2025届湖南省高三九校联盟第二次联考数学试卷

湖南省2025届高三九校联盟第二次联考 数 学 由 常德市一中长沙市一中湖南师大附中双峰县一中 桑植县一中武冈市一中湘潭市一中岳阳市一中株洲市二中 联合命题 炎德文化审校、制作 命题学校:桑植县一中审题学校:湖南师大附中 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合,则( ) A. B. C. D. 2.设为虚数单位,则( ) A.5 B. C. D. 3.已知抛物线,则抛物线的焦点到准线的距离为( ) A. B. C.8 D.16 4.如图,在中,点是线段上靠近点的三等分点,过点的直线分别交直线于点.设,则的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.在平面直角坐标系中,为角的终边上一点,将角的终边绕原点按顺时针方向旋转后得到角,则的值为( ) A. B. C. D. 6.欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数,且与互素的正整数的个数,例如:,现将的函数值排成一列,则组成的不同五位数的个数为( ) A.60 B.30 C.15 D.120 7.若直线与圆交于两点,则的取值不可能为( ) A. B.3 C. D.4 8.对于满足一定条件的连续函数,若存在一个点,使得,那么我们称为“不动点”函数.若存在个点,满足,则称为“型不动点”函数,则下列函数中为“3型不动点”函数的是( ) A. B. C. D. 二、选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.若,则下列结论正确的有( ) A. B.数据的30%分位数为5 C.数据的标准差为3 D.若,随机变量,则 10.阅读材料:在空间直角坐标系中,过点且一个法向量为,不全为零)的平面的方程为.根据阅读材料,解决问题:已知,则( ) A.直线与平面所成角的正弦值为1 B.三棱锥的体积为 C.平面的方程为 D.在上的投影向量的坐标为 11.已知函数及其导函数的定义域均为,设,且0,若,则( ) A. B. C. D. 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 12.已知为等差数列的前项和,若,则 . 13.蒙日是法国著名的数学家,他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆,这个圆被称为“蒙日圆”,且其方程为.已知椭圆的焦点在轴上,为椭圆上任意两点,动点在直线上.若恒为锐角,根据蒙日圆的相关知识,则椭圆离心率的取值范围为 . 14.2021年小米重新设计了自己的品牌形象.新旧图像如图所示,旧logo是一个正方形,新logo可看作一个直径为边长的一半的圆在原正方形中运动,保留它运动过程覆盖的区域就是新logo.类比推理,现有一个棱长为2的正方体,一个直径为1的球在正方体内部滚动,将该球可到达的区域保留,不可到达的区域割去,得到一个几何体,我们称之为“小米正方体”,则“小米正方体”的体积为 . 四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分13分) 在中,角所对的边分别为,且满足. (1)求角的大小； (2)若,且的面积为,求的值. 16. (本小题满分15分) 如图,四边形是边长为5的正方形,半圆面平面,点为半圆弧上一动点(点与点不重合). (1)求证:； (2)当点为半圆弧上靠近点的三等分点时,求二面角的正弦值. 17.(本小题满分15分) 高三某班为缓解学生高考压力,班委会决定在周班会课上进行“听音乐、猜歌名”的趣味游戏比赛,现将全班学生分为9组,每组5人,剩余的学生做裁判.比赛规则如下:比赛共分为两轮,第一轮比赛中9个小组分三场进行比赛,每场比赛有3个小组参加,在规定的时间内猜对歌名最多的小组获胜,获胜的三个小组进入第二轮比赛,第二轮进行一场比赛,选出获胜队伍.已知甲、乙、丙3个小组的学生能成功猜对歌名的概率分别为. (1)现从乙组中任选一名学生进行歌曲试猜,记5首歌曲中猜对的歌曲数为,求随机变量的数学期望; (2)若从甲、乙、丙3个小组中任选一名学生参加猜歌游戏,求该学生猜对歌曲的概率； (3)若第二轮比赛中丁、戊两组并列第一,则设置以下游戏决定最终获胜的小组,游戏规则如下:从丁、戊小组中任选一名代表,从装有3个白球和2个红球的不透明的盒子中有放回地随机摸出一个球,摸出白球记1分,摸出红球记2分,以0分开始计分,恰好获得10分或11分则结束摸球.若该代表获得10分,则该代表所在小组获得胜利,否则另外一组获得胜利.若该代表来自丁组,试估计丁组获胜的概率. 18.(本小题满分17分) 已知直线与双曲线及其渐近线分别交于点和点. (1)求实数的取值范围； (2)证明:； (3)若,过双曲线上一点向双曲线作切线,其斜率分别为,,问是否存在这样的,使得为定值?若存在,求出的值及定值;若不存在,请说明理由. 19.(本小题满分17分) 若函数的图象有公共点,且在公共点处的切线相同,则称该公共点为函数与的一个“公切点”. (1)若函数与存在“公切点”,求实数的值； (2)设函数,直线是曲线在点处的切线.求证:直线不经过点(1,0); (3)已知函数,对任意,判断是否存在,使函数与在区间内存在“公切点”?并说明理由. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$湖南省2025届高三九校联盟第二次联考 数学参考答案 命題学校：桑植县一中审题学校：湖南师大附中 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B c C D B A D 1.C【解析】由已知，集合A={x|-1<x<3},集合B={y∈Zy=2}=(1,2,4,8,16,…},则A∩B={1,2}. 故选C 2.B1 解标-骨-5.故选B 3.C【解析】已知抛物线y=百r,化为标准形式为正=16y,则抛物线的焦点到准线的距离为=8，故选C 4.C【解析】：A心=AB+Bò=A+号B心=A+号(A心-A)=号A范+号A花，又A=mAM,AC=nA, Aò=i+号A,M,N,0三点共线，+号=1,2m十n=3.故选C 5.D【解析】因为P(3,4)为角女的终边上一点，则tana=弓，将角a的终边绕原点0按顺时针方向旋转受后得 sin(a-2) 固到角B.所以=。一受则tamp=ane广受)P -cos a=- 1=- cos(a-受) sin a tan a 导故选D 6.B【解析】由题知p(2)=1.g(1)=2,p(6)=2,p(8)=4,p(10)=4,可组成五位数的个数为n A暖A=30,故 选B. 7.A【解析】直线l的方程可化为m(x十y十1)十2x一v一1=0，联立 1十十10。解得01，即直线L过定点D(0,:),且不含直线x+y+1 2x-y-1=0,1 0,显然当直线过圆心时，|AB引m=4:当直线与过D(0,一1)且与CD垂直时， |AB引m=2√4-2=2√2，但此时直线AB为x卜y十1=0，不合题意，所以2√2< |AB|≤4，故选A. 8.D【解析】对于A,令f(x)=1ln.r=,以x>0),即x+十lnx一1=0. 因为y=x十lnx一1在区问(0，T)上单调递增， x+y+1=0 所以f(x)=1一lnx不可能为“3型不动点”函数，故A错误； 对于B,令f(x)=5lnx-er=x(x>0),即x+lnx十er-5=0. 因为y=x十lnx十e-5在区间(0，十o∞)上单调递增， 所以f(x)=5一lnx一e不可能为“3型不动，点”函数，故B错误： 对于C,法一：易知f(x)的定义域为{xx≠0}，f(x)不是连续函数，故f(x)不满足“n型不动点”函数的定义， 故C错误； 法=：由=得f-4二， 士2 易知当x<0时，f(x)<0,f(x)单调递减，当x→-，fx)+0,且f(x)<0, 所以当<0时，)=二的图象与宜了=x有且只有产个交成： 当0<x<1时，f(x)<0,f(x)单调递减；当x>1时，f(x)>0,f(x)单调递增. 令f()=1,得4=c二=1，解得x=2,此时f代2)=2， x 所以直线y=x与由线)=二相切于点2,2》。 所以直线y=x与曲线y=二共有两个交点， 所以fx)=如二为2型不动，点”画数，故C错误； 对于D,f(x)=2sinx+2cosx=2Esin(x+牙)， 作出f(x)的图象，如图所示， y=2.2sin() 易知其与直线y=x有且只有三个不同的交点，即2sinx十2cosx=x有三个不同的解， 所以f(x)=2sin.r卜2osr为“3型不动点”函数，故D正确.故选D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 ACD () ACD 9.ACD【解析】令x=0,则ao宁1，故A正确； a=1,a1=5,a2=10,a3=10,a1=5,a5=1.数据按从小到大顺序排列为1,1,5,5,10,10，故30%分位数为第二 个数1，故B错误；答案发布QQ群：1032482806 由数据为2,5,10,10,5,4，则平均数为6，方差为9，标准差为3，故C正确； 由2，=32,4=32，则XN(320,得P(X50)=P(X>32+18)=P(X<32:-18)=P(X<14)=言故 =0 D正确.故选ACD 10.CD【解析】由题意知，若直线AB与平面ACD所成角的正弦值为1，则直线AB⊥平面ACD. AB=(-2,N2,0),AC=(-1,N2,0),AB·AC≠0，故A错误； Vem=Voc,又A,B,C三点率在0平面.上，易得Sx-号高为点D的坠坐标号 则Ve=号×号×号-，tB错误： 店=(-22,0，市-号，号，号》则平面ABD的-个法向量为n=(1厄. 所以平面ABD的方程为(x一2)十√2y十V3x=0,化简得x十V瓦y十3x一2-0，故C正确； 芯在上的报影向主为西·需一（一2WE,0,放D正角故选CD 11.ACD【解析】法一：令x=1,y=一1，得g(0)=g(2)g(0),因为g(0)>0,所以g(2)=1,h(2)=4, 令x=0,得g(1)=g(1)g(y十1)，所以g(1)=0或g(y十1)=1. 若g(y十1)=1，则h(y十1)=0，而h(2)=4,所以g(1)-0,A项正确； 令x=一1，y=一1，得g(2)=g(0)g(0)=1,则g(0)=1. 令y=一1，得g(1一x)=g(0)g(1十x),即g(1一x)=g(1十x),即g(x)的图象关于直线x=1对称， 所以h(x)的图象关于点(1,0)对称，无法判断f(x)的图象是否关于点(1,0)对称，B项错误，C项正确； 因为h(x)的图象关于点(1,0)对称，所以h(0)十h(2)=h(一1)十h(3)=h(-2)+h(4)=…=h(-2023)+ h(2025)=0,所以登h()=0,D项正确.故选ACD. =-2023 法二：构造函数g(x)=(x-1),则有h(x)=4(x-1),fx)=号(x-1)+C,代入验证有g(1)=0,A正确； h(1)=0,C正确；f1)=C,不一定等于0，B错误； h(x)关于点(1,0)对称，故h(0)+h(2)=h(一1)十h(3)==h(一2023)+h(2025)=0, 所以罗。A)=0D豆境，故达ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 2590【解析设等差数列{a,的公差为d,由题知2a十201十，解得8，所以a.=3m-2 l3(a1+d)+(a1+4d)=25, a0=58,S0-20a1,+am2-201,+581-590. 2 2 18(o,平）【解析】由题m>2,国2+y=2十m即为精圆需+兰-1的参日国，由A,B为箱国C:若+芝 =1上任意两，点，动点P满足∠APB恒为锐角，得点P在圆x2十y2=2十m外，又动点P在直线x一√5y一8 =0上，因此直线x一√3y一8=0与圆x2十y2=2十m相离，则 -81 >√2+m,得2<m<14,则e 12+(-√3)7 =”m=1-只∈(0，号)解件(0，平)，所以精国C的离心率的取值范国为(0，受) 14是x十4【解卷比会新工以知遵装产正方体内部运动，“小来正方体”的8个角合在一起刚好是一个直 案发布QQ群：1032482806 径为正方体棱长一半的球体，12条棱除开小球部分，余下的刚好可以组成与球半径相同且高为正方体校长一 半的三个圆柱休，剩余部分是个类似十字的几何体，可算得该几何体体积为4，所以“小米正方体”的体积为 号X(侵)广+3×x×(侵》°×1+4=是x+4 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.【解析】(1)W3 ccos B+√3 bcos C=2 acos A, 由正弦定理得3 sin Ccos B十√3 sin Bcos C=-2 sin Acos A,… (2分) sin Ccos B++sin Bcos C=sin(33+G)=sin(-A)=sin A, 所以√3sinA=2 sin Acos A, (4分) 又国为sinA≠0，所以c0sA=号，又A∈(0，x),则A=吾， (6分) (2)国为5ce=号6 csin A-=33,解得bc=123. (7分) 由余孩定理得a2=+e2-2 abccosA,即(2w5)》2=+-2X123X号，化简得6+=48，…(8分) b+c=F+c2+26c=√48+245=√12(4+25)=V12(1+3)7=6+23.…(10分) 由正孩定理得品A品Bc4。 43 sin C=c 所以sinB=b I' (12分) sinB+sinC=+=6+23=3+1 (13分) 4315 2 16.【解析】(1)因为点P为半圆孤AD上（不含A,D点）一动点，所以PDLAP,…(1分) 由底面ABCD为正方形，知AB⊥AD, 因为半圆面APD⊥底面ABCD,平面APD∩平面ABCD=AD,ABC平面ABCD, 所以AB⊥平面PAD,…(3分） 叉DPC平面PAD,所以ABIPD,…(4分) 因为PD⊥AP,AP∩AB=A,AP,ABC平面PAB, 所以PD平面PAB,… (5分) 又PBC平面PAB,所以PD LPB.…(6分) (2)如图，以D为原点，DA,DC分别为x轴，y轴，过点D且垂直于平面 ABCD的直线为之抽建立空间直角坐标系， 当点P为半圆孤AD上靠近点D的三等分点时，∠PAD=30°，…(7分) 由四边形ABCD是边长为5的正方形， 可得D0,00,B(5,50,A(50,0,P(年，0,5)， …(8分） 数学试题参考荟案一3 D=(年，0,5)Di=(5,50, 平面ABD的一个法向量为n=(0,0,1). (9分) 设平面PBD的法向量为m=(x,y,z), 则m…D驴-号x+5y9 x=0取x=3,得m=(W3,-3,-1, (11分) m.D克=5x+5y=0, 所以6cosm,)==-号， 1×7 (13分) 设二面角A-BD-P的平面角大小为0，则1cos8l=|c0s(m,m=牙， 由平方关系可得，in0=V小c=平 71 …（14分) 所以当点P为半国孤AD上靠近点D的三等分点时，二面角A-BD-P的正弦值为巫 7 …（15分) 17.【解析】(1)法一：根据题意可知，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5， PxoG(》”1-》广=zPX=1=C·(八·(1-是》广=品 …(们分） Px=2)=C·()°·(-)'=PX=3)=C(八·(1-)°=器， (2分) Px=0=C·(八(}广=，PX==g(保}广·(-)”-器， (3分) 所以ECX0=0X+1X品+×能+3人5器+4X器+5×器-只 (4分) 法二：根据题意可知，随机变量X一B(6,是）， …（3分) 随机变量X的载学期望()=5×号-只 …（4分） (2)记事件A1,A2,A,分别表示该学生来自甲、乙、丙组，事件B表示该同学能猜对， PA)=PA)=PA,)=专，P(BlA)=号，P(B1A)=,P(BlA)=吾， …(7分) 由全概率公式可得： P(B)=PA,P(BlA)+PCA:)P(BIA.PCA)P(BIA)=号X号+号X是+号×普-， 所以这学生猪对餐由的棍争为器 …（9分） 答案发布QQ群：1032482806 (3)法一：曲道意可知积分增加1分的概率为号，增加2分的概率为号， (10分) 记得分为n的概率为P,易得R=号，P:=是×号+号-是 …(11分） R.=是2-1十号p>3R.-P-1=-号P-1-Pm≥3，…（12分） 又P-B=务 数列P1一P,}是以结为首项，一号为公比的等比数列， aP1-R=元×（←）， （13分) ∴Po=P+(P2-P)+(Pa-P2)+…+(P1o-P) =是+×-号)°+岩×(-)八++元×(-号)川 -号+培--+x0+门-号+×-身+5×得r 1+号 数学试题参考答案一4 所以，T组我胜的概净为号十号X(停)”.… (15分) 法二：丁组要恰好获得10分，可以将丁组代表摸球的情况分为六类： 第一类：连续接5次，恰好10分，记为事件C,则其概率为P=(号)； 第二夹：连续接6次，格好10分，记为事件D,则共概率为P。=C(得)广（号}， 第三夹：连续接7次，恰好10分，记为事件E,则共概率为P=C(停)'（停广， …(11分） 第回类：连续接8次，恰好10分，记为事件F,则共概率为P=C(号)'（停）： 第五类：连块模9次，恰好10分，记为率件C,则其概率为P。=C(号)'（停）广， 第交类连续楼10次伦好10分，记为事件H,则共概率为Pm=(号)”。 …(13分) 答案发布QQ群：1032482806 因此，丁组获得胜利的概率为P=Pe十PD十Pe十Pe十Pc十PH =(号)°+()广()+c(号)()+()()°+c()'(停)°+()” -号号×得)” … (15分) -上=1 18.【解析(1)联立m3 y=x+1, 消去y得(3-m)x2-2mx4m=0, …(1分) m>0, 则由题意有{3一m≠0， (2分) 4m2+16m(3-i).0, 解得0<m<3或3<m+. ee40t00+0t44e40400…t0444040440040t04040 (4分) (2)证明：设A(x1,M),B(x2,y2),由韦达定理可知x1十x2= 2m 3-m·x2 3一m (5分) 设AB的中点为E,则有=写nm, 从而%=+1=32中(30n32n》 …(6分) 又双曲线的浙近线方程为y=壬，联立少二奖 √m’可得x= √m √3-m y=x+1, 中c后酒后a同叫后没后 (8分) 从而CD的中点为(gnm'33n),即AB与CD的中点重合， 则有AE=EB,CE=ED,即AC=BD. (9分) (3)设过点P(为)且与双由线N:专-芳=以相切的直线方程为y一为=k(x一，即y=kx十为一如， 可得(3-2k2)x2-4k(为kx3)x-2(为-kx)2-6=0,… (11分) y=kx十为一kx3, 由题意可知，3-2k2≠0，且△=16k2(y为一kx3)2+4(3-2k2)[2(为一k3)2+6以]=0， 化简得(y3一kx3)2十入(3-2k2)=0,即(x号一2)k2一2x3y为k十y十31=0，…(13分) 又由题意可知k1,k2为方程(x号一2以)k2一2x为k十十3以=0的两根， 则号-2A≠0，①41=4x号-4(x号-2)(y号+3x)>0,② 从而有·=当针3 3(停-1+3_34-6+6融】 x3-2A x号-2 2x3-4 (15分) 数学诚题参考答案一5 若私为完值，则有号=一站，化商得X=子此时=是， -4λ 但此时41=4片-4(5-1)(+2)=-2(3-2)+6=-6<0，这与②矛盾， 所以不存在这样的入，使得1·：为定值.（说明：若求出入=号，通过画图说明不存在也给分） …(17分) 19.【解析】(1)设(x0,%)是函数f八x),g(x)的“公切点”， 则有f(x0)=g(x0)且(x0)=g(x0),… (1分) fx）=2mx,g）=2 (2分) (mxo=In xo, 2m=,解得n==et, (3分) 11 m=2病-2e 经检脸，当m=云时x=e2满足题意， :m=立e (5分) (2)f(x)=x-1十klnx(k≠0)， x)=1+冬，直线1的斜率为1+点， (6分) 则直线1的方程为y一f八0中(1+会）}z一小.… 7分) 将点(1,0)代入有-f)=(h+)1-0,t1,即f)=1+)-1),>1. 即-1+nt=(1+)-1).>1,即n=-1,>1, :k≠0，h=(>1),即n-1+是=0(>1)，… (9分) 令F)=n-1+2(公1)， 假设直线l经过点(1,0)，则F()在区间(1，十·)上存在零点， 由FW=片-=学>0>1》.FW在区间1，十o∞)上单满递增，…（0分) .F(t)>F(1)=0, F()在区间(1，十∞)上无零点， 鑫柒餐无唐解北》6提过点1，o叭 (11分) (3)f八x)=x2+a,g(.c)=g f%x)=2x,gx)=b1-2, (12分) e 由f(x)=g(x)且f(x)=g'(x), +a=g,① 得 (13分) 2x=b=2,② ①除以②整理得x3十x2十ax一a=0, 设h(x)=x3十x2十ax-a(a>0),…(14分） :h(0)=一a<0,h(1)=2>0,且h(x)的图象连续不断， 所以存在20∈(0,1)，使得h(x0)=0,… (15分) 则a=5十蓝，代入①式得6=>0，…（☑6分 1-x0 此时，zo,a,b满足方程组，即(zo,f(z0)是函数f(x)与g(x)在区间(0,1)内的一个“公切，点”. 因此，对任意a>0,存在b>0,使函数f八x)与g(x)在区间(0，十∞)内存在“公切点”. 17分) 数学试题参考答案一6