真题解构与重构 数列讲义-2025届高三数学一轮复习

真题解构与重构 数列 数列是高中数学教学的主要内容之一，也是每年高考的必考试题，选择、填空与解答都是其主要题型.从高考试题可以看出，基本上是一大一小，小题表现在基本量的运算，大题呈现通项公式与前项和及其相关的关系.当难度不大时，试卷一般设置在第17题或18题的位置,当难度略大或综合性较强时，会往后放置.作为数列真题，主要考查等差数列或等比数列的定义、公式、性质、通项公式与前项和及相关的知识，有时也会与数学文化和其他知识交汇出现，主要考查数学运算、逻辑推理等核心素养，常用转化与化归思想及函数与方程思想加以解决.下面对2023年新课标 Ⅰ 卷第20题数列问题进行解构与重构,激活真题功能，有效复习数列的相关知识问题，助力高考复习. ［真题呈现］ [2023·新课标Ⅰ卷]（12分）设等差数列的公差为，且.令,记，分别为数列，的前项和． （1） 若，，求的通项公式； [答案]［规范解答］因为，所以， 所以，所以，所以 分］ 因为，所以.分］ 所以 ，.分］① ［关键步骤］ ①转化基本量，由等差数列的通项公式得,的关系并表示出, 因为, 所以，② ②方程思想，求 通项公式的关键是求出公差 解得或.分］ 因为，所以.所以的通项公式为分］ （2） 若为等差数列，且，求． [答案]因为，且数列为等差数列， 所以，即，所以，所以，③ ③“特值法”的应用，前三项成等差数列 解得或分］ ①当时，④ ④分类讨论思想，表示出 与 时的,整理成关于 的方程 ，所以， ， .分］ 因为，所以， 即， 解得或（舍去）分］⑤ ⑤分类讨论的思想，求出的 值与条件进行对比，合理取舍 ②当时，④ ，所以，， .分］ 因为，所以， 即， 解得（舍去）或（舍去）分］⑤ 综上所述，.分］ ［真题分析］ 试题以等差数列为载体，设置两数列的关系.（1）（2）问分别给出条件求解数列的基本量.真题强调“多思考，少运算”的理念，体现对数学基础知识与数学核心素养的考查，注重理性思维.考查函数与方程思想、分类讨论思想及转化与化归思想，试题源于教材人教A版选择性必修第二册. ［真题解构］ 解构1 已知数列的通项公式，求解问题 已知数列的通项公式,前项和为,则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. [解析]选.由 知,故数列 是首项,公差 的等差数列， 所以. 令, 则,故数列 是首项,公差为 的等差数列，所以.故选. 解构2 已知等差数列，求解问题 （多选）已知数列是等差数列，令,若是等差数列，则数列的通项公式可以为（ ） A. B. C. D. [解析]选.由题可设（,不同时为0），（,不同时为0）, 由 得, 即, 所以 由③得 或. 当 时，,,此时,故 正确. 当 时，,此时,故 正确.故选. 解构3 已知等差数列,求解问题 已知等差数列的首项为2，公差为2，前项和为,.若是等差数列，则数列的公差  . [解析]由题意得, . 则由题可设, 即, 所以 解得 或 所以 或,故, 因此数列 的公差. 解构4 已知等差数列与数列的关系，求解相关问题 已知等差数列的前项和为,公差,,数列的前项和为. （1） 求证：数列是等差数列； 解：证明：由题意得, .所以,即数列 是首项为,公差为 的等差数列. （2） 若，求. [答案]由（1）知. . 由 得, 解得 或. ［真题重构］ 将真题中的相关元素重组，结合数列及其他知识，重构出关于数列的相关问题，对高考复习起到事半功倍的效果. 重构1 设，若数列是等差数列，则（ ） A. B. C. D. [解析]选.方法一：由题可设, 即, 所以 由于，所以,.故. 所以 .故选. 方法二：由题意得（为常数），即. 所以 由于，所以,,即, 所以 .故选. 方法三：由 知，,,. 由于数列 是等差数列，所以. 即,解得 或（舍去）. 当 时，,,数列 是公差为1的等差数列，满足题意. 所以 .故选. 重构2 已知公比为2的等比数列的前项和为.若数列为常数列，则（ ） A. B. C. D. [解析]选.方法一：由题意得,. 由于数列 是常数列，可设（ 为常数）， 则有, 所以 解得,, 所以.故选. 方法二：由于数列 是常数列， 可设（为常数）,则. 当 时，,. 当 时，,即, 所以数列 是首项为,公比为 的等比数列， 由题意得,所以,. 所以.故选. 重构3 已知公差的等差数列的前项和为,,数列的前项和为. （1） 若,,求数列的通项公式； 解：因为, 所以, 所以, 故数列 是首项为,公差为 的等差数列. 因此. 由, 得 即 解得,. 所以. 所以数列 的通项公式为. （2） 当时，求证：为常数的充要条件是为常数； 证明：必要性：当 为常数时，设 . 则, 即, 所以 所以,,故当 时，, 即 为常数. 充分性：当 为常数时，设 , 即, 所以 由于,所以,,故当 时，, 即 为常数.综上，为常数的充要条件是 为常数. （3） 若对于恒成立，求的值. [答案]由 得. 化简得,由于,所以. 重构4 已知数列的前项和为,.若. （1） 证明：数列是等差数列； 解：证明：当 时，由 得. 当 时，由 得. 当 时，也满足上式， 所以. ，故数列 是首项为0，公差为 的等差数列. （2） 设，数列的前项和为. 当对于一切均成立时，正整数的最小值. [答案]由（1）知, ,所以, 则. 故.显然 恒成立. 当 时，, 由于函数 在 上单调递减，经计算得,, 故当 时，均有.所以正整数 的最小值为6. 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 真题解构与重构 数列 数列是高中数学教学的主要内容之一，也是每年高考的必考试题，选择、填空与解答都是其主要题型.从高考试题可以看出，基本上是一大一小，小题表现在基本量的运算，大题呈现通项公式与前项和及其相关的关系.当难度不大时，试卷一般设置在第17题或18题的位置,当难度略大或综合性较强时，会往后放置.作为数列真题，主要考查等差数列或等比数列的定义、公式、性质、通项公式与前项和及相关的知识，有时也会与数学文化和其他知识交汇出现，主要考查数学运算、逻辑推理等核心素养，常用转化与化归思想及函数与方程思想加以解决.下面对2023年新课标 Ⅰ 卷第20题数列问题进行解构与重构,激活真题功能，有效复习数列的相关知识问题，助力高考复习. ［真题呈现］ [2023·新课标Ⅰ卷]（12分）设等差数列的公差为，且.令,记，分别为数列，的前项和． （1） 若，，求的通项公式； ［关键步骤］ ①转化基本量，由等差数列的通项公式得,的关系并表示出, 因为, 所以，② ②方程思想，求 通项公式的关键是求出公差 解得或.分］ 因为，所以.所以的通项公式为分］ （2） 若为等差数列，且，求． ［真题分析］ 试题以等差数列为载体，设置两数列的关系.（1）（2）问分别给出条件求解数列的基本量.真题强调“多思考，少运算”的理念，体现对数学基础知识与数学核心素养的考查，注重理性思维.考查函数与方程思想、分类讨论思想及转化与化归思想，试题源于教材人教A版选择性必修第二册. ［真题解构］ 解构1 已知数列的通项公式，求解问题 已知数列的通项公式,前项和为,则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 解构2 已知等差数列，求解问题 （多选）已知数列是等差数列，令,若是等差数列，则数列的通项公式可以为（ ） A. B. C. D. 解构3 已知等差数列,求解问题 已知等差数列的首项为2，公差为2，前项和为,.若是等差数列，则数列的公差  . 解构4 已知等差数列与数列的关系，求解相关问题 已知等差数列的前项和为,公差,,数列的前项和为. （1） 求证：数列是等差数列； （2） 若，求. ［真题重构］ 将真题中的相关元素重组，结合数列及其他知识，重构出关于数列的相关问题，对高考复习起到事半功倍的效果. 重构1 设，若数列是等差数列，则（ ） A. B. C. D. 重构2 已知公比为2的等比数列的前项和为.若数列为常数列，则（ ） A. B. C. D. 重构3 已知公差的等差数列的前项和为,,数列的前项和为. （1） 若,,求数列的通项公式； （2） 当时，求证：为常数的充要条件是为常数； （3） 若对于恒成立，求的值. 重构4 已知数列的前项和为,.若. （1） 证明：数列是等差数列； （2） 设，数列的前项和为. 当对于一切均成立时，正整数的最小值. 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $$