第一章 三角函数（单元测试）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（北师大版2019必修第二册）

第一章三角函数章末测试卷 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．（24-25高一上·浙江丽水·期末）一个扇形的弧长与面积的数值都是，则这个扇形的中心角大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用扇形的弧长和面积公式，即可求解. 【详解】设扇形的弧长、面积和中心角分别为，扇形的半径为， 因为，所以，由题有，解得， 故选：B. 2．（24-25高一下·山东淄博·阶段练习）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用诱导公式计算得解. 【详解】由，得. 故选：A 3．（24-25高一下·安徽亳州·阶段练习）下列各角中，与终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用终边相同的角的定义计算可得结果. 【详解】因为, 所以与的终边相同. 故选：A 4．（24-25高一下·湖南永州·开学考试）已知角的终边上有一点，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用任意角的三角函数的定义即可求解． 【详解】由已知可得，，则， 又，所以，则 故选：C. 5．（24-25高一下·甘肃临夏·阶段练习）函数在一个周期内的图象可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】函数的图象可由向左平移个单位得到，结合周期可得结论. 【详解】因为， 所以函数的图象可由向左平移个单位得到， 又最小正周期为，所以只有C符合. 故选：C. 6．（24-25高一上·安徽宿州·期末）点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】判断、的符号，即可得出结论. 【详解】因为，，即为第二象限角，为第四象限角， 所以，，所以点在平面直角坐标系中位于第三象限. 故选：C. 7．（24-25高一下·上海·开学考试）已知角和的终边关于轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由角和的终边关于轴对称，可得，，代入各个选项，根据诱导公式即可判断． 【详解】由角和的终边关于轴对称，可得，， 对于A，由，故A错误； 对于B，由，故B错误； 对于C，由，故C正确， 对于D，由，故D错误， 故选：C． 8．（24-25高一上·广东潮州·期末）方程的根的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】在同一坐标系中，画出和的函数图象求解. 【详解】画出和的函数图象， 因为，， 结合图象可得函数与函数图像的交点个数是5个. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高一上·山西·期末）已知是第四象限角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先由是第四象限角，确定，的范围，再进一步确定，即可判断各选项. 【详解】是第四象限角，则，， 则，， 故A，C，D正确，B错误. 故选：ACD. 10．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知函数，则（   ） A．的最大值为1 B．在上是增函数 C．为的一个周期 D．在上有两个零点 【答案】AC 【分析】利用数形结合即可作出判断. 【详解】作出函数图象，如图： 根据图象可知：的最大值为1，故A正确， 在上是减函数，故B错误， 为的一个周期，故C正确， 在上有三个零点，故D错误， 故选：AC. 11．（24-25高一上·浙江杭州·期末）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C．是函数的一条对称轴 D．是函数的对称中心 【答案】ACD 【分析】根据函数图象知：、、为对称轴、是函数的一个对称中心，结合正弦函数的性质即可判断各选项的正误. 【详解】由图知：，即，而，可得，A正确； 可得,结合，可得，B错误； 为对称轴，C正确； 由是函数的一个对称中心，,则 是函数的对称中心，D正确； 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高一下·安徽亳州·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】根据分段函数的解析式求函数值. 【详解】因为 . .即. 故答案为： 13．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）已如函数的部分图象如图所示，则 ． 【答案】 【分析】找到函数图象上的点代入到解析中求解即可. 【详解】因为函数图象经过点，所以即, 所以，又因为，所以, 故答案为：. 14．（24-25高一下·河南郑州·开学考试）已知函数，若，且在区间上恰有一个最大值和一个最小值，则 ． 【答案】 【分析】分析可知最小正周期，进而可得，代入即可得函数值. 【详解】因为，且在区间上恰有一个最大值和一个最小值， 可知函数的最小正周期， 则，解得，可得， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（23-24高一上·山东淄博·期末）已知角的始边与轴的正半轴重合，终边过点． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由求出点的值，结合三角函数定义可得； （2）利用诱导公式化简可得. 【详解】（1）由题意知，因角的终边与轴的正半轴重合，且终边过点， 则点到原点的距离， 则； （2） ． 16．（15分）（24-25高一上·北京顺义·期末）在平面直角坐标系中，角和角的顶点均与坐标原点重合，始边均为轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于两点，且两点关于轴对称. (1)若点的纵坐标为，求的值； (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)先利用任意角的三角函数的定义求出再利用诱导公式化简，代值计算可得. (2)根据的范围求出，进而得到，再根据角的范围求最小值. 【详解】（1）因为点的纵坐标为， 所以.又. 因为， 所以 （2）因为，所以.所以. 所以. 所以当时，取最小值为. 17．（15分）（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知函数的部分图象如图所示，函数的图象与轴的交点的纵坐标为. (1)求函数的解析式； (2)求函数的图象的对称轴方程和对称中心的坐标； (3)若函数在区间上的值域为，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)，； (3) 【分析】（1）根据图像先求出周期即可得，由和即可求出和； （2）令即可求出函数的对称轴方程，令，即可求出函数的对称中心的横坐标，纵坐标为0； （3）函数在区间上的值域为，由正弦函数的图象和性质得解出即可. 【详解】（1）由图可知函数的周期为，有，又由，可得， 又由图可知，有，有，又由.有，可得. 又由图可知，有，可得. 故函数的解析式为； （2）令，可得， 可得函数的图象的对称轴方程为， 令，可得， 可得函数的图象的对称中心的坐标为； （3）当时，，有. 若函数在区间上的值域为，由正弦函数的图象和性质可知，可得 故实数的取值范围为. 18．（17分）（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数，且，，． (1)求的值； (2)求在区间上的单调递减区间； (3)若关于的方程在区间上有且仅有4个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知条件确定对称中心与对称轴，再结合正弦函数的对称性求得； （2）由正弦函数的单调性求解； （3）先解方程得出，或，然后由函数的图象与直线和的交点个数得出参数范围． 【详解】（1）因为，所以的图象关于直线对称． 又，所以的图象关于点对称， 则有，即， 又因为，所以． （2）因为，即在处取得最大值2，所以， 则，即，又，所以， 所以．令，可得， 由，可得，则， 所以在区间上的单调递减区间为． （3）方程可化为， 则，或． 由（2）可知，在区间上的图象如图所示， 因为方程在区间上有且仅有4个不同的实数解， 所以或 解得或． 所以实数的取值范围是． 19．（17分）（24-25高一上·云南保山·期末）双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）．其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：（是自然对数的底数）． (1)求的值； (2)证明：两角和的双曲余弦公式； (3)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)1； (2)证明见详解； (3) 【分析】（1）根据函数定义直接代入即可求； （2）根据双曲函数的运算性质和指数幂的运算性质化简计算即可求解； （3）由函数定义代入函数解析式，由题意可得在上恒成立，令，即求，令，结合二次函数性质即可求. 【详解】（1）由题意， （2）因为左边 右边. 所以. （3）由题意可知在上恒成立， 整理得在上恒成立， 令， 则， 令， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 因为， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 故，即的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了三角函数新定义问题，解答本题的关键在于理解双曲余弦函数以及双曲正弦函数的定义，然后结合所学函数知识解答. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章三角函数章末测试卷 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．（24-25高一上·浙江丽水·期末）一个扇形的弧长与面积的数值都是，则这个扇形的中心角大小为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山东淄博·阶段练习）若，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·安徽亳州·阶段练习）下列各角中，与终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·湖南永州·开学考试）已知角的终边上有一点，，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·甘肃临夏·阶段练习）函数在一个周期内的图象可以是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·安徽宿州·期末）点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（24-25高一下·上海·开学考试）已知角和的终边关于轴对称，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·广东潮州·期末）方程的根的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高一上·山西·期末）已知是第四象限角，则（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知函数，则（   ） A．的最大值为1 B．在上是增函数 C．为的一个周期 D．在上有两个零点 11．（24-25高一上·浙江杭州·期末）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C．是函数的一条对称轴 D．是函数的对称中心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高一下·安徽亳州·阶段练习）已知，则 ． 13．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）已如函数的部分图象如图所示，则 ． 14．（24-25高一下·河南郑州·开学考试）已知函数，若，且在区间上恰有一个最大值和一个最小值，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（23-24高一上·山东淄博·期末）已知角的始边与轴的正半轴重合，终边过点． (1)求的值； (2)求的值． 16．（15分）（24-25高一上·北京顺义·期末）在平面直角坐标系中，角和角的顶点均与坐标原点重合，始边均为轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于两点，且两点关于轴对称. (1)若点的纵坐标为，求的值； (2)若，求的最小值. 17．（15分）（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知函数的部分图象如图所示，函数的图象与轴的交点的纵坐标为. (1)求函数的解析式； (2)求函数的图象的对称轴方程和对称中心的坐标； (3)若函数在区间上的值域为，求实数的取值范围. 18．（17分）（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数，且，，． (1)求的值； (2)求在区间上的单调递减区间； (3)若关于的方程在区间上有且仅有4个不同的实数解，求实数的取值范围． 19．（17分）（24-25高一上·云南保山·期末）双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）．其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：（是自然对数的底数）． (1)求的值； (2)证明：两角和的双曲余弦公式； (3)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$