数列中的综合问题 讲义-2025届高三数学一轮复习

高考重难突破三 数列中的综合问题 数列是高中数学的重要内容，是学习高等数学的基础，也是高考的重点考查内容之一.高考数列命题主要有以下三方面:（1）考查数列本身的有关知识，要求能用等差或等比数列的概念、性质、通项公式和求和公式求解；（2）数列与其他知识的结合，如数列与函数、方程、不等式、几何等的结合；（3）数列的实际应用问题. 考点一 等差与等比数列的综合问题 例1 [2024·广东深圳模拟]已知数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且公差和公比都是2，若对满足的任意正整数，，均有成立. （1） 求数列的通项公式； （2） 令，求数列的前项和. 解题技法 等差数列、等比数列综合问题的解题策略 （1）设置中间问题：求和需要先求出通项公式，求通项公式需要先求出首项和公差（公比），确定解题的顺序. （2）注意解题细节：在数列的通项公式问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的. 对点训练 已知个正数排成行列，表示第行第列的数，其中每一行的数依次构成等差数列，每一列的数依次构成等比数列，并且公比都为.已知,,. （1） 求公比; （2） 记第行的数所构成的等差数列的公差为,把,, ,所构成的数列记为数列,求数列的前项和. … … … … … … … … … … 考点二 数列的新定义问题 例2 [2024·湖南名校联盟联考]南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（称数列为一阶等差数列），或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（称数列为二阶等差数列） 以此类推，得到高阶等差数列.类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列,1,3,27,729, 是一阶等比数列，则的值为参考公式：（ ） A. 60 B. 120 C. 240 D. 480 解题技法 解决新定义数列问题的一般流程 （1）读懂定义，理解新定义数列的含义； （2）特殊分析，比如对,2,3, 的情况进行讨论； （3）通过特殊情况寻找新定义数列的规律及性质，以及新定义数列与已知数列（如等差或等比数列）的关系，仔细观察，探求规律，注重转化，合理设计解题方案； （4）联系等差数列与等比数列知识，将新定义数列问题转化为熟悉的知识进行求解. 对点训练 对于集合，，定义集合且.已知等差数列和正项等比数列满足，，，.设数列和中的所有项分别构成集合，，将集合的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，则数列的前30项和 考点三 数列与函数、不等式的综合问题 例3 [2024·广东广州综合测试]已知数列的前项和为,且. （1） 求,并证明数列是等差数列； （2） 若,求正整数的所有取值. 解题技法 （1）数列与函数综合问题的主要类型及求解策略 ①已知函数条件，解决数列问题，一般利用函数的性质、图象研究数列问题. ②已知数列条件，解决函数问题，一般要利用数列的通项公式、前项和公式、求和方法等对式子进行化简变形. 注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性. （2）数列与不等式综合问题的求解策略 解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决. 对点训练 1. 已知数列满足,若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数设方程的根从小到大依次为,, ，， ,,则数列的前项和为 （ ） A. B. C. D. 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. 若,,成等比数列，则函数的图象与轴的交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数个 2. 《算法统宗》是中国古代数学名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来争三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，这位公公最年幼的儿子的岁数为（ ） A. 8 B. 11 C. 14 D. 16 3. [2024·山东潍坊统考]宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成堆垛，用简便的方法算出堆垛中酒缸的总数，古代称之为堆垛术.有这么一道关于“堆垛”求和的问题：将半径相等的圆球堆成一个三角垛，底层是每边为个圆球的三角形，向上逐层每边减少一个圆球，顶层为一个圆球，我们发现，当,2,3,4时，圆球总个数分别为1，4，10，20，则当时，圆球总个数为（ ） A. 30 B. 35 C. 40 D. 45 4. [2024·安徽合肥质检]（多选）已知数列满足.若对任意,都有成立，则整数 的值可能是（ ） A. B. C. 0 D. 1 5. （多选）已知等比数列的各项均为正数，,,数列的前项积为，则（ ） A. 数列是递增数列 B. 数列是递减数列 C. 的最大值为 D. 的最小值为 6. 设数列的前项和为，写出一个的通项公式 使满足以下条件：是递减数列；是递增数列. 7. 已知数列的通项公式为，数列是首项为1，公比为的等比数列，若，其中,2, ,10，则公比的取值范围是 8. 无穷数列满足：只要,必有,则称为“和谐递进数列”.若为“和谐递进数列”，为其前项和，且,,,,则 9. 已知函数，将满足的所有正数从小到大排成数列. （1） 证明：数列为等比数列； （2） 令，求数列的前项和. B 综合运用 10. （多选）如图，已知点是平行四边形的边的中点，为边上的一列点，连接交于点,点满足,其中数列是首项为1的正项数列，是数列的前项和，则下列结论正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 11. 已知数列的通项公式是，其中,的部分图象如图所示，为数列的前项和，则0. 12. [2024·鄂东示范高中联考]若项数为的数列满足:,我们称其为项的“对称数列”.例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”.设数列为项的“对称数列”，其中,,, ，是公差为2的等差数列，数列的最大项等于8.记数列的前项和为,若，则4或5. 13. [2023·新课标Ⅱ卷]已知为等差数列，记，分别为数列，的前项和，，． （1） 求的通项公式； C 素养提升 14. [2024·江苏南京、盐城模拟]在数列中，若,则称数列为“泛等差数列”，常数称为“泛差”.已知数列是一个“泛等差数列”，数列满足. （1） 若数列的“泛差”,且，，成等差数列，求; （2） 若数列的“泛差”,且,求数列的通项公式. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高考重难突破三 数列中的综合问题 数列是高中数学的重要内容，是学习高等数学的基础，也是高考的重点考查内容之一.高考数列命题主要有以下三方面:（1）考查数列本身的有关知识，要求能用等差或等比数列的概念、性质、通项公式和求和公式求解；（2）数列与其他知识的结合，如数列与函数、方程、不等式、几何等的结合；（3）数列的实际应用问题. 考点一 等差与等比数列的综合问题 例1 [2024·广东深圳模拟]已知数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且公差和公比都是2，若对满足的任意正整数，，均有成立. （1） 求数列的通项公式； 【解】由题意，令，则， 即， 令，，得， 因为,所以，解得，， 由题意，数列 的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且公差和公比都是2， 所以， 即. （2） 令，求数列的前项和. [答案]由（1）知， 则，所以， 两式相减得,所以. 解题技法 等差数列、等比数列综合问题的解题策略 （1）设置中间问题：求和需要先求出通项公式，求通项公式需要先求出首项和公差（公比），确定解题的顺序. （2）注意解题细节：在数列的通项公式问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的. 对点训练 已知个正数排成行列，表示第行第列的数，其中每一行的数依次构成等差数列，每一列的数依次构成等比数列，并且公比都为.已知,,. （1） 求公比; 解：因为,，所以第4行的数所构成的等差数列的公差， 所以,则，又,所以. （2） 记第行的数所构成的等差数列的公差为,把,, ,所构成的数列记为数列,求数列的前项和. … … … … … … … … … … [答案]由,，,得,,则,所以数列 是以 为首项，为公比的等比数列，则数列 的前 项和. 考点二 数列的新定义问题 例2 [2024·湖南名校联盟联考]南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（称数列为一阶等差数列），或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（称数列为二阶等差数列） 以此类推，得到高阶等差数列.类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列,1,3,27,729, 是一阶等比数列，则的值为参考公式：（ ） A. 60 B. 120 C. 240 D. 480 [解析]由题意知，数列 为一阶等比数列. 设,则 为等比数列，其中,,公比为,所以. 故,,,也适合上式， 所以. 所以.故选. 解题技法 解决新定义数列问题的一般流程 （1）读懂定义，理解新定义数列的含义； （2）特殊分析，比如对,2,3, 的情况进行讨论； （3）通过特殊情况寻找新定义数列的规律及性质，以及新定义数列与已知数列（如等差或等比数列）的关系，仔细观察，探求规律，注重转化，合理设计解题方案； （4）联系等差数列与等比数列知识，将新定义数列问题转化为熟悉的知识进行求解. 对点训练 对于集合，，定义集合且.已知等差数列和正项等比数列满足，，，.设数列和中的所有项分别构成集合，，将集合的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，则数列的前30项和1 632. [解析]因为 为正项等比数列，,所以，即，解得 或（舍去），所以. 由题知，为等差数列，,则，所以，所以. 由，可得，，，可得当，4，6，8， 时，，5，21，85， ， 故数列 的前30项包含数列 的前33项减去数列 的第2，4，6项， 所以. 考点三 数列与函数、不等式的综合问题 例3 [2024·广东广州综合测试]已知数列的前项和为,且. （1） 求,并证明数列是等差数列； 【解】因为,① 所以,解得. 又,② 得, 化简得, 方法一：可得, 即，又， 所以数列 是首项为，公差为 的等差数列. 方法二：因为,又, 所以数列 是首项为，公差为 的等差数列. （2） 若,求正整数的所有取值. [答案]由（1）得, 则. 由, 得. 由,得, 即. 当 时，,不等式 成立； 当 时，,,不等式 不成立. 因为，所以正整数 的所有取值为1，2，3. 解题技法 （1）数列与函数综合问题的主要类型及求解策略 ①已知函数条件，解决数列问题，一般利用函数的性质、图象研究数列问题. ②已知数列条件，解决函数问题，一般要利用数列的通项公式、前项和公式、求和方法等对式子进行化简变形. 注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性. （2）数列与不等式综合问题的求解策略 解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决. 对点训练 1. 已知数列满足,若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. [解析]选.由已知得,即,其中.当 时，;当 时，等号成立,；当 时，,综上实数 的取值范围是. 2. 已知函数设方程的根从小到大依次为,, ，， ,,则数列的前项和为 （ ） A. B. C. D. [解析]选. 函数 与 的图象如图所示，由图知方程 的根从小到大依次为1，3，5， ，当 时，,当 时，,当 时，，所以数列 从小到大依次为1，2，4， ，故数列 是以1为首项，2为公比的等比数列，前 项和为. 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. 若,,成等比数列，则函数的图象与轴的交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数个 [解析]选.因为,,成等比数列，所以,则,所以函数 的图象与 轴的交点个数为1.故选. 2. 《算法统宗》是中国古代数学名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来争三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，这位公公最年幼的儿子的岁数为（ ） A. 8 B. 11 C. 14 D. 16 [解析]选.由题知九个儿子的岁数按从幼到长，构成公差为3的等差数列,设公差为,则,前9项的和，即，解得.故选. 3. [2024·山东潍坊统考]宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成堆垛，用简便的方法算出堆垛中酒缸的总数，古代称之为堆垛术.有这么一道关于“堆垛”求和的问题：将半径相等的圆球堆成一个三角垛，底层是每边为个圆球的三角形，向上逐层每边减少一个圆球，顶层为一个圆球，我们发现，当,2,3,4时，圆球总个数分别为1，4，10，20，则当时，圆球总个数为（ ） A. 30 B. 35 C. 40 D. 45 [解析]选.设堆垛从上至下每层的圆球个数构成数列,则由题意，得,,,,又,,,,由此可猜想,所以，所以当 时，圆球总个数为.故选. 4. [2024·安徽合肥质检]（多选）已知数列满足.若对任意,都有成立，则整数 的值可能是（ ） A. B. C. 0 D. 1 [解析]选.由题知 对任意 恒成立，所以当 为奇数时，,即,则 对所有的 为奇数恒成立，当 时，取得最小值1，所以;当 为偶数时，,即,则 对所有的 为偶数恒成立，当 时，取得最大值，所以.综上，.故选. 5. （多选）已知等比数列的各项均为正数，,,数列的前项积为，则（ ） A. 数列是递增数列 B. 数列是递减数列 C. 的最大值为 D. 的最小值为 [解析]选.设等比数列 的公比为,因为, 所以. 因为,所以, 解得 或（舍去）. 所以数列 是递减数列，错误，正确； 因为数列 是递减数列，且各项均为正数， 所以数列 的前 项积 有最大值，无最小值，错误； 若 取最大值，则 即 又,所以,即 的最大值为，正确.故选. 6. 设数列的前项和为，写出一个的通项公式 使满足以下条件：是递减数列；是递增数列. [解析]由数列 是递增数列可知数列 从第二项起，各项都大于零，结合数列 为递减数列，考虑 为公比在0到1之间的等比数列，显然，符合条件. 7. 已知数列的通项公式为，数列是首项为1，公比为的等比数列，若，其中,2, ,10，则公比的取值范围是 [解析]由题意得，,，则,，所以，，则，所以. 8. 无穷数列满足：只要,必有,则称为“和谐递进数列”.若为“和谐递进数列”，为其前项和，且,,,,则 [解析]由题意，得,,所以， 同理，，， 因为，所以， 故数列 是以3为周期的周期数列， . 9. 已知函数，将满足的所有正数从小到大排成数列. （1） 证明：数列为等比数列； 解：证明：， 令，解得 ，， 从而 ，，2，3， ， ， .又 , 所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列. （2） 令，求数列的前项和. [答案]， 所以， 则， 两式相减得， 化简得， 所以. B 综合运用 10. （多选）如图，已知点是平行四边形的边的中点，为边上的一列点，连接交于点,点满足,其中数列是首项为1的正项数列，是数列的前项和，则下列结论正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. [解析]选.因为点 为 中点，所以,即,因为,,三点共线，所以,又, 所以 化简得,所以,又,所以数列 是以4为首项，2为公比的等比数列，正确； 所以, 所以,错误； 则,正确； 所以,错误. 11. 已知数列的通项公式是，其中,的部分图象如图所示，为数列的前项和，则0. [解析]由题图可得（为最小正周期），则 ，.将，代入 中，可得,,则有,.又,令,得,即,所以,所以数列 是以6为周期的周期数列，由,,,,，,可得. 12. [2024·鄂东示范高中联考]若项数为的数列满足:,我们称其为项的“对称数列”.例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”.设数列为项的“对称数列”，其中,,, ，是公差为2的等差数列，数列的最大项等于8.记数列的前项和为,若，则4或5. [解析]因为数列 为 项的“对称数列”，所以,, ，,又，，， ，是公差为2的等差数列，所以数列，，， ，是递增数列，所以数列，，，, ，是公差为 的等差数列，则数列，，，, ，是递减数列，又数列 的最大项为8，所以,因为数列 的前 项和,所以由对称性可知，又，所以，所以,所以,即,解得 或. 13. [2023·新课标Ⅱ卷]已知为等差数列，记，分别为数列，的前项和，，． （1） 求的通项公式； 解：设等差数列 的公差为. 因为 所以,,. 因为,, 所以 整理得 解得 所以 的通项公式为. （2） 证明：当时，． 证明：由（1）知, 所以 所以. 当 为奇数时， . 当 时，,所以. 当 为偶数时，. 当 时，, 所以.综上所述，当 时，. C 素养提升 14. [2024·江苏南京、盐城模拟]在数列中，若,则称数列为“泛等差数列”，常数称为“泛差”.已知数列是一个“泛等差数列”，数列满足. （1） 若数列的“泛差”,且，，成等差数列，求; 解：因为,所以, 所以,. 因为，，成等差数列，所以, 所以,所以 或. （2） 若数列的“泛差”,且,求数列的通项公式. [答案]因为,① 所以,② 得，. 因为,所以, 所以,所以， 又, 所以数列 是以 为首项，为公差的等差数列, 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$