于点， 则，即， 因为过点可以作三条直线与曲线相切， 所以方程有三个不同的实根， 令，则有三个零点， 因为， 所以的根为， 当，即时，在上为增函数，在为减函数， 在上为增函数， 所以在时有极大值，在时有极小值， 所以，即， 等价于，解得， 当，即时，在上为增函数，在上为减函数， 在上为增函数， 所以在时有极大值，在时有极小值， 所以，即 等价于，或 解得或， 当，即时，恒成立，所以在R上单调递增，不满足条件， 所以实数m的取值范围为或或． 【点睛】本题重点考查导数的几何意义，函数的零点与方程的根，恒成立问题，要注意过某点的切线与在曲线上一点处的切线的不同；在利用导数研究函数的性质时，要注意判断函数的单调性，进而确定函数的最值，考查学生转化与化归，分类与整合的能力与数形结合的思想，属稍难题． 21. 已知． （1）求证：对于，恒成立； （2）若对于，有恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】(1)求出函数的导数，令解得，进而得出函数的单调性，即可求出函数的最小值，即证； (2)将不等式转化为，令，有对恒成立，构造新函数，利用导数讨论函数的单调性，求出最小值即可. 【小问1详解】 由，得， 令，得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即恒成立； 【小问2详解】 ， 则，即， 令，则， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以，即， 所以即对恒成立， 令，则，， 若，，在上单调递增， 所以，故，符合题意； 若，令， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，不符合， 综上，. 即a的取值范围为. 22. 已知函数， （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在上有两个不相等的零点，求证：. 【答案】（1）当时，单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求定义域，再求导，对进行分类讨论，利用导函数的正负，求出函数的单调性；（2）对要证明的不等式进行变形，然后构造函数进行证明. 【小问1详解】 ，. ①当时，恒成立，单调递增； ②当时，由得，，单调递增， 由得，，单调递减. 综上：当时，单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 ∵在上有两个不相等的零点，，不妨设， ∴在上有两个不相等的实根， 令，，∴， 由得，，单调递减，由得，，单调递增， ，，，， ∴ 要证，即证，又∵， 只要证，即证， ∵，即证 即证，即证，即证 令，，∴， 令，，则，当时，恒成立，所以在上单调递增，又，∴，∴，∴ ∴上递增，∴，∴ ∴. 【点睛】极值点偏移问题，需要构造函数，利用函数单调性及极值，最值等进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二下第二次检测 一.选择题（共8小题） 1. 若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线平行，则l的方程为（ ） A 4x－y－4＝0 B. x＋4y－5＝0 C. x－4y＋3＝0 D. 4x＋y＋4＝0 2. 已知函数在处的导数为，则（ ） A. B. C. D. 3. 设是函数的导函数，的图像如图所示，则的解集是（ ） A. B. C D. 4. 满足，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在上为单调减函数，则的取值范围（ ） A B. C. D. 6. 函数在处有极小值5，则（ ） A. B. C. 或 D. 或3 7. 设是定义在R上的奇函数，且，当时，恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二.多选题（共4小题） 9. 下列函数在区间（0，+∞）上单调递增的是（　　） A. y＝x﹣（）x B. y＝x+sinx C. y＝3﹣x D. y＝x2+2x+1 10. 已知定义在上的奇函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 方程无解 11. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 在处的切线方程为 B. 单调递减区间为 C. 的极小值为 D. 方程有两个不同的解 12. 已知函数，则下列关于函数说法正确的是（ ） A. 函数有一个极大值点 B. 函数有一个极小值点 C. 若当时，函数的值域是，则 D. 当时，函数恰有6个不同的零点 三.填空题（共4小题） 13. 曲线在点处的切线方程为______． 14 已知函数，则______． 15. 数学中，多数方程不存在求根公式.因此求精确根非常困难，甚至不可能.从而寻找方程的近似根就显得特别重要.例如牛顿迭代法就是求方程近似根的重要方法之一，其原理如下：假设是方程的根，选取作为的初始近似值，在点处作曲线的切线，则与轴交点的横坐标称为的一次近似值，在点处作曲线的切线.则与轴交点的横坐标称为的二次近似值.重复上述过程，用逐步逼近.若给定方程，取，则__________. 16. 设函数，若存在实数使得成立，则的取值范围是__________. 四.解答题（共6小题） 17. 求下列函数的导函数： （1）（常数）； （2）. 18. 设函数，曲线在处的切线方程为. （1）求实数，的值； （2）求的极值. 19. 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为4千元.设该容器的建造费用为千元. （1）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域； （2）求该容器的建造费用最小时的值，并求出最小值. 20. 已知函数． （1）若在R上为增函数，求实数a的取值范围； （2）若时，过点可以作三条直线与曲线相切，求实数m的取值范围． 21. 已知． （1）求证：对于，恒成立； （2）若对于，有恒成立，求实数a的取值范围． 22. 已知函数， （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在上有两个不相等的零点，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$