精品解析：江苏省扬州市新华中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

扬州市新华中学2024-2025学年高二年级阶段练习（一） 数学学科 一､单选题 1. 若函数在处可导，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的定义求解即可. 【详解】函数在处可导， . 故选：C. 2. 已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得导函数，根据无极值的条件，利用判别式解得的取值范围. 【详解】因为函数在上无极值, 所以在上无变号零点，解得， 即实数的取值范围为. 故选：C. 3. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对等式两边求导，求导的时候注意是个常数，求导之后令即可得出答案. 【详解】因为，所以，令，则，． 故选：C 4. 如图在四面体中，、分别是、的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三棱锥的几何性质，结合空间向量的线性运算，可得答案. 【详解】由、分别是、的中点，则，， . 故选：D. 5. 质点沿直线运动的路程与时间的关系是，则质点在时的速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于进行求导，当时，求解. 【详解】因为，当时，所以 故选：B 6. 已知在处取得极小值，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，然后通过求出的值，再代入原导函数验证在处取得极小值即可. 【详解】由已知，， ，得， 此时，， 令，得或， 令，得， 故在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，符合题意. 则的值为. 故选：B. 7. 已知是函数的导函数，且对任意实数都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件可得，结合导数运算及求出函数的解析式，解不等式可得结论. 【详解】因为， 所以，即， 所以可设， 即，又， 所以，故， 所以不等式可化为， 故， 所以， 所以不等式的解集为. 故选：B. 8. 若对于任意，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，求出导数可知的单调性，由题可知在单调递增，即可求出的范围. 【详解】对于任意的，都有， 即对于任意的，都有， 令，则在上单调递增， 又，令，解得， 则时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，即实数的取值范围是. 故选：D 二､多选题 9. （多选题）下列求导运算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】运用基本初等函数导数公式进行判断即可. 【详解】因为，所以A不正确； 因为，所以B不正确； 因为，所以C正确； 因为，所以D不正确． 故选：ABD 10. 定义在区间上的函数的导函数图象如图所示，下列结论正确的是（ ） A. 函数在区间单调递减 B. 函数在区间单调递减 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值 【答案】BD 【解析】 【分析】由导函数与原函数图象间关系可判断各选项正误. 【详解】对于A，由图，当时，，则在区间单调递增，故A错误； 对于B，由图，当时，，则在区间单调递减，故B正确； 对于C，由图，，则在处不取极值，故C错误； 对于D，由图，当时，；时，. 则在区间上单调递减，在上单调递增，则在处取得极小值，故D正确. 故选：BD 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C. D. 当时，方程有两解 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.利用导数法求解判断； B.由A画出函数图象判断； C.根据在递减，结合判断； D.由A知：画出函数的图象判断. 【详解】A.，当时，，递增；当时，，递减，所以在处取得极大值，故正确； B.由A画出函数图象如图所示： 当时，，当时，，当时，，又，所以只有一个零点，故错误； C.因为在递减，又，则，而， 令，则，当时，，递减，又，则，即， 即，所以，故正确； D.由A知：函数的图象如图所示： 由图象知：当时，方程有两解，故正确， 故选：ACD 三､填空题 12. 函数的单调递减区间为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】先求出导函数，再根据，计算求解即可. 【详解】因为函数，定义域为， 所以， 令，所以， 的单调递减区间为. 故答案为：或. 13. 若直线是曲线和曲线的一条公切线，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可得直线与曲线相切于点,再根据直线与曲线相切,即可求出的值. 【详解】由可得,令可得, 将代入,可得, 故直线与曲线相切于点, 故直线的方程为. 因为直线与曲线相切, 故联立可得, 则,解得. 故答案为: 14. 若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，函数的极小值点在内，再结合即可求出实数的取值范围. 【详解】因为，所以， 令得，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，有极小值， 因为函数在上存在最小值， 又， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 四､解答题 15. 已知向量是空间中不共面的三个向量，. （1）若，求的值； （2）若四点共面，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的运算得到以及，再根据与的关系列得方程组，即可求得结果； （2）根据四点共面得到，可用和表示出和，即可求出结果. 【小问1详解】 由题可得： ， ， 因为，所以， 即解得 所以的值分别为； 【小问2详解】 因为四点共面，所以存在，使得， 即， 于是有 所以， 即的值为. 16. 已知函数. （1）若在区间上为增函数，求a的取值范围. （2）若的单调递减区间为，求a的值. 【答案】（1）；（2）3. 【解析】 【分析】（1）由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，转化为不等式右边的最小值成立，可得答案； （2）显然，否则函数在上递增.利用导数求出函数的递减区间为，再根据已知递减区间，可得答案 【详解】（1）因为，且在区间上为增函数， 所以在上恒成立，即在(1，+∞)上恒成立， 所以在上恒成立，所以，即a的取值范围是 （2）由题意知.因为，所以. 由，得， 所以的单调递减区间为， 又已知的单调递减区间为， 所以， 所以，即. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，特别要注意：函数在某个区间上递增或递减与函数的递增或递减区间是的区别，属于基础题. 17. 设函数，其中在，曲线在点处的切线垂直于轴 （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）求函数极值． 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）极小值 【解析】 【分析】（Ⅰ）因 ，故 由于曲线 在点 处的切线垂直于轴，故该切线斜率为0，即 ，从而 ，解得 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 令，解得（因 不在定义域内，舍去）当 时， 故 在上为减函数；当 时， 故 在上为增函数，故在 处取得极小值 本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何意义、两条直线平行的判定等基础知识，考查运算求解能力 【详解】 18. 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元()的管理费，预计当每件产品的售价为x元() 时，一年的销售量为 万件． （1）求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x的函数关系式(并写出函数的定义域)； （2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）通过利润＝每件产品利润×售价，代入计算即可． （2）通过利润表达式求导函数，由a的范围分类讨论原函数的单调性，并求出a在不同范围内的利润的最值即可． 【小问1详解】 分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：． 【小问2详解】 ． 令得或（不合题意，舍去）． ，．在两侧值由正变负． 所以当即时， ． 当即时，， 所以 答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）； 若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）． 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若函数恰有两个极值点、. ①求的取值范围； ②证明： 【答案】（1）答案见解析 （2）①；②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求得，对实数取值进行分类讨论，利用函数单调性与导数的关系可求得函数的增区间和减区间； （2）①求得，由题意可知，二次方程有两个不等的正根，利用二次方程根的分布可得出关于的不等式组，解之即可； ②由韦达定理得出，，由此可得出，于是所证不等式变形为，其中，令，其中，利用导数分析函数的单调性，结合其单调性可证得结论成立. 【小问1详解】 由题意知. 当时，，所以的增区间为，无减区间； 当时，令，解得，令，解得， 此时，函数的减区间为，增区间为. 综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为. 【小问2详解】 ①由题意知， 所以， 因恰有两个极值点、，所以方程，即方程有两不等正根， 所以，解得，即的取值范围为； ②由①知，， 所以， 所以， 令，其中，所以， 因为函数、在上均为增函数， 则函数上单调递增， 又，， 所以，使得，即， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增，则， 所以，所以，所以. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 扬州市新华中学2024-2025学年高二年级阶段练习（一） 数学学科 一､单选题 1. 若函数在处可导，则等于（ ） A B. C. D. 2. 已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图在四面体中，、分别是、的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 质点沿直线运动的路程与时间的关系是，则质点在时的速度为（ ） A. B. C. D. 6. 已知在处取得极小值，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 7. 已知是函数的导函数，且对任意实数都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 若对于任意的，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题 9. （多选题）下列求导运算错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 定义在区间上的函数的导函数图象如图所示，下列结论正确的是（ ） A. 函数在区间单调递减 B. 函数区间单调递减 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C. D. 当时，方程有两解 三､填空题 12. 函数的单调递减区间为____________． 13. 若直线是曲线和曲线一条公切线，则______． 14. 若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是______． 四､解答题 15. 已知向量是空间中不共面的三个向量，. （1）若，求的值； （2）若四点共面，求值. 16. 已知函数. （1）若在区间上为增函数，求a的取值范围. （2）若的单调递减区间为，求a的值. 17. 设函数，其中在，曲线在点处的切线垂直于轴 （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）求函数极值． 18. 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元()的管理费，预计当每件产品的售价为x元() 时，一年的销售量为 万件． （1）求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x的函数关系式(并写出函数的定义域)； （2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)． 19 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若函数恰有两个极值点、. ①求的取值范围； ②证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$