精品解析：山东省济宁市微山县第二中学2024-2025学年高二下学期第一学段教学质量检测（3月）数学试题

2024-2025学年度下学期第一学段教学质量检测 高二数学试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的.） 1. 若函数满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的定义及已知求值即可. 【详解】由题设. 故选：C 2. 文娱晚会中，学生的节目有6个，已经排好出场顺序，现临时增加2个教师的节目，如果教师的节目既不排在第一个，也不排在最后一个，并且6个学生的节目先后出场顺序不变，则晚会的出场顺序的种数为（ ） A. 30 B. 42 C. 56 D. 3960 【答案】A 【解析】 【分析】将教师的两个节目按照题目要求依次安排到学生的节目中，再利用分步乘法计数原理即可求解. 【详解】根据题意，学生的节目有6个，已经排好出场顺序，这6个节目之间有5个空位， 因为教师的节目既不排在第一个，也不排在最后一个，则先将第一个教师节目安排到5个空位中，有5种方法； 再将第二个教师的节目安排到7个节目之间的6个空位中，有6种方法， 由分步乘法计数原理可得，共有种方法. 故选：A. 3. 下面导数运算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据求导公式和法则计算、逐一判断即可． 【详解】解 ，故A正确； 故B正确； 故C正确， 故D错误. 故选： 4. 已知函数导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的函数的图象，可判断函数的单增区间与单减区间，可得结论. 【详解】由函数的导函数的图象可知， 当时，，所以在上单调递减，可排除AC； 当时，，所以在上单调递增，可排除B； 当时，，所以在上单调递减，D均符合，故D正确. 故选：D. 5. 对一排8个相邻的格子进行染色．每个格子均可从红、蓝两种颜色中选择一种，要求不能有相邻的格子都染红色，则满足要求的染色方法共有（ ） A. 89种 B. 55种 C. 54种 D. 34种 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，根据染蓝色的多少，结合组合的定义分类讨论进行求解即可. 【详解】8个格子涂色，相邻都不涂红色，包含的情形如下： ，8个格子都涂蓝色，共1个结果; ，8个格子有7个格子涂蓝色有个结果; ，8个格子有6个格子涂蓝色，2个涂红色，红色不相邻，插空个结果; ，8个格子有5个格子涂蓝色，3个涂红色，红色不相邻，插空个结果; ，8个格子有4个格子涂蓝色，4个涂红色，红色不相邻，插空个结果. 所以 故选：B 6. 某学校开设了6门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这10门课中选修3门课进行学习，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案种数是（ ） A. 96 B. 116 C. 120 D. 192 【答案】A 【解析】 【分析】利用排列组合知识，结合分类加法计数原理求解． 【详解】由题意可知，选课方案分2类： ①选1门体育类选修课和2门艺术类选修课，有种方案， ②选2门体育类选修课和1门艺术类选修课，有种方案， 所以不同的选课方案种数是种． 故选：A． 7. 已知函数，则（ ） A 0 B. C. 2025 D. 4050 【答案】B 【解析】 【分析】先求出导函数，再代入结合应用诱导公式及特殊角的函数值求解. 【详解】因为， 则， 故. 故选:B. 8. 已知函数，则在区间上的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数研究函数在区间上的单调性，结合单调性求函数的最大值. 【详解】因为， 所以函数的导函数为， 令，可得或， 当时，，函数在上单调递增， 当时，。函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 又，， 所以在区间上的最大值为. 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 某市文化局组织了一次“送戏下乡”活动，共有个节目，且小品和相声各一个，若小品不排在第一位，相声不排在最后一位，则不同的排法种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直接法和间接法进行排列组合，即可得解. 【详解】直接法： 若小品排在最后一位，有种不同的排法； 若小品排在第二到第六位之间，则相声可以排在除最后一位和小品占据以外的任何位置，有种不同的排法； 则共有种不同的排法，A正确； 间接法： 不管条件限制共有种不同的排法； 当小品在第一位或相声在最后一位时，有种不同的排法， 当小品在第一位且相声在最后一位时，有种情况； 故共有，D正确； 故选：AD. 10. 如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（　　） A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减 【答案】BC 【解析】 【分析】根据图象确定的区间符号，进而判断的区间单调性，即可得答案. 【详解】由图知：上，上， 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以在、上不单调，在、上分别单调递减、单调递增. 故选：BC 11. 函数，则（ ） A. B. 的单调递增区间为 C. 最大值为 D. 有两个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对函数求导，根据导函数符号确定原函数的单调性，继而得到函数的极值，即可逐一判断A,B,C,再结合函数的趋势，利用零点存在定理，作出其图象即可判断D. 【详解】对于A，因的定义域为，则，故A正确； 对于B，由可得，即的单调递增区间为，故B正确； 对于C，由上分析，当时，；当时，. 即函数在上单调递减，在上单调递增，则时，取得最小值，故C错误； 对于D，由上分析，函数在上单调递减，在上单调递增，且， 而当时，；当时，， 由零点存在定理，可知函数在区间和各有一个零点，故D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 曲线在点处的切线方程为____________________． 【答案】 【解析】 【分析】求导，根据导数的几何意义可得切线斜率，即可得切线方程. 【详解】因为，则， 可得，即切线斜率为5， 所以切线方程为，即. 故答案为：. 13. 小南将一枚骰子连续抛掷 3 次，每一次骰子都会等可能地出现 1、2、3、4、5、6 点. 则3次骰子点数按抛掷顺序构成等差数列的情况有_____种. 【答案】18 【解析】 【分析】根据给定条件，按公差情况分类列出各个结果即可. 【详解】公差为0的情况有6种：111，222，333，444，555，666； 公差为的情况有8种：123，234，345，456，321，432，543，654； 公差为的情况有4种：135，246，531，642， 所以3次骰子点数按抛掷顺序构成等差数列的情况有18种. 故答案为：18 14. 函数的单调递减区间为__________． 【答案】 【解析】 【分析】通过求导，得到导函数小于零的不等式，结合定义域求解集即可. 【详解】由题意，函数的定义域为， 求导可得， 令，因为，所以解得. 所以函数的单调递减区间为. 故答案为：. 四、解答题（共77分） 15. 求下列函数的导数： （1）； （2）（为常数）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数加法法则和复合函数求导即可； （2）根据导数除法和导数减法法则即可； （3）根据导数乘法法则即可. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 小问3详解】 . 16. 某餐饮公司给学校学生配餐，现准备了种不同的荤菜和种不同的素菜. （1）当时，若每份学生餐有荤素，共有多少种不同的配餐供学生选择？ （2）若每位学生可以任选荤素，要保证至少有种以上的不同选择，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用组合计数原理结合分步乘法计数原理可求出不同的选择方法种数； （2）利用组合计数原理可得出每位学生的不同选择方法种数，结合题意可得出关于的不等式，由此可求得正整数的最小值. 【小问1详解】 当时，学校共有种不同的荤菜和种不同的素菜， 若每份学生餐有荤素，由分步乘法计数原理可知， 不同的选择方法为（种）. 【小问2详解】 从种不同的荤菜和种不同的素菜中，任取荤素，不同的选择方法为（种）. 由题意，得，整理可得， 因为，所以，所以的最小值为. 17. 已知函数在处取得极值. （1）求函数的解析式及单调区间； （2）求函数在区间的最大值与最小值. 【答案】（1），单调递增区间为，单调递减区间为； （2）最大值为2，最小值为. 【解析】 【分析】（1）求导，根据，求出，求出解析式，并解不等式，求出单调区间； （2）在（1）基础上，得到函数极值情况，和端点值比较后得到答案. 【小问1详解】 ， 由题意得，即，解得， 故解析式为，定义域为R， 令，令得或， 令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 显然为极小值点，故， 单调递增区间为，单调递减区间为， 【小问2详解】 由（1）知，在上单调递增，在上单调递减， 表格如下： 1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 又， 故的最大值为2，最小值为. 18. 寒假有来自不同大学的3名男生和2名女生来母校开展大学宣讲活动． （1）若要将这5名同学分配到三个班进行宣讲，每班至少一名同学，有多少种不同分配方案？ （2）宣讲完毕，这五位同学和原高中班主任合影留念，要求班主任站在甲乙同学中间，有多少种不同的排法？ （3）若这五位同学中甲、乙、丙三位同学身高互不相等，则这五位同学和班主任合影留念时甲、乙、丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？ （4）随后这五位同学合影留念时，同学甲不站在最左端，同学乙不站在最右端，有多少种不同的排法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 【答案】（1）150 （2）48 （3）120 （4） 【解析】 【分析】（1）将5名同学分为3，1，1或2，2，1三组，然后分配到三个班； （2）先甲乙同学之间排列，再把班主任和甲乙同学看作一个整体，与其他3名同学排列； （3）先将6人全排列，考虑到甲、乙、丙三人排列有种，进而可得所求排法； （4）先将五位同学全排列，去掉同学甲站在最左端的情形，再去掉同学乙站在最右端的情形，再加上重复去掉的同学甲站在最左端且同学乙站在最右端的情形. 【小问1详解】 将5名同学分为3，1，1或2，2，1三组，然后分配到三个班， 所以分配方案有种． 【小问2详解】 先甲乙同学之间排列，再把班主任和甲乙同学看作一个整体，与其他3名同学排列， 则不同的排法种． 【小问3详解】 先将6人全排列有种，考虑到甲、乙、丙三人排列有种， 所以甲、乙、丙三人按高低从左到右排列时，不同的排法有种． 【小问4详解】 先将五位同学全排列，去掉同学甲站在最左端的情形，再去掉同学乙站在最右端的情形，再加上重复去掉的同学甲站在最左端且同学乙站在最右端的情形， 所以不同的排法种数有． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）当时，先求确定切点，再求确定切线斜率，利用直线方程的点斜式可得切线方程. （2）求导，分，，讨论导函数的符号，可得函数的单调区间. 【小问1详解】 当时，，则， 从而，， 故所求切线方程为，即（或）. 【小问2详解】 由题意可得. 当，即时，由，得或，由，得， 则在和上单调递增，在上单调递减； 当，即时，恒成立，则在上单调递增； 当，即时，由，得或，由，得，则在和上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期第一学段教学质量检测 高二数学试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的.） 1. 若函数满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2. 文娱晚会中，学生的节目有6个，已经排好出场顺序，现临时增加2个教师的节目，如果教师的节目既不排在第一个，也不排在最后一个，并且6个学生的节目先后出场顺序不变，则晚会的出场顺序的种数为（ ） A. 30 B. 42 C. 56 D. 3960 3. 下面导数运算错误的是（ ） A B. C. D. 4. 已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 对一排8个相邻的格子进行染色．每个格子均可从红、蓝两种颜色中选择一种，要求不能有相邻的格子都染红色，则满足要求的染色方法共有（ ） A. 89种 B. 55种 C. 54种 D. 34种 6. 某学校开设了6门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这10门课中选修3门课进行学习，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案种数是（ ） A. 96 B. 116 C. 120 D. 192 7. 已知函数，则（ ） A. 0 B. C. 2025 D. 4050 8. 已知函数，则在区间上的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 某市文化局组织了一次“送戏下乡”活动，共有个节目，且小品和相声各一个，若小品不排在第一位，相声不排在最后一位，则不同的排法种数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（　　） A. 区间上单调递增 B. 区间上单调递减 C. 在区间上单调递增 D. 区间上单调递减 11. 函数，则（ ） A. B. 的单调递增区间为 C. 最大值为 D. 有两个零点 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 曲线在点处的切线方程为____________________． 13. 小南将一枚骰子连续抛掷 3 次，每一次骰子都会等可能地出现 1、2、3、4、5、6 点. 则3次骰子点数按抛掷顺序构成等差数列的情况有_____种. 14. 函数的单调递减区间为__________． 四、解答题（共77分） 15. 求下列函数的导数： （1）； （2）（为常数）； （3）． 16. 某餐饮公司给学校学生配餐，现准备了种不同的荤菜和种不同的素菜. （1）当时，若每份学生餐有荤素，共有多少种不同的配餐供学生选择？ （2）若每位学生可以任选荤素，要保证至少有种以上的不同选择，求的最小值. 17. 已知函数在处取得极值. （1）求函数的解析式及单调区间； （2）求函数在区间的最大值与最小值. 18. 寒假有来自不同大学的3名男生和2名女生来母校开展大学宣讲活动． （1）若要将这5名同学分配到三个班进行宣讲，每班至少一名同学，有多少种不同的分配方案？ （2）宣讲完毕，这五位同学和原高中班主任合影留念，要求班主任站在甲乙同学中间，有多少种不同的排法？ （3）若这五位同学中甲、乙、丙三位同学身高互不相等，则这五位同学和班主任合影留念时甲、乙、丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？ （4）随后这五位同学合影留念时，同学甲不站在最左端，同学乙不站在最右端，有多少种不同的排法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 19 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $