精品解析：山东省泰安市新泰市第一中学北校2024-2025学年高一下学期第一次大单元考试（3月）数学试题

新泰一中北校高一下学期第一次大单元考试 数学试卷 考试时间：120分钟. 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上. 第I卷（选择题） 一、单选题（每个小题5分，共40分.） 1. 设为对角线的交点，为任意一点，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，是单位向量，且，则为（ ） A. B. C. 3 D. 5 3. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. 3 C. 4 D. 7 4. 在中，，则一定是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 5. 已知，是平面内两个不共线的向量，，，，，则，，三点共线的充要条件是（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量满足，，，则向量夹角为（ ） A B. C. D. 7. 长庆寺塔，又名“十寺塔”，位于安徽黄山市歙县的西干披云峰麓，历经900多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存少有的方形佛塔．如图，为测量塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔的总高度为（ ） A. B. C D. 8. 在所在平面中有一点P满足，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每个小题6分，共18分；若有2个选项，每选对1个选项得3分，若有3个选项，每选对1个选项得2分.错选得0分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 零向量是唯一没有方向的向量 B. 若，则 C. 若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线 D 若，则 10. 在中，内角的对边分别为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 外接圆的面积为 C. 面积的最大值为 D. 周长的最大值为 11. （多选）如图，以为圆心，半径为1的圆始终内切于四边形，且，，则当增大时，下列说法正确的有（ ） A. 单调递减 B. 恒为定值 C. 单调递减 D. 第II卷（非选择题） 三、填空题（每个小题5分，共15分） 12. 已知向量，，且，则______. 13. 已知为边长为4的正六边形ABCDEF内部及其边界上的一点，则的取值范围是______. 14. 如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点，则______． 四、解答题 15. 如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点． （1）求的值； （2）求证：． 16. 已知平面向量、满足，，与的夹角为． （1）求； （2）当实数为何值时，． 17. 在中，. （1）求角； （2）若. （ⅰ）求的值； （ⅱ）若，求的面积. 18. 如图，已知是边长为2的正三角形，点是边的四等分点． （1）求的值； （2）若为线段上一点，且，求实数的值； （3）若为边上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置． 19. 中，已知. （1）若且，求的面积； （2）若求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新泰一中北校高一下学期第一次大单元考试 数学试卷 考试时间：120分钟. 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上. 第I卷（选择题） 一、单选题（每个小题5分，共40分.） 1. 设为对角线的交点，为任意一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别在OAC和OBD中，根据是平行四边形ABCD的对角线的交点，利用中点坐标公式求解. 【详解】解：在OAC中，因为是平行四边形ABCD的对角线的交点， 所以，即． 在OBD中，因为是平行四边形ABCD的对角线的交点， 所以，即． 所以． 故选：D． 2. 已知向量，单位向量，且，则为（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由，两边平方可得，再将平方即可得答案. 【详解】因为向量，是单位向量，所以 由则， 所以， 故选：B. 3. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. 3 C. 4 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的坐标运算可得结果. 【详解】∵，∴， ∵，∴，解得. 故选：D. 4. 在中，，则一定是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】应用投影向量的定义得出三角形形状即可. 【详解】由， 可知在上的投影向量为， 即点在边上的投影为边的中点， 所以，为等腰三角形． 故选：B. 5. 已知，是平面内两个不共线的向量，，，，，则，，三点共线的充要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量共线的充要条件有且，即可得答案. 【详解】由，，三点共线的充要条件是且， 所以，故. 故选：C 6. 已知向量满足，，，则向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用向量数量积的运算律及模长坐标表示可得，再应用向量夹角公式求夹角. 【详解】因为，所以， 又，，所以，得， 所以， 因为，所以， 故选：C 7. 长庆寺塔，又名“十寺塔”，位于安徽黄山市歙县的西干披云峰麓，历经900多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存少有的方形佛塔．如图，为测量塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔的总高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，在中，利用正弦定理求解. 【详解】设，则，且， 在中，， ∴，即， 解得． 故选：B． 8. 在所在平面中有一点P满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用向量加减的运算法则得，结合已知即可得答案. 【详解】由题设，则， 即，则， 又，所以. 故选：C 二、多选题（每个小题6分，共18分；若有2个选项，每选对1个选项得3分，若有3个选项，每选对1个选项得2分.错选得0分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 零向量是唯一没有方向的向量 B. 若，则 C. 若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线 D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【分析】A.由零向量的定义判断；B.由零向量与任意向量共线可判断；C.根据，都是单位向量判断；D.由向量相等的定义判断. 【详解】A.零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误； B.由零向量的定义知，零向量与任意向量共线，如，共线，但不相等，故B错误； C.因为，都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即与反向共线时才成立，故C正确； D.由向量相等的定义知D正确； 故选：CD. 10. 在中，内角的对边分别为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 外接圆的面积为 C. 面积的最大值为 D. 周长的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：利用余弦定理边角转化即可；对于B：利用正弦定理求三角形外接圆半径，即可得结果；对于CD：根据选项A中结论，结合基本不等式运算求解. 【详解】对于选项A：因为， 由余弦定理可得， 整理可得，则， 且，所以，故A错误； 对于选项B：由正弦定理可得外接圆的半径， 所以外接圆的面积为，故B正确； 对于选项C：由可得， 且，即，解得，当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为，故C正确； 对于选项D：由可得，即， 且，即， 解得，即，当且仅当时，等号成立， 所以周长的最大值为，故D正确； 故选：BCD. 11. （多选）如图，以为圆心，半径为1的圆始终内切于四边形，且，，则当增大时，下列说法正确的有（ ） A. 单调递减 B. 恒为定值 C. 单调递减 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】建系，，，由过点分别作，，的垂线，交点为,得到，再结合两点间距离公式，得到，由平面向量数量积的坐标表示逐个判断即可； 【详解】 如图建立平面直角坐标系，则，，，设，， 其中，．过点分别作，，的垂线，交点为, 易知， 所以， 所以，即．而，， 且，， 当增大时，也增大，所以ABD正确，C错误； 故答案为：ABD． 第II卷（非选择题） 三、填空题（每个小题5分，共15分） 12 已知向量，，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据求得m，从而得到的坐标求解. 【详解】因为，所以， 又，， 所以，所以， 则， 所以. 故答案为： 13. 已知为边长为4的正六边形ABCDEF内部及其边界上的一点，则的取值范围是______. 【答案】[-8，24] 【解析】 【分析】利用向量数量积的几何意义，等于动向量在方向上的投影长度与的模之积，这里的投影长度是有正负的，规定投影长度与方向相同的为正数，与方向相反的为负数，然后找到端点位置去计算取值范围. 【详解】 由题意可得的模为4， 根据正六边形的特征及投影的定义可以得到在方向上的投影长度的取值范围是， 由数量积定义可知等于的模与在方向上的投影长度的乘积， 所以的取值范围是， 故答案为：. 14. 如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】用和表示和，根据以及，，，可求出结果. 【详解】因为是的中点，所以， ， 因为，， ， 所以， 所以 故答案为：. 四、解答题 15. 如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点． （1）求的值； （2）求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）用、表示，再根据数量积的定义及运算律计算可得； （2）用、表示、，根据数量积的运算律求出，即可得证. 小问1详解】 因为， 所以， 所以， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以， 所以， 所以，即，所以． 16. 已知平面向量、满足，，与的夹角为． （1）求； （2）当实数为何值时，． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的数量积的运算性质进行运算即可； （2）根据条件得，利用数量积的运算性质进行运算，化简后解方程即可. 【小问1详解】 因为，，与的夹角为． 所以， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以， 化为，解得. 17. 在中，. （1）求角； （2）若. （ⅰ）求的值； （ⅱ）若，求的面积. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得，进而根据和差角公式可得，即可求解； （2）根据余弦定理，结合题中条件可得，，再由余弦定理求解（ⅰ），利用三角形面积公式求解（ⅱ）. 【小问1详解】 因为，即， 由正弦定理可得， ， 即，可得， 且，则，可得， 又因为，所以. 【小问2详解】 （ⅰ）∵，由余弦定理，，又∵（*）， 整理得：，即，代入（*）可得， 由余弦定理，； （ⅱ）∵，由（ⅰ）得：， 解得， ∴. 18. 如图，已知是边长为2的正三角形，点是边的四等分点． （1）求的值； （2）若为线段上一点，且，求实数的值； （3）若为边上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置． 【答案】（1）6 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形法则化简表达式，然后利用已知条件及向量数量积公式计算即可； （2）利用三点共线定理建立等式，得出方程组求出参数即可； （3）根据为边上一点，所以可设，再利用向量的加减法与数乘运算，求出，进而得出，从而可求的最小值. 小问1详解】 由于为边的中点，所以， 故. 由于，故. 因此. 【小问2详解】 由于，故. 由于为线段上一点，设， 所以， 由向量基本定理得，解得，因此. 【小问3详解】 因为为边上一点，所以可设， ， 因为，， 所以， 当时，取得最小值为. 所以点的四等分点靠近的分点，即处. 19. 在中，已知. （1）若且，求的面积； （2）若求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合正弦定理、余弦定理和面积公式即可求解； （2）结合基本不等式求最值和三角形边的关系即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理得，又，从而， 由得， 从而， 所以的面积. 【小问2详解】 由， 又，当且仅当时取等号， 从而，所以， 又因为中，，从而， 所以的范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$