精品解析：山东省菏泽市东明第一中学2024-2025学年高一下学期第一次阶段检测数学试题

东明一中高一年级第二学期阶段检测试题 数学 全卷满分150分，考试叶间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在各通卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3非选择题的作各：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无放. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上文. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1. 设，则（ ） A. i B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法可求运算结果. 【详解】, 故选：A 2. 下列各组向量中，能作为基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由基底的概念逐项判断即可； 【详解】要使平面中两个向量作为基底，必须满足是非零向量，且不共线，即不存在倍数关系，故A错误； 对于B，由，B错误； 对于D，由，D错误； 对于C，两向量不存在倍数关系，所以C正确. 故选：C. 3. 在中，若，则（ ） A. 25 B. 5 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理直接求解. 【详解】在中，若，，， 由余弦定理得. 故选：B 4. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】若，由得出，若，由平行向量的坐标公式得出，从而得出答案. 【详解】若，则，所以； 若，则，解得，得不出． 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 5. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记的面积为，若，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形面积公式及余弦定理得，进而得，最后利用二倍角正切公式求解即可. 【详解】由题意，故， 则，所以. 故选：B. 6. 已知平面向量满足：与的夹角为，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算平面向量的数量积，再利用，列式解得即可. 【详解】由题意，得， 由，得，即， ∴ ，解得. 故选：D 7. 在中，角的对边分别是，若，且，则的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式可得，再由余弦定理结合基本不等式即可得的最小值. 【详解】因为， 由正弦定理，得． 因为， 所以， 所以， 所以. 因为，所以，则． 由余弦定理，得， 当且仅当时，等号成立， 所以，即的最小值为. 故选：B. 8. 如图所示，中，点是线段的中点，是线段上的动点，若，则的最小值（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 8 【答案】D 【解析】 分析】根据题意，由三点共线定理可得，再由基本不等式代入计算，即可求解. 【详解】因为点是线段的中点，则， 则， 因为三点共线，所以， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设复数，（i为虚数单位），则下列结论正确的为（ ） A. 是纯虚数 B. 对应的点位于第二象限 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数的概念判断A；算出判断B；算出判断C；求出判断D. 【详解】对于A：，其实部为零，虚部不为零，是纯虚数，A正确； 对于B：，其在复平面上对应的点为，在第四象限，B错误； 对于C：，则，C错误； 对于D：，则，D正确. 故选：AD. 10. 在中，下列结论正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则是直角三角形 C. 若，则是钝角三角形 D. 若，则是等边三角形 【答案】CD 【解析】 【分析】由三角函数的性质结合诱导公式判断选项AB；正弦定理角化边余弦定理得角的范围判断选项C；正弦定理结合倍角公式化简判断选项D. 【详解】对于A，中，若，则有或， 当时，，为等腰三角形； 当时，，为直角三角形， 故A选项不正确， 对于B，中，若，则或， 即或，因此不一定是直角三角形，故B选项不正确； 对于C，中，若，则根据正弦定理得， 余弦定理得，则为钝角，是钝角三角形，故C选项正确； 对于D，中，若，则，即， 由，得， 所以，，是等边三角形，故D选项正确． 故选：CD． 11. 中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则有两解 C. 若为锐角三角形，则取值范围是 D. 若为边上的中点，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由数量积的定义及面积公式求得A角，然后根据三角形的条件求解判断各ABC选项，利用，平方后应用基本不等式求得最大值，判断D． 【详解】因为，所以，，又，所以，A错； 若，则，三角形有两解，B正确； 若为锐角三角形，则，，所以，， ，，C正确； 若D为边上的中点，则，， 又，， 由基本不等式得， ，当且仅当时等号成立， 所以，所以， 当且仅当时等号成立，D正确． 故选：BCD． 【点睛】本题考查解三角形的应用，掌握正弦定理、余弦定理、三角形面积公式是解题关键．在用正弦定理解三角形时可能会出现两解的情形，实际上不一定要死记结论，可以按正常情况求得，然后根据的大小关系判断角是否有两种情况即可． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 是虚数单位，复数的虚部为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】对复数进行化简，从而得到复数虚部，得到答案. 【详解】因为， 所以复数的虚部为. 故答案为：. 13. 已知向量满足，的夹角为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的模长公式直接代入求解即可. 【详解】， 故答案为：. 14. 已知平行四边形的面积为，，且.若F为线段上的动点，且，则实数的值为___________；的最小值为_________. 【答案】 ①. ##0.5 ②. 【解析】 【分析】根据题意，利用平面向量的线性运算即可求出第一空，建立平面直角坐标系，依据条件建立方程，结合基本不等式求解第二空即可. 详解】 因为所以， 由共线，则，解得 作，以为原点建立平面直角坐标系， 设且，则，而的面积为， 则，故， 则， 则， 当且仅当时取“=”， 所以的最小值为 故答案为：；. 四､解答题：本題共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤､ 15. 设复数． （1）若是实数，求； （2）若是纯虚数，求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用复数的加法及复数的分类求出，再利用复数乘法求解即得. （2）利用复数除法及复数的分类求出即得. 【小问1详解】 由，得，而是实数， 于是，解得， 所以． 【小问2详解】 依题意，是纯虚数， 因此，解得， 所以． 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求； （2）若，且的周长为，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用正弦边角关系及和角正弦公式有，再由三角形内角性质即可求边长； （2）应用余弦定理及已知得且，进而求得，最后应用面积公式求面积. 【小问1详解】 由题设，由正弦定理有， 所以，而，故，又， 所以. 【小问2详解】 由（1）及已知，有，可得， 又，即， 所以，故. 17. 单位向量，满足. （1）求与夹角的余弦值： （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的运算法则求得，再由模长与数量积求得与夹角的余弦值； （2）由题意得且与不共线，从而得到关于的不等式组，解之即可得解. 【小问1详解】 因为，， 所以，即，则， 则，即与夹角的余弦值. 【小问2详解】 因为与的夹角为锐角， 所以且与不共线， 当与共线时，有，即， 由（1）知与不共线，所以，解得， 所以当与不共线时，， 由，得， 即，解得， 所以且，即实数的取值范围为. 18. 在锐角三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若，求的周长l的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由降幂公式结合特殊角的三角函数值可得； （2）由正弦定理边化角得到周长的表达式，再两角差的正弦展开式和辅助角公式结合正弦函数的取值范围求解即可； 【小问1详解】 因为，所以， 解得或（舍去）， 又，所以. 【小问2详解】 由正弦定理得， 所以， 因为，所以， 所以的周长， 即 ， 又，所以，解得，所以， 所以， 所以，即的周长l的取值范围为. 19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数． （1）记向量的相伴函数为，若当且时，求的值； （2）设，试求函数的相伴特征向量，并求出与同向的单位向量； （3）已知为函数的相伴特征向量，若在中，，若点为该的外心，求的最大值． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）由相伴函数的定义结合辅助角公式得函数的表达式，进一步解三角函数方程即可； （2）利用两角和差的余弦公式展开合并以及单位向量的定义即可依次得解； （3）由题意依次得，外接圆的半径，再结合向量的数量积运算即可得解. 【小问1详解】 根据题意知，向量的相伴函数为， 当时，， 又，则，所以，故. 【小问2详解】 因为， 整理得到，故函数的相伴特征向量， 则与同向单位向量为. 【小问3详解】 由题意得，， 在中，，，因此， 设外接圆半径为，根据正弦定理，，故， 所以 ， ， ， 代入可得， 所以当时，取得最大值． 【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于，外接圆的半径，再结合向量数量积的运算律即可顺利得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 东明一中高一年级第二学期阶段检测试题 数学 全卷满分150分，考试叶间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在各通卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3非选择题的作各：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无放. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上文. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1. 设，则（ ） A i B. C. 1 D. 2. 下列各组向量中，能作为基底的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，若，则（ ） A. 25 B. 5 C. 4 D. 4. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记的面积为，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面向量满足：与的夹角为，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 7. 在中，角的对边分别是，若，且，则的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 8. 如图所示，中，点是线段的中点，是线段上的动点，若，则的最小值（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 8 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设复数，（i为虚数单位），则下列结论正确的为（ ） A. 是纯虚数 B. 对应的点位于第二象限 C D. 10. 在中，下列结论正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则是直角三角形 C. 若，则是钝角三角形 D. 若，则是等边三角形 11. 中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则有两解 C. 若为锐角三角形，则取值范围是 D. 若为边上的中点，则的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 是虚数单位，复数的虚部为__________. 13. 已知向量满足，的夹角为，则______. 14. 已知平行四边形的面积为，，且.若F为线段上的动点，且，则实数的值为___________；的最小值为_________. 四､解答题：本題共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤､ 15. 设复数． （1）若是实数，求； （2）若是纯虚数，求． 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求； （2）若，且的周长为，求的面积． 17. 单位向量，满足. （1）求与夹角的余弦值： （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 18. 在锐角三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角A大小； （2）若，求的周长l的取值范围． 19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数． （1）记向量的相伴函数为，若当且时，求的值； （2）设，试求函数相伴特征向量，并求出与同向的单位向量； （3）已知为函数的相伴特征向量，若在中，，若点为该的外心，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$