精品解析：甘肃省陇南市康县2024—2025学年上学期八年级期末数学试卷

2024－2025学年甘肃省陇南市康县八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. 下列各式，，，中，分式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列关于体育的图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 使分式 有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 4. 下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式中能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在五边形中，，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. 16 B. 25 C. 32 D. 64 9. 如图，在中，，，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，小于长为半径画弧，分别交、于点E、F； ②分别以点E、F为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧相交于点G； ③作射线，交边于点D．则的度数为（    ） A. B. C. D. 10. 九年级学生去距学校10 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.设骑车学生的速度为x km/h，则所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知，，则_____． 12. 如果是一个完全平方式，那么k的值为__________． 13. 石墨烯目前是世界上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅米，将这个数用科学记数法表示为______米． 14. 已知关于x的分式方程的解是，则k的值为________． 15. 如图，在中，分别是边上的高和中线．若，则的面积是 _____________ 16. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E，垂足分别为M，N，已知的周长为22，则的长为_______． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 因式分解：． 18. 计算：． 19. 解分式方程：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，在和中，D是AC上一点，，，．求证：． 22. 某公司研发6000件新产品，需要甲、乙两个工厂精加工后才能投放市场．已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用25天，而乙工厂每天加工的件数是甲工厂每天加工件数的1.5倍，问甲厂、乙厂每天各加工多少件新产品？ 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 已知关于x的方程．在解该方程时，去分母后所得整式方程的解不是原分式方程的解，求的值． 24. 如图，中，，，连接，是的角平分线，交于点F，交于点D，连接． （1）若，求的度数； （2）求证：． 25. 如图，两棵大树、之间相距（即），小华从点B沿走向点D，行走一段时间后，他到达点E，此时他仰望两棵大树的顶点A和C，且两条视线的夹角，且．已知大树的高为，小华行走的速度为． （1）求证： （2）求小华从点B走到点E的时间． 26. 阅读下列材料： 常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为： 分组 组内分解因式 整体思想提公因式 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式：； （2）已知的三边a、b、c满足，判断的形状并说明理由． 27. 如图，在中，，于点D，E是上一点，连接，与相交于点O，连接，，且． （1）求证：垂直平分； （2）若，求证：平分； （3）若，求证：是等边三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年甘肃省陇南市康县八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. 下列各式，，，中，分式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是分式．根据分式的定义“分母中含有未知数的式子是分式”解答即可． 【详解】解：式子中，分母中不含有未知数，不是分式， 式子，，中，分母中含有未知数，是分式． 故选：C． 2. 下列关于体育的图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行判断即可． 【详解】解：A能找到一条直线，使得直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；B，C，D不能找到一条直线，使得直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形， 故选：A． 3. 使分式 有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件“分母不能为零”，不等式的性质即可求解． 【详解】解：分式 有意义， ∴，解得，， 故选：． 【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，不等式的性质的综合，掌握分式有意义的条件是分母不能为零是解题的关键． 4. 下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义以及因式分解遵循的基本原则．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做多项式的因式分解，遵循的原则：多项式是恒等变形；结果必须是积的形式；分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能在分解为止等． 根据因式分解的定义以及其所遵循的原则逐项判断即可． 【详解】解：A、运用平方差公式进行的因式分解，故是因式分解； B、右边不是积的形式，故不是因式分解； C、右边不是积的形式，故不是因式分解； D、右边不是积的形式，故不是因式分解； 故选：A． 5. 下列各式中能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方差公式对各选项分别进行判断． 【详解】解：A、两项都是相同项，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； B、中两项有相反项，有相同项，能用平方差公式计算，故本选项符合题意； C、中两项都是相反项，没有相同项，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； D、只有相同的项，没有互为相反数的项，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方． 6. 如图，在中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，三角形外角的性质和三角形内角和定理，其中正确应用等腰三角形的性质是解答本题的关键． 根据等边对等角得到，然后由三角形外角的性质求出，进而求解即可． 【详解】解：中，， ， ， ， ． 故选：C． 7. 如图，在五边形中，，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，多边形内角和定理，关键是利用平行线的性质得到． 根据平行线的性质可得，再根据多边形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵五边形中，，， ∴． 故选：B． 8. 已知，则（ ） A. 16 B. 25 C. 32 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查幂的乘方和同底数幂的乘法的逆运算，利用幂的乘方、同底数幂的乘法逆运算法则将原式变形为，再整体代入计算即可． 【详解】解：原式． ∵， ∴． 故选：C． 9. 如图，在中，，，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，小于长为半径画弧，分别交、于点E、F； ②分别以点E、F为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧相交于点G； ③作射线，交边于点D．则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线，与角平分线有关的三角形的内角和定理，掌握基本作图是解题的关键． 由作图方法可得是的角平分线，进而根据，求得，根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 10. 九年级学生去距学校10 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.设骑车学生的速度为x km/h，则所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车的速度为2xkm/h，由题意得，．故选C． 考点：由实际问题抽象出分式方程． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知，，则_____． 【答案】12 【解析】 【分析】先因式分解，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：12． 【点睛】本题考查因式分解的应用，代数式求值，整体代入是解题的关键． 12. 如果是一个完全平方式，那么k的值为__________． 【答案】或4 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式．根据完全平方公式即可求出答案． 【详解】∵， ∴或4， 故答案为：或4． 13. 石墨烯目前是世界上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅米，将这个数用科学记数法表示为______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，进行求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故答案为：． 14. 已知关于x的分式方程的解是，则k的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了分式方程求解，解决本题的灌浆是将x的值代入方程，列出关于k的方程． 根据题意，将代入分式方程，关于k的方程，求出即可. 【详解】解：将代入分式方程可得： ， ∴， 解得 故答案为：2 15. 如图，在中，分别是边上的高和中线．若，则的面积是 _____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中线和高的定义．根据三角形中线的定义得到，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的高，且， ∴， 故答案为：10． 16. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E，垂足分别为M，N，已知的周长为22，则的长为_______． 【答案】22 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由，的垂直平分线分别交于D，E，根据线段垂直平分线的性质，可得，继而可得的周长等于的长． 【详解】解：∵，的垂直平分线分别交于点D，E， ∴， ∴，即为的周长， ∵的周长为22， ∴． 故答案为：22． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 因式分解：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查提取公因式与公式法的综合运用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用，先算乘方，再算乘法，最后算除法即可． 【详解】解： ． 19. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值这一知识点，把分式化到最简是解答的关键． 此题的运算顺序：先括号里通分，再把除法转化为乘法，约分化为最简，最后代值计算． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 21. 如图，在和中，D是AC上一点，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据平行线的性质求出，然后证明出，由此即可得出． 【详解】证明：∵ ∴ 又∵， ∴ ∴． 22. 某公司研发6000件新产品，需要甲、乙两个工厂精加工后才能投放市场．已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用25天，而乙工厂每天加工的件数是甲工厂每天加工件数的1.5倍，问甲厂、乙厂每天各加工多少件新产品？ 【答案】甲厂、乙厂每天各加工件、件新产品 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，设甲工厂每天加工x件新产品，则乙工厂每天加工件新产品，由甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用25天建立方程求出其解即可． 【详解】解：甲工厂每天加工件数为件，则乙工厂每天加工的件数是件，列方程得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意， ∴件， 答：甲厂、乙厂每天各加工件、件新产品． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 已知关于x的方程．在解该方程时，去分母后所得整式方程的解不是原分式方程的解，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，分式方程的解，利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后根据题意即可求得答案． 【详解】解：原方程去分母得：， 解得：， 由题意可得是分式方程的增根， 则， 解得：． 24. 如图，中，，，连接，是的角平分线，交于点F，交于点D，连接． （1）若，求的度数； （2）求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形． （1）根据角平分线定义和三角形内角和定理即可解决问题； （2）证明，即可解决问题． 【小问1详解】 解：在中，， ∵， ∴， ∵，是的角平分线， ∴，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：证明：在和中， ， ∴， ∴． 25. 如图，两棵大树、之间相距（即），小华从点B沿走向点D，行走一段时间后，他到达点E，此时他仰望两棵大树的顶点A和C，且两条视线的夹角，且．已知大树的高为，小华行走的速度为． （1）求证： （2）求小华从点B走到点E的时间． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质， （1）先证明，再根据证明三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质得出，再求出，进而可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ∵， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴小华走的时间是． 26. 阅读下列材料： 常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为： 分组 组内分解因式 整体思想提公因式 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式：； （2）已知的三边a、b、c满足，判断的形状并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：为等腰三角形． 理由：∵， ∴， ∴， ∴或， 三边都大于0， ∴． ∴，即， ∴为等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查分组分解法及三角形形状的判定，正确分组是求解本题的关键． （1）先分组，再用公式分解． （2）先因式分解，再求a,b,c的关系，判断三角形的形状 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 略 27. 如图，在中，，于点D，E是上一点，连接，与相交于点O，连接，，且． （1）求证：垂直平分； （2）若，求证：平分； （3）若，求证：是等边三角形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、角平分线的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证出，由线段垂直平分线的判定可得出结论； （2）由角平分线的判定可得出结论； （3）证出，．由（1）知垂直平分，则，由等边三角形的判定可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴． ∵，点A，O在上， ∴垂直平分； 【小问2详解】 ∵， ∴． 又∵，， 即，， ∴平分； 【小问3详解】 由（1）知． ∵， ∴是等边三角形， ∴，． 由（1）知垂直平分， ∴E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $