专题04【真题演练】因数与倍数

多学科同·艇子学 www.zxxk.com 让学习更离效 【真题演练·专题04】因数与倍数 基 础题 1.一个三位数，同时是2、3、5的倍数，这个数最大是()。 A.999 B.995 C.998 D.990 2.六位数2003☐☐是99的倍数，它的最后两位数是( ) 3.(判断)n是一个自然数，2n+1一定是奇数。( ) 4.甲，乙、丙三个小朋友在操场绕环形跑道走路，绕一周甲要3分，乙要6分，丙要9分。 三人同时，同地、同向出发，至少要行走分，3人才能在出发地点相会。 中等题 5.一个三位数（各个数位上的数字不相同），百位上的数字既是质数又是偶数，个位上的数字 既不是质数也不是合数，十位上的数字既不是正数又不是负数。则这个数是( )。 6有四个数相乘975×935×972×口，要使它的积最后4个数都是0，则口里最小应填( 7学校组织六年级学生开展学雷锋活动。每3人为一组，余1人；每6人为一组，余1人；每 7人为一组，少6人。六年级至少有()名学生。 8.甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数 是126，那么甲数是( ）。 9在一个比例中，两个外项的积是3和7的最小公倍数，其中一个内项是2.1，则另一个内项 是()。 10.(判断)5个连续偶数的和是m,这些偶数中最大的数是m+5十4。() 11.(判断)一个自然数不是奇数就是偶数，不是质数就是合数。() 12.有四个小朋友，他们的年龄刚好一个比一个大1岁，又知它们年龄的乘积是360。其中年龄 最大的小朋友是( )岁。 13.三个连续的非零自然数的积一定（)。 A.既是奇数又是合数 B.既是偶数又是质数 C.既是奇数又是质数 D.既是偶数又是合数 14用0、2、5、8四张数字卡片可以摆出多个不同的四位数，这些四位数一定是（)。 A.2的倍数 B.3的倍数 C.4的倍数 D.5的倍数 1 备学科同·艇子学 www.zxxk.com 让学习更离效 15已知a、b、c都是整数，则下列三个数叶b, 21 b叶c+a中， 2’2 整数的个数()。 A.仅有1个 B.仅有2个 C.至少有1个 D.3个 16大雪后的早晨、小轩和爸爸踏着积雪，一前一后沿着一个圆形水池从同一起点朝同一方向 跑步锻炼，爸爸每步路50厘米，小轩每步跑30厘米，雪地上脚印时有重合，一圈跑下来，共 留下1099个脚印，那么这个水池直径有 米。 17.小明、小红和小刚三人的年龄正好是三个连续的偶数，他们的年龄总和是48岁，他们中最 小的是多少岁？最大的是多少岁？ 18.一个长方形的硬纸板长是48厘米，宽是36厘米。如果将这个长方形硬纸板分割成最大的 正方形而且没有剩余。能分割多少个相同的正方形？ 困难题 19.你知道韩信点兵的故事吗？古代韩信带350名士兵打仗，战死几十人，战后清点人数， 令3人一排，多出2人；令5人一排，多出4人；令7人一排，多出6人。韩信马上说出战后 人数是( )人。 20.在1一100的所有整数中，不能被3整除的整数之和是()。 21某S为自然数，被10除余数是9，被9除余数是8，被8除余数是7，已知100<S<1000, 请问这样的数有几个？() A.5 B.4 C.3 D.2 22工业上有这样一个零件，由A、B、C三个顺次咬合的齿轮组成，当A转4圈时，B恰好转 3圈；当B转4圈时，C恰好转5圈，这三个齿轮的齿数的最小数分别是()。 A.3,4,5 B.12,16,15 C.15,20,16 2 备学科同·般子学 wwWw.2x×k.c0m 让学习更离效 23.12个不同的自然数之和等于99，在这12个自然数中最少有( 个奇数。 24.六一儿童节，幼儿园买来一些气球（不超过100个），如果平均分给10位小朋友，那 么最后一位小朋友就会少1个，如果平均分给12位小朋友，那么最后一位小朋友还会少1个： 如果平均分给14位小朋友，那么最后一位小朋友就会多3个。幼儿园共买来( 个气球。 25.今年，爷爷的年龄是小明的6倍，过几年后爷爷的年龄是小明年龄的5倍，再过几年后， 爷爷的年龄是小明的4倍。爷爷今年()岁。 3备学科同·照子学 wwW.2x×k.c0m 让学习更离效 【真题演练·专题04】 因数与倍数 答案解析 题号 1 2 3 4 J 答案 D 76 18 201 题号 6 7 8 9 10 答案 20 43 18 10 J 题号 11 12 13 14 15 答案 × 6岁 D 题号 16 17 18 19 20 答案 75 14岁18岁 12个 314 3367 题号 21 22 23 24 25 答案 D C 3 59 72 1.【答案】D 【分析】本题是一道关于2、3、5倍数方面的题目，可依据2、3、5的倍数的特征求解，要求 最大的三位数，则百位和十位上是最大的一位数；由于要满足同时是2、3、5的倍数，根据 2、3、5的倍数特征，可知个位上是0，据此解答即可。 【详解】根据分析可得：同时是2、3、5的倍数的最大三位数是990。故选D 【点睛】本题考察2、3、5的倍数特征，解题的关键是找出同时满足2、3、5的倍数的数的特 征。 2.【答案】76 【分析】设这个数是200399，用200399除以99，求出余数是多少，用200399减去余数，即 可得到正确结果。 【详解】试除法：200399÷99=202…23 所以最后两位是99-23=76。 【点睛】试除法是针对末几位不知道的情况下的一种方法，这里也可以两位一截，利用99的 整除特征判断。 1 备学科同·短子学 wwW.2××k.c0m 让学习更离效 3.【答案】/ 【分析可以用不完全列举法，从0开始一一列举，可以发现对应的2是偶数，再加1即为奇数， 所以正确。 【详解】n是自然数， 当n=0时，2n+1=2×0+1=1(奇数)， 当n=1时，2n+1=2×1+1=3(奇数)， 当n=2时，2n+1=2×2+1=5(奇数)， 因为2n是偶数，偶数+1=奇数，所以，2如+1一定是奇数。故该说法正确。 【点睛】此题考察奇数和偶数的性质，解题时可以运用列举法进行判断。 4.【答案】18 【分析】根据题意，求三人第一次在原出发地点相会是在出发后多少分钟，就是求3分钟、6 分钟、9分钟的最小公倍数。 【详解】6=2×3 9=3×3 所以3、6、9的最小公倍数是：2×3×3=18 即至少要行走18分钟，3人才能在出发地点相会。 【点睛】本题中相会的时间是3个小朋友行走时间的公倍数，“至少”又点明了是求它们的最 小公倍数。 5.【答案】201 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，除了1和它本身外，还 有别的因数的数叫合数；不能被2整除的数叫做奇数，能被2整除的数叫做偶数：根据质数、 合数、奇数和偶数的意义，0~9中，既是质数又是偶数的数是2，这个数的百位上的数是2： 既不是质数也不是合数的数是1；这个数的个位上的数是1；正数：数字前面有“+”号或没 有符号的数；负数：数字前面有“”号的数，0既不是正数也不是负数；由此可知，这个数 是十位上的数是0，这个数是201，据此解答。 【详解】根据分析可知，一个三位数（各个数位上的数字不相同），百位上的数字既是质数叉 是偶数，个位上的数字既不是质数也不是合数，十位上的数字既不是正数又不负数。则这个数 是201。 【点睛】熟练掌握质数、合数、奇数、偶数、正数、负数的意义是解答本题的关键。 6.【答案】20 2 多学科网·艇子学 wwWW.2x×k.C0m 让学习更离效 【分析】一个数末尾要有0，那它必须能被10整除。因为2×5=10,10×10×10×10=10000， 要使它的积最后4个数都是0，那么积分解质因数后就一定要有4个2和4个5。因此先将975、 935、972分别分解质因数，看它们的质因数中一共有几个2和5，还少几个，还少的这几个2 和5的乘积就是口的值。 【详解】975=5×5×3×13 935=5×11×17 972=2×2×3×3×3×3×3 口=5×2×2=20即☐里最小应填20。 【点睛】此题考察分解质因数，理解分解质因数的方法和意义是解题的关键。 7.【答案】43 【分析】由题意知，六年级共有的最少人数是比3、6、7的最小公倍数多1的数。求出3、6、 7的最小公倍数，再加1求解。 【详解】3、6、7的最小公倍数是6×7=4242+1=43（名） 即六年级至少有43名。 【点睛】此题考察最小公倍数的应用，解题的关键是理解3、6、7的最小公倍数加1是六年级 至少有的人数。 8.【答案】18 【分析】两个数的最小公倍数含有这两个数的所有的质因数，这些质因数的个数为两数中此质 因数的最大值，据此分析解答即可。 【解答】对90分解质因数：90=2×3×3×5。 因为5不能整除126，所以不能整除甲，即甲中不含因数5，于是乙必含因数5。 因为2不能整除105，所以2不能整除乙，即乙中不含因数2，于是甲必含因数2×2。 因为9不能整除105，所以9不能整除乙，即乙最多含有一个因数3。 第-种情祝：当乙只含一个因数3时，乙=3×5=15，由[甲，乙]=90=2×32×5，则甲=2×32=18； 第二种情祝况：当乙不含因数3时，乙=5，由[甲，乙]=90=2×32×5，则甲=2×32=18。 综上所需，甲为18。 【点评】本题考查的最小公倍数及分解质因数。 9.【答案】10 【分析】在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。首先明确3和7的最小公倍数是 21,再用两个外项的积除以已知的内项即可求出另一个内项。 【详解】3×7=21 3 备学科同·艇子学 wwWw.2x×k.c0m 让学习更离效 3和7的最小公倍数21,21÷2.1=10，则另一个内项是10。 【点睛】综合考察最小公倍数和比例的问题，熟知在比例里，两个外项的积等于两个两个内向 的积，是解题的关键。 10.【答案】/ 【分析】由于5个连续的偶数和是m,由于相邻的两个偶数的和相差2，可知5个连续偶数的 和其实相当于5个中间数的和，即用和除以5即可求出中间的数，由于最大的数比中间的数大 4,用据此即可列式。 【详解】由分析可知：5个连续偶数的和是m,这些偶数中最大的数是m÷5+4。原题说法正 确。 故答案为：/ 【点睛】本题综合考虑偶数与平均数，理解平均数的求法和偶数的特征是解题的关键。 11.【答案】× 【分析】一个数末尾有0、2、4、6、8的就是偶数，末尾有1、3、5、7、9的就是奇数，这句话 是对的，但是质数与合数之外还有0和1，所以是错的。 【详解】由分析可得，该说法错误。 【点睛】熟悉奇数、偶数、质数、合数的特征是解题的关键。 12.【答案】6岁 【分析】360是年龄的乘积，故可将360分解质因数，再将这些质因数依据题意，组合成4个 连续自然数的乘积。再经过比较、分析，便可找到年龄最大的小朋友的年龄数。 【详角解】360=2×2×2×3×3×5 =3×(2x2)×5×(2×3)】 =3×4×5×6 答：年龄最大的小朋友是6岁。 13.【答案】D 【分析】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数：除了1和它本身以外还有其 他因数，这样的数叫合数。 自然数成奇偶排列，三个连续的非零自然数，要么是奇数、偶数、奇数，要么是偶数、奇数、 偶数，奇数×偶数=偶数，据此进行分析。 【详解】奇数×偶数×奇数=偶数偶数×奇数×偶数=偶数 备学科同·艇子学 wwWw.2x×k.c0m 让学习更离效 偶数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除，这个偶数是合数。因此三个连续的非 零自然数的积一定既是偶数又是合数。故选D 【点睛】掌握奇数偶数质数合数的特征的解题的关键。 14.【答案】B 【分析】根据2、3、5的倍数特征进行判断。随意摆放，无法确定末尾的数字是多少，即无法 判断是2或5的倍数，3的倍数特征是各数位上的数相加和是3的倍数，据此进行求解。 【详解】0+2+5+8=15 15÷3=5 15是3的倍数，用0、2、5、8四张数字卡片可以摆出多个不同的四位数，这些四位数一定是 3的倍数。故选B 【点睛】熟知2、3、5的倍数特征是解题的关键。 15.【答案】C 【详解】根据偶数与奇数的定义可知，如果它们的和的是偶数则除以2的商为整数，如果它们 的和为奇数，则它们的和除以2的商不为整数，因此完成本题要根据a,b,c的奇偶性的不同 情况来判断它们两数和的奇偶性，从而得出它们两数和除以2时，商是否是整数。 当a,b,c都为偶数时，则a+b,b+c,c+a的和为偶数，那么叶b,b什c,十a 2， 2， 都为整 2 数：当，b,c都为奇数时，则a+b,b+c,c+a的和为偶数，那么叶也，什e,十a 2 2 2 都 为整数；当a,b,c中有一个偶数，两个奇数时，则a+b,b+c,c+a的和中有两个为奇数， 一个为偶数，那么叶b,什c,牛只有一个为整敬：当a,,c中有两个偶数，一个奇 2’22 数时.则a十b,b计e,c十1的和中有两个为奇数，一个为偶数，那么叶，牛c,牛只 2 2 2 有一个为整数：所以，如果a,b,c是三个任意整数，那么叶b,什c,十至少有一个 2， 2 2 为整数。故选C。 16.【答案】75 【分析】因他们的起点和走的方向完全相同，也就是一前一后的走，脚印一定有重合的，即重 合在两人步子长度的公倍数上，所以先求出他们步长的最小公倍数，再求出他们脚印重合时的 备学科同·艇子学 wwWw.2x×k.c0m 让学习更离效 步数，然后再据总步数及最小公倍数即能求出这条路的长度，也就是环形跑道的长，再做进一 步解答即可。 【详解】50和30的最小公倍数是150。 第一次重合时，爸爸跑的步数：150+50=3（步） 小轩跑的步数：150-30=5（步） 第一次爸爸与小轩第一次重合时脚印次数：5+3-1=7（个》 重合的次数：1099+7=157（次） 这条路的全长：150×157=23550（厘米），23550厘米=235.5米 水池的直径：235.5+3.14-75（米） 故答案为：75。 17.【答案】14岁 18岁 【分析】依据平均数=总数÷人数，可求出中间的偶数；然后用中间的偶数分别加2和减2， 即可求出最大和最小的年龄。 【详解】48÷3=16（岁） 16-2=14(岁) 16+2=18(岁) 答：他们中最小的14岁，最大的18岁。 18.【答案】12个 【分析】由题意可知，要分割成最大的正方形而且没有剩余，也就是正方形的边长是长方形的长 和宽的最大公因数，纸没有乘剩余，首先求出48和36的最大公因数，长和宽分别除以它们的最大 公因数，再求这两个的积就是可以裁的个数。 【详解】48=2×2×2×2×3 36=2×2×3×3 48和36的最大公因数是：2×2×3=12 (48÷12)×(36÷12)=12(个) 答：能分割12个相同的正方形。 【点睛】考察运用最大公因数和最小公倍数解决实际问题。 19.【答案】314 【分析】3人一排，多出2人，即比3的倍数少1；站5人一排，多出4人，即比5的倍数少 1;站7人一排，多出6人，即比7的倍数少1，求出3,5,7的公倍数，再根据韩信带350 名士兵打仗，战死几十人，这一条件确定公倍数，最后减1即可解答。 【详解】3,5,7的最小公倍数为105 6 备学科同·艇子学 wwWW.2x×k.C0m 让学习更离效 韩信带350名士兵打仗，战死几十人，说明这一数字在300左右，符合3,5,7的公倍数的有 105×3=315 315-1=314(人) 故答案为314人。 【点睛】本题主要考查公倍数问题，根据3人一排，多出2人；站5人一排，多出4人；站7 人一排，多出6人这一条件转化成都少1人，再求公倍数是解答本题的关键。 20.【答案】3367 【分析】用1一100的，总和减去可以被三整除的数的总和即可。求两个和可以用凑对的方式， 如1+2+3+..+100的和，可以用(1+100)、(2+99)，看有几组这样的和，一组的和 ×组数即可。 【详解】1+2+3+…+100 =(1+100)×100÷2 =101×50 =5050 3+6+9+12+…+99 =3×(1+2+3+…33) =3×(1+33)×33÷2 =3×34×33÷2 =1683 5050-1683=3367 【点睛】3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 21.【答案】D 【分析】根据题意，把“被10除余数是9，被9除余数是8，被8除余数是7”，转化为：每 10个分一份，少1，；每9个分一份，少1；每8个分一份，少1。所以求10、9、8的公倍数 在1001000之间的数少1，即可。 【详解】10、9、8的最小公倍数是360，在1001000之间的倍数有：360,720 360-1=359 720-1=719 所以这个数可能是359,719，这样的数有两个。故选D 【点睛】本题考查带余除法，关键是把除以一个数余几，转化为少多少，再进行解答。 22.【答案】C 多学斛同·艇子学 wwW.2××k.C0m 让学习更离效 【分析】由题干可知，当A转4圈时，B恰好转3圈；当B转4圈时，C恰好转5圈，即B转 12圈，C转15圈，而A转16圈；假设三个齿轮转过的总齿数是相等的，即转过的总齿数是 12、15、16的公倍数，要求最少就是转过的总齿数是12、15、16的最小公倍数，再用最小公 倍数分别除以它们的圈数就是各自的齿数。 【详解】由分析得，当A转4圈时，B恰好转3圈；当B转4圈时，C恰好转5圈，即B转12 圈，C转15圈，而A转16圈； 12=2×2×315=3×5 16=2×2×2×2 所以12、15、16的最小公倍数是2×2×2×2×3×5=240 A为：240÷16=15（齿）B为：240÷12=20（齿）C为：240÷15=16（齿） 故选C 【点睛】此题考查的是最小公倍数的应用，理解三个齿轮转过的总齿数是相等的，即转过的总 齿数是12、15、16的公倍数是解题关键。 23.【答案】3 【分析】12个不同的数的和为99，是一个奇数，所以，偶数的个数为奇数个。 又因为：0+2+4+6+8+10+12+16+18<99<0+2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 所以，偶数最多有9个。 此时，0+2+4+6+8+10+12+16+18=90，比99小9，剩下的三个奇数可以是：1+3+5， 所以，奇数最少有3个。 【详解】由分析可知，奇数最少有3个。 【点睛】根据12个不同的数的和为奇数，可知，这位12个数中偶数有奇数个；分类讨论偶数 的数量，找出偶数最多的情况，即奇数最少的情况。 24.【答案】59 【分析】根据题目可知：平均分给10个小朋友，最后一个小朋友少1个，如果平均分给12个 小朋友，最后一个小朋友还会少1个，如果多买一个气球，则正好平均分给10个小朋友和12 个小朋友，即此时气球的数量是10和12的公倍数，由于这些气球不超过100个，即10和12 在100以内的公倍数是60；由此即可求出一共买了多少个：60-1=59个；由于59个平均分 给14个小朋友会多3个，如果少了3个，此时气球是59-3=56个，56正好能平均分给14 个小朋友，则符合题意。 【详解】由分析可知：找10和12在100以内的公倍数： 8 备学科同·照子学 wwWw.2x×k.c0m 让学习更离效 10的倍数：10、20、30、40、50、60、70、80、90 12的倍数：12、24、36、48、60、72、84、96 则100以内10和12的公倍数是：60 60-1=59(个) 【点睛】本题主要考查公倍数的应用，熟练运用找公倍数的方法并灵活运用。 25.【答案】72 【分析】今年爷爷年龄是小明的6倍，那么年龄差是小明年龄的6-1=5倍；过几年后爷爷年龄 是小明的5倍，此时年龄差是小明年龄的5-1=4倍；再过几年后爷爷年龄是小明的4倍，这时 年龄差是小明年龄的4-1=3倍。 因为年龄差是不变的，且这个年龄差是5、4、3的倍数，5、4、3的最小公倍数是5×4×3=60， 所以年龄差是60。已知年龄差是60，今年年龄差是小明年龄的5倍，所以小明今年的年龄是 60÷5=12(岁)，今年爷爷年龄是小明的6倍，所以爷爷今年的年龄是12×6=72（岁） 【详解】6-1=55-1=44-1=3 5×4×3=60 60÷5=12(岁) 12×6=72(岁) 答：爷爷今年72岁。 【点睛】爷爷和小明的年龄差不变，年龄差是5,4,3的公倍数，结合生活常识年龄差只能是 3,4,5的最小公倍数60。 9