精品解析：河南省许昌市襄城县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年第一学期期末教学质量检测 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 点关于x轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围一块三角形空地，现已连接好三段篱笆 ， ，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆可分别绕轴和转动．若要围成一个三角形的空地，则在篱笆 上接上新的篱笆的长度可以为（ ） A. B. C. D. 4. 计算：（ ） A. B. C. D. 5. 若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 根据分式的基本性质，分式可变形为（ ） A. B. C. D. 7. 的相反数是（　　） A. B. 6 C. D. 8. 如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动， 点固定，，点， 可在槽中滑动，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是 的角平分线， ，垂足为E，，， ，则 长为（    ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 10. 若多项式是完全平方式，则的值为（ ） A. B. 4 C. 2 D. 5或1 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图所示，第四套人民币中菊花1角硬币．则该硬币边缘镌刻的正九边形的一个外角的度数为______． 12. 因式分解：________． 13. 如图，在 和中，，，若要用“斜边、直角边（）”直接证明，则还需补充哪一对边相等：________． 14. 已知满足，则以的值为两边长的等腰三角形的周长是_____． 15. 若关于x的一元一次不等式组有解且最多有3个整数解，且使关于y的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是______． 三、解答题（共75分） 16. 如图， 是 的高线，E为 边上的一点，连接交 于点F，． （1）求的度数； （2）若平分，求的度数． 17. 如图，在 中， 为 的角平分线．以点 圆心，长为半径画弧，与 分别交于点，连接． （1）求证： ； （2）若 ，求的度数． 18. 如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出 关于轴的对称图形并分别写出对应点，，的坐标； （2）求的面积． 19. 如图，在 中，平分， 于点 ，过点 作 交 于点． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求证： ． 20. 已知，． （1）直接写出结果：__________； （2）求的值； （3）利用乘法公式计算：的值． 21. “冬吃萝卜夏吃姜，不劳医生开药方”，冬季吃萝卜好处多．某蔬菜批发店销售圆萝卜和长萝卜，已知圆萝卜每箱售价是长萝卜每箱售价的2倍，销售600元的圆萝卜箱数比销售400元的长萝卜箱数要少5箱． （1）求圆萝卜和长萝卜每箱售价分别为多少元？ （2）该蔬菜批发店11月第一周销售圆萝卜200箱，长萝卜300箱．第二周该店调整价格，圆萝卜打折销售，长萝卜售价不变，结果第二周圆萝卜的销量比上周增加了 ，长萝卜的销量比上周减少了50箱，最后发现第二周的销售总金额比第一周的销售总金额少了840元，请问圆萝卜打了几折？ 22. 《义务教育数学课程标准（2022年版）》关于运算能力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力． 因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法—拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式转化为已学过的知识进行分解． 例题：用拆项补项法分解因式 解：添加两项 原式 请你结合自己的思考和理解完成下列各题： （1）分解因式：； （2）分解因式：． 23. 如果两个实数 使得关于 的分式方程的解是成立，那么我们就把实数 组成的数对称为关于 的分式方程的一个“关联数对”，如：，使得关于 的分式方程的解是成立，所以数对就是关于 的分式方程的一个“关联数对”． （1）下列数对为关于 的分式方程的“关联数对”的有________（填序号）； ；； （2）若数对是关于 的分式方程的“关联数对”，求的值； （3）若数对（且，）是关于 的分式方程的“关联数对”，且关于 的方程有整数解，求整数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期末教学质量检测 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，故此选项正确； D、不是轴对称图形，故此选项错误． 故选C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 点关于x轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标，掌握关于x轴对称的点的坐标横坐标相同，纵坐标互为相反数．根据关于x轴对称的点的坐标特征求解即可． 【详解】解：点关于x轴的对称点的坐标为， 故选：A． 3. 为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围一块三角形空地，现已连接好三段篱笆 ， ，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆可分别绕轴和转动．若要围成一个三角形的空地，则在篱笆 上接上新的篱笆的长度可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，利用三边关系确定第三边的取值范围，设在篱笆 上接上新的篱笆长度为 ，由，求出 的取值范围，即可解答． 【详解】解：设在篱笆 上接上新的篱笆长度为 ， 根据题意得：， ，即， 在篱笆 上接上新的篱笆的长度可以为， 故选：D． 4. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方运算法则，正确运用运算法则运算是关键． 先用积的乘方运算法则得，再利用幂的乘方运算得结果为． 【详解】， ∴选项A、B、C错误，选项D正确． 故选D． 5. 若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式中分母不能为0， 依据分母不能为0即可解答． 【详解】解： 代数式有意义， ， 解得：， 故选：B． 6. 根据分式的基本性质，分式可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查的是分式的性质，将负号提出不影响分式的值．利用分式的性质即可求得答案． 【详解】解：， 故选：C． 7. 的相反数是（　　） A. B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，相反数的定义，即只有符号不同的两个数互为相反数，根据负整数指数幂和相反数的定义解答即可． 【详解】解：的相反数是． 故选：C． 8. 如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动， 点固定，，点， 可在槽中滑动，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质．先根据等边对等角求出，再由三角形外角性质求得，最后由三角形外角性质列式计算即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，即， 故选：A． 9. 如图，是 的角平分线， ，垂足为E，，， ，则 长为（    ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点D作于点F，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式可求出 的面积，即可求出的面积，即可求出答案． 【详解】解：过D作于F， 是 的角平分线， ，， ， ， 的面积为9， 的面积为， ， ， ， 故选：B． 10. 若多项式是完全平方式，则的值为（ ） A. B. 4 C. 2 D. 5或1 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项列式即可确定出k值，根据乘积二倍项确定出这两个数是解题的关键． 【详解】∵是完全平方式， ∴， 解得 或， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图所示，第四套人民币中菊花1角硬币．则该硬币边缘镌刻的正九边形的一个外角的度数为______． 【答案】＃＃40度 【解析】 【分析】利用外角和除以外角的个数即可得到答案． 【详解】解：正九边形的一个外角的度数为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了求正多边形每一个外角的度数，正确理解多边形外角和为，及正多边形的外角个数与边的条数相同，所有外角均相等是解题的关键． 12. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【详解】 ． 故答案为：． 13. 如图，在 和中，，，若要用“斜边、直角边（）”直接证明，则还需补充哪一对边相等：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有 ，， ， ，，题目比较典型，难度适中． 根据直角三角形的全等判定解答即可． 【详解】解：补充， 在和中， ， ∴， 故答案为：． 14. 已知满足，则以的值为两边长的等腰三角形的周长是_____． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，几个非负数的和为零，则这几个数都为零，三角形三边关系，等腰三角形的性质；首先根据非负数的性质求出a，b的值，则由等腰三角形及三角形三边不等关系可确定等腰三角形的腰与底边，从而求得周长． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴； ∵， ∴等腰三角形的腰为7，底边为3， ∴等腰三角形的周长为：； 故答案为：17． 15. 若关于x的一元一次不等式组有解且最多有3个整数解，且使关于y的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，根据不等式组的解集情况求参数，先解不等式组，然后根据不等式组有解且最多有3个整数解求出；再解分式方程得到是整数，据此求出符合题意的a的值即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组有解且最多有3个整数解， ∴， ∴； 解得：， ∵分式方程有整数解， ∴是整数，且且，即 ∴， ∴所有满足条件的整数的值之和是， 故答案为：． 三、解答题（共75分） 16. 如图， 是 的高线，E为 边上的一点，连接交 于点F，． （1）求的度数； （2）若平分，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的定义和性质，三角形有关的线段： （1）由三角形外角的定义及性质可得再由三角形内角和定理结合对顶角相等得出 最后再由三角形内角和定理计算即可得解； （2）由角平分线的定义可得 再由三角形内角和定理计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵ 是 的高线， ∴ ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， ∴． 17. 如图，在 中， 为 的角平分线．以点 圆心，长为半径画弧，与 分别交于点，连接． （1）求证： ； （2）若 ，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵为 的角平分线， ∴， 由作图可得， 在 和中， ， ∴ ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，由作图可得，即可证明 ； （2）根据角平分线的定义得出 ，由作图得出 ，则根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出 ，，进而即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵ ，为 的角平分线， ∴ 由作图可得 ， ∴ ， ∵，为 的角平分线， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出 关于轴的对称图形并分别写出对应点，，的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）见解析，，，的坐标分别为，， （2） 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系的特点，掌握轴对称图形的性质，坐标与图形的特点，网格求图形面积的计算方法是关键． （1）根据轴对称轴的性质作图，根据坐标与图形可得到点的坐标； （2）根据网格求几何图形面积的方法求解． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求， ∴，，的坐标分别为，， 【小问2详解】 解：的面积． 19. 如图，在 中，平分， 于点 ，过点 作 交 于点． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求证： ． 【答案】（1）是等腰三角形，理由见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． （1）由角平分线的定义和平行线的性质证得，然后利用等角对等边即可得解； （2）利用等角的余角相等得出，然后利用等角对等边得出，进而即可得证． 【小问1详解】 解：是等腰三角形，理由如下： 平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； 【小问2详解】 证明：， ， ， ， ， ， ， ． 20. 已知，． （1）直接写出结果：__________； （2）求的值； （3）利用乘法公式计算：的值． 【答案】（1）4 （2）1 （3）12 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法，幂的乘方，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据得出即可； （2）根据得出，然后根据得出答案即可； （3）根据，，变形求值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 故答案为：4； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ， ∵， ， ， ． 【小问3详解】 解：，， ． 21. “冬吃萝卜夏吃姜，不劳医生开药方”，冬季吃萝卜好处多．某蔬菜批发店销售圆萝卜和长萝卜，已知圆萝卜每箱售价是长萝卜每箱售价的2倍，销售600元的圆萝卜箱数比销售400元的长萝卜箱数要少5箱． （1）求圆萝卜和长萝卜每箱售价分别为多少元？ （2）该蔬菜批发店11月第一周销售圆萝卜200箱，长萝卜300箱．第二周该店调整价格，圆萝卜打折销售，长萝卜售价不变，结果第二周圆萝卜的销量比上周增加了 ，长萝卜的销量比上周减少了50箱，最后发现第二周的销售总金额比第一周的销售总金额少了840元，请问圆萝卜打了几折？ 【答案】（1）长萝卜每箱售价为20元，圆萝卜每箱售价为40元； （2）圆萝卜打了折 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次方程的实际应用： （1）设长萝卜每箱售价为x元，则圆萝卜每箱售价为 元，根据销售600元的圆萝卜箱数比销售400元的长萝卜箱数要少5箱列出方程求解即可； （2）设圆萝卜打了m折，分别求出第一周和第二周两种萝卜的销售额，再根据第二周的销售总金额比第一周的销售总金额少了840元建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设长萝卜每箱售价为x元，则圆萝卜每箱售价为 元， 由题意得，， 解得 ， 检验，当 时，， ∴ 是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：长萝卜每箱售价为20元，圆萝卜每箱售价为40元； 【小问2详解】 解：设圆萝卜打了m折， 由题意得，， 解得， 答：圆萝卜打了折． 22. 《义务教育数学课程标准（2022年版）》关于运算能力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力． 因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法—拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式转化为已学过的知识进行分解． 例题：用拆项补项法分解因式 解：添加两项 原式 请你结合自己的思考和理解完成下列各题： （1）分解因式：； （2）分解因式：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）先把原式变形为，再仿照题意分解因式即可； （2）先把原式变形为，再仿照题意分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 23. 如果两个实数 使得关于 的分式方程的解是成立，那么我们就把实数 组成的数对称为关于 的分式方程的一个“关联数对”，如：，使得关于 的分式方程的解是成立，所以数对就是关于 的分式方程的一个“关联数对”． （1）下列数对为关于 的分式方程的“关联数对”的有________（填序号）； ；； （2）若数对是关于 的分式方程的“关联数对”，求的值； （3）若数对（且，）是关于 的分式方程的“关联数对”，且关于 的方程有整数解，求整数的值． 【答案】（1） （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（）根据“关联数对”定义分别判断即可； （）根据“关联数对”定义计算即可； （）根据“关联数对”定义计算即可； 本题考查了新定义，分式方程的解，解分式方程，理解“关联数对”的定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：若，分式方程的解为无解，不符合“关联数对”的定义，故不正确； 若 ，，分式方程的解为，符合“关联数对”的定义，故正确； 若，，分式方程的解为不符合 “关联数对”的定义，故不正确. 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵数对是关于 的分式方程的“关联数对”， ∴， ∴， 整理得：， 解得：； 【小问3详解】 解：∵数对（且，）是关于 的分式方程的“关联数对”， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵可化为， 解得：， ∵方程有整数解， ∴整数，，即，，，， 又∵，， ∴， ∴或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $