精品解析：河南省安阳市文源高级中学2024-2025学年高三下学期模拟测试数学试题

绝密★启封前 2024—2025学年（下）高三年级模拟测试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合和，由集合的交集运算即可求解. 【详解】因为，所以，，所以， 所以. 故选：D. 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的几何意义可得出结论. 【详解】，故在复平面内对应的点为， 位于第一象限. 故选：A. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积的坐标公式计算求出的值，代入坐标，即可求其模长. 【详解】因为，所以，解得， 所以，则. 故选：B. 4. 下列函数中，是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由奇函数的定义组个判断各个选项即可得到答案. 【详解】A选项，函数定义域为，，函数不是奇函数，A选项错误； B选项，函数定义域为，，函数不是奇函数，B选项错误； A选项，函数定义域为，，函数是奇函数，C选项正确； D选项，函数定义域为，不关于原点对称，函数不是奇函数，D选项错误. 故选：C. 5. 记等差数列的前项和为，已知，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的性质计算． 【详解】设公差为，由等差数列的性质知， 所以，即，于是有. 故选：A． 6. 如图，在三棱柱中，点在棱上，且分别是棱的中点，点在棱上，若平面CDE，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在平面内，作，与DE交于点，连接CF，证明MFCN是平行四边形，根据梯形中位线可求MF长度，从而得到答案. 【详解】如图所示，在平面内，作，与DE交于点，连接CF，则，所以共面，因为∥平面CDE，由线面平行的性质知，所以MFCN是平行四边形，所以. 又是的中点，所以MF是梯形的中位线， 设，则，即， 所以，所以. 故选：B. 7. 已知抛物线的焦点为，点P，Q在的准线上且关于轴对称，，线段与分别相交于点，且，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出p的值，再作AN垂直的准线于点，由，解得，所以，即可求解． 【详解】解：如图所示： 设PQ与轴的交点为，则. 又， 即，解得， 所以. 作AN垂直的准线于点， 则， 解得， 所以， 所以的周长. 故选：C 8. 已知是定义域为的非常值函数，且，，是的导函数，且的定义域为．若设，，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取，得到函数的对称中心.令，求得，然后令，求得函数对称轴.由两个等量关系求出函数的周期，由求出.然后由函数的对称轴和对称中心得到其导数的对称中心和对称轴，同理由求出，然后写出切线方程. 【详解】令，则，则函数关于点中心对称， 令，则，则或， 当时，令，则，即，不合题意，舍去. 故，则令，即，即函数关于轴对称， ， 令，则，又∵， ∴，则， 即函数是周期为的周期函数， ∴， ∵函数关于点中心对称和轴对称， ∴导数关于对称和点中心对称， 同理可得， ∴， ∴切线方程为：，即. 故选：D 【点睛】关键点睛，本题有两个解题关键：（1）由对称轴和对称中心得到函数的周期；（2）由函数的对称中心和对称轴得到其导数的对称轴和对称中心. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知、是两个不同的平面，是一条直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用空间面面位置关系可判断A选项；利用面面垂直的判定定理可判断B选项；利用面面平行的性质可判断C选项；利用线面垂直的性质和线面平行的判定定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，，则或与相交，故A错误； 对于B选项，因为，，由面面垂直的判定定理可知，故B正确； 对于C选项，因为，，由面面平行的性质定理可知，故C正确； 对于D，若，则存在直线，使得， 因为，所以，又，所以，故D正确. 故选：BCD. 10. 数学与音乐有紧密的关联，每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数. 像我们平时听到的音乐不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音. 复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为f的基音的同时，其各部分，如二分之一，三分之一，四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如等，这些音叫谐音，因为振幅较小，我们一般不易单独听出来. 所以我们听到的声音的函数是，记，则（ ） A. 的最大值为 B. 在上单调递增 C. 周期为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用正弦函数性质得到和无法同时取得最大值判断A，利用正弦函数性质分别判断得，，的单调性求解B，利用周期性的定义求解C，利用导数结合分类讨论证明，再结合绝对值三角不等式放缩证明D即可. 【详解】对于A，， 若的最大值为，则和必须同时取得最大值， 由正弦函数性质得和无法同时取得最大值， 则的最大值不为，故A错误； 对于B，由题意得， 因为，所以，， 由正弦函数性质得，，在上单调递增， 由函数的性质得，多个增函数相加，结果一定是增函数， 得到在上单调递增，故B正确； 对于C，令， 而， ， ， 得到的周期为，故C正确； 对于D，欲证，则证即可， 令，而， ，则是偶函数， 则证当时，即可，此时， 当时，，， 故在上单调递减，得到 则成立，当时，同理可得成立， 综上，结合是偶函数，可得恒成立， 故 ， 则对于时，成立，故D正确. 故选：BCD. 11. 如图，正方体的棱长为1，点分别在棱，，上与端点不重合，过点作平面，垂足为，则下列说法正确的是（ ） A. 可能为直角三角形 B. 若为的外接圆的圆心，则三棱锥为正三棱锥 C. 若，则四面体的棱与面所成角的正弦值的集合是 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，结合余弦定理判断即可；对于B，由外心得到，再结合勾股定理说明，进而可判断，对于C，分类讨论以为定点，为定点的情况即可判断；对于D, 设，利用等体积法，结合正余弦定理、三角形面积公式、锥体体积公式化简即可判断. 【详解】对于A，设，其中， 所以， 由余弦定理得，所以为锐角，同理其它两角也是锐角，故A错误； 对于B， 因为为的外心，所以，再由平面， 结合勾股定理易知，又三个侧面都是直角三角形，易证全等， 所以，故三棱锥为正三棱锥，正确； 对于C，若棱在面内，则棱与面所成的角为0，正弦值为0； 若棱不在面内，考察侧棱与底面所成的角， 以为例，（一样），设，则， 则的面积为， 由等体积，三棱锥的体积, 所以，所以， 即以为顶点，为底面的三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为， 以或或为顶点的三棱锥的侧棱与底面所成角, 以点为例，（或一样），因为平面,所以与平面所成角为，正弦值为1， 由线面角的定义可知：为与平面所成角，易知，正弦值为， 所以四面体棱与面所成角的正弦值的集合是 故C正确； 对于D，若，又， 即， 所以， 则，即， 所以，即，D正确； 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：D选项，利用，即判断； 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲同学自进入高三以来，前四次数学考试的分数逐次递增，第一次的分数为116，第四次的分数为132，且中位数为120，则甲同学这四次数学考试的平均分为_______． 【答案】122 【解析】 【分析】利用中位数求出第二、第三次分数和，再利用平均数的定义计算得解. 【详解】设甲第二、第三次的分数分别为，由中位数为120，得，即， 所以甲同学这四次数学考试的平均分为. 故答案：122 13. 已知为奇函数，若与的图象有10个交点，设交点的横坐标从小到大依次为，则______________. 【答案】30 【解析】 【分析】根据奇函数的定义以及图像平移可知与的图像的交点关于点对称，结合对称性即可得结果. 【详解】因为为奇函数，所以的图象关于原点对称， 又的图象可由的图象向右平移3个单位长度得到， 所以的图象关于点对称. 又的图象也关于点对称， 所以与的图象的交点关于点对称， 所以， 故. 故答案为：30. 14. 记，若，则实数_______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二倍角的正切公式裂项变换，再求和比对即可得解. 【详解】当均不为0时，由，得， 由，因此 ，即，所以. 故答案为：8 【点睛】关键点点睛：将二倍角的正切公式取倒数变形，利用裂项相消法求和是求解问题的关键. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若为的中点，且的长为2，求的最大值，并求此时的值． 【答案】（1）； （2）的最大值为8，. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解； （2）利用余弦定理，结合基本不等式求出最大值，进而求出值. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理得，， 由余弦定理得，而， 所以. 【小问2详解】 在中，由余弦定理得，， 则，即，当且仅当时取等号， 此时，所以的最大值为8，. 16. 已知椭圆，离心率为，且过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线与椭圆交于、两点，坐标原点到直线的距离为，求面积最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件列关于的方程，解方程求由此可得椭圆方程； （2）当直线的斜率不存在时，求的长，再求的面积，当直线的斜率存在时，设其方程为，联立方程组，结合设而不求法求弦长，再求面积解析式，再求最大值即可. 【小问1详解】 因为椭圆的离心率为， 所以， 因为椭圆过点， 所以， 所以，， 所以椭圆的标准方程为：； 【小问2详解】 若直线的斜率不存在，则直线的方程为或， 若直线的方程为，联立可得，， 所以， 所以的面积为， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 因为坐标原点到直线的距离为，所以， ， 联立，可得， 方程的判别式 ， 设，， 则为方程的两个根， 所以， 所以， 即， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以， 所以面积最大值为. 综上，当直线方程为或时，面积取最大值，最大值为. 17. 如图，一个直三棱柱和一个正四棱锥组合而成的几何体中，. （1）证明：平面平面； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求正四棱锥的高. 【答案】（1）证明如下： 在直三棱柱中，平面， 又平面. 又平面， 平面.又平面， 平面平面. （2）2或 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质得到，结合并利用线面垂直的判定定理得到线面垂直，再利用面面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，利用平面夹角的向量求法建立方程，求解所求高即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以A为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则. 设正四棱锥高为h，则， 故， 设平面的一个法向量为. 则，即， 取，则. 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则，故， 设平面与平面夹角为， 则，解得或. 所以正四棱锥的高为2或. 18. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线平行于直线．求； （2）若且函数只有一个极值点.求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义列方程求解即可； （2）化简得，根据和分类讨论单调性，时，在上单调的递增，不存在极值；时，利用导数研究其单调性，结合极值点的定义即可求解； （3）参变分离得，设，则，同构后换元，利用导数法求得的最小值为0，即可求解， 【小问1详解】 由题意，得，则， 由题意，解得； 【小问2详解】 当时，， ， 令，则， 当时，，则在上单调的递增，所以函数不存在极值； 当时，令即，得，令， 则恒成立，则在上单调的递增，又，，所以存在唯一的，使得， 当时，，即，所以函数单调递减， 当时，，即，所以函数单调递增， 所以仅在处取到极小值，符合题意. 综上，函数只有一个极值点时，实数的取值范围为. 【小问3详解】 由，参变分离得，设，则，因为，所以， 令，因为，所以，设，则，， 当时，，为减函数， 当时，，为增函数， 所以，即的最小值为0，即，所以，即，故实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 19. 在一个足够大的不透明袋中进行一个轮摸球试验，规则如下：每一轮试验时，袋中均有红、黑、白三种颜色的球，从中随机摸出一个球（摸出的球不再放回），若摸出红球．则试验成功；若摸出白球，则试验失败；若摸出黑球，则进入判定环节：判定时，放回两个黑球取出一个白球，再从中随机摸出一个球，若为白球则试验失败，否则试验成功．若试验成功，则结束试验，若试验失败，则进行下一轮试验，直至成功或轮试验进行完．已知第轮试验开始时，袋中有1个红球，个黑球，个白球． （1）求第1轮试验成功的概率； （2）某团队对这个试验进行了一定的研究，请若干志愿者进行了5轮试验，并记录了第轮试验成功志愿者的比例，记，发现与线性相关，求关于的经验回归方程，并预测试验轮数足够大时，试验成功志愿者的比例； （3）记试验结束时，试验成功的概率为，证明：． 参考数据：． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 【答案】（1） （2） （3） 依题意，轮试验失败的概率为，设第轮试验失败的概率为， 则，发生有两种可能，直接摸出白球，概率为， 或者摸出黑球后再摸出白球，概率为， 所以， 则， 因此. 【解析】 【分析】（1）按照试验规则，分别求出直接摸出红球和先摸出黑球且试验成功的概率，然后利用互斥事件概率加法公式求解即可； （2）先根据给定的回归方程相关公式计算出，从而求出经验回归方程，再根据试验轮数足够大时x的变化趋势预测试验成功志愿者的比例； （3）通过对试验成功概率的递推关系进行分析，利用放缩法证明即可. 【小问1详解】 第1轮试验中有1个红球，1个黑球，2个白球， 摸出红球，即试验成功的概率为， 摸出黑球且试验成功的概率为， 所以第1轮试验成功的概率为； 【小问2详解】 ， 所以，则所求经验回归方程为， 当试验轮数足够大，即足够大时，x接近于0，则y接近于， 故预测成功志愿者的比例为； 【小问3详解】 略. 【点睛】关键点点睛：（3）解答的关键在于求出试验失败的概率，然后利用乘法公式及对立事件的概率公式求出试验成功的概率，利用放缩法证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启封前 2024—2025学年（下）高三年级模拟测试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 记等差数列的前项和为，已知，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 如图，在三棱柱中，点在棱上，且分别是棱的中点，点在棱上，若平面CDE，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线的焦点为，点P，Q在的准线上且关于轴对称，，线段与分别相交于点，且，则的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义域为的非常值函数，且，，是的导函数，且的定义域为．若设，，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知、是两个不同的平面，是一条直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 10. 数学与音乐有紧密的关联，每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数. 像我们平时听到的音乐不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音. 复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为f的基音的同时，其各部分，如二分之一，三分之一，四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如等，这些音叫谐音，因为振幅较小，我们一般不易单独听出来. 所以我们听到的声音的函数是，记，则（ ） A. 的最大值为 B. 在上单调递增 C. 的周期为 D. 11. 如图，正方体的棱长为1，点分别在棱，，上与端点不重合，过点作平面，垂足为，则下列说法正确的是（ ） A. 可能为直角三角形 B. 若为的外接圆的圆心，则三棱锥为正三棱锥 C. 若，则四面体的棱与面所成角的正弦值的集合是 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲同学自进入高三以来，前四次数学考试的分数逐次递增，第一次的分数为116，第四次的分数为132，且中位数为120，则甲同学这四次数学考试的平均分为_______． 13. 已知为奇函数，若与的图象有10个交点，设交点的横坐标从小到大依次为，则______________. 14. 记，若，则实数_______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若为的中点，且的长为2，求的最大值，并求此时的值． 16. 已知椭圆，离心率为，且过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线与椭圆交于、两点，坐标原点到直线的距离为，求面积最大值. 17. 如图，一个直三棱柱和一个正四棱锥组合而成的几何体中，. （1）证明：平面平面； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求正四棱锥的高. 18. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线平行于直线．求； （2）若且函数只有一个极值点.求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围． 19. 在一个足够大的不透明袋中进行一个轮摸球试验，规则如下：每一轮试验时，袋中均有红、黑、白三种颜色的球，从中随机摸出一个球（摸出的球不再放回），若摸出红球．则试验成功；若摸出白球，则试验失败；若摸出黑球，则进入判定环节：判定时，放回两个黑球取出一个白球，再从中随机摸出一个球，若为白球则试验失败，否则试验成功．若试验成功，则结束试验，若试验失败，则进行下一轮试验，直至成功或轮试验进行完．已知第轮试验开始时，袋中有1个红球，个黑球，个白球． （1）求第1轮试验成功的概率； （2）某团队对这个试验进行了一定的研究，请若干志愿者进行了5轮试验，并记录了第轮试验成功志愿者的比例，记，发现与线性相关，求关于的经验回归方程，并预测试验轮数足够大时，试验成功志愿者的比例； （3）记试验结束时，试验成功的概率为，证明：． 参考数据：． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $