精品解析：广西壮族自治区 贵港市港北区第四初级中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2025年3月份港北四中九年级数学试卷 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 2025的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了倒数的定义，熟知知识点是解决本题的关键．根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，根据定义即可求解． 【详解】解：根据倒数的定义得2025的倒数为， 故选：D． 2. 新能源汽车是我国经济发展的重要产业之一．下列新能源车标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．根据中心对称图形与轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A、既是中心对称图形又是轴对称图形，故符合题意； B、既不是中心对称图形也不是轴对称图形，故不符合题意； C、既不是中心对称图形也不是轴对称图形，故不符合题意； D、既不是中心对称图形也不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：A． 3. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查简单几何体的三视图，熟练掌握简单组合体的三视图的知识是解题的关键． 根据主视图的定义，从几何体的正面看所得到的图形是主视图，即可进行解答． 【详解】解：由题意得，主视图为：， 故选：B． 4. 2025年贵港市港北区实干为先，奏响招商引资“奋进曲”，二月份集中签约7个电子电路项目，总投资亿元，助力电子电路产业发展．数据“1070000000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：， 故选：C． 5. 在中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180度是解题的关键． 由三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 6. 某空气质量监测点记载的今年三月份某五天的空气质量指数（AQI）为：35，27，34，40，26，则这组数据的中位数是（ ） A. 26 B. 27 C. 33 D. 34 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中位数的定义，熟练掌握中位数的计算方法是解题的关键． 【详解】解：将数据从小到大依次排列为：26，27，34，35，40， ∴中位数为第三个位置上的数即34． 故选：D． 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂相乘除、幂的乘方，根据合并同类项、同底数幂相乘除、幂的乘方的运算法则逐项分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，故不符合题意； B、，原写法错误，不符合题意； C、，原写法错误，不符合题意； D、，正确，符合题意， 故选：D． 8. 新一代人工智能技术，凭借其强大数据处理能力和深度学习算法，正在重塑教师的备课模式．李老师准备在当前流行的四个人工智能技术：，豆包，，通义千问中随机选择两个下载安装，则李老师选中和豆包的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用树状图法求概率，正确画出树状图是解题关键．先画出树状图，从而可得李老师随机选择两个下载安装的所有等可能的结果，再找出李老师选中和豆包的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【详解】解：将，豆包，，通义千问分别记为，画出树状图如下： 由图可知，李老师随机选择两个下载安装共有12种等可能的结果，其中，李老师选中和豆包的结果2种， 则李老师选中和豆包的概率为， 故选：C． 9. 中国古代数学专著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清醑各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列二元一次方程组，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键．设清酒斗，醑酒斗，根据一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子可得，根据共换了5斗酒可得，由此即可得． 【详解】解：由题意，可列方程为， 故选：C． 10. 中国古代数学专著《九章算术》第一章“方田”中记载了如下问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思为：现有一块扇形的田，弧长是30步，其所在圆的直径是16步，则这块田的面积是（ ） A. 200平方步 B. 120平方步 C. 平方步 D. 平方步 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键． 根据扇形的面积公式即可解决问题． 【详解】解：由题知， 扇形所在圆的直径是16步， 所以半径为8步， 又因为扇形的弧长为30步， 所以(平方步)． 故选：B． 11. 如图，已知点在反比例函数的图象上，点B、D在反比例函数的图象上，轴，AB、CD在x轴的两侧，与CD的距离为5，则的值是（ ） A. 25 B. 8 C. 6 D. 30 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题意知：DE•OE=-b，CE•OE=a，∴a-b=OE（DE+CE）=OE•CD=2OE． 同法：a-b=3•OF，∴2OE=3OF，∴OE：OF=3：2． 又∵OE+OF=5，∴OE=3，OF=2，∴a-b=6．故选C． 12. 如图，在正方形中，，点是边的中点，点是边的上任意一点，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，则周长的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】过点作，分别交于点，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得的周长为，然后根据两点之间线段最短可得当点共线时，取得最小值，最小值为，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作，分别交于点，连接， ∵在正方形中，，点是边的中点， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的周长为， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值，最小值为， ∴周长的最小值为， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、勾股定理、三角形全等的判定与性质、矩形的判定与性质等知识，综合性较强，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 因式分解：________； 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 反比例函数与一次函数的图象的一个交点是，则的值为________； 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：把交点分别代入两个函数解析式即可求解． 【详解】解：∵反比例函数与一次函数的图象的一个交点是， ∴，， ∴， 故答案为：3． 15. 小明从科普读物中了解到：每种介质都有自己的折射率，当光从空气射入该介质时，折射率为入射角正弦值与折射角正弦值之比，即折射率（为入射角，为折射角）．如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直边的方向射出，已知，，，则该玻璃透镜的折射率________； 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正弦，熟练掌握正弦的计算是解题关键．先证出，从而可得，再求出，然后根据折射率的计算公式求解即可得． 【详解】解：如图，， ∵一束光经折射后沿垂直边的方向射出， ∴， ∴， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 已知，是抛物线上任意两点，若对于任意，，都有，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键在于得到点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离． 可求抛物线对称轴为直线，，由，得到点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离，则，那么，即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线：， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：． （2）解不等式组：． 【答案】（1）11；（2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键． （1）先计算乘方和括号内减法，再算乘除，最后进行加减计算； （2）分别求出每一个不等式的解集，再取公共部分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：由①得，， 由②得，， ∴原不等式组的解集为：． 18. 如图，四边形中，ABDC，，于点． （1）用尺规作的角平分线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接．求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的作图步骤作图即可； （2）由角平分线的定义和平行线的性质求出，可得，求出，可得四边形ABCE为平行四边形，再结合AB＝BC，可证得四边形ABCE为菱形． 【小问1详解】 解：如图所示． 【小问2详解】 证明：是的角平分线， ， ∵ABCD， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 平行四边形为菱形． 【点睛】本题考查尺规作图、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定、平行四边形的判定以及菱形的判定，熟练掌握尺规作角平分线的步骤以及菱形的判定定理是解答本题的关键． 19. 为提高学生面对突发事故的应急救护能力，某校组织了关于心肺复苏急救知识的专题讲座，并进行了心肺复苏急救知识测评．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩（百分制）进行整理和分析（成绩得分用表示，共分成四组：．，．，．，．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的测试成绩是：96，78，69，99，77，60，86，100，86，86． 八年级10名学生的测试成绩在组中的数据是：85，87，87． 七、八年级抽取的学生测试成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 83.7 86 15221 八年级 83.7 90 78.81 根据上述信息，解答下列问题： （1）上述表格中______，______； （2）扇形统计图中______，组的圆心角的度数为______； （3）该校七年级有400名学生，估计七年级测试成绩优秀的学生共有多少名？ （4）你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握心肺复苏急救知识更好？请说明理由．（写出一条理由即可） 【答案】（1）86，87 （2）40，144° （3）120 （4）八年级更好，见解析 【解析】 【分析】（1）依据中位数，众数的计算方法可求出a、b； （2）用10减去A、B、C的人数和，再根据百分比计算公式求出m，利用圆心角计算公式求出C组的圆心角度数； （3）样本估计总体即可； （4）通过比较平均数，中位数，众数得出答案． 【小问1详解】 七年级10名学生的测试成绩出现次数最多的是86，出现3次，故众数是86，即a=86； ∵八年级A、B两组的人数和为10×（10%+20%）=3， ∴八年级10名学生的测试成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是87，因此中位数是87，即b=87； 故答案为：86，87； 【小问2详解】 ∵D组的人数为10-3-3=4， ∴， C组的圆心角度数为， 故答案为：40，144°； 【小问3详解】 ∵10名学生中有3名成绩为优秀， ∴400名学生中有优秀学生（名）； 【小问4详解】 八年级学生掌握心肺复苏急救知识更好，理由：虽然七、八年级成绩的平均数相同，但是八年级的成绩的中位数、众数都比七年级的高，因此八年级学生掌握心肺复苏急救知识更好． 【点睛】此题考查了统计图和统计表的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．会求部分的百分比，能根据平均数、众数、中位数作出分析，会求部分的扇形圆心角度数． 20. 共享电动车是一种新理念下的交通工具：主要面向3～10km的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，收费y（元）与骑行时间x（min）之间的函数关系如图所示，其中A品牌收费方式对应，B品牌的收费方式对应． （1）骑行B品牌10分钟后，每分钟收费____________元； （2）如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为20km/h，小明家到工厂的距离为6km，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱呢? （3）若A品牌与B品牌的收费相差元，求x的值． 【答案】（1） （2）小明选择A品牌的共享电动车更省钱； （3）在或，两种收费相差元． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程，在解题时注意分类讨论． （1）根据B品牌的电动车在10分钟后，10分钟收费为1元，即可求出B品牌的电动车10分钟后每分钟的收费； （2）先求出小明从家到工厂所用时间为18min，再通过图象可知小于18min时选择A品牌电动车更省钱； （3）当时两种收费相同，两种收费相差元时，分前和后两种情况讨论，分别求解即可． 【小问1详解】 解：由图象可知：B品牌的电动车在10分钟后，10分钟收费为1元， 故B品牌电动车在10分钟后每分钟收费元． 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵，， 又∵， 由图象可知，当骑行时间不足时，，即骑行A品牌的共享电动车更省钱， ∴小明选择A品牌的共享电动车更省钱； 【小问3详解】 解：∵当时两种收费相同， ∴两种收费相差1.4元时，分前和后两种情况， ①当时，离越近收费相差的越少， 当时，，， ， ∴要使两种收费相差1.4元，x应小于10， ∴， 解得：； ②设B品牌在的函数关系式为，代入点和点， ∴， 解出， ∴， 同理，A品牌的函数关系式为， 当时，， 解得：． ∴在或，两种收费相差1.4元． 21. 如图，已知是外接圆，，D是圆上一点，E是延长线上一点，连结，且． （1）求证：直线是是的切线； （2）若，的半径为3，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由，可知是的直径，由，可得，由，，可得，，则，由，可得，即，进而结论得证； （2）作，垂足为E，如图所示，由题意知，是等腰三角形，则，由题意知，，，可求，，，由勾股定理得，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴是的直径， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵是半径， ∴直线是是的切线； 【小问2详解】 解：作，垂足为E，如图所示， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 由题意知，，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了切线的判定，的圆周角所对的弦为直径，同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的判定与性质，正弦，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 22. 如图，正方形的边长为1，点是边上的动点，从点出发沿向运动，以为边，在的上方作正方形，连接． （1）求证：； （2）设，． ①求出与的函数表达式； ②当取何值时，最大，并求出最大值． 【答案】（1）见解析 （2）①；②当时，有最大值为 【解析】 【分析】（1）用证明即可得出结论； （2）①先证，所以，即可求出函数解析式；②利用二次函数的性质继而求出最值． 【小问1详解】 证明：∵四边形，都是正方形， ∴，，， 即, ∴ ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①如图： ∵正方形和正方形， ∴， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴，即， ∴ ； ②， ∵， ∴ 当时，有最大值为． 【点睛】本题考查了考查正方形的性质、二次函数的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 23. 如图1，在菱形中，，点是菱形内一点，且，延长交于点，连接，设． （1）①填空：________，________；（用含的代数式表示） ②求的度数． （2）将沿翻折得到，如图2，连接． ①求证：； ②若，，连接，求的长． 【答案】（1）①，；② （2）①证明见解析；②5 【解析】 分析】（1）①根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解；由，得到，继而根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解；②由平角得意义得到，即可求解； （2）①连接，由折叠的性质可证明为等边三角形，再证明为等边三角形，即可证明；②求出，由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：①∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ 故答案为：，； ②∵， ∴； 【小问2详解】 ①证明：连接， 由翻折得，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，折叠的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年3月份港北四中九年级数学试卷 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 2025的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 新能源汽车是我国经济发展的重要产业之一．下列新能源车标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 2025年贵港市港北区实干为先，奏响招商引资“奋进曲”，二月份集中签约7个电子电路项目，总投资亿元，助力电子电路产业发展．数据“1070000000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 某空气质量监测点记载的今年三月份某五天的空气质量指数（AQI）为：35，27，34，40，26，则这组数据的中位数是（ ） A. 26 B. 27 C. 33 D. 34 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 新一代人工智能技术，凭借其强大的数据处理能力和深度学习算法，正在重塑教师的备课模式．李老师准备在当前流行的四个人工智能技术：，豆包，，通义千问中随机选择两个下载安装，则李老师选中和豆包的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 中国古代数学专著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清醑各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组为（ ） A B. C. D. 10. 中国古代数学专著《九章算术》第一章“方田”中记载了如下问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思为：现有一块扇形的田，弧长是30步，其所在圆的直径是16步，则这块田的面积是（ ） A. 200平方步 B. 120平方步 C. 平方步 D. 平方步 11. 如图，已知点在反比例函数的图象上，点B、D在反比例函数的图象上，轴，AB、CD在x轴的两侧，与CD的距离为5，则的值是（ ） A. 25 B. 8 C. 6 D. 30 12. 如图，在正方形中，，点是边的中点，点是边的上任意一点，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，则周长的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 2 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 因式分解：________； 14. 反比例函数与一次函数的图象的一个交点是，则的值为________； 15. 小明从科普读物中了解到：每种介质都有自己的折射率，当光从空气射入该介质时，折射率为入射角正弦值与折射角正弦值之比，即折射率（为入射角，为折射角）．如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直边的方向射出，已知，，，则该玻璃透镜的折射率________； 16. 已知，是抛物线上任意两点，若对于任意，，都有，则的取值范围为________． 三、解答题（本题共7小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：． （2）解不等式组：． 18. 如图，四边形中，ABDC，，于点． （1）用尺规作角平分线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接．求证：四边形是菱形． 19. 为提高学生面对突发事故应急救护能力，某校组织了关于心肺复苏急救知识的专题讲座，并进行了心肺复苏急救知识测评．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩（百分制）进行整理和分析（成绩得分用表示，共分成四组：．，．，．，．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的测试成绩是：96，78，69，99，77，60，86，100，86，86． 八年级10名学生的测试成绩在组中的数据是：85，87，87． 七、八年级抽取的学生测试成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 83.7 86 152.21 八年级 83.7 90 78.81 根据上述信息，解答下列问题： （1）上述表格中______，______； （2）扇形统计图中______，组的圆心角的度数为______； （3）该校七年级有400名学生，估计七年级测试成绩优秀的学生共有多少名？ （4）你认该校七、八年级中哪个年级学生掌握心肺复苏急救知识更好？请说明理由．（写出一条理由即可） 20. 共享电动车是一种新理念下的交通工具：主要面向3～10km的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，收费y（元）与骑行时间x（min）之间的函数关系如图所示，其中A品牌收费方式对应，B品牌的收费方式对应． （1）骑行B品牌10分钟后，每分钟收费____________元； （2）如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为20km/h，小明家到工厂的距离为6km，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱呢? （3）若A品牌与B品牌的收费相差元，求x的值． 21. 如图，已知是的外接圆，，D是圆上一点，E是延长线上一点，连结，且． （1）求证：直线是是的切线； （2）若，的半径为3，求的长． 22. 如图，正方形的边长为1，点是边上的动点，从点出发沿向运动，以为边，在的上方作正方形，连接． （1）求证：； （2）设，． ①求出与的函数表达式； ②当取何值时，最大，并求出最大值． 23. 如图1，在菱形中，，点是菱形内一点，且，延长交于点，连接，设． （1）①填空：________，________；（用含的代数式表示） ②求度数． （2）将沿翻折得到，如图2，连接． ①求证：； ②若，，连接，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$