第3讲等比数列专题讲义-2025届高三数学一轮复习

第3讲 等比数列 课标要求： 1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前项和公式. 3.能在具体的问题情境中发现数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题. 4.了解等比数列与指数函数的关系. 考情分析： 高考以等比数列的通项公式、性质及其前项和为考查重点,预计2025年高考仍会考查等比数列及其前项和的基本运算与性质，题目以客观题或解答题的形式呈现，属中档题型. 理一理 1. 等比数列的有关概念 （1）定义:如果一个数列从①第2项起，每一项与它的前一项的比都等于②同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的③公比，通常用字母④  表示，定义的表达式为. （2）等比中项:如果,,成等比数列，那么⑤  叫做与的等比中项.即：是与的等比中项,,成等比数列. ［提醒］ （1）在等比数列中，易忽视每一项与公比都不为0；（2）只有当两个数同号时，这两个数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数. 2. 等比数列的基本公式 （1）通项公式：⑥  . （2）前项和公式： ［提醒］ 在求等比数列的前 项和时，易忽略 这一特殊情形. 3. 等比数列的常用性质 已知数列是等比数列，是其前项和. （1）通项公式的推广：; （2）若,则⑩  ⑪  ; （3）若数列,（项数相同）是等比数列，则，,,,仍然是等比数列； （4）在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即,,,， 为等比数列，公比为; （5）公比不为的等比数列的前项和为,则,,仍成等比数列，其公比为;当公比为时，,,不一定构成等比数列. 记一记 1.等比数列的单调性 当,或,时，是递增数列；当，或,时，是递减数列；当时，是常数列. 2.等比数列的常用结论 （1）; （2）若,则,,， 成等比数列； （3）若数列的项数为,则;若项数为,则. 用一用 1. 在等比数列中，已知，，则数列为（ ） A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 摆动数列 [解析]选.由,可知,解得. 又，所以等比数列 为递增数列. 2. 已知等比数列共有项，其和为,且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 . [解析]由题意，得 解得 所以. 核心考点⇄师生共研 考点一 等比数列基本量的运算 例1 （1） 已知等比数列的前项和为,,,若,则 [解析]设等比数列 的公比为,因为,，所以,解得,又,即,解得. （2） 已知数列为等比数列，其前项和为,若,,则 [解析]因为数列 为等比数列，，解得,设等比数列 的公比为，则,解得 或.当 时，则;当 时，则. 解题技法 解决等比数列有关问题的两种常用思想 （1）方程思想,等比数列中有五个量,,,,，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）求关键量和，问题可迎刃而解. （2）分类讨论思想,等比数列的前项和公式涉及对公比的分类讨论，当时，的前项和；当时，的前项和. 对点训练 1. [2023·全国甲卷]设等比数列的各项均为正数，前项和为,若，,则（ ） A. B. C. 15 D. 40 [解析]选.设等比数列 的公比为,且.由，得,解得.所以.故选. 2. （多选）已知等比数列的各项均为正数，且,,成等差数列，则下列说法正确的是 （ ） A. B. C. 或 D. [解析]选.设等比数列 的公比为, 由题意得,即. 因为数列 的各项均为正数，所以，且，故，正确； 由,解得 或（舍去）, 所以,,故 错误，正确.故选. 考点二 等比数列的判定与证明 例2 已知数列的前项和为,,,若,求证：数列是等比数列. 【证明】 因为, 所以， 因为, 所以， 而， 所以， 所以, 所以数列 是首项为3，公比为2的等比数列. 解题技法 ［注意］（1）在解答题中证明一个数列为等比数列时，只能用定义法和等比中项法；（2）如果要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续的三项不成等比数列即可. 对点训练 已知数列和满足,,,. （1） 证明：和都是等比数列； 解：证明：因为，， 所以，， 又由，得，， 所以,, 所以数列 是首项为5，公比为3的等比数列，数列 是首项为1，公比为 的等比数列. （2） 求的前项和. [答案]由（1）得，， 所以， ， 所以，所以 . 考点三 等比数列的性质及应用 角度1 等比数列项的性质 例3 在等比数列中，,,则  . [解析], 因为在等比数列 中，, 则， 所以原式. 解题技法 在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用等比数列的性质，特别是“若，则”,可以减少运算量，提高解题速度. 角度2 等比数列前项和的性质（链接高考） 例4 [2023·新课标Ⅱ卷]记为等比数列的前项和，若，，则（ ） A. 120 B. 85 C. D. ［分析及溯源］ 本题考查等比数列的前项和公式及其前项和的性质，试题源于教材人教A版选择性必修第二册与例9. [解析]方法一：设等比数列 的公比为，由题意易知, 则 化简整理得 所以. 方法二：易知,,,, 为等比数列，所以,解得 或.当 时，由,解得；当 时，结合 得 化简可得，不成立，舍去.所以. 故选. 【考题变式】 1. （条件变式）记为等差数列的前项和，,,则（ ） A. 210 B. 230 C. 250 D. 300 [解析]选.由数列 是等差数列可知， ,,成等差数列. 即,,成等差数列, 由等差中项的定义可得. 解得.又. 则. 2. （设问变式）已知公比不为1的等比数列的前项和为,若,,则（ ） A. B. C. 8 D. 16 [解析]选.设等比数列 的公比为.因为，所以,所以. 因为,所以, 则. 因为，所以.所以. 故. 解题技法 等比数列性质应用问题的解题突破口 等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征，即可找出解决问题的突破口. ［注意］ 在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要对性质进行适当变形.此外，解题时注意“设而不求”的运用. 对点训练 1. 已知数列是等比数列，,是函数的两个不同零点，则（ ） A. 16 B. C. 14 D. [解析]选.根据题意，由数列 是等比数列，得,所以.故选. 2. 已知等比数列共有奇数个项，所有奇数项和，所有偶数项和，末项是192，则首项（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 [解析]选.因为, 所以， 又，即, 解得. 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. 已知数列满足，若,,则（ ） A. B. C. 2 D. 8 [解析]选.由 可知，数列 为等比数列，则,设数列 的公比为,因为,且，所以，所以.故选. 2. 已知数列是公比为的等比数列，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 [解析]选.若，满足，但，推不出“”，充分性不成立； 若，满足，但，推不出“”，必要性不成立.故选. 3. 已知各项均为正数的等比数列中，,,则（ ） A. 25 B. 20 C. D. 10 [解析]选.方法一：因为数列 为正项等比数列，所以,,,又,所以,得.故选. 方法二：因为数列 为正项等比数列，所以,,成等比数列，所以，又,所以.故选. 4. [2023·天津卷]已知为等比数列,为数列的前项和，，则的值为 （ ） A. 3 B. 18 C. 54 D. 152 [解析]选.当 时，①,,得,所以,所以.因为 为等比数列，所以 解得,所以数列 的首项为2，公比为3，所以,所以.故选. 5. （多选）已知数列的前项和为,,则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 数列是等比数列 D. 数列的前项和为 [解析]选.因为,所以,得,,所以,,因为,所以，所以数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，则,.由上述内容可知，选项,正确；当 时，,选项 错误；因为,,所以,又,所以数列 是首项为，公比为2的等比数列，则数列 的前 项和为,选项 正确.故选. 6. 设等比数列的前项和为,若 ,则 [解析]因为 ， , ,,，因为 是等比数列，所以,即,解得. 7. [2024·福建泉州质量监测]已知等比数列的公比,,,则 [解析]通解:由已知得 因为，所以可得 所以. 优解：因为数列 是等比数列，所以，由,得,因为 且,所以可得,,所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以. 8. 设为等比数列，其前项和为,,,则数列的通项公式是  ;若,则的最小值为6. [解析]设等比数列 的公比为,则,,解得,,故,,,即,,故 的最小值为6. 9. 已知等比数列中，,. （1） 求数列的通项公式； 解：设数列 的公比为，由题设得. 由已知得,解得（舍去），或. 故 或. （2） 记为数列的前项和，若,求. [答案]若,则. 由 得，此方程没有正整数解. 若,则. 由 得，解得.综上，. B 综合运用 10. 若数列满足，则称为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且,则（ ） A. B. C. D. [解析]选.若 为“梦想数列”，则有,即,即,且,所以数列 是以2为首项，为公比的等比数列，则.故选. 11. （人教A版选择性必修第二册P41T10改编）已知等比数列的前项积为,若,,则当取最大值时，的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 [解析]选.由,,可得,解得,所以,当 取最大值时，可得 为偶数，当 时，;当 时，;当 时，，则，又当，且 为偶数时，，故当 时，取得最大值.故选. 12. （人教A版选择性必修第二册 改编）2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程. 若第1个图形中的三角形的边长为2，则第4个图形的周长为 [解析]记第 个图形为，三角形边长为，边数为，周长为，则 有 条边，边长为;有 条边，边长；有 条边，边长；……；分析可知，，，当第1个图形中的三角形的边长为2，即，时，，则第4个图形的周长为. 13. [2022·新高考Ⅱ卷]已知是等差数列，是公比为2的等比数列，且. （1） 证明：； 解：证明：设等差数列 的公差为，所以 解得，所以 得证. （2） 求集合,中元素的个数. [答案]由（1）知，，所以 即，可得，即，解得，又,所以满足等式的解,3,4， ,10,故集合,中的元素个数为. C 素养提升 14. 已知数列中，,,. （1） 若,求的值； 解：因为,,所以, ,,, 由于，所以，，，， 因为,所以. （2） 是否存在,使数列为等比数列？若存在，求数列的前项和；若不存在，请说明理由. [答案]因为,,, 所以,, 假设存在,使数列 为等比数列， 则有,即，解得（负值已舍去）. 设等比数列 的公比为,则, 所以,,满足题意， 故存在,使数列 为等比数列，此时,数列 的前 项和. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3讲 等比数列 课标要求： 1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前项和公式. 3.能在具体的问题情境中发现数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题. 4.了解等比数列与指数函数的关系. 考情分析： 高考以等比数列的通项公式、性质及其前项和为考查重点,预计2025年高考仍会考查等比数列及其前项和的基本运算与性质，题目以客观题或解答题的形式呈现，属中档题型. 理一理 1. 等比数列的有关概念 （1）定义:如果一个数列从①第2项起，每一项与它的前一项的比都等于②同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的③公比，通常用字母④  表示，定义的表达式为. （2）等比中项:如果,,成等比数列，那么⑤  叫做与的等比中项.即：是与的等比中项,,成等比数列. ［提醒］ （1）在等比数列中，易忽视每一项与公比都不为0；（2）只有当两个数同号时，这两个数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数. 2. 等比数列的基本公式 （1）通项公式：⑥  . （2）前项和公式： ［提醒］ 在求等比数列的前 项和时，易忽略 这一特殊情形. 3. 等比数列的常用性质 已知数列是等比数列，是其前项和. （1）通项公式的推广：; （2）若,则⑩  ⑪  ; （3）若数列,（项数相同）是等比数列，则，,,,仍然是等比数列； （4）在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即,,,， 为等比数列，公比为; （5）公比不为的等比数列的前项和为,则,,仍成等比数列，其公比为;当公比为时，,,不一定构成等比数列. 记一记 1.等比数列的单调性 当,或,时，是递增数列；当，或,时，是递减数列；当时，是常数列. 2.等比数列的常用结论 （1）; （2）若,则,,， 成等比数列； （3）若数列的项数为,则;若项数为,则. 用一用 1. 在等比数列中，已知，，则数列为（ ） A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 摆动数列 2. 已知等比数列共有项，其和为,且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 . 核心考点⇄师生共研 考点一 等比数列基本量的运算 例1 （1） 已知等比数列的前项和为,,,若,则 （2） 已知数列为等比数列，其前项和为,若,,则 解题技法 解决等比数列有关问题的两种常用思想 （1）方程思想,等比数列中有五个量,,,,，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）求关键量和，问题可迎刃而解. （2）分类讨论思想,等比数列的前项和公式涉及对公比的分类讨论，当时，的前项和；当时，的前项和. 对点训练 1. [2023·全国甲卷]设等比数列的各项均为正数，前项和为,若，,则（ ） A. B. C. 15 D. 40 2. （多选）已知等比数列的各项均为正数，且,,成等差数列，则下列说法正确的是 （ ） A. B. C. 或 D. 考点二 等比数列的判定与证明 例2 已知数列的前项和为,,,若,求证：数列是等比数列. 解题技法 ［注意］（1）在解答题中证明一个数列为等比数列时，只能用定义法和等比中项法；（2）如果要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续的三项不成等比数列即可. 对点训练 已知数列和满足,,,. （1） 证明：和都是等比数列； （2） 求的前项和. 考点三 等比数列的性质及应用 角度1 等比数列项的性质 例3 在等比数列中，,,则 解题技法 在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用等比数列的性质，特别是“若，则”,可以减少运算量，提高解题速度. 角度2 等比数列前项和的性质（链接高考） 例4 [2023·新课标Ⅱ卷]记为等比数列的前项和，若，，则（ ） A. 120 B. 85 C. D. 【考题变式】 1. （条件变式）记为等差数列的前项和，,,则（ ） A. 210 B. 230 C. 250 D. 300 2. （设问变式）已知公比不为1的等比数列的前项和为,若,,则（ ） A. B. C. 8 D. 16 解题技法 等比数列性质应用问题的解题突破口 等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征，即可找出解决问题的突破口. ［注意］ 在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要对性质进行适当变形.此外，解题时注意“设而不求”的运用. 对点训练 1. 已知数列是等比数列，,是函数的两个不同零点，则（ ） A. 16 B. C. 14 D. 2. 已知等比数列共有奇数个项，所有奇数项和，所有偶数项和，末项是192，则首项（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. 已知数列满足，若,,则（ ） A. B. C. 2 D. 8 2. 已知数列是公比为的等比数列，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知各项均为正数的等比数列中，,,则（ ） A. 25 B. 20 C. D. 10 4. [2023·天津卷]已知为等比数列,为数列的前项和，，则的值为 （ ） A. 3 B. 18 C. 54 D. 152 5. （多选）已知数列的前项和为,,则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 数列是等比数列 D. 数列的前项和为 6. 设等比数列的前项和为,若 ,则 7. [2024·福建泉州质量监测]已知等比数列的公比,,,则 8. 设为等比数列，其前项和为,,,则数列的通项公式是  ;若,则的最小值为6. 9. 已知等比数列中，,. （1） 求数列的通项公式； （2） 记为数列的前项和，若,求. B 综合运用 10. 若数列满足，则称为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且,则（ ） A. B. C. D. 11. （人教A版选择性必修第二册P41T10改编）已知等比数列的前项积为,若,,则当取最大值时，的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 12. （人教A版选择性必修第二册 改编）2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程. 若第1个图形中的三角形的边长为2，则第4个图形的周长为 13. [2022·新高考Ⅱ卷]已知是等差数列，是公比为2的等比数列，且. （1） 证明：； （2） 求集合,中元素的个数. C 素养提升 14. 已知数列中，,,. （1） 若,求的值； （2） 是否存在,使数列为等比数列？若存在，求数列的前项和；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$