精品解析：浙江省杭州市下沙区杭四吴山2024-2025学年高二上学期期末数学试题

杭州四中（吴山）2024学年第一学期高二年级期末考试 数学试题卷 命题人：杜红梅 审核人：孟祥迪 2025年1月 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷，满分150分，考试时间90分钟. 2．答题前，在答题卷上填写班级、姓名、考场号、座位号，并填涂卡号. 3．所有的答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效. 4．考试结束后，只上交答题卷. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 过点和点的直线倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点坐标得到直线为，即可得倾斜角. 【详解】由过点和点的直线为，即其倾斜角为. 故选：B 2. 数列是等差数列，，记是的前9项和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知求公差，进而求，应用等差数列的前n项和公式及等差数列的性质求. 【详解】由题设，数列的公差，则，且. 故选：A 3. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】写出抛物线的标准方程，进而得到焦点坐标. 【详解】由题设，抛物线的标准方程为，则焦点坐标为. 故选：C 4. 已知，则平面ABC的一个法向量可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题设，，根据平面的法向量性质及空间向量数量积的坐标运算求法向量即可. 【详解】由题设，， 若是平面ABC的一个法向量，则， 取，则. 故选：A 5. 若双曲线（，）的实轴长为4，焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据实轴长以及焦距可得，，计算可得，再由渐近线方程的形式即可求得结果. 【详解】根据题意可知，即可得，且，即； 因此可得，可得； 再由渐近线方程可得该双曲线的渐近线方程为. 故选：B 6. 已知正项等比数列}满足为与的等比中项，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比中项定义和等比数列通项公式得，解得，化简. 【详解】设等比数列的公比为， 由题意得，即， ，， ， 故选：B. 7. 已知点，点P满足，则点P到直线的距离的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】首先确定的轨迹为圆，再求圆心到直线距离，进而判断圆上点到直线距离的最大值，注意取值条件. 【详解】由题设在以为圆心，为半径的圆上， 又的直线的距离， 则，当且仅当时取等号， 所以点P到直线距离最大值为5. 故选：D 8. 设是定义在R上的奇函数，，当时，有恒成立，则不等式可的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造，并判断奇偶性，应用导数研究其单调性，结合已知确定区间对应的函数值符号，即可求的解集. 【详解】令且，则，即为偶函数， 在上，即在上单调递减， 所以在上单调递增，且， 所以上，即有， 上，即有， 由，又，则解集为. 故选：B 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知正方体，下列选项中，能成为空间中的一组基底的为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正方体图形直观的判断选项A正确；根据三个向量的共面的判断方法即可判断选项B、D错误，选项 C正确. 【详解】空间中的一组基底由3个不共面的向量构成. 对于A选项，两两正交，所以可以成为空间中一组基底，A正确； 对于B选项，因为，所以，所以，，共面，故不能成为空间中的一组基底，B错误； 对于C选项，，在平面上，而与平面不平行，所以，，不共面，可以成为空间中的一组基底，C正确； 对于D选项，因为，所以，故不能成为空间中的一组基底，D错误， 故选：AC. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 直线倾斜角越大，斜率越大 B. 过点的直线方程是 C. 经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条 D. 直线在y轴上的截距是 【答案】CD 【解析】 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系可得选项A错误；根据直线两点式方程的限制条件可得选项B错误；计算直线过原点和不过原点时的直线方程可得选项C正确；根据截距的概念可得选项D正确. 【详解】A.当直线倾斜角为钝角时，直线斜率，当直线倾斜角为锐角时，直线斜率，故A错误. B.当时，过点直线方程是，故B错误. C.当直线过原点时，由直线过点可得直线斜率，故直线方程为. 当直线不过原点时，设直线方程为， 把点代入直线方程得，解得，故直线方程为， 综上得，经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条，故C正确. D.对于直线，令，得，故直线在y轴上的截距是，故D正确. 故选：CD. 11. 如图，在正方体中，，E为棱的中点，F为棱（含端点）上的一个动点给出下列四个结论正确的是（ ） A. 存在符合条件的点F，使得平面； B. 不存在符合条件的点F，使得； C. 异面直线与所成角的余弦值为； D. 三棱锥的体积的取值范围是． 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理可知当与重合时，能满足平面判断A；建立空间坐标系，假设存在符合条件的点且并利用垂直的向量表示得判断B；利用空间向量可求得异面直线与所成角的余弦值判断C；应用向量法求点面距离，进而求三棱锥的体积判断D. 【详解】A：当与重合时，根据正方体的结构特征易知，即， 由面，面，则平面，对； B：以为原点建立如下图所示的空间直角坐标系，则， 假设存在符合条件的点且满足，则，， 所以，不满足，对； C：由上，，可得，， 所以，即异面直线与所成角的余弦值为，错； D：，，， 由余弦定理，则， 所以的面积为， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则，， 所以点到平面的距离为， 三棱锥的体积， 因此可得三棱锥的体积的取值范围是，对. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：D中三棱锥的体积的取值范围时，由于锥体的高不易获得，通过空间向量求得点到平面的距离，再结合点的坐标的取值范围即可得出结论. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 曲线在点处切线方程是____________． 【答案】 【解析】 【分析】应用导数的几何意义求切线方程即可. 【详解】由题设，则，且， 所以曲线在点处的切线方程是，即. 故答案为： 13. 数列，通过数列图象上所有点的直线的斜率____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题设可得且，即可确定通过数列图象上所有点的直线的斜率. 【详解】由题设，则， 所以是首项为18，公差为的等差数列， 所以且， 所以通过数列图象上所有点的直线的斜率为. 故答案为： 14. 椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线的渐近线的斜率小于，求取值范围____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知可得，再由且求离心率范围. 【详解】由题设，则，而， 又，则. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.） 15. 如图，已知在四棱柱中，底面为梯形，底面，，其中，是的中点，是的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，计算即可得证； （2）由平面，得为平面的一个法向量，设平面与平面夹角为，由即可求解. 【小问1详解】 由平面，，以点为原点，分别以为轴，轴，轴， 建立空间直角坐标系，如图所示： 由，E是的中点，F是的中点， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 所以，又平面， 所以平面 【小问2详解】 由平面，所以为平面的一个法向量， 由得平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 16. 已知是等差数列的前n项和． （1）证明是等差数列； （2）设为数列的前n项和，若，求． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用等差数列的前n项和公式求的通项公式，即可证结论； （2）根据已知求得数列的公差，再求即可. 【小问1详解】 若的公差为，则， 所以，则， 故， 即是首项为，公差为的等差数列，得证； 【小问2详解】 由题设，则数列的公差， 所以，则. 17. 已知函数（a为实常数）． （1）若，求证：在上是增函数； （2）当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的x值； （3）若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）证明见解析； （2）答案见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用导数证明函数的区间单调性即可； （2）利用导数研究函数的单调性，进而求区间内最值即可； （3）将问题化为在上能成立，应用导数研究右侧的单调性并求最小值，即可得参数范围. 【小问1详解】 由题设，则， 则在上有，故在上是增函数，得证； 【小问2详解】 由题设，则， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 所以最小值时，最大值为时； 【小问3详解】 由题设在上能成立，则， 对于，则在上恒成立， 故在上单调递增，且时，即在上恒成立， 所以在上能成立， 令且，则， 对于且，则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 当，，即在上恒成立， 在上恒成立，则在上单调递增，故， 所以. 18. 已知椭圆的离心率为，其中一个焦点的坐标为. （1）求的方程； （2）过左焦点的直线交于、两点，点在上. （i）若的重心为坐标原点，求直线的方程； （ii）若的重心在轴上，求的横坐标的取值范围. 【答案】（1） （2）直线的方程为；. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得到和求解即可； （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立消元，得到，利用韦达定理得到，，小问（i）根据重心为原点得到点坐标，将点坐标代入椭圆方程即可求出的值，进而得到直线的方程；小问（ii）设，方法同（i），得到点坐标，将点坐标代入椭圆方程得到，利用求出的取值范围. 【小问1详解】 由题意知，即，又， 解得，，， 所以的方程； 【小问2详解】 （i）因为左焦点为，设直线的方程为， 联立，得， 设，，，则，， 因为的重心为原点，所以， 所以，又， 代入，可得， 解得，所以直线的方程是. （ii）设，由（i）可知，， 代入，可得， 解得，所以. 所以，且，所以 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 19. 同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设，，且．若则称与关于模同余，记作（“|”为整除符号）．例如 （1）解同余方程； （2）设（1）中方程的所有正根构成数列，其中． ①若（），数列的前项和为，求； ②若（），求数列的前项和． 【答案】（1）或（）； （2）①3036；②. 【解析】 【分析】（1）根据整除定义求解，（mod3），即能被3整除，从而得出或能被3整除； （2）①首先求出（分奇偶项），确定出，用并项求和法求和；②求出，利用两角差的正切公式变形通项，结合裂项相消法求和． 【小问1详解】 依题意，（mod3），则或（）， 即或（）. 【小问2详解】 由（1）得为，则， ①由（），得， ． ②（）， 而， 所以 . 【点睛】关键点点睛：本题考查学生的阅读理解能力，创新意识，解题关键是正确理解新概念并能应用解题，本题中同余问题，实质就是除以一个质数后的余数相等，问题转化后可结合数列的求和方法，两角差的正切公式等等知识才能顺利求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州四中（吴山）2024学年第一学期高二年级期末考试 数学试题卷 命题人：杜红梅 审核人：孟祥迪 2025年1月 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷，满分150分，考试时间90分钟. 2．答题前，在答题卷上填写班级、姓名、考场号、座位号，并填涂卡号. 3．所有的答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效. 4．考试结束后，只上交答题卷. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 过点和点直线倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 数列是等差数列，，记是的前9项和，则（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则平面ABC的一个法向量可以为（ ） A. B. C. D. 5. 若双曲线（，）的实轴长为4，焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知正项等比数列}满足为与的等比中项，则（ ） A B. C. D. 2 7. 已知点，点P满足，则点P到直线距离的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 3 D. 5 8. 设是定义在R上的奇函数，，当时，有恒成立，则不等式可的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知正方体，下列选项中，能成为空间中的一组基底的为（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 直线倾斜角越大，斜率越大 B. 过点的直线方程是 C. 经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条 D. 直线在y轴上的截距是 11. 如图，在正方体中，，E为棱的中点，F为棱（含端点）上的一个动点给出下列四个结论正确的是（ ） A. 存在符合条件的点F，使得平面； B. 不存在符合条件的点F，使得； C. 异面直线与所成角的余弦值为； D. 三棱锥体积的取值范围是． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 曲线在点处的切线方程是____________． 13. 数列，通过数列图象上所有点的直线的斜率____________． 14. 椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线的渐近线的斜率小于，求取值范围____________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.） 15. 如图，已知在四棱柱中，底面为梯形，底面，，其中，是的中点，是的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 16. 已知是等差数列的前n项和． （1）证明是等差数列； （2）设为数列的前n项和，若，求． 17. 已知函数（a为实常数）． （1）若，求证：在上是增函数； （2）当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的x值； （3）若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 18. 已知椭圆的离心率为，其中一个焦点的坐标为. （1）求的方程； （2）过左焦点的直线交于、两点，点在上. （i）若的重心为坐标原点，求直线的方程； （ii）若的重心在轴上，求的横坐标的取值范围. 19. 同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设，，且．若则称与关于模同余，记作（“|”为整除符号）．例如 （1）解同余方程； （2）设（1）中方程的所有正根构成数列，其中． ①若（），数列前项和为，求； ②若（），求数列的前项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $