精品解析：河南省驻马店市泌阳县部分中学联考2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2025年河南省重点中学名校模拟试卷 数学（二） 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 3 2. 2025年央视春晚实时直播收视次数和互动量均创新纪录，其中春晚社交媒体话题阅读量达166亿次，比去年同期增加5.5亿次，数据“5.5亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 汝窑，宋代五大名窑之一，因窑址位于宋时河南汝州境内而得名，出品的汝瓷造型古朴大方，色泽独特．如图为一汝瓷作品，有关其三视图下列说法正确的是（ ） A. 主视图和俯视图相同 B. 主视图和左视图相同 C. 左视图和俯视图相同 D. 三视图各不相同 4. 可以表示为（ ） A. B. C. D. 5. 花窗不仅是建筑的眼睛，更是中式美学的灵魂．如图所示是中国古建筑中的一个正八边形的窗户，则它的一个外角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，，平分，若，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 一次函数 的图象如图所示，则关于 的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 8. “看电影过大年”已经成为不少家庭的新年俗．王林和李华分别从如图所示的2025年三部春节档影片中随机选择一部观看，则王林和李华选择同一部影片的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，在平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点 ，都在 轴上，平行于 轴的直线与两条抛物线相交于， ， ，四点，若， ，，则的长度为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 10. 小明同学在“探究通过导体的电流与其两端电压的关系”时，将记录的实验数据通过整理作出了如图所示的图象，下列说法错误的是（ ） A. 甲、乙两图象均为正比例函数图象 B. 当在导体乙的两端加上的电压时，通过乙导体的电流为 C. 在导体的电阻一定时，导体中的电流跟导体两端的电压成正比 D. 依据图象可得导体电阻分别为， 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 用代数式表示a与b的2倍的差________． 12. 不等式组的解集是________． 13. 某学生会干部考评从德、能、勤、绩四方面进行，权重依次按，该干部四方面得分如下表所示，则他的最终考评得分为________分． 考评项目 德 能 勤 绩 考评得分 8 8 9 10 14. 如图所示，在中，，以点为圆心，以的长为半径作，已知，以为直径作半圆，则阴影部分的面积为________． 15. 在 中， ， ， 为上不与端点重合的一动点，将 沿直线翻折得到，连接，若是以 为直角边的等腰直角三角形，则的长等于________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 年横空出世的 可以在多个方面帮助中小学生提高能力，通过人机互动，学生可以学会如何提出问题、分析信息和评估答案，从而培养批判性思维能力，意义非凡．某校对学生进行了 的相关培训，并对培训效果进行了检测，并随机抽取了若干名同学的成绩，形成了如下的调查报告，请根据调查报告，回答下列问题： 课题 ××学校学生对 掌握情况 调查方式 抽样调查 调查对象 ××学校学生 数据的整理与描述 分组 成绩 /分 频数 频率 调查结论 … （1）上述表格中，______，______， ______； （2）所抽取学生成绩的中位数落在______组；补全频数分布直方图； （3）若该校有名学生参加了此次检测活动，请你估计成绩不低于分的学生有多少名？ 18. 在平面直角坐标系中，一次函数 和反比例函数的图象交于，两点，直线与轴交于点 ． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出不等式的解集； （3）在 轴上取一点 ，使的值最大，并求出的最大值及点 的坐标． 19. 古桥不仅是交通的纽带，更是文化的传承．某数学小组利用无人机测量古桥的高度，其测量方案如下，将无人机升腾至水面上方6.1米的 处，测得桥面正中心A的俯角为，将无人机水平右移米到达处，测得桥面正中心A的俯角为，求古桥的高度． （结果精确到，参考数据，，） 20. 双龙山位于河南偃师市南部，属于免费景区，这里有古老的寺庙、茂密的森林、清澈的溪流和绚烂的野花，是户外旅行者的乌托邦．景区某纪念品专卖店看准商机决定购进， 两种纪念品进行销售，已知每个种纪念品的进价比 种纪念品贵10元，用320元购进种纪念品的数量和用240元购进 种纪念品的数量相同． （1）求， 两种纪念品每个的进价． （2）已知种纪念品的售价为每个55元， 种纪念品的售价为每个40元，该纪念品专卖店决定购进这两种纪念品共80个，且用于购买这80个纪念品的资金不超过2850元，若， 两种纪念品全部卖完，那么该纪念品专卖店如何进货才能获利最大？最大利润是多少元？ 21. “砸砖儿”是一个民间儿童游戏，比试投掷砖块的准确度，游戏者将手里的砖块扔向立着的标靶，若把标靶打倒，就可进入下一局比赛．小明来到土坡 处进行投掷，以砖块未飞出前的位置 为原点，水平方向为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，将投掷出去的砖块看作一个点，其飞行路线可以近似地看作抛物线 的一部分，土坡 上有一竖立的标靶砖 ，点 与点 的水平距离为6米、垂直距离为 米．若砖块在空中飞行的最大高度为2米， （1）求抛物线的解析式（无需写出自变量取值范围）． （2）砖块能击中标靶 吗？请说明理由． 22. 如图所示，在的边上取点 ，以 为圆心、长为半径作，过点A且交于点 ，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）用无刻度直尺和圆规过点 作，交 的延长线于点；（不写作法，保留作图痕迹） （3）若， ，求的长． 23. 综合实践：如图1所示，等腰 和等腰有共顶点A，且A， ， 三点共线，，连接，是的中点，连接 和． 【模型构建】 （1）如图2所示，通过延长与相交于点，猜想与 的关系并简述理由； 【深度求索】 （2）当，时，求与的长； 【拓展延伸】 （3）在图2的基础上，将绕点顺时针旋转，当时旋转停止，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河南省重点中学名校模拟试卷 数学（二） 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理数的大小比较，根据正数大于0，负数小于0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，判断选项中数的大小，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴最小的数是． 故选A． 2. 2025年央视春晚实时直播收视次数和互动量均创新纪录，其中春晚社交媒体话题阅读量达166亿次，比去年同期增加5.5亿次，数据“5.5亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．据此解答即可． 【详解】解：数据5.5亿用科学记数法表示为． 故选：B． 3. 汝窑，宋代五大名窑之一，因窑址位于宋时河南汝州境内而得名，出品的汝瓷造型古朴大方，色泽独特．如图为一汝瓷作品，有关其三视图下列说法正确的是（ ） A. 主视图和俯视图相同 B. 主视图和左视图相同 C. 左视图和俯视图相同 D. 三视图各不相同 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，理解三视图的含义是解题关键．根据从正面、上面和左面看到的图形，即可得到答案． 【详解】解：该几何体的主视图和左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同． 故选：B． 4. 可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法，根据合并同类项法则；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A．因为与不是同类项，不能合并，故A不符合题意； B．因为，，故B不符合题意； C．因为与不是同类项，不能合并，故C不符合题意； D．因为，故D符合题意． 故选：D． 5. 花窗不仅是建筑的眼睛，更是中式美学的灵魂．如图所示是中国古建筑中的一个正八边形的窗户，则它的一个外角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的外角内容，根据正多边形的每个外角都相等进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意正八边形外角和为， ∴每一个外角为． 故选：B． 6. 如图所示，，平分，若，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 如图，先根据平行线的性质得出，，再由角平分线定义得，从而可得，代入度数计算即可． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴，， ∵平分， ∴． ∴． 故选：D． 7. 一次函数 的图象如图所示，则关于 的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，一元二次方程根与系数的关系，先利用一次函数的性质得，，再计算判别式的值得到，于是可判断，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：由图象得，， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 8. “看电影过大年”已经成为不少家庭的新年俗．王林和李华分别从如图所示的2025年三部春节档影片中随机选择一部观看，则王林和李华选择同一部影片的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．画树状图，共有9种等可能的结果，其中王林和李华选择同一部影片的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把三部影片分别记作，， ，画树状图为： 共有9种等可能的结果，其中王林和李华选择的影片相同的结果有3种， ∴王林和李华选择的影片相同的概率为． 故选：B． 9. 如图所示，在平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点，都在 轴上，平行于 轴的直线与两条抛物线相交于， ， ，四点，若， ，，则的长度为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查中点坐标公式，熟练掌握中点公式是解题的关键．设的长度为 ，则，，，，求出，，即可得到答案． 【详解】解：设平行于 轴的直线与轴交于点． 设的长度为 ，则，，，． 由中点公式可得，． ． 故选：D． 10. 小明同学在“探究通过导体的电流与其两端电压的关系”时，将记录的实验数据通过整理作出了如图所示的图象，下列说法错误的是（ ） A. 甲、乙两图象均为正比例函数图象 B. 当在导体乙的两端加上的电压时，通过乙导体的电流为 C. 在导体的电阻一定时，导体中的电流跟导体两端的电压成正比 D. 依据图象可得导体电阻分别为， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查函数图像，准确理解题意是解题的关键．根据函数图像判断信息即可得到答案． 【详解】解：A．两图象均过原点，均为正比例函数图象，故A正确，不符合题意； B．由图象可知，在导体乙两端的电压为时，电流为 ，故B正确，不符合题意； C．甲、乙两图象都是过原点的直线，说明通过导体的电流与导体两端的电压成正比，故C正确，不符合题意； D．甲导体的电阻为，乙导体的电阻为，故D错误，符合题意． 故选D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 用代数式表示a与b的2倍的差________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“a与b的2倍的差”列出代数式即可． 【详解】解：代数式表示a与b的2倍的差为：， 故答案为： 【点睛】此题考查了代数式，熟练掌握列代数式是解题的关键． 12. 不等式组的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解：， 解不等式，得 ． 解不等式，得 ． 则不等式组的解集为 ． 故答案为： ． 13. 某学生会干部考评从德、能、勤、绩四方面进行，权重依次按，该干部四方面得分如下表所示，则他的最终考评得分为________分． 考评项目 德 能 勤 绩 考评得分 8 8 9 10 【答案】8.8 【解析】 【分析】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法． 根据加权平均数的计算方法即可解答本题． 【详解】解：由题意可得，（分） 故答案为：8.8． 14. 如图所示，在 中，，以点为圆心，以的长为半径作，已知，以为直径作半圆，则阴影部分的面积为________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】先根据弧长公式求出，再由勾股定理求出，从而求得，，．即可由阴影面积求解． 【详解】解：由弧长公式得，， 解得． 在 中，，， ∴． ∴， ， ． ∴阴影面积． 【点睛】本题考查弧长公式，勾股定理，不规则图形的面积，扇形的面积，三角形的面积，求出是银题的关键． 15. 在 中， ， ， 为上不与端点重合的一动点，将 沿直线翻折得到，连接，若是以 为直角边的等腰直角三角形，则的长等于________． 【答案】8或 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．根据当时和当时两种情况进行讨论，求出答案即可． 【详解】解：当时， 沿直线翻折得到， ， ， ， ， 四边形是正方形． 又是等腰直角三角形， ． ； 当时，如图2所示，设，则． 延长交的延长线于点．由题意可知，． 是等腰直角三角形． ． ， 解得． ． 故的长为8或． 【点睛】 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）3；（2）1 【解析】 【分析】本题考查的是分式的混合运算及实数的运算． （1）先算绝对值，零指数幂及负整数指数幂，再进行计算即可； （2）先算括号里面的，再算除法即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 17. 年横空出世的 可以在多个方面帮助中小学生提高能力，通过人机互动，学生可以学会如何提出问题、分析信息和评估答案，从而培养批判性思维能力，意义非凡．某校对学生进行了 的相关培训，并对培训效果进行了检测，并随机抽取了若干名同学的成绩，形成了如下的调查报告，请根据调查报告，回答下列问题： 课题 ××学校学生对 掌握情况 调查方式 抽样调查 调查对象 ××学校学生 数据的整理与描述 分组 成绩 /分 频数 频率 调查结论 … （1）上述表格中，______，______， ______； （2）所抽取学生成绩的中位数落在______组；补全频数分布直方图； （3）若该校有名学生参加了此次检测活动，请你估计成绩不低于分的学生有多少名？ 【答案】（1）， ， （2） ， 补全频数分布直方图如下： （3） 【解析】 【分析】本题考查了频数和频率，频数分布直方图，中位数，样本估计总体，掌握以上知识点是解题的关键． （）利用组数据求出抽取的学生人数，进而即可求解； （）根据中位数的定义即可求解，再根据（）的结果补全频数分布直方图即可； （）用乘以成绩不低于分的频率即可求解． 【小问1详解】 解：由数据可知，抽取的学生人数为 ， ∴ ， ， ， 故答案为：， ， ； 【小问2详解】 解：∵抽取了 名学生， ∴学生成绩的中位数由低到高为第 名和第 名学生成绩的平均数， ∴中位数落在组 ， 故答案为： ； 【小问3详解】 解： ， 答：估计成绩不低于分的学生有 人． 18. 在平面直角坐标系中，一次函数 和反比例函数的图象交于，两点，直线与轴交于点 ． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出不等式的解集； （3）在 轴上取一点 ，使的值最大，并求出的最大值及点 的坐标． 【答案】（1）， （2） 或 （3）的最大值为， 的坐标为 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）由A、B两点的坐标，根据图象，利用数形结合法求解即可； （3）由三角形三边关系可知：，所以若 ，A， 三点共线，则．此时，最大，最大值为，即一次函数与 轴的交点为p，即可求出点P坐标，再求出点C的坐标，根据A、C的坐标，利用勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：把代入，得． ∴反比例函数的解析式为． 把代入，得，解得． ∴点的坐标为． 把，代入 ，得 解得 ∴一次函数的解析式为 ． 【小问2详解】 解：由图象可得，不等式解集范围是 或． 【小问3详解】 解：在 轴上取点 ，连接 ， 由三角形三边关系可知： 若 ，， 三点共线，则最大．即点P为直线一次函数与 轴的交点， ∵一次函数的解析式为 ， ∴令 ，则． ∴一次函数与 轴的交点为． 令 ，则 ， ∴点 的坐标为， ∵， ∴． ∴的最大值为， 的坐标为 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形三边关系，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． 19. 古桥不仅是交通的纽带，更是文化的传承．某数学小组利用无人机测量古桥的高度，其测量方案如下，将无人机升腾至水面上方6.1米的 处，测得桥面正中心A的俯角为，将无人机水平右移米到达处，测得桥面正中心A的俯角为，求古桥的高度． （结果精确到，参考数据，，） 【答案】古桥的高度约为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 如图：延长 交于点 ．由题意得：，米，米．设米，则米；然后在和解直角三角形得到、，然后列方程求得，然后根据等量代换以及线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：延长 交于点 ． 由题意得：，米，米． 设米，则米． 在中，， ∴（米）． 在中，， ∴米． ∴，解得． ∴（米）． ∴（米）． 答：古桥的高度约为米． 20. 双龙山位于河南偃师市南部，属于免费景区，这里有古老的寺庙、茂密的森林、清澈的溪流和绚烂的野花，是户外旅行者的乌托邦．景区某纪念品专卖店看准商机决定购进，两种纪念品进行销售，已知每个种纪念品的进价比种纪念品贵10元，用320元购进种纪念品的数量和用240元购进种纪念品的数量相同． （1）求，两种纪念品每个的进价． （2）已知种纪念品的售价为每个55元，种纪念品的售价为每个40元，该纪念品专卖店决定购进这两种纪念品共80个，且用于购买这80个纪念品的资金不超过2850元，若，两种纪念品全部卖完，那么该纪念品专卖店如何进货才能获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）种纪念品的进价是每个40元，种纪念品的进价是每个30元 （2）购进种纪念品45个，购进种纪念品35个，才能获利最大，最大利润是1025元 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程解实际应用以及一元一次不等式解实际应用，熟练掌握题意是解题的关键． （1）设种纪念品的进价为每个 元，则种纪念品的进价为每个元，根据题意列出分式方程进行求解即可； （2）设购进种纪念品 个，该纪念品专卖店获利 元，则购进种纪念品个，根据题意列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设种纪念品的进价为每个 元，则种纪念品的进价为每个元． 根据题意，得， 解得． 检验：是原分式方程的解． ． 种纪念品的进价是每个40元，种纪念品的进价是每个30元 【小问2详解】 解：设购进种纪念品 个，该纪念品专卖店获利 元，则购进种纪念品个． 用于购买这80个纪念品的资金不超过2850元， ， 解得． 根据题意，得． ， 随 的增大而增大． 当时， 取最大值，最大值为． 此时． 购进种纪念品45个，购进种纪念品35个，才能获利最大，最大利润是1025元． 21. “砸砖儿”是一个民间儿童游戏，比试投掷砖块的准确度，游戏者将手里的砖块扔向立着的标靶，若把标靶打倒，就可进入下一局比赛．小明来到土坡 处进行投掷，以砖块未飞出前的位置 为原点，水平方向为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，将投掷出去的砖块看作一个点，其飞行路线可以近似地看作抛物线 的一部分，土坡 上有一竖立的标靶砖，点与点 的水平距离为6米、垂直距离为 米．若砖块在空中飞行的最大高度为2米， （1）求抛物线的解析式（无需写出自变量取值范围）． （2）砖块能击中标靶吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）砖块能击中标靶B，详见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． （1）设砖块飞行的函数解析式为，把代入求出a的值即可； （2）把 代入（1）中解析式，即可． 【小问1详解】 解：设砖块飞行的函数解析式为． 把代入，得， 解得． ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：砖块能击中标靶B．理由如下： 理由：把 代入， 得． ∵， ∴砖块能击中标靶B． 22. 如图所示，在 的边上取点 ，以 为圆心、长为半径作，过点A且交于点 ，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）用无刻度直尺和圆规过点 作，交 的延长线于点；（不写作法，保留作图痕迹） （3）若， ，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接 ．由为直径得出，再由等腰三角形的性质得，从而可证得，即可得出，由切线的判定定理可得出结论； （2）根据尺规基本作图—过一点作直线的垂线作法作出直线，交 的延长线于点即可． （3）先由勾股定理得，则，即．从而求得，则．再由，得到．然后解即可求解． 【小问1详解】 证明：连接 ．如图， ∵为直径， ∴ ，即． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴，即 ． ∵ 是的半径， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求． 【小问3详解】 解：∵ ， ∴． ∴， 即． ∴， ∴，． ∵， ∴． 由（2）知：， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，等腰三角形的性质，解直角三角形，尺规基本作图—过一点作直线的垂线，熟练掌握相关性质与判定定理、尺规基本作图、解直角三角形是解题的关键． 23. 综合实践：如图1所示，等腰 和等腰有共顶点A，且A， ， 三点共线，，连接，是的中点，连接 和． 【模型构建】 （1）如图2所示，通过延长与相交于点，猜想与 的关系并简述理由； 【深度求索】 （2）当，时，求与的长； 【拓展延伸】 （3）在图2的基础上，将绕点顺时针旋转，当时旋转停止，请直接写出的长． 【答案】（1）且 ，详见解析 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）证明，得，．从而可证得，即可由等腰三角形“三线合一”性质得出结论； （2）过作交的延长线于．证明四边形为矩形．得到，．上勾股定理求得．再由（1）得为等腰直角三角形，由可由求解． （3）依据题意构图如图2所示，证明．得到， ．则．所以 为等腰直角三角形．根据等腰三角形“三线合一”性质得，（三线合一）．在中，即可由求解． 【详解】解：（1）且 ． 理由：∵，A， ， 三点共线， ∴． ∴． ∵是的中点， ∴． 又∵， ∴． ∴，． ∵ 和均为等腰直角三角形， ∴， ∴，即． ∴． 在等腰中，， ∴，且 ． （2）如图1所示，过作交的延长线于． ∵， ∴四边形为矩形． ∴，． 在中，． 由（1）得为等腰直角三角形， ∴． （3）依据题意构图如图2所示， ∵， ∴． 在 和中， ∴． ∴， ． ∴． ∴． ∴ 为等腰直角三角形． ∵， ∴，（三线合一）． 在中， 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形，矩形的判定与性质，平行线的性质．正确作出图形，掌握相关性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $