精品解析：四川省南充市高坪中学2023-2024学年八年级下学期期中检测数学试题

高坪中学2024年春季初2022级（初二）期中质量监测 数 学 试 卷 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题，满分40分） 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的定义：形如的代数式叫做二次根式，其中a叫做被开方数，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、中的被开方数，故不是二次根式，不符合题意； B、是三次根式，故不是二次根式，不符合题意； C、中的a不一定大于等于0，故不是二次根式，不符合题意； D、是二次根式，符合题意， 故选：D． 2. 如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键．由平行四边形的判定定理对边对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B、∵，， ∴四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C、∵，， ∴四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； D、由，，不能判定四边形是平行四边形，故选项D符合题意． 故选：D． 3. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：．与不是同类二次根式，无法合并，故选项A错误，不符合题意； ．与2不是同类二次根式，无法合并，，故选项B错误，不符合题意； ．，故选项C错误，不符合题意； ．，故选项D正确，符合题意； 故选：D 4. 下列命题的逆命题成立的是（ ） A. 矩形的对角线相等 B. 平行四边形的对角线互相平分 C. 菱形的对角线互相垂直 D. 正方形的对角线互相垂直且相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了判断一个命题逆命题的真假，矩形，平行四边形，菱形，正方形的判定，熟练掌握矩形，平行四边形，菱形，正方形的判定定理是解题的关键． 【详解】解；A、原命题的逆命题为：对角线相等的四边形是矩形，该逆命题是假命题，例如梯形的对角线也相等，不符合题意； B、原命题的逆命题为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，该逆命题是真命题，符合题意； C、原命题的逆命题为：对角线互相垂直的四边形是菱形，该逆命题是假命题，不符合题意； D、原命题的逆命题为：对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，该逆命题是假命题，不符合题意； 故选：B． 5. 下列表达式中，y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义：在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对x的每一个值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就说x是自变量，y是x的函数，进行求解即可． 【详解】解：A、，对于一个x，存在有两个y与之对应，例如：当x=1时，y=±1，y不是x的函数，故此选项不符合题意； B、对于一个x，存在有两个y与之对应，例如：当x=1时，y=±2，y不是x的函数，故此选项不符合题意； C、对于一个x，对于任意的x，y都有唯一的值与之对应，y是x的函数，故此选项符合题意； D、对于一个x，存在有两个y与之对应，例如：当x=0时，y=±1，y不是x的函数，故此选项不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了函数的定义，解题的关键在于能够熟记定义． 6. 如图，在中，，，D是边上任意一点，过点D作于E，于F，则（ ） A. 3 B. 4 C. 4.8 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理、三角形面积公式的运用．连接，作，利用等腰三角形的性质结合勾股定理求得，进而可以求出，再根据等面积法可以列出，最后求出的值． 【详解】解：如图所示：连接，作， ，， ， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 7. 已知，则化简二次根式的正确结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简与性质．二次根式的被开方数必须是非负数，从而必须保证开方出来的数也需要是非负数． 由于二次根式的被开方数是非负数，那么，通过观察可知a，b必须异号，而，易确定a，b的取值范围，也就易求二次根式的值． 【详解】解：由题意得，， ∴， 又∵， ∴或， ∴ 故选：A． 8. 如图，矩形的对角线相交于点．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键．由矩形的性质得，再证是等边三角形，得，然后由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在中，由勾股定理得：， ， 故选：D． 9. 如图，中，对角线相交于点，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，过点作于，过点作的延长线于，由可得，由勾股定理得，由平行四边形性质得，，进而得到，，，即可得到，，即得，由勾股定理即可求出的长，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，过点作的延长线于，则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 10. 如图，在边长为1的正方形中，连接，平分交于点E，F是边上一点，连接交于点G，，连接交于点H.在下列结论中：①；②；③；④，其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①④ C. ①②③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】利用正方形的性质证明，可判断①；通过证明，可判断②；利用全等三角形对应角相等，通过导角证明，可判断③；证明，推出，进而得出，再证，可判断④． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， 在和中， ， ， 故①正确； 在和中， ， ， ， 故②正确； ， ， ， ， ， ， ， 故③正确； ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， 故④正确； 综上可知，正确的有①②③④， 故选C． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质及判定等，有一定难度，综合应用上述知识点，熟练进行等量代换是解题的关键． 第II卷（非选择题，满分110分） 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围的确定，根据二次根式，分式有意义的条件及非零指数幂列出不等式，解不等式即可求解，熟练掌握二次根式，分式有意义的条件及非零指数幂的概念是解题的关键． 【详解】解：由题意得，且 ∴且， 故答案为：且． 12. 已知菱形的周长为，其相邻两内角的度数比为，此菱形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，含度角的直角三角形的性质；根据相邻两内角的度数比为：，可求出一个角，根据周长为，求出菱形的边长，根据直角三角形里角的性质求出高，从而求出面积． 【详解】解：作于点， 其相邻两内角的度数比为：， ， 菱形的周长为， ． ． 菱形的面积为：． 故答案为：． 13. 已知，则代数式的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，先将变形为，再将的值代入，即得答案． 【详解】， ， ， ， ． 故答案为：3． 14. 如图，矩形中，点E在的延长线上，且，，则__________°. 【答案】54 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，连接，根据矩形的性质得出，即可求出，进而可求出，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 【详解】解：连接，交于点O，如图， 四边形矩形， ，，， ， ， ， ， ， ，， ． 故答案为：54． 15. 如图，在矩形中，是上一点，是上一动点，连接取的中点F，连接，当线段取得最小值时，线段的长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，垂线段最短，取的中点，连接，易得：为的中位线，进而得到当时，最短，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：取的中点，连接，则：， ∵， ∴为的中点， ∵为的中点， ∴， ∴当最小时，最小， ∵为上一个动点， ∴当时，最小， ∵矩形， ∴， ∴当时，四边形为矩形， ∴， ∴； 故答案为：． 16. 如图，在两个一大一小的正方形拼成的图形中，小正方形的面积是10平方厘米，阴影部分的面积为______平方厘米． 【答案】5 【解析】 【分析】如图所示，连接FB，则△ABF与△BFC等底等高，所以这两个三角形的面积相等，二者都减去公共部分（△BFH）则剩下的面积仍然相等，即△HFC与△ABH面积相等，因此阴影部分就转化成了小正方形的一半，且阴影部分的面积已知，据此即可求出小正方形的面积． 【详解】解：如图所示，连接FB，则△ABF与△BFC等底等高，所以这两个三角形的面积相等，二者都减去公共部分（△BFH）则剩下的面积仍然相等，即△HFC与△ABH面积相等． ∴ 【点睛】本题考查等底等高的三角形面积相等，解答此题的关键是明白：阴影部分的面积就等于小正方形的面积的一半． 三、解答题（共86分） 17. 计算题： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算： （1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）先根据二次根式的乘法和除法法则运算，然后化简二次根式后合并即可； 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 若a，b为实数，且，，求的值 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，化简二次根式，代数式求值，先根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件求出，进而求出，据此代值计算即可． 【详解】解：∵二次根式要有意义， ∴， ∴， ∴， 又∵分式要有意义， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∴或， ∴的值为或． 19. 如图，在中，，是对角线上的两点，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：如图，连接交于点， 四边形是平行四边形， ，， ， ，即， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，连接交于点，由平行四边形的性质得到，，再证明，即可证明结论． 【详解】略 20. 如图，四边形中，，，、分别是、的中点，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，勾股定理，连接，根据三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线推知，再由等腰三角形的性质和平行线的性质求得，利用勾股定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵分别是的中点， ∴且， ∴， ∵，是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，在中，点D，E分别是边的中点，，交的延长线于点F，连接交于点O． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵点D，E分别是边的中点， ∴ 又∵ ∴四边形为平行四边形， ∴ （2）． 【解析】 【分析】（1）通过证明四边形为平行四边形，即可求解； （2）根据中位线的性质可得，，可得平行四边形为菱形，利用菱形的性质，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点D，E分别是边的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴平行四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 22. 如图，一艘轮船以每小时35海里的速度向东航行，在A处观测到在它的东北方向（北偏东）点C处有一艘捕渔船，2小时后轮船到达点B处，突然收到渔船的求救信号，此时观测到渔C位于点B的北偏东方向上． （1）求的度数； （2）轮船收到求救信号后，立即沿以每小时海里的速度赶往C处救援，那么轮船需多少小时赶到C处？ 【答案】（1） （2）轮船需小时赶到C处 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用．作垂线构造直角三角形是解题关键． （1）利用三角形的内角和定理即可求解； （2）在中由勾股定理求得，在中，利用含的直角三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知，，， ，， ∴， 在中，； 【小问2详解】 解：作于F， ∴， ∴， 在中，，由勾股定理得， ∴， 在中，∵， ∴， ∵， ∴轮船需小时赶到C处． 23. 已知，如图，四边形中，，点是的中点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，点是上的点，连接，把沿折叠，使点落在点处．当为直角三角形时，求的长度． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ，是的中点， ， ， ， ， 四边形为矩形； （2）或 【解析】 【分析】（1）直接根据三个角是直角的四边形是矩形进行证明即可； （2）分三种情况：当时，在上；当时，在上；当时，在上，分别进行讨论求解即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，在上，如图， ， ， 由折叠的性质可得， ， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， 当时，在上，此时四边形为正方形，如图： ， 当时，在上，此时，而， ∵斜边大于直角边， ∴不可能在边上， 综上，或． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、折叠的性质，熟练掌握矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、折叠的性质，用分类讨论的思想解题，是解此题的关键． 24. 如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长度； （3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵正方形， ∴， 作于P，于Q， ∴四边形为矩形，为等腰直角三角形，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质： （1）作于P，于Q，证明，即可； （2）勾股定理得到，进而得到为的中点，得到点F与C重合，矩形为正方形，即可得出结果； （3）分与的夹角为和与的夹角为，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2中，在中，， ∵， ∴， ∴为的中点， ∴， ∴点F与C重合，矩形为正方形， ∴． 【小问3详解】 解：①当与的夹角为时，点F在BC边上，， 则， 在四边形中，由四边形内角和定理得：， ②当与的夹角为时，点F在的延长线上，，如图3所示： ∵， ∴， 综上所述，或． 25. 如图，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为，点D为对角线的中点，点P是边上一动点，直线交边于点E． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若的面积与四边形的面积之比为，求点P的坐标； （3）设点Q是x轴上方平面内的一点，以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形，直接写出点Q的坐标． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ， ， 点D为对角线的中点， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形为平行四边形； （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）先证，推出，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明； （2）先求出，根据可得，进而可证，再求出的长即可； （3）分为对角线时、为对角线时、为对角线时三种情况，利用顶点坐标关系列式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：矩形中点B的坐标为， ，， ， 由（1）知， ， ， ， ， ，点D为对角线的中点， ， 中边上的高为3， ， ， 点P的坐标为； 【小问3详解】 解：由（2）知， ． 以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形时，设， 分三种情况： 当为对角线时，， ， ，， ，， ，， ； 当为对角线时，， ， 解得，（舍）， ， ，， ，， ，， ； 当为对角线时，， ， 解得， ， ，， ，， ，， ； 综上可知，点Q的坐标为或或． 【点睛】本题考查坐标与图形，矩形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，第三问有一定难度，注意分情况讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高坪中学2024年春季初2022级（初二）期中质量监测 数 学 试 卷 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题，满分40分） 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题的逆命题成立的是（ ） A. 矩形的对角线相等 B. 平行四边形的对角线互相平分 C. 菱形的对角线互相垂直 D. 正方形的对角线互相垂直且相等 5. 下列表达式中，y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，D是边上任意一点，过点D作于E，于F，则（ ） A. 3 B. 4 C. 4.8 D. 不能确定 7. 已知，则化简二次根式的正确结果是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，矩形的对角线相交于点．若，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，对角线相交于点，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在边长为1的正方形中，连接，平分交于点E，F是边上一点，连接交于点G，，连接交于点H.在下列结论中：①；②；③；④，其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①④ C. ①②③④ D. ②③④ 第II卷（非选择题，满分110分） 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 12. 已知菱形的周长为，其相邻两内角的度数比为，此菱形的面积为______． 13. 已知，则代数式的值是______． 14. 如图，矩形中，点E在的延长线上，且，，则__________°. 15. 如图，在矩形中，是上一点，是上一动点，连接取的中点F，连接，当线段取得最小值时，线段的长度是______． 16. 如图，在两个一大一小的正方形拼成的图形中，小正方形的面积是10平方厘米，阴影部分的面积为______平方厘米． 三、解答题（共86分） 17. 计算题： （1）； （2）． 18. 若a，b为实数，且，，求的值 19. 如图，在中，，是对角线上的两点，且．求证：四边形是平行四边形． 20. 如图，四边形中，，，、分别是、的中点，，求的长． 21. 如图，在中，点D，E分别是边的中点，，交的延长线于点F，连接交于点O． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 22. 如图，一艘轮船以每小时35海里的速度向东航行，在A处观测到在它的东北方向（北偏东）点C处有一艘捕渔船，2小时后轮船到达点B处，突然收到渔船的求救信号，此时观测到渔C位于点B的北偏东方向上． （1）求的度数； （2）轮船收到求救信号后，立即沿以每小时海里的速度赶往C处救援，那么轮船需多少小时赶到C处？ 23. 已知，如图，四边形中，，点是的中点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，点是上的点，连接，把沿折叠，使点落在点处．当为直角三角形时，求的长度． 24. 如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长度； （3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数． 25. 如图，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为，点D为对角线的中点，点P是边上一动点，直线交边于点E． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若的面积与四边形的面积之比为，求点P的坐标； （3）设点Q是x轴上方平面内的一点，以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形，直接写出点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $