精品解析：安徽省六安市裕安中学2023-2024学年下学期八年级第一次月考数学试卷

2023-2024学年安徽省六安市裕安中学 八年级（下）第一次月考数学试卷 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是(　　) A. x2＋＝5 B. ax2＋bx＋c＝0 C. (x－1)(x＋2)＝0 D. 3x2＋4xy－y2＝0 3. 用配方法解方程x2+2x=4，配方结果正确的是（   ） A. （x+1）2=4 B. （x+2）2=4 C. （x+2）2=5 D. （x+1）2=5 4. 一元二次方程x2+3x+4=0的根的情况是（ ） A 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 5. 估计的值在（　　） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 6. 已知关于x一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是 A. B. C. D. 7. 某工厂一月份生产总值为万元，第一季度的生产总值共万元，如果平均每月的增长率为，则所列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 等式成立的条件是（ ） A. B. C. 或 D. 9. 已知关于x得一元二次方程有两个不相等的实数根x1，x2，若，则m的值是（　　） A. 2 B. C. 2或 D. 不存在 10. 对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（ ） A. 只有①② B. 只有①②④ C. ①②③④ D. 只有①②③ 二.填空题（每题5分，共20分） 11. 使有意义的取值范围为__________． 12 若与最简二次根式可以合并，则______． 13. 若是方程的一个根，则的值为______． 14. 关于x的方程的解是（a、k、b均为常数，a≠0）． 问题： （1）关于x的方程的根是 ________________； （2）关于x的方程的根为 _______________． 三.解答题（15-18题每题8分，19、20题每题10分，21、22每题12分，23题14分，共90分） 15 计算：． 16. 解方程：． 17. 已知，，求： （1）代数式的值； （2）代数式的值． 18. 已知方程x2﹣（k-1）x﹣6=0是关于x的一元二次方程，若方程的一个根是-3，求k的值及方程的另一个根． 19. 某天延时课上，闻老师带领同学们利用棋子构图研究数字规律．将一些棋子按如图所示的规律摆放： 第1个图有7个棋子，第2个图有11个棋子，第3个图有17个棋子，…，按此规律依次递增． （1）第5个图中有______个棋子；第个图中有______个棋子． （2）第个图中的棋子个数能是115吗？如果能，求出n的值；如果不能，请说明理由． 20. 某社区决定把一块长，宽的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图（四块绿化区为大小形状都相同的矩形），空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，设绿化区较长边 （1）若再设绿化区较短边为，则 （用含x的代数式表示）； （2）当x为何值时，活动区的面积达到？ 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根； （2）若一元二次方程的两根为，，且满足，求的值． 22. 在蚌埠花博园附近某盆栽销售处发现：进货价为每盆50元，销售价为每盆80元的某盆栽平均每天可售出20盆．现此店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每盆降价2元，那么平均每天就可多售出3盆，设每盆降价元． （1）现在每天卖出________盆，每盆盈利________元（用含的代数式表示）； （2）求当为何值时，平均每天销售这种盆栽能盈利700元，同时又要使顾客得到较多的实惠； （3）要想平均每天盈利1000元，可能吗？请说明理由． 23. 如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”． （1）判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由； ①； ②； （2）已知关于的方程（是常数）是“差1方程”，求的值； （3）若关于的方程（，是常数，）是“差1方程”，设，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年安徽省六安市裕安中学 八年级（下）第一次月考数学试卷 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，将各选项逐个化简，再判断即可． 【详解】因为，所以A不符合题意； 因为不能化简，是最简二次根式，所以B符合题意； 因为，所以C不符合题意； 因为，所以D不符合题意． 故选：B． 2. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是(　　) A. x2＋＝5 B. ax2＋bx＋c＝0 C. (x－1)(x＋2)＝0 D. 3x2＋4xy－y2＝0 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义可知只有(x－1)(x＋2)＝0符合条件. 【详解】A．含有，故不是一元二次方程 B．若a=0，则ax2＋bx＋c＝0不是一元二次方程 C．(x－1)(x＋2)＝0可化简为x2＋x-2＝0的形式，是一元二次方程 D．含有未知数x和y，故不是一元二次方程. 故答案选C. 【点睛】本题考查一元二次方程的定义.形如ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的方程为一元二次方程. 3. 用配方法解方程x2+2x=4，配方结果正确是（   ） A. （x+1）2=4 B. （x+2）2=4 C. （x+2）2=5 D. （x+1）2=5 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：两边加上一次项系数一半的平方得：x2＋2x＋1＝4＋1， 即(x＋1)2＝5． 故选D． 4. 一元二次方程x2+3x+4=0的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先求出“△”的值，再判断即可． 【详解】解：∵x2+3x+4=0， ∴△=32﹣4×1×4=-7＜0， ∴方程没有实数根， 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键． 5. 估计的值在（　　） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘法及无理数的估算．先将原式进行计算，然后判断其结果在哪两个连续整数之间即可． 【详解】解：， ， ， 即， 那么原式的值在2和3之间， 故选：A． 6. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根．根据题意可得出，进而可得出． 【详解】解： 整理得：， 根据题意可得：， 解得： ∴． 故选：B． 7. 某工厂一月份生产总值为万元，第一季度的生产总值共万元，如果平均每月的增长率为，则所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，平均每月的增长率为，根据题意，列出方程即可，根据题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：平均每月的增长率为， 由题意可得，， 即， 故选：． 8. 等式成立的条件是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质列出不等式组，解不等式组即可得出结论，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选：． 9. 已知关于x得一元二次方程有两个不相等的实数根x1，x2，若，则m的值是（　　） A. 2 B. C. 2或 D. 不存在 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据二次项系数非零及根的判别式，找出关于的不等式组；（2）牢记，．先由二次项系数非零及根的判别式，得出关于的不等式组，解之得出的取值范围，再根据根与系数的关系可得出，，结合，即可求出的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、， ， 解得：且． 、是方程的两个实数根， ，， ， ， 或， ， ． 故选：A． 10. 对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（ ） A. 只有①② B. 只有①②④ C. ①②③④ D. 只有①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解．利用根的判别式，方程的解使方程成立，逐一进行判断即可． 【详解】解：若，则方程有一个根为，则；故①正确； 若方程有两个不相等的实根，则：， 则：的判别式为， ∴方程必有两个不相等的实根；故②正确； 若是方程的一个根，则， 当时，，故③错误； 若是一元二次方程的根，则：， ∴， ∴；故④正确； 故选B． 二.填空题（每题5分，共20分） 11. 使有意义的的取值范围为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：， 故答案为： 12. 若与最简二次根式可以合并，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式，能得出方程是解此题的关键，几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．根据二次根式的性质得出，根据同类二次根式的定义得出，再求出即可． 【详解】解∶， ∵与最简二次根式可以合并， ， 解得：． 故答案为：6． 13. 若是方程的一个根，则的值为______． 【答案】2022 【解析】 【分析】首先根据a是方程的一个根，可得，再把代数式进行恒等变式，化为含有的式子，据此即可解答． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：2022． 【点睛】本题考查了代数式求值及恒等变式问题，熟练掌握和运用代数式求值及恒等变式的方法是解决本题的关键． 14. 关于x的方程的解是（a、k、b均为常数，a≠0）． 问题： （1）关于x的方程的根是 ________________； （2）关于x的方程的根为 _______________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握运用换元法解一元二次方程是解题的关键． （1）将看作整体，由题意可知再求解即可； （2）仿照（1）计算即可． 【详解】解：（1）∵方程的解是， ∴设，则可化为， ∴， ∴，解得：． 故答案为：． （2）设，则可化为，即， ∵关于x的方程的解是， ∴，即， ∴，解得：． 故答案为：． 三.解答题（15-18题每题8分，19、20题每题10分，21、22每题12分，23题14分，共90分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先算二次根式的乘除法，再算加减法，即可解答． 【详解】解： ． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程求根公式是解题的关键．利用公式法求解即可． 【详解】解：， ， 方程有两个不等的实数根，即， 即． 17. 已知，，求： （1）代数式的值； （2）代数式的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式即可得答案； （2）由于，方便运算，故可考虑将代数式化为含和的项，再整体代入和的值，进行代数式的求值运算． 小问1详解】 ； 【小问2详解】 由已知： ， ， 故：原式． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，由于直接代入计算复杂容易出错，因此可考虑整体代入，本题考查了整体代入的思想． 18. 已知方程x2﹣（k-1）x﹣6=0是关于x的一元二次方程，若方程的一个根是-3，求k的值及方程的另一个根． 【答案】k值为0，该方程的另一个根2． 【解析】 【分析】根据根与系数的关系建立方程组求解即可得出结论． 【详解】解：设关于x的一元二次方程x2﹣（k-1）x﹣6=0的另一根为m， 根据根与系数的关系得，-3+m=k-1，-3m=-6， ∴m=2，k=0， 即：k的值为0，方程的另一个根为2． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记方程根与系数的关系是解本题的关键． 19. 某天延时课上，闻老师带领同学们利用棋子构图研究数字规律．将一些棋子按如图所示的规律摆放： 第1个图有7个棋子，第2个图有11个棋子，第3个图有17个棋子，…，按此规律依次递增． （1）第5个图中有______个棋子；第个图中有______个棋子． （2）第个图中的棋子个数能是115吗？如果能，求出n的值；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）； （2）能，第10个图中的棋子个数为115． 【解析】 【分析】（1）先观察得出图形变化中规律，再利用规律求解即可； （2）令建立方程求解，检验n的值是否符合题意，即可求解． 【小问1详解】 第1个图：， 第2个图：， 第3个图：， … 第5个图：， 由图中规律可知，第个图：， 故答案为：；． 【小问2详解】 令， 解得（舍去），， ∴能，第10个图中的棋子个数为115． 【点睛】本题考查了图形规律题，涉及到了一元二次方程的应用，解题关键是发现图中的变化规律，并能用数式进行表示． 20. 某社区决定把一块长，宽的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图（四块绿化区为大小形状都相同的矩形），空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，设绿化区较长边 （1）若再设绿化区较短边为，则 （用含x的代数式表示）； （2）当x为何值时，活动区的面积达到？ 【答案】（1） （2）当时，活动区的面积达到． 【解析】 【分析】本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键． （1）根据四周的4个出口宽度相同，即可用含x的代数式表示出绿化区较短边； （2）根据“活动区的面积=矩形空地面积-阴影区域面积”列出方程，可解答． 【小问1详解】 解：设绿化区宽为y，则由题意得 ． 即， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得， 解得(舍)，． ∴当时，活动区的面积达到． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根； （2）若一元二次方程的两根为，，且满足，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）5或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根,还考查了一元二次方程根与系数关系． （1）利用根的判别式求出关于的代数式，整理成非负数的形式即可判定； （2）根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把，转换为，然后利用前面的等式即可得到关于的方程，解方程即可求出结果． 【小问1详解】 证明：△ ； 又， ， 无论取任何实数，方程总有实数根； 【小问2详解】 解：，，， ， ， 整理得， 解得：， 故的值为5或． 22. 在蚌埠花博园附近某盆栽销售处发现：进货价为每盆50元，销售价为每盆80元的某盆栽平均每天可售出20盆．现此店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每盆降价2元，那么平均每天就可多售出3盆，设每盆降价元． （1）现在每天卖出________盆，每盆盈利________元（用含的代数式表示）； （2）求当为何值时，平均每天销售这种盆栽能盈利700元，同时又要使顾客得到较多的实惠； （3）要想平均每天盈利1000元，可能吗？请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）不能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意列出相应的代数式即可； （2）根据题意列出方程，即每盆盆栽的利润×销售量总盈利，再求解，把不符合题意的舍去； （3）根据题意列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设每盆降价元，由题意得：每天卖出盆栽的数量为：件， 每件的盈利为：元， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设每盆降价元，由题意得： ， 解得：， 为使顾客得到较多的实惠，应取； 【小问3详解】 不可能，理由如下： 设每盆降价元，依题意得： ， 整理得：， ， 则原方程无实数解． 则不可能每天盈利1000元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；牢记“当时，方程无实数根” ． 23. 如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”． （1）判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由； ①； ②； （2）已知关于的方程（是常数）是“差1方程”，求的值； （3）若关于的方程（，是常数，）是“差1方程”，设，求的最大值． 【答案】（1）①不是“差1方程”，理由见解析；②是“差1方程”，理由见解析 （2）或 （3）时，的最大值为9 【解析】 【分析】（1）根据解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比较两根的差是否为1，从而确定方程是否为“差1方程”； （2）先解方程求得其根，再根据新定义列出的方程，注意有两种情况； （3）根据新定义得方程的大根与小根的差为1，列出与的关系式，再由，得与的关系，从而得出最后结果． 【小问1详解】 解：①解方程得：， 或， ， 不是“差1方程”； ②解：∵ ∴，， ∴， ， 是“差1方程”； 【小问2详解】 解：方程得：， 或， 方程是常数）是“差1方程”， 或， 或； 【小问3详解】 解：由题可得： ∴解方程得， 关于的方程、是常数，是“差1方程”， ， ， ， ， ， 时，的最大值为9． 【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“差1方程”的定义． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$