精品解析：浙江省杭州市拱墅区2024-2025学年九年级上学期期末数学试题

2024学年第一学期期末教学质量调研 九年级数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题纸上写考号、学校、姓名、班级． 3．答题时，所有答案必须做在答题卡标定的位置上，请务必注意试题序号和答题序号相对应． 4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 一．选择题：本题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知二次函数，当时，函数值是（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 若（，都不为0），则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是的弦，点，都在上，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 任意画一个三角形，其内角和是 B. 两张扑克牌，1张黑桃、1张红桃，从中随机抽取1张扑克是方块 C. 掷一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有1到6的点数，向上一面的点数大于0 D. 拨打一个电话号码，电话正被占线中 5. 如图，已知点，分别在的边，上，．若，，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 一盒球（只有颜色不同）有15个红球、6个彩球（不是红色和白色）和1个白球，共22个球．设从中随机抽取1个球是红球的概率为，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，是边上的高线，设，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在方格中，点，，，，点均在格点上，若与相似，则符合条件的格点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 9. 在直角坐标系中，设函数，．（ ） A. 若，则函数和的图象有两个交点 B. 若函数和的值互为相反数，则 C. 当时，函数和的值相等 D. 函数和的图象必经过同一个定点 10. 如图，点A，B，C在直线l上，，，且过点D，E，F三点的圆的圆心在直线l上．若，，则的值是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二．填空题：本题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 若，则__________． 12. 以的斜边为直径作圆，点在__________（填“圆内”“圆上”或“圆外”中的一个）． 13. 在直角坐标系中，函数的图象的开口向__________． 14. 如图，已知是的直径，点在圆上，，与半径交于点．若，则__________． 15. 如图，在中，，点，分别在，上，，连接，，交于点．若，则图中与相似的三角形是__________． 16. 在直角坐标系中，二次函数的图象过点，点，点．若，则的取值范围是__________． 三．解答题：本题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）二次函数，当时，；当时，．求和的值． 18. 如图，点E，F分别在矩形的边，上，连接，交对角线于点G，． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 19. 一个质地均匀的木质正四面体，四个面上分别刻有1到4的点数． （1）投掷一次，求正面向上的点数是偶数的概率． （2）投掷两次，求两次正面向上的点数之和是偶数的概率（用树状图或列表法）． 20. 如图，已知的半径为2，弦直径，垂足为点，点在上（不与点，点重合），连接，，，． （1）求证：． （2）若． ①求的度数． ②当时，求的长． 21. 在直角坐标系中，设二次函数． （1）若函数的图象过点，求的值． （2）若函数的图象的对称轴是轴，求的值． （3）当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，说明函数的图象过点． 22. 图1是某种笔记本电脑支架．如图2，其底座放置在水平桌面上，通过调节点，点处的角度，控制托盘的位置．电脑机身和屏幕分别用线段、表示，；，． （1）若，． ①为使屏幕与桌面保持垂直，求的度数． ②求点到桌面的最大距离（不计材料的厚度）． （2）在（1）的情况下，保持，并逐渐减小的度数．圆圆同学说：“点到桌面的距离越来越小．”点点同学说：“点到桌面的距离先变大，后变小．”你认为谁的说法正确，说明理由． 23. 在直角坐标系中，设函数，，其中． （1）若函数的图象过点，函数的图象过点，求的值． （2）若，判断函数与轴的交点个数，说明理由． （3）若函数和函数与轴的交点均相同，求，的值． 24. 如图，菱形的边长是，．把菱形绕点顺时针旋转得到菱形，设旋转角度，与交于点，连接． （1）求的度数（用含的代数式表示）． （2）若，求的值． （3）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期期末教学质量调研 九年级数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题纸上写考号、学校、姓名、班级． 3．答题时，所有答案必须做在答题卡标定的位置上，请务必注意试题序号和答题序号相对应． 