第13讲 复数的几何意义（2大知识点+7种必考题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（沪教版2020必修第二册）

第13讲 复数的几何意义 课程标准 学习目标 1.通过复数的几何意义，体会直观想象的素养． 2．借助复数的几何意义解题，培养数学运算的素养 1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系．(重点、难点) 2．掌握实轴、虚轴、模等概念．(易混点) 3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法．(重点) 知识点01复数的几何意义 （1）复平面（复平面中点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部） （2）复数的几何意义 ①复数z＝a＋bi（a，b∈R）复平面内的点z（a，b）. ②复数z＝a＋bi（a，b∈R）平面向量. （3）复平面上的两点间的距离公式：（，）. （4）复数的模 ①定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模或绝对值. ②记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. ③公式：|z|＝|a＋bi|＝（a，b∈R）. 如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数，它的模就等于|a|（a的绝对值）. （5）共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝a－bi. （6）两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。 （7）解复数方程 若，在复数集内有且仅有两个共轭复数根. 【即学即练1】（21-22高一下·上海徐汇·期末）复平面上，以原点为起点，平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（    ） A．正数 B．负数 C．实部不为零的虚数 D．纯虚数 知识点02 复数加减法的几何意义 ①复数加法的几何意义：如图，复数z 1＋z 2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数. ②复数加法的几何意义：两个向量与的和就是与复数（a＋c）＋（b＋d）i对应的向量，复数的加法可以按照向量的加法来进行. ③复数减法的几何意义：如图，复数z 1－z 2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数. 【即学即练2】（24-25高一上·上海·课堂例题）的几何意义是什么？ 题型一：复数的坐标表示 1.（23-24高一下·上海·期末）复平面上平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（    ） A．正数 B．负数 C．实部不为零的虚数 D．纯虚数 2．（22-23高一下·上海宝山·期末）欧拉公式（其中是自然对数的底数，为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位.当时，恒等式更是被数学家们称为“上帝创造的公式”.根据上述材料判断表示的复数在复平面对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（22-23高一下·上海闵行·期末）在复平面上，设点、对应的复数分别为、，当由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积是（   ） A． B． C． D． 4．（20-21高一下·上海·课后作业）若复数、满足，，则、在复平面上的对应点、是（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点为对称 D．关于直线对称 5.（23-24高一下·上海·期末）在复平面上，复数，对应的点分别为A、B，O为坐标原点，则 . 6．（21-22高一下·上海浦东新·期末）设复数，，在复平面的对应的向量分别为､，则向量对应的复数所对应的点的坐标为 . 题型二：在各象限内点对应复数的特征 1.（21-22高一下·上海黄浦·阶段练习）在复平面内，复数对应的点为A，对应的点为B，则向量的坐标是 . 2.（23-24高一·上海·课堂例题）已知复数，其中是实数． (1)若，求的值； (2)若在复平面上所对应的点位于第一象限，求的取值范围． 3．（20-21高一下·上海·单元测试）已知是复数，若为实数，且为纯虚数． （1）求复数； （2）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围． 题型三：判断复数对应的点所在的象限 1.（22-23高一下·上海普陀·期末）在复平面中，复数（为虚数单位）对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.．（22-23高一下·上海奉贤·阶段练习）已知是虚数单位，则在复平面内，复数对应的点所在位于第（        ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 3.（23-24高一下·上海·期末）已知为虚数单位，若复数满足：，则复数在复平面内所对应的点在第 象限． 4．（23-24高一下·上海·阶段练习）复数在复平面内对应的点位于第 象限. 5．（23-24高一下·上海·期中）复数在复平面内对应的点位于第 象限 6．（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知，在复平面内复数对应的点位于第 象限 7．（20-21高一下·上海普陀·阶段练习）已知复数，，则在复平面内对应的点位于第 象限． 8（23-24高一·上海·课堂例题）当复数z满足下列条件时，分别指出z在复平面上所对应的点Z的位置： (1)z是正实数； (2)z是负实数； (3)z是实部小于零、虚部大于零的虚数； (4)z是虚部小于零的纯虚数． 题型四：根据复数对应坐标的特点求参数 1.（21-22高一上·上海崇明·期末）若复数在复平面上对应的点在第四象限，则的取值范围是 ． 2．（20-21高一下·上海·单元测试）复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是 . 3．（24-25高一上·上海·单元测试）若复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是 . 4.（23-24高一·上海·课堂例题）设复数与在复平面所对应的点为与，试指出、与以原点为圆心、10为半径的圆C的位置关系． 5．（23-24高一下·上海金山·阶段练习）已知复数为虚数单位，其中是实数. (1)若是实数，求的值； (2)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围. 6．（21-22高一下·上海浦东新·期末）求实数的值或取值范围，使得复数在复平面上所对应的点分别位于： (1)虚轴上； (2)第四象限. 7．（21-22高一下·上海浦东新·阶段练习）已知复数（是虚数单位，，且为纯虚数（是的共轭复数）. (1)求实数的值及； (2)设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围. 8．（20-21高一下·上海徐汇·期末）已知复数，其中，为虚数单位． （1）当取何值时，为纯虚数； （2）如果复数在复平面上对应的点位于第二象限，求实数的取值范围． 题型五：求复数的模 1.（24-25高一上·上海·单元测试）若复数z满足，则的模长为 . 2．（24-25高一上·上海·单元测试）若复数，则 . 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，其中，i是虚数单位，则复数的模等于 . 4．（23-24高一下·上海·期末）已知复数的模长都为1，且复数的实部为，则的最大值为 ． 5.（23-24高一下·上海·期末）若复数是方程的一个根，则 ． 6.（23-24高一·上海·课堂例题）若复数满足，求． 7．（23-24高一·上海·课堂例题）设、，求证：． 8．（24-25高一上·上海·单元测试）已知复数z满足，求的取值范围. 9.（23-24高一下·上海·期末）已知为虚数，且为实数． (1)求证：； (2)若为纯虚数，求． 10.．（23-24高一下·上海·期末）已知复数满足为坐标原点，复数在复平面内对应的向量为. (1)求； (2)若向量绕逆时针旋转得到对应的复数为，求. 题型六：由复数模求参数 1.（24-25高一上·上海·随堂练习）已知复数（），且，则实数的取值范围是 . 2．（22-23高一下·上海长宁·期末）若复数，则实数 ． 3．（21-22高一下·上海浦东新·期末）若复数z满足且，则 ． 4．（20-21高一下·上海普陀·期末）已知复数满足，且，则 ． 5.（23-24高一下·上海闵行·期末）已知关于x的实系数一元二次方程有一对共轭虚根，． (1)当时，求共轭虚根和； (2)若，求实数a的值． 6．（21-22高一下·上海嘉定·期末）已知复数，若和互为共轭复数. (1)求实数a的值； (2)求满足不等式的实数m的取值范围. 7．（21-22高一下·上海徐汇·期末）已知关于x的实系数一元二次方程有两个虚根和. (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值. 题型七：与复数模相关的轨迹（图形）问题 1.（23-24高一下·上海·期末）若复数满足，则复数在复平面上对应的点的轨迹图形是（  ）. A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线的一支 2．（23-24高一下·上海·期末）已知复数满足，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·上海嘉定·期末）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4.（23-24高一下·上海·期末）已知复数满足，则的取值范围是 . 5．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知复数满足，，则的取值范围是 ． 6．（23-24高一下·上海·期中）设复数满足，则当取最大值时，对应的复平面上点的坐标是 ． 7．（22-23高一下·上海宝山·期末）已知，则的最大值是 . 8．（22-23高一下·上海浦东新·期末）如果复数满足，那么的最大值是 . 9．（21-22高一下·上海青浦·期末）若，且，则的最大值是 ． 10.（24-25高一上·上海·单元测试）若复数z满足，求的最小值. 11．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知复数，求的取值范围. 12．（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知虚数，，其中i为虚数单位，，、是实系数一元二次方程的两根． (1)求实数m、n的值； (2)若，求的取值范围． 一、单选题 1．（23-24高一下·上海·期末）设是虚数单位，若复数为纯虚数，则复数在复平面上所对应的点在（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25高一·上海·随堂练习）下列命题： ①实数在复平面内所对应的点在实轴上；②虚轴上的点所对应的数是纯虚数； ③若，则为虚数；④，则． 其中正确命题的个数是（    ）． A．4； B．3； C．2； D．1． 3．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知复数的共轭复数为，则下列命题错误的是（    ） A． B．为纯虚数 C． D． 4．（23-24高一下·上海·期末）都是复数，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B． C． D．则 二、填空题 5．（23-24高一下·上海·期中）若复数满足，则 . 6．（22-23高一下·上海黄浦·期末）若复数满足，，且（为虚数单位），则的最小值为 ． 7．（24-25高一上·上海·单元测试）设复数满足，则 . 8．（23-24高一·上海·课堂例题）下列三个命题中，真命题是 ． （1）在复平面上，表示实数的点都在实轴上，表示虚数的点都在虚轴上； （2）任何一个表示虚数的点一定在某一个象限内； （3）复数的模表示该复数在复平面上所对应的点到原点的距离． 9．（21-22高一下·上海普陀·期末）已知(为虚数单位)．设集合，则集合中的元素在复平面上对应点所形成图形的面积为 ． 10．（22-23高一下·上海杨浦·期末）若复数和复数满足，，，则 . 11．（22-23高一下·上海嘉定·期末）已知复平面上有点和点，使得向量所对应的复数是，则点的坐标为 . 12．（23-24高一下·上海黄浦·期末）i为虚数单位，若复数和复数满足，则的最大值为 ． 13．（23-24高一下·上海闵行·期末）若复数，满足．且（i为虚数单位），则 ． 14．（23-24高一下·上海松江·期末）复数满足（为虚数单位），则 . 15．（24-25高一上·上海·课后作业）复数z满足，它的几何意义是 ． 16．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）已知为复数，满足，则的值是 三、解答题 17．（23-24高一下·上海·期中）已知复数是纯虚数（为实数）． (1)求的值； (2)若，复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 18．（23-24高一·上海·课堂例题）设复数、、、、． (1)在复平面上分别作出这些复数所对应的点A、B、C、D、E； (2)在复平面上分别作出这些复数的共轭复数所对应的向量． 19．（23-24高一下·上海·期末）已知关于的实系数一元二次方程的两根为. (1)若为虚数，，且，求和的值； (2)若，求的值. 20．（23-24高一下·上海·期末）当实数为何值时，复数为： (1)实数； (2)纯虚数； (3)对应点在第二象限？ 21．（21-22高一下·上海宝山·期中）分式线性变换又称为莫比乌斯变换，它是定义在复数集中形如的变换，其中w称为z的“像”，z称为w的“原像”． (1)若，求i的“像”以及“原像”； (2)若，，求证：的充要条件是； (3)若，，z满足，求z的“像”在复平面上所构成图形的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 复数的几何意义 课程标准 学习目标 1.通过复数的几何意义，体会直观想象的素养． 2．借助复数的几何意义解题，培养数学运算的素养 1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系．(重点、难点) 2．掌握实轴、虚轴、模等概念．(易混点) 3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法．(重点) 知识点01复数的几何意义 （1）复平面（复平面中点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部） （2）复数的几何意义 ①复数z＝a＋bi（a，b∈R）复平面内的点z（a，b）. ②复数z＝a＋bi（a，b∈R）平面向量. （3）复平面上的两点间的距离公式：（，）. （4）复数的模 ①定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模或绝对值. ②记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. ③公式：|z|＝|a＋bi|＝（a，b∈R）. 如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数，它的模就等于|a|（a的绝对值）. （5）共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝a－bi. （6）两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。 （7）解复数方程 若，在复数集内有且仅有两个共轭复数根. 【即学即练1】（21-22高一下·上海徐汇·期末）复平面上，以原点为起点，平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（    ） A．正数 B．负数 C．实部不为零的虚数 D．纯虚数 【答案】D 【分析】根据向量的坐标写出对应复数，然后判断即可. 【详解】由题意可设， 所以对应复数为，此复数为纯虚数， 故选：D. 知识点02 复数加减法的几何意义 ①复数加法的几何意义：如图，复数z 1＋z 2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数. ②复数加法的几何意义：两个向量与的和就是与复数（a＋c）＋（b＋d）i对应的向量，复数的加法可以按照向量的加法来进行. ③复数减法的几何意义：如图，复数z 1－z 2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数. 【即学即练2】（24-25高一上·上海·课堂例题）的几何意义是什么？ 【答案】答案见解析 【分析】根据复数的几何意义可得答案. 【详解】在复平面内，两点、间的距离为两个复数的差的模，是所对应向量差的模 题型一：复数的坐标表示 1.（23-24高一下·上海·期末）复平面上平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（    ） A．正数 B．负数 C．实部不为零的虚数 D．纯虚数 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解． 【详解】复平面上平行于虚轴的非零向量所对应的复数实部为0，虚部为一个非0常数，即为纯虚数． 故选：D． 2．（22-23高一下·上海宝山·期末）欧拉公式（其中是自然对数的底数，为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位.当时，恒等式更是被数学家们称为“上帝创造的公式”.根据上述材料判断表示的复数在复平面对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据欧拉公式，写出复数的标准形式，利用三角函数的诱导公式，求得点的坐标，可得答案. 【详解】由题意，， ，， 故，则其在复平面对应的点坐标为， 即该点在第四象限. 故选：D. 3．（22-23高一下·上海闵行·期末）在复平面上，设点、对应的复数分别为、，当由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出取临界值时点的坐标、，即可得到图象，向量所扫过的图形区域的面积是的面积与弓形的面积之和，即向量所扫过的图形区域的面积是扇形的面积，从而求得向量所扫过的图形区域的面积. 【详解】由题意可得，点在单位圆上，点的坐标为， 如图：当时，点的坐标为，当时，点的坐标为， 向量所扫过的图形区域的面积是的面积与弓形的面积之和. 由于，关于实轴对称，所以的面积等于的面积(因为这两个三角形同底且等高)， 故向量所扫过的图形区域的面积是扇形的面积， 因为，所以扇形的面积为等于. 故选：B.    4．（20-21高一下·上海·课后作业）若复数、满足，，则、在复平面上的对应点、是（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点为对称 D．关于直线对称 【答案】B 【分析】设复数、，，依题意得到，，再根据复数的几何意义，写出复数在复平面内所对应的点的坐标，即可判断； 【详解】解：设复数、，，因为，，所以，， 所以、在复平面上的对应点、关于轴对称， 故选：B 5.（23-24高一下·上海·期末）在复平面上，复数，对应的点分别为A、B，O为坐标原点，则 . 【答案】1 【分析】由复数几何意义即可得A、B两点坐标，再由向量坐标形式的数量积公式即可求解. 【详解】由题得， 所以. 故答案为：1. 6．（21-22高一下·上海浦东新·期末）设复数，，在复平面的对应的向量分别为､，则向量对应的复数所对应的点的坐标为 . 【答案】 【分析】根据向量运算求得正确答案. 【详解】依题意，复数，，在复平面的对应的向量分别为､， 所以， 所以， 所以向量对应的复数所对应的点的坐标为. 故答案为： 题型二：在各象限内点对应复数的特征 1.（21-22高一下·上海黄浦·阶段练习）在复平面内，复数对应的点为A，对应的点为B，则向量的坐标是 . 【答案】 【分析】先求出,,再求出. 【详解】因为复数对应的点为A，对应的点为B， 所以,. 所以. 故答案为： 2.（23-24高一·上海·课堂例题）已知复数，其中是实数． (1)若，求的值； (2)若在复平面上所对应的点位于第一象限，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或. 【分析】（1）结合复数为实数的等价条件建立方程进行求解即可． （2）结合复数的几何意义建立不等式关系进行求解即可． 【详解】（1）由题意，， 则，解得或. （2）因为复数在复平面内对应的点位于第一象限， 所以，解得或. 3．（20-21高一下·上海·单元测试）已知是复数，若为实数，且为纯虚数． （1）求复数； （2）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）设，则，，再根据实数和纯虚数的定义，进行计算即可得解； （2）由在第四象限，可得实部和虚部的范围即可得解. 【详解】（1）设，为实数， 所以，所以， 为纯虚数， 所以，，所以， 所以； （2）由（1）知， 所以， 根据题意可得 ， 解得， 所以的取值范围为. 题型三：判断复数对应的点所在的象限 1.（22-23高一下·上海普陀·期末）在复平面中，复数（为虚数单位）对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用复数的除法化简所求复数，利用复数的几何意义可得出结论. 【详解】因为，该复数在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D. 2.．（22-23高一下·上海奉贤·阶段练习）已知是虚数单位，则在复平面内，复数对应的点所在位于第（        ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【分析】根据复数四则运算可知，即可得其对应的点为，位于第四象限. 【详解】由可知，， 因此其对应的点为，位于第四象限. 故选：D 3.（23-24高一下·上海·期末）已知为虚数单位，若复数满足：，则复数在复平面内所对应的点在第 象限． 【答案】二 【分析】先根据复数的乘方及除法运算求出复数，再根据复数的几何意义即可得解. 【详解】由，得， 所以复数在复平面内所对应的点为，在第二象限. 故答案为：二. 4．（23-24高一下·上海·阶段练习）复数在复平面内对应的点位于第 象限. 【答案】三 【分析】由复数的乘法运算和复数的几何意义求出即可. 【详解】， 所以对应复平面内的点为，位于第三象限， 故答案为：三. 5．（23-24高一下·上海·期中）复数在复平面内对应的点位于第 象限 【答案】四 【分析】利用复数的运算，得到的形式，再由复数的几何意义得到对应复平面内的点，从而判断出所在象限． 【详解】由题得， 则在复平面内对应的点的坐标为，所以在复平面内对应的点位于第四象限． 故答案为：四. 6．（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知，在复平面内复数对应的点位于第 象限 【答案】一 【分析】首先得到复数的共轭复数，再根据复数的运算法则化简复数，最后根据复数的几何意义判断即可； 【详解】解：因为，所以， 所以， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限； 故答案为：一 7．（20-21高一下·上海普陀·阶段练习）已知复数，，则在复平面内对应的点位于第 象限． 【答案】四 【分析】化简，由此判断出对应点所在象限. 【详解】，对应坐标为，在第四象限. 故答案为：四 8（23-24高一·上海·课堂例题）当复数z满足下列条件时，分别指出z在复平面上所对应的点Z的位置： (1)z是正实数； (2)z是负实数； (3)z是实部小于零、虚部大于零的虚数； (4)z是虚部小于零的纯虚数． 【答案】(1)，此时对应的点在实轴的正半轴上 (2)，此时对应的点在实轴的负半轴上 (3)，此时对应的点在第二象限 (4)，此时对应的点在虚轴的负半轴上 【分析】根据复数的分类、几何意义求出实部、虚部满足的条件可得答案. 【详解】（1）设， 若是正实数，则， 此时对应的点在实轴的正半轴上； （2）设， 若是负实数，则， 此时对应的点在实轴的负半轴上； （3）设， 若是实部小于零、虚部大于零的虚数， 则，此时对应的点在第二象限； （4）设， 若是虚部小于零的纯虚数， 则，此时对应的点在虚轴的负半轴上. 题型四：根据复数对应坐标的特点求参数 1.（21-22高一上·上海崇明·期末）若复数在复平面上对应的点在第四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据复数的代数形式及对应点在第四象限有，即可得m的范围. 【详解】由题设，，可得. 故答案为：. 2．（20-21高一下·上海·单元测试）复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】在复平面上，根据复数所在的象限可知，即可求的范围. 【详解】由题设知：，即，解得或， ∴. 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·单元测试）若复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数的几何意义得到不等式组，解得即可. 【详解】因为， 所以复数在复平面内对应的点为， 依题意，解得，即实数的取值范围是. 故答案为： 4.（23-24高一·上海·课堂例题）设复数与在复平面所对应的点为与，试指出、与以原点为圆心、10为半径的圆C的位置关系． 【答案】在圆C上，在圆C内. 【分析】结合复数的几何意义，计算出，即可判断出结论. 【详解】由题意知复数与在复平面所对应的点为与， 则， 故，， 故在圆C上，在圆C内. 5．（23-24高一下·上海金山·阶段练习）已知复数为虚数单位，其中是实数. (1)若是实数，求的值； (2)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由复数的除法和乘法运算结合复数的意义计算即可； （2）由共轭复数的定义和复数的运算结合复数的几何意义计算即可； 【详解】（1）， 因为是实数，则. （2）， 因为复数在复平面内对应的点在第二象限，则， 故a的取值范围为. 6．（21-22高一下·上海浦东新·期末）求实数的值或取值范围，使得复数在复平面上所对应的点分别位于： (1)虚轴上； (2)第四象限. 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）由求m，代入验证，即可得结果. （2）由求出m的范围即可. 【详解】（1）由题设，，可得或， 当时，对应点在虚轴上； 当时，对应点在虚轴上； 综上，或. （2）由题设，可得. 7．（21-22高一下·上海浦东新·阶段练习）已知复数（是虚数单位，，且为纯虚数（是的共轭复数）. (1)求实数的值及； (2)设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的乘法运算与纯虚数的概念求解，再求模长即可； （2）根据（1）中，代入得到，再根据复数的几何意义求解即可 【详解】（1）由题，为纯虚数，即为纯虚数，故，即，故 （2）由（1），因为复数对应的点在第二象限，故，解得 8．（20-21高一下·上海徐汇·期末）已知复数，其中，为虚数单位． （1）当取何值时，为纯虚数； （2）如果复数在复平面上对应的点位于第二象限，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据已知条件可得出关于实数的等式与不等式，进而可解得实数的值； （2）根据复数的几何意义可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）因为复数为纯虚数，则，解得； （2）因为复数在复平面上对应的点位于第二象限，则，解得. 题型五：求复数的模 1.（24-25高一上·上海·单元测试）若复数z满足，则的模长为 . 【答案】 【分析】利用复数的除法运算可求得，进而可求得，可求模长. 【详解】因为， 所以， 所以. 所以， 故的模长为. 故答案为：. 2．（24-25高一上·上海·单元测试）若复数，则 . 【答案】 【分析】运用复数的乘方，除法，乘法法则结合模长性质计算即可. 【详解】模长的性质：. . 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，其中，i是虚数单位，则复数的模等于 . 【答案】 【分析】利用复数相等求出的值，然后利用复数的模的公式计算出模长 【详解】因为，所以，所以 所以复数的模等于， 故答案为： 4．（23-24高一下·上海·期末）已知复数的模长都为1，且复数的实部为，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据不等式求解. 【详解】因为，，的模长都为1，所以， 又的实部为，所以的虚部可能为， 所以，所以. 所以. 故答案为： 5.（23-24高一下·上海·期末）若复数是方程的一个根，则 ． 【答案】 【分析】求出方程的复数根即可求解. 【详解】（为虚数单位）， 故，即， 所以，故. 故答案为：. 6.（23-24高一·上海·课堂例题）若复数满足，求． 【答案】或 【分析】设，根据复数模公式可得，解方程组即可求解. 【详解】设（）， ， , 解得或， 或. 7．（23-24高一·上海·课堂例题）设、，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】设，根据模的计算公式计算，即可证明结论. 【详解】证明：设， 则，， 故 ， 即. 8．（24-25高一上·上海·单元测试）已知复数z满足，求的取值范围. 【答案】. 【分析】设，则由，得，然后令，给此式平方化简答案. 【详解】设，则由，得， 令 ， 所以 ， 因为，所以， 所以， 所以， 所以，即， 因为，所以， 所以的取值范围为. 9.（23-24高一下·上海·期末）已知为虚数，且为实数． (1)求证：； (2)若为纯虚数，求． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）设（且），根据复数代数形式的除法、加法运算法则化简，再根据为实数，虚部为零，即可得到，从而得解； （2）由（1）可得，再根据复数代数形式的除法运算化简复数，最后得到方程组，解出即可； 【详解】（1）解：设（且）， 则 ， 由题意可得，又可得， 所以 （2）由， 则 若为纯虚数，则，解得或， 所以或 10.．（23-24高一下·上海·期末）已知复数满足为坐标原点，复数在复平面内对应的向量为. (1)求； (2)若向量绕逆时针旋转得到对应的复数为，求. 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）求出对应复数，再利用模的公式求模即可. （2）利用复数的几何意义结合旋转的性质求出对应复数，再求乘积即可. 【详解】（1）由得：， . （2）又，由复数的几何意义， 得向量绕原点逆时针旋转得到的， 则对应的复数为，则. 题型六：由复数模求参数 1.（24-25高一上·上海·随堂练习）已知复数（），且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用复数的模的几何意义求解不等式. 【详解】则解得 故答案为： 2．（22-23高一下·上海长宁·期末）若复数，则实数 ． 【答案】 【分析】根据已知条件，结合复数模公式，即可求解． 【详解】因为， 所以，解得． 故答案为：． 3．（21-22高一下·上海浦东新·期末）若复数z满足且，则 ． 【答案】2 【分析】令且，根据模长的等量关系列方程求，再由求结果. 【详解】令且， 由，则，可得， 由，则，可得， 所以，故. 故答案为：2 4．（20-21高一下·上海普陀·期末）已知复数满足，且，则 ． 【答案】 【分析】设，由条件布列方程组，即可得到结果. 【详解】设，则， ∴ ， ∴ ， ∴. 故答案为：. 5.（23-24高一下·上海闵行·期末）已知关于x的实系数一元二次方程有一对共轭虚根，． (1)当时，求共轭虚根和； (2)若，求实数a的值． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）由公式法求解即可； （2）由题可知，求得的范围，由求根公式计算，进而可得 利用模长公式求解即可. 【详解】（1）当时，，则方程的根为 即 （2）有一对共轭虚根，所以，即. ∴， 整理得，即,解得：或. 故或. 6．（21-22高一下·上海嘉定·期末）已知复数，若和互为共轭复数. (1)求实数a的值； (2)求满足不等式的实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）由共轭复数的概念列方程组求参数a； （2）应用复数的四则运算化简，根据模的范围解不等式求m范围. 【详解】（1）由题意，可得. （2）由（1）知：， 所以， 则，即，可得或. 7．（21-22高一下·上海徐汇·期末）已知关于x的实系数一元二次方程有两个虚根和. (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，求解不等式即可得答案； （2）由关于x的实系数一元二次方程的两个虚根为，从而即可求解. 【详解】（1）解：因为关于x的实系数一元二次方程有两个虚根和， 所以，解得， 所以k的取值范围为； （2）解：因为关于x的实系数一元二次方程的两个虚根为， 所以，所以，解得. 题型七：与复数模相关的轨迹（图形）问题 1.（23-24高一下·上海·期末）若复数满足，则复数在复平面上对应的点的轨迹图形是（  ）. A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线的一支 【答案】B 【分析】设，根据复数的几何意义可得，结合圆的一般方程即可下结论. 【详解】设， 由，得， 整理得， 所以复数在复平面上对应的点的轨迹图形为圆. 故选：B 2．（23-24高一下·上海·期末）已知复数满足，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由复数的几何意义，代入计算，即可求解. 【详解】因为，所以在复平面对应的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 且表示圆上的点到原点的距离， 则，， 所以的取值范围为. 故选：A 3．（22-23高一下·上海嘉定·期末）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数模的几何意义求得正确答案. 【详解】由于，所以对应点在单位圆上， 表示单位圆上的点和点的距离， 其最小值为. 故选：D 4.（23-24高一下·上海·期末）已知复数满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据复数模的几何意义，即可求得的取值范围. 【详解】解：表示在复平面上对应的点是单位圆上的点， 的几何意义表示单位圆上的点和之间的距离， 最小距离为，最大距离为， 的取值范围为. 故答案为：. 5．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知复数满足，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据复数模的几何意义画图求解即可. 【详解】根据复数的模的几何意义可知，复数对应的点在以原点为圆心，为半径的圆上， 复数 对应的点在以原点为圆心，为半径的圆上， 复数对应的点在以原点为圆心，为半径的圆上， 则的几何意义为圆上的点到圆上的点的距离， 根据图象可知 故答案为： 6．（23-24高一下·上海·期中）设复数满足，则当取最大值时，对应的复平面上点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据复数模的几何意义，可得的轨迹为以为圆心，半径长为1的圆，结合圆上的点到定点的距离最值及三角函数计算即可得. 【详解】复数对应的点到对应点的距离是1， 所以对应的点在以为圆心､半径长为1的圆上， 当直线经过原点时，到的距离最大，即取最大值， 此时， 又,故， 则，， 故的坐标是． 故答案为：. 7．（22-23高一下·上海宝山·期末）已知，则的最大值是 . 【答案】6 【分析】根据给定条件，利用复数模的几何意义求解作答. 【详解】在复平面内，由，知复数对应点的轨迹是原点为圆心的单位圆， 表示点与复数对应点的距离， 所以的最大值为. 故答案为：6 8．（22-23高一下·上海浦东新·期末）如果复数满足，那么的最大值是 . 【答案】6 【分析】满足的复数在复平面内对应的点在以为圆心，以为半径的圆上，结合图形与圆的性质即可求解. 【详解】根据复数的几何意义可知， 满足的复数在复平面内对应的点在以为圆心， 以为半径的圆上， 的几何意义为圆上的动点 到的距离，如图： 当 三点共线时，且在圆心的两侧时，距离最大， 最大距离为， 故答案为：    9．（21-22高一下·上海青浦·期末）若，且，则的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】由复数模的几何意义求解． 【详解】，则复平面上表示复数的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，表示到点的距离， ∵，所以=的最大值为． 故答案为：． 10.（24-25高一上·上海·单元测试）若复数z满足，求的最小值. 【答案】 【分析】设，代入中化简，由，得或，利用复数模的几何意义求的最小值. 【详解】解：设（a、b为实数且不同时为0）， 则. 由题意可知， 得或. 当时，z的轨迹是x轴（除原点外）， 此时的几何意义为复数表示的点和的距离，此时； 当时，复数z的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，如图.    根据复数模的几何意义可知，的几何意义是圆上的点到的距离，如图可知，的最小值是点A与的距离为. 11．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知复数，求的取值范围. 【答案】. 【分析】根据以及的几何意义即可求解. 【详解】设复数z及在复平面上所对应的点分别为与， 由已知Z与之间的距离为2，得Z在以为圆心，2为半径的圆上. 设为复数所对应的点，即 则为点与之间的距离， 连接交圆于，的延长线与圆交于， 则. 又，且点、、、在同一直线上，故，， ∴. 12．（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知虚数，，其中i为虚数单位，，、是实系数一元二次方程的两根． (1)求实数m、n的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)m＝－4，； (2) 【分析】（1）根据、是实系数一元二次方程的两根可得，求出的值，进而求得、，再根据根与系数的关系求出m、n的值即可； （2）根据复平面内的几何意义可得在线段上，进而求得的取值范围即可 【详解】（1）由题意，，即，故，根据韦达定理有，，即， （2）由（1），故不妨设，设，则的几何意义即为复平面内到的距离之和为.因为到的距离为，故在线段上.故当时取得最小值2，当在或时，取得最大值，故的取值范围为 一、单选题 1．（23-24高一下·上海·期末）设是虚数单位，若复数为纯虚数，则复数在复平面上所对应的点在（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】设，，根据复数的乘方运算以及复数的几何意义即可判断. 【详解】设，，则，因为， 则其在复平面上所对应的点在第二象限， 故选：B. 2．（24-25高一·上海·随堂练习）下列命题： ①实数在复平面内所对应的点在实轴上；②虚轴上的点所对应的数是纯虚数； ③若，则为虚数；④，则． 其中正确命题的个数是（    ）． A．4； B．3； C．2； D．1． 【答案】D 【分析】由复数的相关概念即可逐一判断各个选项求解. 【详解】对于①，实数在复平面内所对应的点在实轴上，故①正确； 对于②，虚轴上的点所对应的数不是纯虚数，故②错误； 对于③，若，则不为虚数，故③错误； 对于④取，，有，但不成立，故④错误. 其中正确命题的个数是1. 故选：D. 3．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知复数的共轭复数为，则下列命题错误的是（    ） A． B．为纯虚数 C． D． 【答案】B 【分析】设，则，根据复数的加减法运算、几何意义、乘方运算与共轭复数的概念，结合选项依次判断即可. 【详解】由题意知，设，则. A：，故A正确； B：，当时，为纯虚数，故B错误； C：，，所以，故C正确； D：，， 所以，则，故D正确. 故选：B 4．（23-24高一下·上海·期末）都是复数，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B． C． D．则 【答案】C 【分析】举反例即可判断A，设，计算出和即可判断B，设，，分别计算和即可判断C，虚数不能比较大小，即可判断D 【详解】对于A，当时，，但，故A错误， 对于B，设，显然，，故B错误， 对于C，设， 所以， 所以 ， 又 所以，故C正确 对于D选项，若，则虚数不能比较大小，故D错误， 故选：C 二、填空题 5．（23-24高一下·上海·期中）若复数满足，则 . 【答案】5 【分析】根据复数的几何意义直接求解即可. 【详解】由，得. 故答案为：5 6．（22-23高一下·上海黄浦·期末）若复数满足，，且（为虚数单位），则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据已知关系求得变量关系，然后统一未知量，最后根据二次函数性质可得答案. 【详解】设=，， ，即， 化简得，， ∴， 根据二次函数性质可知，当时，取得最小值，此时，符合，， ∴的最小值为. 故答案为：. 7．（24-25高一上·上海·单元测试）设复数满足，则 . 【答案】 【分析】根据复数的除法及模长性质求解. 【详解】由题意得：，故. 故答案为： 8．（23-24高一·上海·课堂例题）下列三个命题中，真命题是 ． （1）在复平面上，表示实数的点都在实轴上，表示虚数的点都在虚轴上； （2）任何一个表示虚数的点一定在某一个象限内； （3）复数的模表示该复数在复平面上所对应的点到原点的距离． 【答案】（3） 【分析】根据复数的几何意义，依次判断各选项即可得答案. 【详解】对于（1），在复平面内，实数对应的点都在实轴上，纯虚数对应的点都在虚轴上， 例如复数对应的点在第一象限，故（1）为假命题； 对于（2），在复平面内，虚数对应的点可以在某个象限内，也可以在虚轴上， 例如，复数对应的点在虚轴上，故（2）为假命题； 对于（3），在复平面内，设复数对应的点为， 则复数，故（3）为真命题. 故答案为：（3）. 9．（21-22高一下·上海普陀·期末）已知(为虚数单位)．设集合，则集合中的元素在复平面上对应点所形成图形的面积为 ． 【答案】 【分析】先确定中的最小数为，从而考虑对应的点集，作出图形，结合图形求面积. 【详解】因为， 于是不妨设中的最小数为， 否则同时减去最小数，对应的不变， 此外，若因此考虑对应的点集， 然后逆时针旋转将三部分求并集即得如图， 由于的轨迹为线段,其中， 然后将线段往右平移， 划过的区域即表示复数对应的点集，为平行四边形，如图所示， 将该区域旋转2次即得，其面积为. 故答案为: . 10．（22-23高一下·上海杨浦·期末）若复数和复数满足，，，则 . 【答案】/ 【分析】设，根据复数的运算及模的公式即可求解. 【详解】设，且， 则， 又，所以， 即，则， 因为， 所以， 所以. 故答案为：. 11．（22-23高一下·上海嘉定·期末）已知复平面上有点和点，使得向量所对应的复数是，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】先求出向量的坐标，根据可得点的坐标. 【详解】因向量所对应的复数是， 所以， 因，所以. 故答案为：. 12．（23-24高一下·上海黄浦·期末）i为虚数单位，若复数和复数满足，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】结合复数模的公式，得到复数表示的几何图形，再结合复数的几何意义，利用数形结合求的最大值. 【详解】设，则，整理为， 所以复数表示的点的轨迹是以点为圆心的圆面， ，，表示的几何意义是圆面上的点到原点距离，如图， 的最大值为连结圆心和原点的距离再加半径，所以. 故答案为： 13．（23-24高一下·上海闵行·期末）若复数，满足．且（i为虚数单位），则 ． 【答案】 【分析】令，，根据复数的相等可求得，代入复数模长的公式中即可得到结果. 【详解】设，， ， ，又，所以，， ， ， . 故答案为：. 14．（23-24高一下·上海松江·期末）复数满足（为虚数单位），则 . 【答案】 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的公式计算即可. 【详解】因为复数满足，所以，所以， 故答案为： 15．（24-25高一上·上海·课后作业）复数z满足，它的几何意义是 ． 【答案】复数z表示的点到点的距离为1 【分析】令，则由可得，即的几何意义为复数z表示的点到点的距离为1. 【详解】令，复数z表示的点为， 则， 又复数z满足， 所以， 则表示点到的距离为1， 即复数z表示的点到点的距离为1. 16．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）已知为复数，满足，则的值是 【答案】 【分析】根据题意分析可得为纯虚数，且虚部小于0，设，代入方程可得，解得y 即可得到答案. 【详解】由已知得，且，故为纯虚数，且虚部小于0， 设，代入方程可得， 解得或 （正根舍去）， 故，. 故答案为：. 三、解答题 17．（23-24高一下·上海·期中）已知复数是纯虚数（为实数）． (1)求的值； (2)若，复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）由复数是纯虚数的充要条件直接列式即可求解； （2）利用复数四则运算表示出复数在复平面内对应的点的坐标，结合点在第二象限内的充要条件列出表达式组即可求解. 【详解】（1）复数是纯虚数当且仅当，解得； （2）由（1）可得，注意到， 所以， 复数在复平面内对应的点的坐标为， 由题意点在第二象限，所以， 解得，即实数的取值范围为. 18．（23-24高一·上海·课堂例题）设复数、、、、． (1)在复平面上分别作出这些复数所对应的点A、B、C、D、E； (2)在复平面上分别作出这些复数的共轭复数所对应的向量． 【答案】(1)图象见详解 (2)图象见详解 【分析】（1）根据复数的几何意义求点的坐标，进而可得图象； （2）根据共轭复数以及复数的几何意义可得相应点的坐标，进而可得图象. 【详解】（1）因为复数、、、、， 则， 在复平面上分别作出这些复数所对应的点，如图所示： （2）因为复数、、、、， 则复数、、、、， 这些复数所对应的点分别为， 这些复数的共轭复数所对应的向量分别为， 在复平面上分别作出这些复数的共轭复数所对应的向量，如图所示： 19．（23-24高一下·上海·期末）已知关于的实系数一元二次方程的两根为. (1)若为虚数，，且，求和的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)， (2)或. 【分析】（1）由根的判别式可得，设，结合复数的几何意义和韦达定理计算即可求解； （2）法一：分别讨论当方程有两个实根、两个虚根的情况，结合韦达定理、复数的几何意义即可求解；法二：利用韦达定理和完全平方公式计算直接得出结果. 【详解】（1）由题意，关于的实系数一元二次方程的两个虚根为， 可得，即， 设，由，解得， 所以，； （2）法一：由关于的实系数一元二次方程的两根为， ①若方程有两个实根，则，可得，且， 则，解得； ②若方程有两个虚根，则，可得， 设，不妨设，可得，解得， 所以. 综上可得，实数的值为或. 法二：由关于的实系数一元二次方程的两根为， 则， ， 解得或. 20．（23-24高一下·上海·期末）当实数为何值时，复数为： (1)实数； (2)纯虚数； (3)对应点在第二象限？ 【答案】(1)或； (2)； (3)． 【分析】（1）结合实数的概念，即可求解； （2）结合纯虚数的概念，即可求解； （3）结合复数的几何意义，即可求解． 【详解】（1）复数为实数，则， 所以或. （2）复数为纯虚数，则， 所以. （3）复数对应点在第二象限，则，解得， 所以实数的取值范围是. 21．（21-22高一下·上海宝山·期中）分式线性变换又称为莫比乌斯变换，它是定义在复数集中形如的变换，其中w称为z的“像”，z称为w的“原像”． (1)若，求i的“像”以及“原像”； (2)若，，求证：的充要条件是； (3)若，，z满足，求z的“像”在复平面上所构成图形的面积． 【答案】(1)；； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）先整理，再分别令，，求解即可； （2）先整理，设，且，整理可得，其虚部为，进而结合复数的几何意义证明即可； （3）先整理，设，且，代入可得，根据求解即可. 【详解】（1）由题，，当时，； 当时，，解得. （2）证明：由题，，设，且， 则， 则， 因为， 当，则，即，所以； 当，则，即，所以，则， 所以的充要条件是. （3）由题，，设，且， 则，解得， 因为，所以，即， 所以z的“像”在复平面上所构成的图形为以原点为圆心，半径为1的圆内， 其面积为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$