函数的概念及其表示专题讲义-2025届高三数学一轮复习

第二章 函数 第1讲 函数的概念及其表示 课标要求： 1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域. 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用. 3.了解简单的分段函数，并能简单应用. 考情分析： 以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数与其他知识的综合是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏上.预计2025年高考函数的定义域、值域、解析式仍会出题，一般在选择题或填空题中出现，分段函数的考查比较灵活，各种题型都可能涉及. 理一理 1. 函数的有关概念 （1）函数的概念 （2）函数的表示法 表示函数的常用方法：①解析法、②图象法、③ 列表法. ［提醒］ （1）在函数的定义中，集合 不一定是函数的值域，它包含了函数的值域，即值域是集合 的子集. （2）若两函数的值域与对应关系相同，则两函数不一定是同一函数，如：与. 2. 分段函数 若函数在其定义域的④不同子集上,因对应关系不同而分别用几个⑤不同的式子来表示,这种函数称为分段函数. ［提醒］ 分段函数是一个函数,而不是几个函数,分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集. 记一记 1.直线与函数的图象至多有1个交点. 2.判断两个函数是同一个函数的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致. 用一用 1. 下列所给图象是函数图象的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 [解析]选 中，当 时，每一个 的值对应两个不同的 值，不是函数图象；②中，当 时，的值有两个，不是函数图象；③④中，每一个 的值对应唯一的 值，是函数图象.故选. 2. 下列四组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 [解析]选 中,与 的对应关系不同，两个函数不是同一个函数；中，的定义域为，的定义域为,定义域不同，两个函数不是同一个函数；中，与 的对应关系不同，两个函数不是同一个函数；中，的定义域为，的定义域为，定义域和对应关系都相同，两个函数是同一个函数.故选. 核心考点⇄师生共研 考点一 函数的定义域 例1 （1） 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. [解析]要使函数有意义，则需 解得 且, 所以函数 的定义域为. （2） 已知函数的定义域为,则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. [解析]因为函数 的定义域为， 所以 解得 且. 所以函数 的定义域为.故选. 解题技法 （1）求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子（运算）有意义为准则，列出不等式（组）求解.对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. ［注意］定义域要用集合或区间表示，如果定义域是多个区间，要用符号“ ”连接. 对点训练 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. [解析]选.由已知得 解得 且,所以函数 的定义域为.故选. 2. 若函数的定义域为，则（ ） A. B. 3 C. 1 D. [解析]选.由 得 由题知不等式组的解集为，所以 为方程 的一个根，即,解得.经检验 符合题意，故选. 考点二 函数的解析式 例2 根据下列条件求函数的解析式： （1） 已知,求的解析式； 【解】（换元法）令, 则,所以,所以. （2） 已知是二次函数，若方程有两个相等实根，且，求的解析式； [答案]（待定系数法）设， 则,所以, 则,,所以. 又 有两个相等实根,所以,则. 故. （3） 已知函数对于任意的都有,求的解析式. [答案]（解方程组法）因为,① 所以,②由①②得. 解题技法 求函数解析式的四种方法 对点训练 1. 已知一次函数满足，则 [解析]设，则， 故 解得 故. 2. 已知,则 [解析],设, 当 时，（当且仅当 时取等号）; 当 时，，（当且仅当 时取等号）. 所以 或, 则 或, 即 或. 考点三 分段函数 角度1 分段函数求值 例3 已知函数若,则实数  ， [解析]由题意得，， 所以, 所以,. 解题技法 关于分段函数求值问题的解题思路 （1）求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值. （2）求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验. 角度2 分段函数与方程、不等式问题 例4 （1） 设函数若，则 [解析]当 时，（舍去）； 当 时，,.故实数 的值为1. （2） 设函数则满足的的取值范围是 [解析]由题意得，当 时， 恒成立，即 满足题意； 当 时，恒成立，即 满足题意； 当 时，,所以, 即. 综上所述，的取值范围是. 解题技法 分段函数与方程、不等式问题的求解思路 解与分段函数有关的方程、不等式时，若自变量取值不确定，往往要分类讨论求解；若自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解. 对点训练 1. 已知函数则（ A ） A. 2 B. 9 C. 65 D. 513 [解析]选..故选. 2. 设函数则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. [解析]选.根据题意作出函数 的大致图象如图所示，结合图象知，满足,则 或 所以.故选. 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. （人教A版必修第一册P72习题3.1 T2改编）下列各组函数中是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 [解析]选.对于，的定义域为, 的定义域为，定义域不同，所以不是同一个函数，故 不正确；对于，的定义域为,且,两个函数的定义域和对应关系都相同，所以是同一个函数，故 正确；对于，,而 的定义域为，定义域不同，对应关系也不同，所以不是同一个函数，故 不正确；对于，与 的对应关系不同，所以不是同一个函数，故 不正确.故选. 2. 已知函数若，则的值为 （ ） A. 1 B. 0 C. D. 2 [解析]选.因为，所以.故选. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. [解析]选.，令，则，即. 4. 已知函数若,则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 0 [解析]选.作出函数 的图象，如图所示. 因为,且, 所以 即, 此时,, 所以,即, 解得 或（不满足,舍去）， 则. 5. （多选）已知函数，则（ ） A. B. C. D. 且 [解析]选.令，则，所以，所以，故 错误；，，故 正确，错误；且，故 正确.故选. 6. 函数的定义域为 [解析]要使函数 有意义， 则 解得 且, 故 的定义域为. 7. 若函数且,则的值为 [解析]，若,即,则,解得;若,即,则,故 无解.综上所述,. 8. 已知函数的定义域是，则实数的取值范围是 [解析]由题意得 对任意实数 都成立.当 时，显然成立；当 时，满足，解得.综上所述，实数 的取值范围为. 9. （1） 已知函数满足,求的解析式； 解：（换元法）, 设,则,由 知, 故原函数可转化为,, 即 的解析式为. （2） 已知是二次函数，且,,求的解析式. [答案]（待定系数法）设, 由,知,所以. 又由, 得, 即, 所以 解得 所以,. B 综合运用 10. 若定义在上的函数满足,,则（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 [解析]选.由题意得,所以.因为,所以,所以，则,所以.故选. 11. 已知函数的定义域为，值域为，则下列结论一定正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. 函数的定义域和值域都是 D. 函数的定义域和值域都是 [解析]选.对于，令，可得,所以函数 的定义域为，故 不正确；对于，因为 的值域为，，所以 的值域不确定，所以函数 的值域不确定，故 不一定正确； 对于，因为 恒成立，所以函数 的定义域为，函数 的值域为，故 正确； 对于，若函数 的值域是，则,此时无法判断其定义域是否为，故 不一定正确. 12. 已知函数的定义域为，函数的定义域为，若，使得成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. [解析]选.由题意得，所以，则.令，若，使得 成立，则当 时，.因为，所以 在 上的最小值为，所以实数 的取值范围是.故选. 13. 已知函数 求：（1） 的值； 解：由题意得,则. （2） 不等式的解集. [答案]由不等式, 可得 或 由①②得 或, 所以原不等式的解集为. C 素养提升 14. 行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离.在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离与汽车的车速满足关系：（,是常数），根据多次实验数据绘制的刹车距离与汽车的车速的关系图如图所示. （1） 求关于的函数解析式； 解：由题意及题图， 得 解得 所以. （2） 如果要求刹车距离不超过，求汽车行驶的最大速度. [答案]由题意，令， 解得. 因为,所以. 所以汽车行驶的最大速度是. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 函数 第1讲 函数的概念及其表示 课标要求： 1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域. 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用. 3.了解简单的分段函数，并能简单应用. 理一理 1. 函数的有关概念 （1）函数的概念 （2）函数的表示法 表示函数的常用方法：①解析法、②图象法、③ 列表法. ［提醒］ （1）在函数的定义中，集合 不一定是函数的值域，它包含了函数的值域，即值域是集合 的子集. （2）若两函数的值域与对应关系相同，则两函数不一定是同一函数，如：与. 2. 分段函数 若函数在其定义域的④不同子集上,因对应关系不同而分别用几个⑤不同的式子来表示,这种函数称为分段函数. ［提醒］ 分段函数是一个函数,而不是几个函数,分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集. 记一记 1.直线与函数的图象至多有1个交点. 2.判断两个函数是同一个函数的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致. 用一用 1. 下列所给图象是函数图象的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列四组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 核心考点⇄师生共研 考点一 函数的定义域 例1 （1） 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. （2） 已知函数的定义域为,则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 解题技法 （1）求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子（运算）有意义为准则，列出不等式（组）求解.对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. ［注意］定义域要用集合或区间表示，如果定义域是多个区间，要用符号“ ”连接. 对点训练 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 若函数的定义域为，则（ ） A. B. 3 C. 1 D. 考点二 函数的解析式 例2 根据下列条件求函数的解析式： （1） 已知,求的解析式； （2） 已知是二次函数，若方程有两个相等实根，且，求的解析式； （3） 已知函数对于任意的都有,求的解析式. 解题技法 求函数解析式的四种方法 对点训练 1. 已知一次函数满足，则 2. 已知,则 考点三 分段函数 角度1 分段函数求值 例3 已知函数若,则实数  ， 解题技法 关于分段函数求值问题的解题思路 （1）求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值. （2）求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验. 角度2 分段函数与方程、不等式问题 例4 （1） 设函数若，则 （2） 设函数则满足的的取值范围是 解题技法 分段函数与方程、不等式问题的求解思路 解与分段函数有关的方程、不等式时，若自变量取值不确定，往往要分类讨论求解；若自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解. 对点训练 1. 已知函数则（ ） A. 2 B. 9 C. 65 D. 513 2. 设函数则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. （人教A版必修第一册P72习题3.1 T2改编）下列各组函数中是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 2. 已知函数若，则的值为 （ ） A. 1 B. 0 C. D. 2 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数若,则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 0 5. （多选）已知函数，则（ ） A. B. C. D. 且 6. 函数的定义域为 7. 若函数且,则的值为 8. 已知函数的定义域是，则实数的取值范围是 9. （1） 已知函数满足,求的解析式； （2） 已知是二次函数，且,,求的解析式. B 综合运用 10. 若定义在上的函数满足,,则（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 11. 已知函数的定义域为，值域为，则下列结论一定正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. 函数的定义域和值域都是 D. 函数的定义域和值域都是 12. 已知函数的定义域为，函数的定义域为，若，使得成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 13. 已知函数 求：（1） 的值； （2） 不等式的解集. C 素养提升 14. 行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离.在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离与汽车的车速满足关系：（,是常数），根据多次实验数据绘制的刹车距离与汽车的车速的关系图如图所示. （1） 求关于的函数解析式； （2） 如果要求刹车距离不超过，求汽车行驶的最大速度. 学科网（北京）股份有限公司 $$