第4讲数列求和讲义-2025届高三数学一轮复习

第4讲 数列求和 课标要求： 1.熟练掌握等差数列、等比数列的前项和公式，能够利用公式求数列的前项和. 2. 会求一些非等差、等比数列的前项和. 考情分析： 数列求和是高考的重点考查内容，会综合数列的概念、性质、公式等进行考查，预计2025年高考会考查等差、等比数列的前项和公式以及其他求和公式，客观题和解答题都可能出现，题目多为中等题. 理一理 数列求和的常用方法 （1）公式法 ①等差数列的前项和. ②等比数列的前项和 （2）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减. （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前项和. （4）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和时可用错位相减法求解. ［提醒］ 用错位相减法求和时，注意最后一项的符号. （5）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解. 记一记 1.. 2.. 3.裂项求和常用的变形 （1）. （2）. （3）. （4）. （5）. （6）. （7）. 用一用 1. 已知数列的通项公式为，则数列的前99项和为（ ） A. 10 B. 9 C. 99 D. 100 [解析]选.因为, 所以.故选. 2. 在数列中，，若数列的前项和为，则 [解析]由题意得， 所以,所以. 核心考点⇄师生共研 考点一 分组求和与并项求和 例1 [2024·山东济南模拟]已知数列满足,，数列满足. （1） 证明：数列是常数列； 【解】证明：因为 , 即，所以数列 是常数列. （2） 若数列满足，求数列的前项和. [答案]由（1）及题得,所以,所以. 所以 , 所以. 解题技法 分组求和法与并项求和法的应用策略 一般地，如果是等差数列，是等比数列，求数列或的前项和时，可采用分组求和法求解.如果,求的前项和时，可采用并项求和法求解. 对点训练 1. 已知函数且,则（ ） A. 0 B. 100 C. D. 10 200 [解析]选.由题意，得. 2. 已知等差数列满足. （1） 求的通项公式; 解：设等差数列 的公差为， 所以, 所以, 所以 解得 则. （2） 若 ,记的前项和为,求. [答案]由（1）及题得， 所以, 所以. 考点二 裂项相消法求和 例2 已知数列为公差大于0的等差数列，,且,,成等比数列. （1） 求数列的通项公式； 【解】设等差数列 的公差为. 由题意得 解得 所以. 所以数列 的通项公式是. （2） 设,数列的前项和为,若,求的值. [答案]由（1）知，, 所以 . 因为,所以,解得. 解题技法 破解裂项相消求和的关键点 （1）定通项：根据已知条件求出数列的通项公式; （2）巧裂项：根据通项公式的特征进行准确裂项，把数列的每一项，表示为两项之差的形式; （3）消项求和：通过累加抵消掉中间的项，达到消项的目的，准确求和. ［注意］（1）裂项原则：一般是前边裂几项,后边就裂几项,直到发现被消去项的规律为止. （2）消项规律：消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项. 对点训练 已知数列是递增的等比数列，且,. （1） 求数列的通项公式； 解：由题设知,又， 解得 或（舍去）. 设等比数列 的公比为, 由 得, 故,. （2） 设为数列的前项和，,求数列的前项和. [答案], 又, 所以,. 考点三 错位相减法求和（链接高考） 例3 [2023·全国甲卷]记为数列的前项和，已知，. （1） 求的通项公式; 【解】方法一：因为，① 当 时，，即； 当 时，，即， 当 时，，② 得，化简得， 当 时，, 即， 当，2时都满足上式， 所以. 方法二：由方法一知,① ,② 得, 所以, 故数列 是等差数列，且首项，公差, 因此. （2） 求数列的前项和. [答案]由（1）及题意知， 所以， ， 两式相减得，, 即,. ［分析及溯源］ 试题以与的关系为载体，以求解通项公式与错位相减法求数列的前项和为表现形式.试题源于教材人教A版选择性必修第二册中数列求和公式，当时的具体形式，以及习题4.3复习巩固. 解题技法 错位相减法求和的注意事项 （1）掌握解题的“3个步骤” （2）注意解题的“3个关键” ①要善于识别题目类型,特别是等比数列的公比为负数的情形. ②在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式. ③在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比和两种情况求解. 【考题变式】 已知数列的前项和为，且，. （1） 求数列的通项公式； 解：因为， 当 时,,所以, 当 时,,由于, 故,解得 或（舍去）. 所以,.所以当 时, , 即,所以数列 是首项为2,公比为3的等比数列,因此. （2） 求数列的前项和. [答案]易得，则， 所以，① ，② 得 ， 所以. 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. 在数列中,,,,则数列的前60项和为（ ） A. 990 B. 1 000 C. 1 100 D. 99 [解析]选.当 为奇数时，,所以;当 为偶数时，,所以.故. 2. 若数列的通项公式为,则数列的前项和（ ） A. B. C. D. [解析]选.由题知.故选. 3. 已知等差数列的前项和为,等比数列的前项和为,且,,则（ ） A. 13 B. 25 C. 37 D. 41 [解析]选.设等差数列 的公差为，等比数列 的公比为,由题意，得 解得 因此. 4. 已知在等差数列中，,等比数列的公比满足且,则（ ） A. B. C. D. [解析]选.因为,,所以.所以,即 是首项为3，公比为4的等比数列，所以.故选. 5. （多选）已知数列满足,，记的前项和为，则（ D ） A. B. C. D. [解析]选.因为，,所以当 为奇数时，；当 为偶数时，.所以，错误；又因为，所以，正确；，正确；，正确.故选. 6. 已知数列满足,,,则数列的前10项和为 [解析]由题意可得,,,,, ，,,,,, . 奇数项和偶数项分别构成等差数列，所以. 7. 已知数列的前项和为,.当时，,则 [解析]由, 得,两式作差可得, 即, 所以. 8. 将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则数列的前项和为 [解析]因为数列 是以1为首项，2为公差的等差数列，数列 是以1为首项，3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列 是以1为首项，6为公差的等差数列，所以数列 的前 项和为. 9. 已知正项数列的前项和为,且满足. （1） 求证：数列是等差数列； 解：证明：由题得,解得, 因为,① 所以当 时，,② 得，, 整理得, 因为,所以, 所以数列 是以1为首项，2为公差的等差数列. （2） 设,求数列的前项和. [答案]由（1）得,所以, 所以, , 两式相减得，, 所以. B 综合运用 10. 已知数列的通项公式为,则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. [解析]选.因为,所以数列 的前 项和为. 11. 已知数列满足,在,之间插入个1，构成数列,1,,1,1,,1,1,1,, ，则数列的前100项的和为（ ） A. 178 B. 191 C. 206 D. 216 [解析]选.由题意知，共有 个数，当 时，,当 时，,由于,所以.故选. 12. 已知数列的通项公式为，则数列的前8项和为 [解析]因为， 所以. 13. [2023·全国乙卷]记为等差数列的前项和.已知,． （1） 求的通项公式； 解：设数列 的公差为， 则 解得 所以 的通项公式为. （2） 求数列的前项和． [答案]由（1）得 当 时，， 当 时，. 综上， C 素养提升 14. [2024·江苏南京、盐城模拟]已知数列满足,,. （1） 判断数列是否是等比数列，并求数列的通项公式； 解：因为,所以. 因为等比数列中的各项都不可能为0，所以数列 不是等比数列. 由, 得. 因为, 所以, 从而. （2） 若，求数列的前项和. [答案]由（1）可得, 则. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4讲 数列求和 课标要求： 1.熟练掌握等差数列、等比数列的前项和公式，能够利用公式求数列的前项和. 2. 会求一些非等差、等比数列的前项和. 考情分析： 数列求和是高考的重点考查内容，会综合数列的概念、性质、公式等进行考查，预计2025年高考会考查等差、等比数列的前项和公式以及其他求和公式，客观题和解答题都可能出现，题目多为中等题. 理一理 数列求和的常用方法 （1）公式法 ①等差数列的前项和. ②等比数列的前项和 （2）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减. （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前项和. （4）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和时可用错位相减法求解. ［提醒］ 用错位相减法求和时，注意最后一项的符号. （5）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解. 记一记 1.. 2.. 3.裂项求和常用的变形 （1）. （2）. （3）. （4）. （5）. （6）. （7）. 用一用 1. 已知数列的通项公式为，则数列的前99项和为（ ） A. 10 B. 9 C. 99 D. 100 2. 在数列中，，若数列的前项和为，则 核心考点⇄师生共研 考点一 分组求和与并项求和 例1 [2024·山东济南模拟]已知数列满足,，数列满足. （1） 证明：数列是常数列； （2） 若数列满足，求数列的前项和. 解题技法 分组求和法与并项求和法的应用策略 一般地，如果是等差数列，是等比数列，求数列或的前项和时，可采用分组求和法求解.如果,求的前项和时，可采用并项求和法求解. 对点训练 1. 已知函数且,则（ ） A. 0 B. 100 C. D. 10 200 2. 已知等差数列满足. （1） 求的通项公式; （2） 若 ,记的前项和为,求. 考点二 裂项相消法求和 例2 已知数列为公差大于0的等差数列，,且,,成等比数列. （1） 求数列的通项公式； （2） 设,数列的前项和为,若,求的值. 解题技法 破解裂项相消求和的关键点 （1）定通项：根据已知条件求出数列的通项公式; （2）巧裂项：根据通项公式的特征进行准确裂项，把数列的每一项，表示为两项之差的形式; （3）消项求和：通过累加抵消掉中间的项，达到消项的目的，准确求和. ［注意］（1）裂项原则：一般是前边裂几项,后边就裂几项,直到发现被消去项的规律为止. （2）消项规律：消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项. 对点训练 已知数列是递增的等比数列，且,. （1） 求数列的通项公式； （2） 设为数列的前项和，,求数列的前项和. 考点三 错位相减法求和（链接高考） 例3 [2023·全国甲卷]记为数列的前项和，已知，. （1） 求的通项公式; （2） 求数列的前项和. ［分析及溯源］ 试题以与的关系为载体，以求解通项公式与错位相减法求数列的前项和为表现形式.试题源于教材人教A版选择性必修第二册中数列求和公式，当时的具体形式，以及习题4.3复习巩固. 解题技法 错位相减法求和的注意事项 （1）掌握解题的“3个步骤” （2）注意解题的“3个关键” ①要善于识别题目类型,特别是等比数列的公比为负数的情形. ②在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式. ③在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比和两种情况求解. 【考题变式】 已知数列的前项和为，且，. （1） 求数列的通项公式； （2） 求数列的前项和. 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. 在数列中,,,,则数列的前60项和为（ ） A. 990 B. 1 000 C. 1 100 D. 99 2. 若数列的通项公式为,则数列的前项和（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列的前项和为,等比数列的前项和为,且,,则（ ） A. 13 B. 25 C. 37 D. 41 4. 已知在等差数列中，,等比数列的公比满足且,则（ ） A. B. C. D. 5. （多选）已知数列满足,，记的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列满足,,,则数列的前10项和为 7. 已知数列的前项和为,.当时，,则 8. 将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则数列的前项和为 9. 已知正项数列的前项和为,且满足. （1） 求证：数列是等差数列； （2） 设,求数列的前项和. B 综合运用 10. 已知数列的通项公式为,则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列满足,在,之间插入个1，构成数列,1,,1,1,,1,1,1,, ，则数列的前100项的和为（ ） A. 178 B. 191 C. 206 D. 216 12. 已知数列的通项公式为，则数列的前8项和为 13. [2023·全国乙卷]记为等差数列的前项和.已知,． （1） 求的通项公式； （2） 求数列的前项和． C 素养提升 14. [2024·江苏南京、盐城模拟]已知数列满足,,. （1） 判断数列是否是等比数列，并求数列的通项公式； （2） 若，求数列的前项和. 学科网（北京）股份有限公司 $$