第2讲等差数列专题讲义-2025届高三数学一轮复习

第2讲 等差数列 课标要求： 1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式与前项和公式. 3.能在具体的问题情境中发现数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题. 4.体会等差数列与一次函数、二次函数的关系. 考情分析： 高考以考查等差数列的通项、前项和及性质为主，等差数列的证明也是考查的热点.预计2025年在高考中既可以以选择题、填空题的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查.解答题往往与等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查. 理一理 1. 等差数列的有关概念 （1） 定义：如果一个数列从①第2项起，每一项与它的前一项的②差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为③  （，为常数）. （2） 等差中项：数列,,成等差数列的充要条件是④  ，其中叫做与的⑤等差中项. ［提醒］ 理解定义要注意三个关键词：“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”. 2. 等差数列的基本公式 （1） 通项公式：⑥  . （2） 前项和公式：⑦  . 3.等差数列的常用性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和. （1）通项公式的推广：; （2）在等差数列中，当时，.特别地，若,则; （3）,,, 仍是等差数列，公差为. 记一记 1.等差数列的函数的性质 （1）等差数列的单调性：当时，是递增数列；当时，是递减数列；当时，是常数列. （2）在等差数列中，，，则存在最大值；若,,则存在最小值. 2.两个常用结论 （1）关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 ①若项数为,则,; ②若项数为,则,,,. （2）两个等差数列,的前项和,之间的关系为. 用一用 1. 已知数列的通项公式，则其前项和取得最大值时的值为（ ） A. 1 B. 7或8 C. 8 D. 7 2. 已知数列和都是等差数列,且其前项和分别为和,若,则（ ） A. B. C. D. 核心考点⇄师生共研 考点一 等差数列基本量的运算 例1 （1） [2023·全国甲卷]记为等差数列的前项和．若,，则（ ） A. 25 B. 22 C. 20 D. 15 （2） （多选）记为等差数列的前项和.已知,,则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 解题技法 等差数列基本量运算的常见类型及解题策略 （1）求公差或项数在求解时，一般要运用方程思想； （2）求通项：和是等差数列的两个基本元素； （3）求特定项：利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解； （4）求前项和：利用等差数列的前项和公式直接求解或利用等差中项间接求解. 对点训练 1. 已知等差数列的前项和为，且,,则（ ） A. 82 B. 97 C. 100 D. 115 2. 在等差数列中，已知,,,则数列的前项和为（ ） A. 12 B. 22 C. 23 D. 25 考点二 等差数列的判定与证明 例2 [2022·全国甲卷]记为数列的前项和.已知． （1） 证明：是等差数列； （2） 若,,成等比数列，求的最小值． 解题技法 等差数列的判定与证明的方法 方法 解读 适合题型 定义法 等于同一常数是等差数列 解答题中的证明问题 等差中项法 成立是等差数列 通项公式法 （,为常数）对任意的正整数都成立是等差数列 选择、填空题中的判定问题 前项和公式法 （,是常数）对任意的正整数都成立是等差数列 对点训练 1. 已知数列的前项和且,,则（ ） A. 13 B. 49 C. 35 D. 63 2. 已知数列满足,，且，则数列的第100项为（ ） A. B. C. D. 考点三 等差数列的性质及应用 角度1 等差数列项的性质 例3 （1） 设公差不为0的等差数列的前项和为，已知，则（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 （2） 已知数列，都是等差数列，且,,,则 解题技法 等差数列的常用性质 两项和的转换是最常用的性质，利用可实现项的合并与拆分，在中，与可相互转化. 角度2 等差数列前项和的性质 例4 （1） 已知一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差5. （2） 已知等差数列,的前项和分别为,,若对任意正整数都有,则  . 解题技法 等差数列前 项和的性质 在等差数列中，为其前项和，则 （1）. （2）. （3）,，， 成等差数列. 角度3 等差数列的最值问题 例5 （多选）设等差数列的前项和为，若,,则（ ） A. B. C. ，， ，中最大的项为 D. ，， ，中最大的项为 解题技法 求等差数列前 项和 最值的2种方法 对点训练 1. 若等差数列的前15项和，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 已知等差数列的公差为2,前项和为，若，则的最大值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 3. 设是等差数列的前项和，若，则  . 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. 已知为等差数列，其前项和为,若,,,则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 2. [2024·云南昆明模拟]已知和均为等差数列,,,,则数列的前50项和为（ ） A. 5 000 B. 5 050 C. 5 100 D. 5 150 3. 《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，春分当日日影长为6尺，则立夏当日日影长为（ ） A. 16.5尺 B. 13尺 C. 3.5尺 D. 2.5尺 4. [2024·四川南充模拟]已知等差数列的前项和为，,,则的最大值为（ ） A. 60 B. 50 C. D. 30 5. （多选）记为等差数列的前项和,公差为,若,,则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 取得最大值时， 6. （人教A版选择性必修第二册 改编）记为等差数列的前项和.若,,则 7. 若一个等差数列满足：①每项均为正整数；②首项与公差的积大于该数列的第二项且小于第三项.写出一个满足条件的数列的通项公式 8. 在等差数列中，若,则 9. 设数列的前项和为,且.数列满足,. （1） 求数列的通项公式； （2） 证明数列为等差数列，并求数列的通项公式. B 综合运用 10. 已知等差数列满足,，则（ ） A. B. C. D. 11. 在等差数列中，,.记,则数列（ ） A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项 12. [2022·新高考Ⅱ卷]图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中,,,是举，,,,是相等的步，相邻桁的举步之比分别为,,,．已知,,成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为，则（ ） A. 0.75 B. 0.8 C. 0.85 D. 0.9 13. 已知公差不为0的等差数列满足,. （1） 求数列的通项公式； （2） 记数列的前项和为，求使成立的最大正整数. C 素养提升 14. 已知公差不为0的等差数列的前项和为,是,的等比中项，且. （1） 求； （2） 若数列是公差为的等差数列，其前项和为,且,则是否存在最值？如果存在，求出最值；如果不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2讲 等差数列 课标要求： 1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式与前项和公式. 3.能在具体的问题情境中发现数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题. 4.体会等差数列与一次函数、二次函数的关系. 考情分析： 高考以考查等差数列的通项、前项和及性质为主，等差数列的证明也是考查的热点.预计2025年在高考中既可以以选择题、填空题的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查.解答题往往与等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查. 理一理 1. 等差数列的有关概念 （1） 定义：如果一个数列从①第2项起，每一项与它的前一项的②差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为③  （，为常数）. （2） 等差中项：数列,,成等差数列的充要条件是④  ，其中叫做与的⑤等差中项. ［提醒］ 理解定义要注意三个关键词：“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”. 2. 等差数列的基本公式 （1） 通项公式：⑥  . （2） 前项和公式：⑦  . 3.等差数列的常用性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和. （1）通项公式的推广：; （2）在等差数列中，当时，.特别地，若,则; （3）,,, 仍是等差数列，公差为. 记一记 1.等差数列的函数的性质 （1）等差数列的单调性：当时，是递增数列；当时，是递减数列；当时，是常数列. （2）在等差数列中，，，则存在最大值；若,,则存在最小值. 2.两个常用结论 （1）关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 ①若项数为,则,; ②若项数为,则,,,. （2）两个等差数列,的前项和,之间的关系为. 用一用 1. 已知数列的通项公式，则其前项和取得最大值时的值为（ ） A. 1 B. 7或8 C. 8 D. 7 [解析]选.由 知数列 为等差数列， 因为,,则 有最大值. 由，即,解得. 又,所以当 时，; 当 时，， 所以前 项和 取得最大值时，.故选. 2. 已知数列和都是等差数列,且其前项和分别为和,若,则（ ） A. B. C. D. [解析]选. 核心考点⇄师生共研 考点一 等差数列基本量的运算 例1 （1） [2023·全国甲卷]记为等差数列的前项和．若,，则（ ） A. 25 B. 22 C. 20 D. 15 [解析]方法一：由,可得,所以，又，所以.设等差数列 的公差为，则,又,所以，所以. 方法二：设等差数列 的公差为,则由，可得，① 由，可得,② 由①②可得，,所以.故选. （2） （多选）记为等差数列的前项和.已知,,则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. [解析],所以,正确；,,②联立①②得 所以,正确,错误；,正确. 解题技法 等差数列基本量运算的常见类型及解题策略 （1）求公差或项数在求解时，一般要运用方程思想； （2）求通项：和是等差数列的两个基本元素； （3）求特定项：利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解； （4）求前项和：利用等差数列的前项和公式直接求解或利用等差中项间接求解. 对点训练 1. 已知等差数列的前项和为，且,,则（ ） A. 82 B. 97 C. 100 D. 115 [解析]选.设等差数列 的公差为,又,所以,所以,因为,所以,解得,所以. 2. 在等差数列中，已知,,,则数列的前项和为（ ） A. 12 B. 22 C. 23 D. 25 [解析]选.设等差数列 的公差为,所以,解得,又,所以,所以,解得，所以数列 的前 项和为.故选. 考点二 等差数列的判定与证明 例2 [2022·全国甲卷]记为数列的前项和.已知． （1） 证明：是等差数列； 【解】证明：由，得，① 所以，② ，得， 化简得,所以数列 是公差为1的等差数列. （2） 若,,成等比数列，求的最小值． [答案]由（1）知数列 的公差为1. 由， 得, 解得. 所以， 所以当 或 时，取得最小值，最小值为. 解题技法 等差数列的判定与证明的方法 方法 解读 适合题型 定义法 等于同一常数是等差数列 解答题中的证明问题 等差中项法 成立是等差数列 通项公式法 （,为常数）对任意的正整数都成立是等差数列 选择、填空题中的判定问题 前项和公式法 （,是常数）对任意的正整数都成立是等差数列 对点训练 1. 已知数列的前项和且,,则（ ） A. 13 B. 49 C. 35 D. 63 [解析]选.由 可知数列 是等差数列，依题意得，,则,即,,所以.故选. 2. 已知数列满足,，且，则数列的第100项为（ ） A. B. C. D. [解析]选.因为, 所以,所以 为等差数列，首项为,第2项为,所以,所以，所以.故选. 考点三 等差数列的性质及应用 角度1 等差数列项的性质 例3 （1） 设公差不为0的等差数列的前项和为，已知，则（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 [解析]因为，所以,所以,即,所以. （2） 已知数列，都是等差数列，且,,,则4 051. [解析]令，因为，都是等差数列，所以 也是等差数列.设数列 的公差为,由已知，得,,则,解得.故. 解题技法 等差数列的常用性质 两项和的转换是最常用的性质，利用可实现项的合并与拆分，在中，与可相互转化. 角度2 等差数列前项和的性质 例4 （1） 已知一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差5. [解析]设偶数项和为，则奇数项和为，由 可得， 故公差. （2） 已知等差数列,的前项和分别为,,若对任意正整数都有,则  . [解析]，所以. 解题技法 等差数列前 项和的性质 在等差数列中，为其前项和，则 （1）. （2）. （3）,，， 成等差数列. 角度3 等差数列的最值问题 例5 （多选）设等差数列的前项和为，若,,则（ ） A. B. C. ，， ，中最大的项为 D. ，， ，中最大的项为 [解析]由,得，故 正确；由，得，所以，且，故 正确；所以数列 为递减数列，且， ，为正，， ，为负，且， ，大于0，， ，小于0，则，， ，，，， ，，又，，所以，所以，， ，中最大的项为，故 错误，正确. 解题技法 求等差数列前 项和 最值的2种方法 对点训练 1. 若等差数列的前15项和，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 [解析]选.因为，所以，所以，所以，所以.所以. 2. 已知等差数列的公差为2,前项和为，若，则的最大值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 [解析]选.由题意，解得,则,即当 时，取最大值9.故选. 3. 设是等差数列的前项和，若，则  . [解析]令，则由， 得. 又由等差数列 的性质得，，，成等差数列， 故有，，， 相加可得， 所以， 则， 所以. 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. 已知为等差数列，其前项和为,若,,,则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 [解析]选.因为,,解得（负值已舍去）.故选. 2. [2024·云南昆明模拟]已知和均为等差数列,,,,则数列的前50项和为（ ） A. 5 000 B. 5 050 C. 5 100 D. 5 150 [解析]选.因为数列 与 均为等差数列，所以数列 仍为等差数列.其首项为,公差,所以数列 的前50项和.故选. 3. 《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，春分当日日影长为6尺，则立夏当日日影长为（ ） A. 16.5尺 B. 13尺 C. 3.5尺 D. 2.5尺 [解析]选.设十二节气自冬至日起的日影长构成等差数列,则立春当日日影长为 尺，春分当日日影长为 尺，所以立夏当日日影长为 尺. 4. [2024·四川南充模拟]已知等差数列的前项和为，,,则的最大值为（ ） A. 60 B. 50 C. D. 30 [解析]选.由题意得，解得，因为 为等差数列，且,，所以当,时，,当，时，，故 的最大值为.故选. 5. （多选）记为等差数列的前项和,公差为,若,,则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 取得最大值时， [解析]选.因为数列 是等差数列，，所以，可得. 对于，因为,所以,故 正确； 对于，, ,故 正确； 对于,, 因此,故 错误； 对于,,当 时 取到最大值，因为，所以 或，故 错误. 6. （人教A版选择性必修第二册 改编）记为等差数列的前项和.若,,则 [解析]设等差数列 的公差为,则由,得,即,解得,所以. 7. 若一个等差数列满足：①每项均为正整数；②首项与公差的积大于该数列的第二项且小于第三项.写出一个满足条件的数列的通项公式 [解析]设等差数列 的公差为,由题意得，,所以,又,为正整数，所以可取,,故. 8. 在等差数列中，若,则 [解析]根据题意可得 , ,所以. 9. 设数列的前项和为,且.数列满足,. （1） 求数列的通项公式； 解：当 时，; 当 时，. 因为 符合上式，所以. （2） 证明数列为等差数列，并求数列的通项公式. [答案]由（1）得,即.又, 所以数列 是首项为1，公差为2的等差数列. 所以.所以. B 综合运用 10. 已知等差数列满足,，则（ ） A. B. C. D. [解析]选.设等差数列 的公差为， 则, 解得. 又, 解得.所以. 故选. 11. 在等差数列中，,.记,则数列（ ） A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项 [解析]选.设等差数列 的公差为,由,,得,所以. 由,得,而, 可知数列 是递增数列，且前5项为负值，自第6项开始为正值. 可知,,,为最大项， 自 起均小于0，且逐渐减小.所以数列 有最大项，无最小项. 12. [2022·新高考Ⅱ卷]图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中,,,是举，,,,是相等的步，相邻桁的举步之比分别为,,,．已知,,成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为，则（ ） A. 0.75 B. 0.8 C. 0.85 D. 0.9 [解析]选.如图，连接，延长 与 轴交于点，则.因为，，成公差为0.1的等差数列，所以，，所以，，，即，，.又，所以，所以,所以,解得.故选. 13. 已知公差不为0的等差数列满足,. （1） 求数列的通项公式； 解：设等差数列 的公差为, 由 得 解得 所以. （2） 记数列的前项和为，求使成立的最大正整数. [答案]由（1）得, 若,则, 即, 解得,所以使 成立的最大正整数 为10. C 素养提升 14. 已知公差不为0的等差数列的前项和为,是,的等比中项，且. （1） 求； 解：设等差数列 的公差为, 则由题知 解得 所以. （2） 若数列是公差为的等差数列，其前项和为,且,则是否存在最值？如果存在，求出最值；如果不存在，请说明理由. [答案]由（1）可知. 因为数列 的公差为，所以. 所以当 时，有最大值，最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$