精品解析：江苏省南通市海安市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

2024~2025学年度第一学期期末学业质量测试 九年级数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡指定的位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与你本人的是否相符． 4．答案必须按要求书写在答题卡上，在草稿纸、试卷上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标上“大”“美”“海”“安”四个汉字，随机摸出一个小球，摸出的小球上的汉字是“美”的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，且，则和的相似比为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点都在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 我国南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽比长少12步，问它的长和宽各多少步？设这块田地的宽为x步，则所列的方程正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 下表给出了二次函数中的部分对应值，可以估计方程的一个解的取值范围是（ ） … … … … A. B. C. D. 7. 如图，将绕B点顺时针方向旋转到，点A对应点D恰好落在上，且．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（ ） A B. C. D. 9. 已知二次函数的图象上有和两点，且，，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 10. 若点与关于原点对称，则_______． 11. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值是______． 12. 将抛物线向右平移个单位后得到新抛物线的顶点坐标为______． 13. 用半径为15cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为__________ cm. 14. 如图，为的弦，半径于点C．若，，则的半径长为_________． 15. 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转到，点的对应点落在边上，连接，则的长度为______． 16. 如图，左右并排的两颗大树的高分别为，，两树底部的距离，点与树的根部点，点在一条直线上，，小颖估计自己的眼睛（点）离地面，她从点出发沿方向前进到点时，恰好看不到树顶，则的长为______． 17. 如图，点，点在反比例函数的图象上，射线交轴于点，且，延长交反比例函数图象另一分支于点，连接交轴于点，若，则的值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文明、证明过程或演算步骤） 18. 选择适当的方法解下列方程： （1） （2） 19. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． （1）画出将关于原点O的中心对称图形． （2）将绕点E顺时针旋转得到，画出． （3）若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为______． 20. 如图，是四个连续的排成一排的座位，靠过道． （1）甲选择靠过道位置的概率为______； （2）甲先从4个座位中随机选择一个坐下，乙再在剩下的三个座位中随机选择一个坐下，用画树状图（或列表）的方法，求甲乙两人座位相邻且乙靠过道的概率． 21. 如图，已知反比例函数的图象与直线交于点，两点分别在轴和轴的正半轴上，． （1）求反比例函数解析式； （2）当时，直接写出反比例函数的取值范围 ． 22. 如图，是的直径，点在外，与相交于点，与的延长线相交于点，且，与相交于点，． （1）求的长； （2）若，求阴影部分的面积． 23. 海安滨海新区是驰名中外的“紫菜之乡”，拥有万亩海上养殖基地，所产干紫菜销往世界各地．某超市月份以元/袋的价格购进一批紫菜，经市场调查后发现，这种紫菜的月销售量（袋）与售价（元/袋）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求与之间的函数表达式； （2）设该紫菜的总销售利润为元，若要使销售利润最大，售价应定为多少元？该月进货数量多少袋？ （3）若该超市想要获利不高于进价的，则售价定为多少元时，销售利润达到最大？ 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数且）． （1）若，求抛物线顶点坐标； （2）已知和两点在抛物线上，且，当时，都有，求的取值范围． （3）已知二次函数，当时，的取值范围为，求的取值范围． 25. 综合与实践： 【回归教材】 （1）如图1，，都是等边三角形，则存在 （填“”或“”）． 【变式思考】 在等腰中，，，点为中点．点为上的动点，连接，将射线绕点顺时针旋转角后得到射线，过点作的垂线，与射线交于点，连接． （2）如图2，当，时，猜想与的数量关系，并证明． 【拓展运用】 （3）如图3，若，分析当的度数一定时，的值是否变化？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第一学期期末学业质量测试 九年级数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡指定的位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与你本人的是否相符． 4．答案必须按要求书写在答题卡上，在草稿纸、试卷上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：C． 2. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标上“大”“美”“海”“安”四个汉字，随机摸出一个小球，摸出的小球上的汉字是“美”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．直接利用概率公式计算． 【详解】解：∵袋子中分别装着标有“大”“美”“海”“安”四个汉字的4个小球， ∴从袋中摸出一个球，则球上的汉字刚好是“美”的概率是． 故选：C． 3. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，且，则和的相似比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似图形、相似比，位似图形相似比就是位似图形的位似比，位似图形的位似比就等于位似中心与对应点连线段的长度之比． 【详解】解：， ， ， 和的相似比为． 故选： B． 4. 如图，点都在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、圆周角定理、等腰三角形的性质，首先根据圆周角定理可得，根据等腰三角形两底角相等可知． 【详解】解：， ， ， ． 故选： C． 5. 我国南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽比长少12步，问它的长和宽各多少步？设这块田地的宽为x步，则所列的方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形的宽及长与宽之间的关系可得出矩形的长为步，再利用矩形的面积公式即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵矩形的宽为x步，且宽比长少12步， ∴矩形的长为步． 依题意，得：． 故选D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6. 下表给出了二次函数中的部分对应值，可以估计方程的一个解的取值范围是（ ） … … … … A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用二次函数求一元二次方程的解，根据表中的数据可知当时，，当时，，可知当时，对应的值的取值范围是． 【详解】解：从表中可以看出： 当时，， 当时，， 当时，对应的值的取值范围是．   故选：C ． 7. 如图，将绕B点顺时针方向旋转到，点A的对应点D恰好落在上，且．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题重点考查旋转的性质、平行线的性质、等边对等角等知识．由旋转得，，则，，求出，然后由平行线的性质即可求解． 【详解】解：由旋转可得：，， ∴， ， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 8. 反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，首先求出如果反比例函数经过点、时，的值，从而可得的取值范围，根据的取值范围确定的值． 【详解】解：如下图所示，点的坐标为，点的坐标为， 设反比例函数的解析式为， 当抛物线经过点时， 可得：， 解得：； 当抛物线经过点时， 可得：， 解得：， ， 的值可能是．   故选： C． 9. 已知二次函数的图象上有和两点，且，，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，首先根据二次函数中，可得抛物线开口向下，对称轴为，又根据可知，根据当时，抛物线在对称轴左侧随的增大而增大，在对称轴右侧随的增大而减小进行判断即可． 【详解】解：二次函数中， 抛物线开口向下， 整理可得：， 抛物线的对称轴为，且在对称轴左侧随的增大而增大，在对称轴右侧随的增大而减小， ， ， A选项：当时，可知，且，， 抛物线的对称轴是， 点在对称轴左侧，点在对称轴右侧， 当点坐标为时的关于对称轴的对称点为， 当点坐标为时的关于对称轴的对称点为， 设点的关于对称轴的对称点的横坐标为， 则有， ， ， 故A选项错误； B选项：若点、都在左侧时， ， 恒成立； 若点、都在右侧时，恒成立， 此时， 解得：； 当点在对称轴左侧，点在对称轴右侧时， 可得：， 解得：， 设点的关于对称轴的对称点的横坐标为， 则有， 又， 则有， 解得：， ； 综上所述，当时，或， 故B选项错误； C选项：若点、都在左侧时， ， 恒成立； 此时，， 解得：； 故C选项错误； D选项：当时，可知， 此时点、都在对称轴左侧， 根据二次函数的性质可知， 故D选项正确； 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 10. 若点与关于原点对称，则_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的性质，利用如果两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，由此求出，的值，代入求和即可． 【详解】解：点与点关于原点对称， ∴，， ∴． 故答案为：6． 11. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据一元二次方程的解求参数．一元二次方程的一个根是，把代入一元二次方程中，可得关于的一元一次方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：一元二次方程的一个根是， ， 解得： 故答案为： ． 12. 将抛物线向右平移个单位后得到新抛物线的顶点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象的平移．首先根据二次函数的顶点式解析式可以得到抛物线的顶点坐标是，又因为抛物线向右平移个单位长度，所以顶点也要向右平移个单位长度，则顶点的横坐标加，纵坐标不变． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 把抛物线向右平移个单位长度后， 得到的新抛物线的顶点坐标为， 即． 故答案为： ． 13. 用半径为15cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为__________ cm. 【答案】5 【解析】 【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长列式计算即可． 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为， 则， 解得：， 故圆锥的底面半径为5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了圆锥的计算及扇形的弧长的计算的知识，解题的关键是牢固掌握弧长公式． 14. 如图，为的弦，半径于点C．若，，则的半径长为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 先根据垂径定理求出的长，设的半径为r，再连接，在中利用勾股定理求出r的值即可． 【详解】解：∵的弦，半径， ∴ ， 设的半径为r，则， 连接， 在中，，即， 解得：． 故答案为：5． 15. 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转到，点的对应点落在边上，连接，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、旋转的性质．首先根据勾股定理可以求出，根据旋转的性质可以求出，，再利用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：在中，，， ， 由旋转的性质可知：，，，， ，， ． 故答案为： ． 16. 如图，左右并排的两颗大树的高分别为，，两树底部的距离，点与树的根部点，点在一条直线上，，小颖估计自己的眼睛（点）离地面，她从点出发沿方向前进到点时，恰好看不到树顶，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．由题意知点F、B、D共线，作于Q，交于P，易得，，计算出，，再证明，然后利用相似比计算出即可求出答案． 【详解】解：作于Q，交于P， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 17. 如图，点，点在反比例函数的图象上，射线交轴于点，且，延长交反比例函数图象另一分支于点，连接交轴于点，若，则的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，首先设点的坐标为，点的坐标为，根据反比例函数的性质可得的坐标为，点的坐标为，设直线的解析式为，利用待定系数法可求直线的解析式为，从而可得点的纵坐标为，根据反比例函数是中心对称图形可得，根据三角形的面积公式可得，解方程求出的值即可． 【详解】解：如下图所示，设点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， 则有， 点的坐标为， 又点与点关于原点对称， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 则有， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ， ， ， ， ， 解得：． 故答案为： 3． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文明、证明过程或演算步骤） 18. 选择适当的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用开平方的方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 19. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． （1）画出将关于原点O的中心对称图形． （2）将绕点E顺时针旋转得到，画出． （3）若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为______． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了作关于原点对称的图形，旋转作图，确定旋转中心， 对于（1），作点A，B，C关于原点对称的点，再依次连接即可； 对于（2），将点D，F绕点E顺时针旋转得到点，再依次连接； 对于（3），连接，并作的垂直平分线，再连接，并作的垂直平分线，两条直线交于点P，确定坐标即可． 【小问1详解】 如图所示， 【小问2详解】 如图所示， 【小问3详解】 如图所示，点P即为所求作的点，其坐标是． 故答案为：． 20. 如图，是四个连续的排成一排的座位，靠过道． （1）甲选择靠过道位置的概率为______； （2）甲先从4个座位中随机选择一个坐下，乙再在剩下的三个座位中随机选择一个坐下，用画树状图（或列表）的方法，求甲乙两人座位相邻且乙靠过道的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查画树状图求概率，正确画出相应的树状图是解题的关键． （1）根据概率公式求解即可； （2）甲有4种选择方式，乙有3种选择方式，据此画出树状图，再确定所有等可能的结果和甲乙两人座位相邻且乙靠过道的的结果数，最后利用概率的公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵是四个连续的排成一排的座位，靠过道， ∴甲选择靠过道位置的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图如下， 由树状图可得，一共有12种等可能结果，其中甲乙两人座位相邻且乙靠过道的结果有4种，即， 所以甲乙两人座位相邻的概率为：． 21. 如图，已知反比例函数的图象与直线交于点，两点分别在轴和轴的正半轴上，． （1）求反比例函数的解析式； （2）当时，直接写出反比例函数的取值范围 ． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解决本题的关键是先根据和求出点的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式． 根据和求出点的坐标为，利用待定系数法求出反比例函数的解析式为 分别求出当时的取值范围，再求出当时的取值范围，综合起来就是当时，反比例函数的取值范围． 【小问1详解】 解：设点的坐标为， ， ， ， 解得：， ， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， 又， ， 解得：， 点在第二象限， ， ， 点的坐标为， 把点的坐标代入比例函数， 可得：， 解得：， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，可得：， 若，则有， 当时，可得：， 若，则有， 综上所述，当时，直接写出反比例函数的取值范围为或． 故答案为：或． 22. 如图，是的直径，点在外，与相交于点，与的延长线相交于点，且，与相交于点，． （1）求的长； （2）若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】连接，根据等腰三角形的性质可证，根据圆周角定理可得，从而可证，因为是直径可证，根据线段的垂直平分线可得； 连接、、，根据线段垂平分线性质可证是等边三角形，根据等边三角形的性质和圆周角定理可得，根据可得，根据锐角三角函数可得，根据可求结果． 【小问1详解】 解：如下图所示，连接， ， ， ， ， ， 是直径， ， ， ； 【小问2详解】 解：如下图所示，连接、、， ， 垂直平分线段， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 又， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质、圆周角定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、扇形的面积公式、等边三角形的判定与性质．解决本题的关键是根据圆的基本性质找到边和角之间的关系． 23. 海安滨海新区是驰名中外的“紫菜之乡”，拥有万亩海上养殖基地，所产干紫菜销往世界各地．某超市月份以元/袋的价格购进一批紫菜，经市场调查后发现，这种紫菜的月销售量（袋）与售价（元/袋）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求与之间的函数表达式； （2）设该紫菜的总销售利润为元，若要使销售利润最大，售价应定为多少元？该月进货数量多少袋？ （3）若该超市想要获利不高于进价的，则售价定为多少元时，销售利润达到最大？ 【答案】（1）； （2）当售价为元时销售利润最大，此时月进货量为袋； （3）当售价定为时，销售利润最大，最大利润为元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数解析式的求法、二次函数的图象与性质，解决本题的关键是根据二次函数的图象和性质求最值． 把、代入，得到二元一次方程组，解方程组求出、的值即可得到函数表达式； 根据销售利润销量单价利润，得到二次函数，整理成顶点坐标式可得：，从而可知当售价定为元时销售利润最大，此时月进货量为袋； 根据二次函数的图象与性质可知抛物线开口向下，对称轴为，在对称轴的左侧随的增大而增大，所以当售价定为时，销售利润最大，最大利润为元． 【小问1详解】 解：设与之间的函数表达式是， 把、代入， 可得：， 解得：， 与之间的函数表达式是； 【小问2详解】 解：根据题意可得：， 整理可得：， 当售价定为元时，销售利润最大， 此时月进货量应为， 该月进货数量为袋； 【小问3详解】 解：该超市想要获利不高于进价的， 此时的售价最多应为(元)， 的图象开口向下，对称轴为， 在对称轴的左侧随的增大而增大， 当售价定为时，销售利润最大， 最大利润为(元)， 答：当售价定为时，销售利润最大，最大利润为元． 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数且）． （1）若，求抛物线的顶点坐标； （2）已知和两点在抛物线上，且，当时，都有，求取值范围． （3）已知二次函数，当时，的取值范围为，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，待定系数法求解析式； （1）先求出二次函数的解析式为，再配方求顶点坐标即可； （2）由可得，得到抛物线的解析式为，对称轴为，当根据时， 和都在右侧， 当时， 在对称轴左侧，在对称轴右侧，最后利用增减性求解即可； （3）设过和，且，则方程有解，得到，当时，当时，的取值范围为，得到，，对称轴为直线，整理得， 代入得解不等式即可； 当时，开口向下，当时，的取值范围为或，与矛盾，不合题意． 【小问1详解】 解：若，，则二次函数的解析式为， 配方得：， 抛物线的顶点坐标为； 小问2详解】 解：， ， 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为，与轴交点为，， 当时，开口向上，时随的增大而增大， ∵，在抛物线上， ∴， ∴和都在右侧， ∵当时，都有， ∴， 解得， 此时； 当时，开口向下，时随的增大而减小， ∴， ∴在对称轴左侧，在对称轴右侧， ∵关于对称轴的对称点为， ∵当时，都有， ∴， 解得， 此时； 综上所述，或； 【小问3详解】 解：设过和，且， ∴方程有解， ∴， 当时，开口向上， ∴当时，的取值范围为， ∵当时，的取值范围为， ∴，， 即过和， ∴对称轴为直线， 整理得， 把代入得，解得或； 此时； 当时，开口向下， ∴当时，的取值范围为或， ∵当时，的取值范围为， ∴不合题意， 综上所述，． 25. 综合与实践： 【回归教材】 （1）如图1，，都是等边三角形，则存在 （填“”或“”）． 【变式思考】 在等腰中，，，点为中点．点为上的动点，连接，将射线绕点顺时针旋转角后得到射线，过点作的垂线，与射线交于点，连接． （2）如图2，当，时，猜想与的数量关系，并证明． 【拓展运用】 （3）如图3，若，分析当度数一定时，的值是否变化？ 【答案】（1）=；（2）．证明见解析；（3）的值是定值，不会变化 【解析】 【分析】（1）证明可得结论； （2）结论：．连接，，过点O作于点J，过点Q作于点K．证明，推出，，再证明四边形是矩形可得结论； （3）结论：的值不变．连接，过点O作于点J，过点Q作于点K．α是定值，推出是定值，不妨假设，，则，证明，设，则，，，据此计算可得结论． 【详解】解：（1）∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：=； （2）结论：． 理由：如图2，连接，，过点O作于点J，过点Q作于点K． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，都是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）结论：的值不变． 理由：如图3，连接，过点O作于点J，过点Q作于点K． ∵α是定值， ∴是定值， 不妨假设，，则， ∵，， ∴， 同法可证，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， 设，则，，， ∴，， ∴定值． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $