第04讲正弦函数的图象与性质（2大知识点+9种必考题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（沪教版2020必修第二册）

第04讲 正弦函数的图象与性质 课程标准 学习目标 1. 通过做正弦、余弦函数的图象，培养直观想象素养． 2．借助图象的综合应用，提升数学运算素养. 3.通过周期性的研究，培养逻辑推理素养． 4．借助奇偶性及图象的关系，提升直观想象素养. 5.通过单调性与最值的计算，提升数学运算素养. 6.结合函数图象，培养直观想象素养. 1.了解由单位圆和正、余弦函数定义画正弦函数、余弦函数图象的步骤，掌握“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象的方法．(重点) 2．正、余弦函数图象的简单应用．(难点) 3．正、余弦函数图象的区别与联系．(易混点) 4.了解周期函数、周期、最小正周期的定义． 5．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期．(重点) 6．掌握函数y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．(重点、易混点) 7.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．(重点、难点) 8.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小．(重点) 9.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．(重点、易混点) 知识点01正弦曲线和正弦函数图象的画法 正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫正弦曲线． (1)几何法： ①利用单位圆画出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象； ②将图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)． (2)五点法： ①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)，用光滑的曲线连接； ②将所得图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)． 【即学即练1】（20-21高一下·上海静安·期末）用“五点法”作出函数，的大致图象，并写出使得 的的取值范围. 【答案】图像答案见解析，. 【分析】根据五点作图法的方法画图，再计算，的零点，进而根据图象直接求解使的 的取值范围即可. 【详解】解：列出函数图像上的五个关键点，如下表所示． 0 画出函数图象，如图所示： 令，有， 解得：， 令，有， 解得：， 由图可知：当时，有 知识点02正弦函数的周期性、奇偶性、单调性、最值 函数 y＝sin x 周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 最小正周期 2π 奇偶性 奇函数 解析式 y＝sin x 图象 值域 [－1,1] 单调性 在＋2kπ，k∈Z上单调递增， 在＋2kπ，k∈Z上单调递减 最值 x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝－＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 【即学即练2】（23-24高一下·上海·期中）已知函数 (1)求函数的最小正周期 (2)当时，求函数的最大值和最小值 (3)已知函数，若对任意的，当时，恒成立，求实数的取值范围 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）先由降幂公式，倍角公式，辅助角公式化简，再代入周期公式求解即可； （2）由已知结合的范围，利用正弦函数的性质求解即可； （3）由已知不等式结合辅助角公式进行化简可得，然后结合正弦函数的单调性求解即可. 【详解】（1）， 则最小正周期为. （2）； 则函数的最大值为，最小值为. （3）， 因为， ， 因为对任意的，当时，恒成立， 则对任意的，当时，恒成立， ， 不妨设，则问题转化成在上单调递减， 所以，其中，解得， 所以的取值范围为. 题型一：求sinx型三角函数的单调性 1.（21-22高一下·上海杨浦·期中）函数在下列哪个区间上是严格增函数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用整体代入法求得函数的单调区间，从而确定正确答案. 【详解】， ， 所以函数在上递增， 令，得. 故选：B 2.（21-22高一下·上海浦东新·期末）函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数的性质计算可得； 【详解】解：因为， 令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为； 故选：B 3.（22-23高一下·上海奉贤·期中）函数，的增区间为 ． 【答案】（开闭均可） 【分析】由，求得的范围，令，即可求得函数的单调增区间. 【详解】由，可得， 令， 解得， 即函数在的单调增区间为. 故答案为：.（开闭均可） 4.（22-23高一下·上海宝山·期中）函数的单调减区间是 ． 【答案】 【分析】根据正弦函数的单调性即可求解. 【详解】由， 得， 所以函数的单调减区间为. 故答案为：. 题型二：利用正弦型函数的单调性求参数 1.（21-22高一下·上海杨浦·期末）已知常数，函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦型三角函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】， 由于且在区间上是严格增函数， 所以， 即的取值范围是. 故选：B 2.（20-21高一下·上海杨浦·期中）若定义在区间上的函数（其中常数）既没有最大值，也没有最小值，则的取值范围是 【答案】 【分析】由题意利用正弦函数得周期性和单调性，可得不等式组，解之即可求出结果. 【详解】由题意得，所以或，解得或， 故答案为：. 3.（23-24高一下·上海·期末）若函数在上严格减，则正实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用三角函数的单调性求参数取值范围即可. 【详解】因为，所以，又函数在上严格减， 设其最小正周期为，则，即，则， 所以，即，解得：， 当时，，当时，， 故答案为： 4.（20-21高一下·上海宝山·期末）已知（其中），且在闭区间上是严格减函数，则实数的值是 ． 【答案】 【分析】根据题意，求出函数的单调递减区间，结合函数在闭区间上是严格减函数，即可求解. 【详解】由，， 得，， 因函数在闭区间上是严格减函数， 所以，又因，所以. 故答案为：. 题型三：求含sinx（型）函数的值域和最值 1.（23-24高一下·上海闵行·期中）将函数的图像向上平移1个单位，得到的图像，若，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由的最大值和可知，的最小值即为的最小值周期，然后可得. 【详解】由题知，， 因为，所以， 因为的最大值为1，所以， 所以的最小值即的最小值周期， 所以. 故选：D 2.（23-24高一下·上海·期中）函数最大值为 ． 【答案】3 【分析】根据即可求解. 【详解】因为， 所以当时，函数有最大值为. 故答案为：3. 3.（21-22高一下·上海宝山·期中）已知函数. (1)将函数化为的形式，求的值； (2)当时，求的最大值和最小值，并指出取得最值时x的值. 【答案】(1)，，，； (2)时，，时，． 【分析】（1）利用两角和的正弦公式变形可得； （2）求出的范围，然后由正弦函数的性质可得最值． 【详解】（1）， 所以，，； （2）时，， 所以，即时，， ，即时，． 4.（22-23高一下·上海浦东新·期中）已知函数. (1)求的单调增区间； (2)求函数在的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦型函数的单调性，利用整体代换法求解即可； （2）先求出的范围，再根据正弦函数的性质求解即可． 【详解】（1）由可得， 所以， 所以函数单调递增区间为：； （2）令，由可得， 又因为函数在单调递减，在单调递增， 所以在时有最小值-1，又，， 所以，所以函数在上的值域为． 题型四：由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 1.（22-23高一下·上海奉贤·期中）已知，其中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦两角差公式将展开，根据已知等式对应系数相等可得，从而得，再根据以及的取值情况，即可求得的值. 【详解】因为， 所以，则，即 又，所以或，由，可知，所以. 故选：C. 2.（23-24高一下·上海嘉定·期中）设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由，求得，转化为在区间上总存在唯一确定的，使得，又由，得到，即可求解. 【详解】由函数，因为， 所以， 又因为在区间上总存在唯一确定的，使得， 即在区间上总存在唯一确定的，使得， 因为，结合三角函数的性质，可得 故答案为：. 3.（22-23高一下·上海杨浦·期末）记. (1)求关于x的方程的解集； (2)求函数的单调减区间. 【答案】(1)或 (2) 【分析】(1）解方程，求出方程的解集即可； (2）结合二倍角公式及辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质求出函数的递减区间即可． 【详解】（1） , 令 ，即, 即,即, 解得 或 , 故关于 x 的方程的解集是或. （2）， 单调减区间即 解得： , 故的递减区间是. 4．（21-22高一下·上海普陀·期末）已知函数，. (1)求函数的值域； (2)求函数严格增区间； (3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先化简函数，再代入函数的定义域，求函数的值域； （2）由（1）可知，，结合正弦函数的单调性，即可求解； （3）参变分离得恒成立；转化为求函数的最值. 【详解】（1）. 因为，所以， 所以，所以的值域为； （2）因为，又在上严格增， 所以当时，严格增，解得 所以函数的严格增区间为； （3）因为，所以不等式等价于恒成立；即， 因为， 所以当时，有最大值； 所以实数的取值范围为. 题型五：由正弦（型）函数的奇偶性求参数 1.（23-24高一下·上海·期中）已知（其中常数）是R上的偶函数，若，，则的值为 . 【答案】 【分析】根据偶函数结合可得，再根据两角和差的正弦公式求解即可. 【详解】由（其中常数）是R上的偶函数可得， 又可得，故. 又，即，，故， 则. 故 . 故答案为： 2．（22-23高一下·上海松江·期中）已知函数是偶函数，则满足条件的所有θ的值为 ． 【答案】 【分析】根据诱导公式以及三角函数的性质即可求解，或者利用和差角公式以及三角函数的性质求解. 【详解】解法一：是偶函数，则; 解法二： ， 由于为偶函数，所以，即，所以， 故答案为：. 3．（20-21高一下·上海杨浦·期中）若函数（其中常数）是上的偶函数，则的值为 【答案】 【分析】求出函数的对称轴，根据其为偶函数可得对称轴等于，结合即可求解. 【详解】函数的对称轴为， 可得：， 因为函数是上的偶函数， 所以，可得， 因为，所以时，， 故答案为：. 4.（22-23高一下·上海闵行·期中）已知函数 (1)若且的最大值为，求函数在上的单调递增区间； (2)若，函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围； (3)已知的一条对称轴方程为，令，存在常数，使得函数为偶函数，求最小的正数的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1）利用辅助角公式求出最大值，建立方程求出m的值，利用函数的单调性进行求解即可; (2）求出函数的解析式，利用函数与方程的关系转化为两个函数交点问题，利用数形结合进行求解即可; (3）根据函数的大小求出m的值，求出,根据函数的奇偶性建立方程组进行求解即可． 【详解】（1）若且的最大值为,则，即，得，即 , 则 , 当时，，为增函数，此时, 即函数在上的单调递增区间是. （2）若，, 函数 由，得 ,当，则      则要使在上有且仅有一个零点， 则或，即实数的取值范围. （3）因为的一条对称轴方程为， 所以 则满足 , 平方得，得 ，得得 ，则, 则, 则, 存在常数 ,使得函数为偶函数， 则， 即 且 , 因为,所以当 时， 取得最小值，此时最小的正数 题型六：求正弦（型）函数的最小正周期 1.（23-24高一下·上海·期中）函数是（    ）. A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】C 【分析】利用诱导公式化简，再根据正弦函数的性质判断即可. 【详解】因为， 所以的最小正周期，且为奇函数. 故选：C 2.（23-24高一下·上海·期中）已知函数，. (1)求函数的最小正周期和单调增区间； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1),； (2). 【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式易得周期，将看成整体角，利用正弦函数的增区间即得其单调增区间； （2）将不等式变形为，利用正弦型函数的图象求得在上的值域，列出不等式组解之即得. 【详解】（1）函数的最小正周期为, 由，解得，， 故函数的最小正周期为，单调增区间为. （2）由可得，即（*）， 因，设，当时，， 而在上递增，在上递减，故，则， 要使（*）式恒成立，需使，解得.故实数的取值范围是. 3．（23-24高一下·上海·期中）已知函数， (1)化简的解析式并求其最小正周期； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)，； (2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）根据给定函数，利用三角恒等变换化简，然后利用周期公式求得结果. （2）由给定范围，求出的范围，再结合正弦函数的性质求出最值. 【详解】（1）依题意， ， 所以的最小正周期. （2）由（1）知，，当时，， 当，即时，，当，即时，， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 4．（23-24高一下·上海·期中）已知函数（）.    (1)化简的解析式，并写出函数的最小正周期； (2)求函数的单调增区间； (3)用五点法画出函数，的图像；若函数在内有两个相异的零点，求实数k的取值范围. 【答案】(1)；最小正周期为 (2) (3)图象见解析； 【分析】（1）化简函数为，结合最小正周期的公式，即可求解； （2）由（1）知，结合三角函数的性质，即可求解； （3）根据五点作图法，画出函数的图象，根据题意，转化为和的图象在内有两个不同的交点，结合图象，即可求解. 【详解】（1）解：由函数， 所以函数的最小正周期为. （2）解：由（1）知， 令，解得， 所以函数的单调递增区间. （3）解：由，可得， 列表： 1 3 1 1 描点、连线    由函数在内有两个相异的零点， 即在内有两个相异的实根， 即和的图象在内有两个不同的交点， 因为，可得， 当时，即，可得； 当时，即，可得； 当时，即，可得， 要使得和的图象在内有两个不同的交点， 结合图象，可得，解得，即实数的取值范围为.    题型七：由正弦（型）函数的周期性求值 1.（22-23高一下·上海黄浦·期中）已知函数，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】先化简函数，然后由正弦函数性质求解． 【详解】， 由题意是函数的最小值，是函数的最大值． 由，最小，则函数周期最大， 所以，即． 故答案为：． 2.（21-22高一下·上海徐汇·期中）设函数，其中k是一个正整数，若对任意实数a，均有，则k的最小值为 ． 【答案】 【分析】首先化简函数， ， 根据题意最小正周期，可得，即可得解. 【详解】 ， 若对任意实数a，均有， 则最小正周期，即，即， 由，所以，所以则k的最小值为. 故答案为： 3.（22-23高一下·上海长宁·期末）已知函数（其中常数）的最小正周期为． (1)求函数的表达式； (2)作出函数，的大致图象，并指出其单调递减区间； (3)将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若实数满足，且的最小值是，求的值． 【答案】(1)； (2)图象见解析；单调递减区间为； (3)，或. 【分析】（1）根据降幂公式、辅助角公式，结合正弦二倍角公式、正弦型函数的最小正周期公式进行求解即可； （2）利用五点作图法，结合函数图象进行求解即可； （3）根据正弦型函数的图象变换性质，结合正弦型函数的图象进行求解即可. 【详解】（1）， 因为的最小正周期为，且， 所以有，即； （2）列表如下： 函数，的大致图象如下图所示：      单调递减区间为； （3）由题意可知：， 因为， 所以中有一个为，另一个为， 因为的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且的最小值是， 所以，或， 因此的值为，或. 4.（23-24高一下·上海·期中）已知的最小正周期为. (1)化简函数的表达式，并求出的值； (2)若不等式在上有解，求实数m的取值范围； (3)将函数图像上所有的点向右平移（）个单位长度，得到函数，且为偶函数.若对于任意的实数a，函数，与的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，即可得到结果； （2）由正弦型函数的单调性，即可得到，再将不等式化简，代入计算，即可得到结果； （3）首先根据三角函数平移变换，以及函数性质求，并求得，根据实根个数，转化为与周期有关的不等式，即可求得λ的取值范围. 【详解】（1）依题意， 又因为的最小正周期为，则，即， 所以. （2）当时，，则， 所以，即， 因为不等式在上有解， 即在上有解， 即，即. （3）由（2）及已知，，因为偶函数， 则， 解得，又，即有，， 于是， 由可得，， 而函数的周期， 依题意，对于在上 均有不少于6个且不多于10个根，则有，即，解得， 所以正实数λ的取值范围是. 题型八：求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 1.（22-23高一下·上海徐汇·期末）函数的一条对称轴是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令即可求解. 【详解】令，可得， 令，可得. 所以函数的一条对称轴是. 故选:B. 2.（22-23高一下·上海嘉定·期中）若、是函数两个不同的零点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据三角函数的性质得零点满足的方程，作差即可得答案. 【详解】、是函数的零点满足， 所以，由于 所以的最小值为. 故答案为：. 3.（22-23高一下·上海宝山·期中）已知函数 (1)求函数的最小正周期和对称轴． (2)当时，求函数的单调增区间． 【答案】(1)；对称轴为 (2) 【分析】（1）运用诱导公式和辅助角公式作恒等变换，将原函数转换为单一三角函数的形式； （2）用整体代入法，根据正弦函数的单调递增区间，即可求解. 【详解】（1） ， 所以函数的最小正周期； 令 对称轴为 ； （2）当 时，  ， 所以当 ，即 时，函数f(x)单调递增； 所以函数的单调递增区间是. 4．（23-24高一下·上海·期中）已知向量．设． (1)求函数的表达式，并写出该函数图象对称轴的方程； (2)将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，直接写出函数的表达式； (3)求关于的方程在区间上的解集． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）由平面向量数量积的坐标运算公式，降幂公式及辅助角公式求得，再用整体法求出对称轴方程； （2）由代入计算即可； （3）由得，结合求解即可． 【详解】（1）， 令，得对称轴为直线． （2）． （3）由得，由于， 所以或，故所求解集为． 另解：由得或， 解得或， 又，所以或，所求解集为 题型九：正弦函数对称性的其他应用 1.（20-21高一下·上海浦东新·期中）方程，（）的所有根的和等于2024，则满足条件的整数的值是 【答案】1008或1009 【分析】根据图象可得图象关于点（1,0）对称，且两函数交点成对出现，每一对关于点（1,0）对称，结合题意，可得或，即可求得答案. 【详解】设，作出两函数图象，如图所示 两函数图象关于点（1,0）对称，定义域也关于点（1,0）对称， 所以求方程的根，即求两函数图象的交点，且交点成对出现，关于点（1,0）对称， 因为所有根的和等于2024， 所以两函数图象共有1012对关于点（1,0）对称的交点， 所以或， 解得或. 故答案为：1008或1009 【点睛】解题的关键是分析得图象关于点（1,0）对称，根据函数的对称性，结合题意，进行求解，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题 2.（21-22高一下·上海闵行·期中）已知函数 . (1)求 的最小正周期; (2)求函数 的严格单调增区间; (3)若方程 在区间 上有两个相异的实数根 ， 求实数 的取值范围和 的值. 【答案】(1) (2) (3)的取值范围为，当时，，当时， 【分析】（1）先用二倍角和辅助角公式化简，然后由周期公式可得； （2）由正弦函数的单调性，解不等式可得； （3）数形结合可得的取值范围，结合对称性可得的值. 【详解】（1） 所以最小正周期 （2）由 解得 所以的单调增区间为 （3）因为， 由图可知，的取值范围为 因为在区间上的图象关于对称， 所以当时， 因为在区间上的图象关于对称， 所以当时， 3．（22-23高一下·上海黄浦·期中）已知函数. (1)求函数的最小值及取得最小值时相应的的值； (2)若在上有四个不同的根，求的取值范围及四个根之和. 【答案】(1)函数的最小值，此时的值为 (2)答案见解析 【分析】（1）利用三角恒等变换整理得，结合正弦函数性质运算求解； （2）以为整体，结合正弦函数分析运算. 【详解】（1）∵ ， 即， 令，解得， 故函数的最小值，此时的值为. （2）由（1）可知：， ∵，则，， 故，且， 结合正弦函数可得：若在上有四个不同的根，则的取值范围为， 设在上的四个不同的根由小到大依次为， 当时，则， 整理得，故； 当时，则， 整理得，故； 综上所述：当时，四个根之和为； 当时，四个根之和为. 4．（20-21高一下·上海宝山·期末）已知函数． （1）求函数的振幅、频率、初始相位，以及在上的增区间； （2）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，函数，当，且时，有，求的值． 【答案】（1）振幅A＝1，频率，初始相位，增区间和；（2）. 【分析】（1）由函数的解析式可得振幅、初始相位、周期，由周期得频率，利用正弦函数的单调性可得在上的增区间； （2）由图象平移规律得到函数，再由两角和的正弦公式得到函数的解析式，求出的对称轴方程，利用对称性得到，代入解析式可得答案. 【详解】（1）函数的振幅为1，周期为，所以频率为，初始相位为， 单调递增区间为，即， 令得单调递增区间为， 令得单调递增区间为， 所以在上的增区间为和. （2）将函数的图象向左平移个单位， 得到函数的图象， 函数 ， 因为，所以关于的对称轴对称， 的对称轴为，即， 当时，令，得，所以， . 一、单选题 1．（21-22高一下·上海杨浦·期中）函数与函数的图像的交点个数是（    ） A．3 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【分析】作出函数和的图象，由图象可得交点个数， 【详解】的最小正周期是，， 时，，作出函数和的图象，只要观察的图象，由图象知它们有7个交点， 故选：C． 2．（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知函数，下列说法不正确的是（    ） A．在区间上单调递减 B．的最小正周期为 C．图象关于对称 D．的最小正周期为． 【答案】C 【分析】化简函数，结合图象，即可判断最小正周期、对称轴及单调区间，利用周期函数概念即可判断新函数的周期性. 【详解】，作出函数图象： 可得，该函数的最小正周期为，选项B正确；图像不关于对称，选项C错误；在区间上单调递减，选项A正确； 因为， 所以是函数的周期，选项D正确； 故选：C 3．（20-21高一下·上海浦东新·期中）函数，且，若任意，、、都能构成某个三角形的三条边，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令的值最大，根据，根据正弦函数图象进行推断． 【详解】解：令的值最大，当，，为最大值， ，，都能构成某个三角形的三条边， ，即， 当，在直线的上方时满足条件， 故的最大值为， 故选：． 4．（20-21高一下·上海徐汇·期中）数学中一般用表示中的较小值，关于函数有如下四个命题： ①的最小正周期为；    ②的图像关于直线对称； ③的值域为；     ④在区间上单调递增； 其中是真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】首先设设，，从而得到，再画出函数的图象，结合图象依次判断即可. 【详解】设，， 则， 函数的图象如下所示： 对①，由图知，函数的最小正周期为，故A错误； 对②，由图知：为函数的对称轴，故②正确. 对③，，由图知：函数的值域为，故③错误； 对④，，，由图知：函数在区间上单调递增， 故④正确. 故选：B 二、填空题 5．（23-24高一下·上海杨浦·期中）函数的最小正周期是 . 【答案】 【分析】直接用正弦函数的周期性回答即可. 【详解】由正弦函数的周期性知：的最小正周期是. 故答案为：. 6．（22-23高一下·上海徐汇·期末）若函数，有两个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由的单调性，结合取值可求答案. 【详解】令可得， 因为在单调递增，在单调递减，且； 所以，解得. 故答案为：. 7．（23-24高一下·上海·期末）已知函数，则当时，函数的值域为 ． 【答案】 【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式得到，利用整体思想得到的值域. 【详解】， ，，，，故的值域为. 故答案为：. 8．（23-24高一下·上海松江·期末）设函数对任意的实数均满足，则 ． 【答案】 【分析】由辅助角公式先进行化简，再利用条件可得为偶函数，可求得的值，代入求解即可. 【详解】因为， 又因为，所以函数为偶函数， 即，， ， 所以，. 故答案为：. 9．（23-24高一下·上海徐汇·期中）函数的最大值与最小值之和为 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用辅助角公式，结合正弦型函数的有界性建立不等式求出最值即得. 【详解】函数的定义域为R，， 则，即， 解得，于是， 所以函数的最大值与最小值之和为. 故答案为： 10．（20-21高一下·上海徐汇·期中）若函数的图像关于直线对称，则 . 【答案】 【分析】由题知，进而解方程即可得答案. 【详解】解：因为函数的图像关于直线对称， 所以函数在时取得最值， 所以，结合辅助角公式得：，即， 整理得：，解得. 故答案为： 11．（22-23高一下·上海宝山·期中）函数在上的单调递减区间是 ． 【答案】（开区间也对） 【分析】先求出函数的单调递减区间，再与定义域取交集可得出答案． 【详解】由，得， 故函数的单调递减区间为 再结合，可得函数在上的递减区间为. 故答案为：. 12．（22-23高一下·上海浦东新·期末）函数的最大值为，则正数a的值是 . 【答案】 【分析】利用辅助角公式和正弦函数的图像和性质即可求解. 【详解】因为函数， 由正弦函数的图像和性质可知，函数的最大值为， 因为，所以， 故答案为：. 13．（23-24高一下·上海·期中）已知函数在区间上有且仅有5个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据复合型三角函数最小正周期的计算公式，结合其图像性质列不等式求解. 【详解】因为，所以函数的最小正周期． 因为在区间上有5个零点， 所以，即， 可得； 故答案为：. 14．（23-24高一下·上海·期中）设函数，若对于任意，都存在，使得，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】首先求出函数在，依题意时的值域包含，结合正弦函数的性质求出的取值范围，即可得解. 【详解】当时， 因为对于任意，都存在，使得， 所以当时的值域包含， 又， 所以，则的最小值为. 故答案为： 15．（21-22高一下·上海嘉定·期末）已知函数在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据正弦函数的性质求解的零点，再根据零点与区间端点的位置关系列式求解范围即可 【详解】求解有，即或，解得或.又在区间上有且仅有两个零点，因为在正半轴的零点依次为，，，故，解得 故答案为： 16．（23-24高一下·上海·期中）设a为常数，函数在区间上恰有个零点，求所有可能的正整数n的值组成的集合为 . 【答案】 【分析】对函数化简得，利用换元法有，，求出，知有两个零点，然后分类讨论的情况，根据函数在区间有上个零点，从而求出值. 【详解】由题意， 令，，所以，， 所以，，， 记的两零点为、，因为，设，， 当，即时，得，在（k为正整数），内零点个数为3k， 在内零点个数为，因为， 所以； 当，即时，，在（k为正整数）内零点个数为3k， 在内零点个数为，此时不存在n； 当时，则，， 在和（k为正整数）内零点个数均为2k， 因为，所以或； 当时，则，， 在（k为正整数）内零点个数均为2k， 所以； 当，则，， 在和（k为正整数）内零点个数均为2k， 所以或； 综上n的所有可能值为：，，，，. 故答案为： 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于利用换元法化函数为，然后分类讨论的情况，结合在上有个零点，求解的可能取值. 三、解答题 17．（20-21高一下·上海宝山·期中）已知函数． （1）求的单调增区间； （2）求在区间上的最小值； （3）如果在上有两个解，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】应用两角和正弦公式、二倍角正余弦公式可得，（1）根据正弦函数的单调增区间有即可求的单调增区间；（2）由题设，求的值域范围，即可知最小值；（3）由正弦函数的对称性，结合给定区间知上存在两个解，即可求的范围． 【详解】. （1），则， ∴的单调增区间为. （2）由题设，，故， ∴当时，最小值为. （3）根据正弦函数的性质知：上会存在两个解， ∴. 18．（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知函数， (1)求函数的最小正周期； (2)若求的值域； (3)将函数图象向右平移个单位后，得到函数的图象，求函数的零点. 【答案】(1)； (2)； (3)或，. 【分析】（1）应用降幂公式化简，由正弦函数性质求最小正周期； （2）根据正弦型函数的性质求的区间值域； （3）由图象平移得，令结合三角函数的性质求零点即可. 【详解】（1）由， 所以的最小正周期. （2）由，则，即， 所以. （3）由题设， 令，即，可得， 所以或，， 即或，. 故的零点为或，. 19．（22-23高一下·上海嘉定·期末）已知函数 (1)求函数的周期； (2)若函数，求函数在区间上的值域； (3)若恒成立，试求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将函数转化为，利用周期公式求解； （2）由（1）得到，再利用正弦函数的性质求解； （3）将恒成立，转化为求解. 【详解】（1）由诱导公式，， ， ∴的周期． （2）由（1），知， ， ， 由，则， 故，则. 故在区间上的值域为. （3）∵， ， ， ∴当时，， ∵恒成立， 等价于， ∴，即， 解得， ∴实数的取值范围为． 20．（21-22高一上·上海宝山·期末）对闭区间I，用表示函数在I上的最大值． (1)对于，求的值： (2)已知，且偶函数，，求的最大值： (3)已知，若有且仅有一个正数a使得成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）判断的单调性即可求解； （2）由偶函数求得，根据的最大值判断范围，即可求解； （3）讨论k的取值范围可得与，当时，判断正数a的取值个数，即可求解． 【详解】（1）对任意，且时， 由， 对任意，且时， 由， 所以在上单调递减，在上单调递增； 又， 所以. （2）由于偶函数，所以， 则, 解得， 则为偶函数，符合题意， 因为，所以， 故的最大值为. （3）由题意，当时，， 若，则，与矛盾，即； 若，则，即， 则，又需满足，需有，此时矛盾， 故； ①当时，由于，则，所以， 若时，有， 所以，得； 若时，有，此时无解； 若时，有，此时有一解； 若时，有，此时无解； 若时，有，， 所以，因为， 若时，此时无解，若时，此时无解； 若时，此时有一解； ②当时，由于，则，所以， 有，则， 若，则得或等， 若，，则或，在上必有两解, 综上所述：. 【点睛】方法点睛：第三问求实数k的取值范围时，要结合正弦函数性质，对k分类讨论，结合根据，有且仅有一个正数a使得成立，确定参数范围. 21．（22-23高一下·上海闵行·期中）已知函数 (1)当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有的值； (2)若为偶函数，设，若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围； (3)若过点，设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围. 【答案】(1)1， (2) (3) 【分析】（1）由题意可得 ，由正弦函数的性质求解即可； （2）由题意可得,，将问题转化为 ，且 在 上恒成立，结合正弦函数的性质即可求解； （3）由题意可得将问题转化为结合正弦函数的性质及二次函数性质求解. 【详解】（1）当时，, 所以当，即 时，所以  ,此时 ； （2）因为 为偶函数，所以, 所以, 所以 ， 又因为在上恒成立， 即在 上恒成立， 所以 在 上恒成立， 所以 ，且 在上恒成立， 因为，所以，所以， 解得 所以 m 的取值范围为; （3）因为过点，所以 所以， 又因为,所以, 所以 ， 又因为对任意的，，都有成立， 所以， 因为，所以 ， 设 , 则有 图像是开口向下，对称轴为 的抛物线， 当 时，在 上单调递增，所以 , 所以，解得 所以； 当 时， 在上单调递减， 所以 , 所以，解得 所以; 当时，, 所以，解得所以, 综上所述：所以实数 a 的取值范围为 【点睛】关键点点睛：关键点是把恒成立转化为结合正弦函数的性质及二次函数性质求解即可. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 正弦函数的图象与性质 课程标准 学习目标 1. 通过做正弦、余弦函数的图象，培养直观想象素养． 2．借助图象的综合应用，提升数学运算素养. 3.通过周期性的研究，培养逻辑推理素养． 4．借助奇偶性及图象的关系，提升直观想象素养. 5.通过单调性与最值的计算，提升数学运算素养. 6.结合函数图象，培养直观想象素养. 1.了解由单位圆和正、余弦函数定义画正弦函数、余弦函数图象的步骤，掌握“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象的方法．(重点) 2．正、余弦函数图象的简单应用．(难点) 3．正、余弦函数图象的区别与联系．(易混点) 4.了解周期函数、周期、最小正周期的定义． 5．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期．(重点) 6．掌握函数y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．(重点、易混点) 7.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．(重点、难点) 8.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小．(重点) 9.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．(重点、易混点) 知识点01正弦曲线和正弦函数图象的画法 正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫正弦曲线． (1)几何法： ①利用单位圆画出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象； ②将图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)． (2)五点法： ①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)，用光滑的曲线连接； ②将所得图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)． 【即学即练1】（20-21高一下·上海静安·期末）用“五点法”作出函数，的大致图象，并写出使得 的的取值范围. 知识点02正弦函数的周期性、奇偶性、单调性、最值 函数 y＝sin x 周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 最小正周期 2π 奇偶性 奇函数 解析式 y＝sin x 图象 值域 [－1,1] 单调性 在＋2kπ，k∈Z上单调递增， 在＋2kπ，k∈Z上单调递减 最值 x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝－＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 【即学即练2】（23-24高一下·上海·期中）已知函数 (1)求函数的最小正周期 (2)当时，求函数的最大值和最小值 (3)已知函数，若对任意的，当时，恒成立，求实数的取值范围 题型一：求sinx型三角函数的单调性 1.（21-22高一下·上海杨浦·期中）函数在下列哪个区间上是严格增函数（    ） A． B． C． D． 2.（21-22高一下·上海浦东新·期末）函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 3.（22-23高一下·上海奉贤·期中）函数，的增区间为 ． 4.（22-23高一下·上海宝山·期中）函数的单调减区间是 ． 题型二：利用正弦型函数的单调性求参数 1.（21-22高一下·上海杨浦·期末）已知常数，函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（20-21高一下·上海杨浦·期中）若定义在区间上的函数（其中常数）既没有最大值，也没有最小值，则的取值范围是 3.（23-24高一下·上海·期末）若函数在上严格减，则正实数的取值范围是 ． 4.（20-21高一下·上海宝山·期末）已知（其中），且在闭区间上是严格减函数，则实数的值是 ． 题型三：求含sinx（型）函数的值域和最值 1.（23-24高一下·上海闵行·期中）将函数的图像向上平移1个单位，得到的图像，若，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.（23-24高一下·上海·期中）函数最大值为 ． 3.（21-22高一下·上海宝山·期中）已知函数. (1)将函数化为的形式，求的值； (2)当时，求的最大值和最小值，并指出取得最值时x的值. 4.（22-23高一下·上海浦东新·期中）已知函数. (1)求的单调增区间； (2)求函数在的值域. 题型四：由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 1.（22-23高一下·上海奉贤·期中）已知，其中，，则（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高一下·上海嘉定·期中）设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，则的取值范围为 ． 3.（22-23高一下·上海杨浦·期末）记. (1)求关于x的方程的解集； (2)求函数的单调减区间. 4．（21-22高一下·上海普陀·期末）已知函数，. (1)求函数的值域； (2)求函数严格增区间； (3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 题型五：由正弦（型）函数的奇偶性求参数 1.（23-24高一下·上海·期中）已知（其中常数）是R上的偶函数，若，，则的值为 . 2．（22-23高一下·上海松江·期中）已知函数是偶函数，则满足条件的所有θ的值为 ． 3．（20-21高一下·上海杨浦·期中）若函数（其中常数）是上的偶函数，则的值为 4.（22-23高一下·上海闵行·期中）已知函数 (1)若且的最大值为，求函数在上的单调递增区间； (2)若，函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围； (3)已知的一条对称轴方程为，令，存在常数，使得函数为偶函数，求最小的正数的值. 题型六：求正弦（型）函数的最小正周期 1.（23-24高一下·上海·期中）函数是（    ）. A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 2.（23-24高一下·上海·期中）已知函数，. (1)求函数的最小正周期和单调增区间； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 3．（23-24高一下·上海·期中）已知函数， (1)化简的解析式并求其最小正周期； (2)求在区间上的最大值和最小值. 4．（23-24高一下·上海·期中）已知函数（）.    (1)化简的解析式，并写出函数的最小正周期； (2)求函数的单调增区间； (3)用五点法画出函数，的图像；若函数在内有两个相异的零点，求实数k的取值范围. 题型七：由正弦（型）函数的周期性求值 1.（22-23高一下·上海黄浦·期中）已知函数，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为 . 2.（21-22高一下·上海徐汇·期中）设函数，其中k是一个正整数，若对任意实数a，均有，则k的最小值为 ． 3.（22-23高一下·上海长宁·期末）已知函数（其中常数）的最小正周期为． (1)求函数的表达式； (2)作出函数，的大致图象，并指出其单调递减区间； (3)将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若实数满足，且的最小值是，求的值． 4.（23-24高一下·上海·期中）已知的最小正周期为. (1)化简函数的表达式，并求出的值； (2)若不等式在上有解，求实数m的取值范围； (3)将函数图像上所有的点向右平移（）个单位长度，得到函数，且为偶函数.若对于任意的实数a，函数，与的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围. 题型八：求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 1.（22-23高一下·上海徐汇·期末）函数的一条对称轴是（   ） A． B． C． D． 2.（22-23高一下·上海嘉定·期中）若、是函数两个不同的零点，则的最小值为 . 3.（22-23高一下·上海宝山·期中）已知函数 (1)求函数的最小正周期和对称轴． (2)当时，求函数的单调增区间． 4．（23-24高一下·上海·期中）已知向量．设． (1)求函数的表达式，并写出该函数图象对称轴的方程； (2)将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，直接写出函数的表达式； (3)求关于的方程在区间上的解集． 题型九：正弦函数对称性的其他应用 1.（20-21高一下·上海浦东新·期中）方程，（）的所有根的和等于2024，则满足条件的整数的值是 2.（21-22高一下·上海闵行·期中）已知函数 . (1)求 的最小正周期; (2)求函数 的严格单调增区间; (3)若方程 在区间 上有两个相异的实数根 ， 求实数 的取值范围和 的值. 3．（22-23高一下·上海黄浦·期中）已知函数. (1)求函数的最小值及取得最小值时相应的的值； (2)若在上有四个不同的根，求的取值范围及四个根之和. 4．（20-21高一下·上海宝山·期末）已知函数． （1）求函数的振幅、频率、初始相位，以及在上的增区间； （2）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，函数，当，且时，有，求的值． 一、单选题 1．（21-22高一下·上海杨浦·期中）函数与函数的图像的交点个数是（    ） A．3 B．6 C．7 D．9 2．（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知函数，下列说法不正确的是（    ） A．在区间上单调递减 B．的最小正周期为 C．图象关于对称 D．的最小正周期为． 3．（20-21高一下·上海浦东新·期中）函数，且，若任意，、、都能构成某个三角形的三条边，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（20-21高一下·上海徐汇·期中）数学中一般用表示中的较小值，关于函数有如下四个命题： ①的最小正周期为；    ②的图像关于直线对称； ③的值域为；     ④在区间上单调递增； 其中是真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 5．（23-24高一下·上海杨浦·期中）函数的最小正周期是 . 6．（22-23高一下·上海徐汇·期末）若函数，有两个零点，则实数的取值范围为 . 7．（23-24高一下·上海·期末）已知函数，则当时，函数的值域为 ． 8．（23-24高一下·上海松江·期末）设函数对任意的实数均满足，则 ． 9．（23-24高一下·上海徐汇·期中）函数的最大值与最小值之和为 ． 10．（20-21高一下·上海徐汇·期中）若函数的图像关于直线对称，则 . 11．（22-23高一下·上海宝山·期中）函数在上的单调递减区间是 ． 12．（22-23高一下·上海浦东新·期末）函数的最大值为，则正数a的值是 . 13．（23-24高一下·上海·期中）已知函数在区间上有且仅有5个零点，则的取值范围是 ． 14．（23-24高一下·上海·期中）设函数，若对于任意，都存在，使得，则的最小值为 . 15．（21-22高一下·上海嘉定·期末）已知函数在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围是 . 16．（23-24高一下·上海·期中）设a为常数，函数在区间上恰有个零点，求所有可能的正整数n的值组成的集合为 . 三、解答题 17．（20-21高一下·上海宝山·期中）已知函数． （1）求的单调增区间； （2）求在区间上的最小值； （3）如果在上有两个解，求的取值范围． 18．（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知函数， (1)求函数的最小正周期； (2)若求的值域； (3)将函数图象向右平移个单位后，得到函数的图象，求函数的零点. 19．（22-23高一下·上海嘉定·期末）已知函数 (1)求函数的周期； (2)若函数，求函数在区间上的值域； (3)若恒成立，试求实数的取值范围. 20．（21-22高一上·上海宝山·期末）对闭区间I，用表示函数在I上的最大值． (1)对于，求的值： (2)已知，且偶函数，，求的最大值： (3)已知，若有且仅有一个正数a使得成立，求实数k的取值范围． 21．（22-23高一下·上海闵行·期中）已知函数 (1)当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有的值； (2)若为偶函数，设，若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围； (3)若过点，设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$