4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 一．选择题：本题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知二次函数，当时，函数值是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，将代入二次函数解析式，即可求出函数值． 【详解】解：当时，， 故选：C． 2. 若（，都不为0），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，因为，得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 3. 如图，是的弦，点，都在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同弧所对圆周角相等，根据，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 4. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 任意画一个三角形，其内角和是 B. 两张扑克牌，1张黑桃、1张红桃，从中随机抽取1张扑克是方块 C. 掷一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有1到6的点数，向上一面的点数大于0 D. 拨打一个电话号码，电话正被占线中 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，熟记必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题关键．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据定义，对每个选项逐一判断． 【详解】解：A、任意画一个三角形，其内角和是，属于不可能事件，不符合题意； B、两张扑克牌，1张黑桃、1张红桃，从中随机抽取1张扑克是方块，属于不可能事件，不符合题意； C、掷一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有1到6的点数，向上一面的点数大于0，属于必然事件，不符合题意； D、拨打一个电话号码，电话正被占线中，属于随机事件，符合题意； 故选：D． 5. 如图，已知点，分别在的边，上，．若，，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题关键．证明出，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， 故选：D． 6. 一盒球（只有颜色不同）有15个红球、6个彩球（不是红色和白色）和1个白球，共22个球．设从中随机抽取1个球是红球的概率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，有理数的大小比较，理解概率公式是解题关键．先求出抽取1个球是红球的概率，再逐项判断即可． 【详解】解：由题意可知，从中随机抽取1个球是红球的概率， ， 故选：B． 7. 如图，在中，，是边上的高线，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，理解锐角三角函数的定义是解题关键．先利用三角函数表示出、，再表示出、，即可求解． 【详解】解：，在中，，， ， 在中，，， 是边上的高线， ， ， 在中，，A选项正确、B选项错误； 在中，，C、D选项错误； 故选：A． 8. 如图，在方格中，点，，，，点均在格点上，若与相似，则符合条件的格点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了网格与勾股定理、相似三角形的判定，先分别算出每条边的长度，再根据三边成比例进行判定两个三角形相似，据此进行作答即可． 【详解】解：依题意，，，， 则 ∵， ∴与不相似， 故A选项不符合题意； 则 ∵， ∴与不相似， 故B选项不符合题意； 则 ∵， ∴与相似， 故C选项符合题意； 则 ∵， ∴与不相似， 故D选项不符合题意； 故选：C． 9. 在直角坐标系中，设函数，．（ ） A. 若，则函数和的图象有两个交点 B. 若函数和的值互为相反数，则 C. 当时，函数和的值相等 D. 函数和的图象必经过同一个定点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．当时，得到，则当时，，即可判断A，D；函数和的值互为相反数时，，则，所以，所以或，即可判断B；当时，则，那么，那么当时，，即可判断C． 【详解】解：A、当时，，则，此时，当时，，所以此时函数和的图象有两个交点，故A正确，符合题意； B、函数和的值互为相反数时，，则，所以，所以或，故B错误，不符合题意； C、当时，则，那么，那么当时，，所以时，函数和的值不相等，故C错误，不符合题意； D、当时，，则，此时，由于判断不了的符号，故不能判断过定点问题，故不符合题意， 故选：A． 10. 如图，点A，B，C在直线l上，，，且过点D，E，F三点的圆的圆心在直线l上．若，，则的值是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆的相关概念，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握运用平方差公式进行化简计算是解题的关键． 设圆心为O，连接，先证，得到，将化简变形得到，由勾股定理得，，代入，即可求解． 【详解】解：如图，设圆心为O，连接，则， ，， ， ， 又， ， ， 由勾股定理得，， 则 ． 故选：A． 二．填空题：本题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，利用比例的性质得，代入所求的式子计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 以的斜边为直径作圆，点在__________（填“圆内”“圆上”或“圆外”中的一个）． 【答案】圆上 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的外接圆，以及点与圆的位置关系，当点到圆心的距离小于半径的长时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径的长时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径的长时，点在圆外． 求出点C到圆心的距离，然后根据点与圆的位置关系判断即可． 【详解】解：如图， ∵斜边为直径， ∴圆心O是斜边的中点， ∴， ∴点C在圆上． 故答案为：圆上． 13. 在直角坐标系中，函数的图象的开口向__________． 【答案】下 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，对于二次函数，当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下． 根据二次函数的二次项系数即可判断抛物线的开口方向． 【详解】解：∵， ∴开口向下， 故答案为：下． 14. 如图，已知是的直径，点在圆上，，与半径交于点．若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，解直角三角形，设，由勾股定理求出，再根据可得答案． 【详解】解：设， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在中，，点，分别在，上，，连接，，交于点．若，则图中与相似的三角形是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键在于构造辅助线． 在上截取，，导角证明，即可证明． 【详解】解：在上截取， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中与相似的三角形是， 故答案为：． 16. 在直角坐标系中，二次函数的图象过点，点，点．若，则的取值范围是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，先由函数的解析式得开口向上，对称轴是直线，再逐个算出结合二次函数的图象过点．且，得，最后结合二次函数的对称性找出，关于直线对称的点的坐标为，同理得关于直线对称的点的坐标为，即可作答． 【详解】解：∵二次函数， ∴开口向上，对称轴是直线， ∵二次函数的图象过点，点 ∴ ∵二次函数的图象过点．且， ∴， ∵对称轴是直线， ∴关于直线对称的点的坐标为， ∴关于直线对称的点的坐标为， ∵二次函数的开口向上， ∴或． 故答案为：或． 三．解答题：本题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）二次函数，当时，；当时，．求和的值． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的性质和用待定系数法求二次函数解析式是解决问题的关键．也考查了特殊角的三角函数值． （1）先根据特殊角的三角函数值得到原式，然后合并同类二次根式即可； （2）把两组对应值分别代入中得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可． 【详解】解：（1） ； （2）把，；，分别代入得 ， 解得， 即b的值为，c的值为0． 18. 如图，点E，F分别在矩形的边，上，连接，交对角线于点G，． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行线的性质可得，由矩形的性质可得，，从而推出，，即可得证； （2）由勾股定理可得，再证明，由相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长是． 19. 一个质地均匀的木质正四面体，四个面上分别刻有1到4的点数． （1）投掷一次，求正面向上的点数是偶数的概率． （2）投掷两次，求两次正面向上的点数之和是偶数的概率（用树状图或列表法）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，概率公式，掌握相关知识点是解题关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）先列表，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：投掷一次，正面向上的点数由4种等可能的结果，其中是偶数的有2种结果， 即正面向上的点数是偶数的概率． 【小问2详解】 解：列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 由表可知，共有16种等可能的结果，其中两次正面向上的点数之和是偶数的有8种结果， 即两次正面向上的点数之和是偶数的概率． 20. 如图，已知的半径为2，弦直径，垂足为点，点在上（不与点，点重合），连接，，，． （1）求证：． （2）若． ①求的度数． ②当时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵弦直径， ∴平分， ∴， ∴； （2）①；②的长为 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理推论得到平分，再根据弧与弦的关系即可求证； （2）①由等边对等角得到，而，那么，则，即可求解；②连接，由得到，则，那么，再由弧长公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②连接，如下图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，同圆中弧与弦的关系，等腰三角形的性质，弧长公式等知识点，熟练掌握圆中相关概念是解题的关键． 21. 在直角坐标系中，设二次函数． （1）若函数的图象过点，求的值． （2）若函数的图象的对称轴是轴，求的值． （3）当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，说明函数的图象过点． 【答案】（1） （2） （3） 解：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 函数的图象的对称轴是直线， ， ， ， 当时，， 即函数的图象过点． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的对称轴与增减性，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）将点代入函数得解析式求解即可； （2）根据函数的解析式得到对称轴为直线，再结合对称轴是轴求解即可； （3）根据函数的增减性，确定对称轴是直线，进而求出的值，得到函数的解析式，再将点代入函数得解析式求解即可． 【小问1详解】 解：函数的图象过点， ， 解得：； 【小问2详解】 解：二次函数， 对称轴为直线， 函数的图象的对称轴是轴， ， 解得：； 【小问3详解】 略 22. 图1是某种笔记本电脑支架．如图2，其底座放置在水平桌面上，通过调节点，点处的角度，控制托盘的位置．电脑机身和屏幕分别用线段、表示，；，． （1）若，． ①为使屏幕与桌面保持垂直，求的度数． ②求点到桌面的最大距离（不计材料的厚度）． （2）在（1）的情况下，保持，并逐渐减小的度数．圆圆同学说：“点到桌面的距离越来越小．”点点同学说：“点到桌面的距离先变大，后变小．”你认为谁的说法正确，说明理由． 【答案】（1）①；②； （2）点点同学的说法正确， 理由如下： 设，则， 点到桌面的距离为， 当时，点到桌面的距离为， 当时，点到桌面的距离为， 当时，点到桌面的距离为， 点到桌面的距离先变大，后变小， 点点同学的说法正确． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作辅助线构造直角三角形是解题关键． （1）①延长交于点，利用四边形内角和求解即可； ②，过点作，，则四边形是矩形，利用锐角三角函数分别求出，，进而得出，即可求解 （2）设，则，点到桌面的距离为，再分别计算、、时，点到桌面的距离，即可得到答案． 【小问1详解】 解：①如图，延长交于点， ， ， ， ，， ， ②如图，过点作，， 则四边形是矩形， ， 在中，， ， ，， ， 在中，， ， ， 即点到桌面的最大距离为； 【小问2详解】 略 23. 在直角坐标系中，设函数，，其中． （1）若函数的图象过点，函数的图象过点，求的值． （2）若，判断函数与轴的交点个数，说明理由． （3）若函数和函数与轴的交点均相同，求，的值． 【答案】（1）5 （2）函数与轴没有交点，理由如下： ∵， ∴ ∴函数与轴没有交点； （3）， 【解析】 【分析】（1）将和分别代入和，得到，，然后利用完全平方公式的变形求解即可； （2）根据判别式结合求解即可； （3）首先求出函数与x轴的交点坐标为和，然后根据题意得到，，进而求解即可． 【小问1详解】 解：∵函数的图象过点，函数的图象过点， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：∵ ∴当时， 解得或 ∴函数与x轴的交点坐标为和 ∵ ∴， ∴，或，（舍去）． 【点睛】此题考查了二次函数和x轴的交点问题，二次函数的性质，二次函数和一元二次方程，掌握二次函数的性质是解题的关键． 24. 如图，菱形的边长是，．把菱形绕点顺时针旋转得到菱形，设旋转角度，与交于点，连接． （1）求的度数（用含的代数式表示）． （2）若，求的值． （3）求证：． 【答案】（1） （2） （3） 证明：如图2， 作，交的延长线点G，作，交的延长线于点H，连接，，的延长线交于点F，设交于点W， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【解析】 【分析】（1），，在四边形中，根据四边形的内角和得出结果； （2）延长，交的延长线于点F，延长，交与点G，设和交于点O，和交于H，，，从而得出点在上，解直角三角形和直角三角形，可得出和的长，进一步得出结果； （3）作，交的延长线点G，作，交的延长线于点H，连接，，的延长线交于点F，设交于点W，可依次证明，，，从而得出，进而得出，解直角三角形和直角三角形，求得和，进一步得出结论． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵菱形绕点A顺时针旋转得到菱形， ∴， 在四边形中，，， ∴； 【小问2详解】 解：如图1， 延长，交的延长线于点F，延长，交与点G，设和交于点O，和交于H， ∴， ∵四边形和四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点在上， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $