专题01 空间几何体及平面知识归纳与题型突破（13类题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（湘教版2019必修第二册）

专题01 空间几何体及平面知识归纳与题型突破 知识点1 空间几何体 1.空间几何体的概念： （1）空间几何体：由一些物体抽象出来的空间图形称为空间几何体. （2）多面体：由若干个平面多边形（包括三角形）围成的封闭体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫作多面体的面，两个编的公共边叫作多面体的冷，棱和棱的交点叫作封面图的顶点. （3）把平面上一条封闭曲线内的区域绕着该平面内的一条定直线旋转而成的几何体称为旋转体，这条定直线称为旋转轴. 2.棱柱、棱锥、棱台 （1）棱柱、棱锥、棱台的结构 多面体 棱柱 棱锥 棱台 定义 由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形叫作棱柱 当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的空间图形叫作棱锥 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台 有关 概念 平移起止位置的两个面叫作棱柱的底面，多边形的边平移形成的面叫作棱柱的侧面. 相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点 多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；其它各面叫做棱台的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱；底面与侧面的公共顶点叫做棱台的顶点 图形 表示法 用表示底面各顶点的字母表示棱柱，如上图中的棱柱可记为棱柱ABCDE－A′B′C′D′E′ 用表示顶点和底面各顶点的字母表示，如上图中的棱锥可记为棱锥S－ABCD 用表示底面各顶点的__字母__表示棱台，如上图中的棱台可记为棱台ABCD－A′B′C′D′ 分类 按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……，其中三棱锥又叫四面体 按底面多边形的边数分为三棱台、四棱台、五棱台…… 特征 侧棱互相平行且相等；侧面都是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形. 底面是多边形；侧面是有一个公共顶点的三角形． 侧棱延长后交于一点；侧面是梯形．两个底面与平行于底面的截面是相似多边形 （2）棱柱概念的推广 ①斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱． ②直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱． ③正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱． ④平面六面体：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，即平行六面体的六个面都是平行四边形． ⑤长方体：底面是矩形的直棱柱叫做长方体． ⑥正方体：棱长都相等的长方体叫做正方体． （3）正棱锥：棱锥的底面是正多边形，讲底面水平放置后，它的顶点又在过正多边形中心的铅垂线上，则这样的棱锥称为正棱锥，顶点到底面中心的距离叫作正棱锥的高. （4）正棱台：由正棱锥截得的棱台，叫正棱台. 3.圆柱、圆锥、圆台和球 （1）圆柱、圆锥、圆台和球的结构： 旋转体 圆柱 圆锥 圆台 球 定义 将矩形绕着它的一边所在直线旋转一周，形成的空间图形叫做圆柱 将直角三角形绕着它的一条直角边所在直线旋转一周，形成的空间图形叫做圆锥 将直角梯形绕着它的垂直于底边的腰所在直线旋转一周，形成的空间图形叫做圆台 半圆绕着它的直径所在直线旋转一周所形成的曲面叫作球面，球面围成的空间图形叫做球体，简称球 有关 概念 旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线 如上图所示，轴为O，底面为⊙O，SA为母线．另外，S叫做圆锥的顶点，OA(或OB)叫做底面⊙O的半径 圆台的下底面和上底面．与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、侧面、母线，如上图所示，轴为OO′，AA′为母线 半圆的圆心叫做球的球心；半圆的半径叫做球的半径；半圆的直径叫做球的直径 图形 表示法 用表示底面圆心的字母表示圆柱，如上图记为圆柱O′O 用表示顶点和底面圆心的字母表示，如上图记为圆锥SO 用表示底面圆心的字母表示圆太，如上图记为圆台O′O 用表示球心的字母表示球，如上图记为球O （2）圆柱、圆锥、圆台的性质 ① ② （3）球的性质： 知识点2 简单几何体的直观图 斜二测画法来画，基本步骤是： (1)画几何体的底面 在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°或135°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴．已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半． (2)画几何体的高 在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变． 知识点3 平面 1.平面及其表示方法： 图形表示、希腊字母表示、大写英文字母表示 2.点、线、面的位置关系的表示 A是点，l，m是直线，α，β是平面. 文字语言 符号语言 图形语言 A在l上 A∈l A在l外 A ∉l A在α内 A∈α A在α外 A ∉α l在α内 L ⊂α l在α外 L ⊄α 或 l，m相交于A l∩m＝A l，α相交于A L ∩α＝A α，β相交于l α∩β＝l 3.平面的基本性质 (1)基本事实1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)． (2) 基本事实2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)． （3）三条推论 推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面． 推论2：两条相交直线确定一个平面． 推论3：两条平行直线确定一个平面． (4) 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 题型一 简单几何体的认识 【例1】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，三棱柱中，平面与其余的面之间有什么位置关系？ 【变式1-1】（2024高二上·黑龙江佳木斯·学业考试）一个直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转形成的曲面所围成的几何体是（    ） A．球体 B．圆柱 C．圆台 D．圆锥 【变式1-2】（24-25高二上·北京·阶段练习）下列四个命题中正确的是（   ） A．正三棱锥的每个面都是正三角形 B．所有棱长都相等的四棱柱是正方体 C．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 D．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 【变式1-3】（2024高三·全国·专题练习）下面关于空间几何体叙述正确的是（    ） A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．正四棱柱都是长方体 D．直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆柱 题型二 利用斜二测画法画几何体的直观图 【例2】（2024高一下·全国·专题练习）有一个正六棱锥，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正六棱锥的直观图． 【变式2-1】（24-25高一下·全国·课前预习）我们可以把长方体看成底面沿着与底面垂直的方向平移后形成的几何体，依据这一点，如何作出长方体的直观图呢？ 【变式2-2】（22-23高一·全国·随堂练习）画出上、下底面边长分别为2cm和4cm.高为2cm的正四棱台的直观图. 【变式2-3】（2024高三·全国·专题练习）画正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的直观图．（底面边长尺寸不作要求，侧棱长为1.5 cm） 题型三 斜二测画法下的计算问题 【例3】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，在中，，边上的高． (1)画出水平放置的的直观图； (2)求直观图的面积． 【变式3-1】（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，斜边，则原图形的面积是 ． 【变式3-2】（21-22高一下·上海闵行·期末）将边长为的正三角形，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为，则 ．    【变式3-3】（20-21高三下·浙江·期末）如图是一个水平放置的平面图形的直观图，它是一个底角为，腰和上底均为1，下底为的等腰梯形，那么原平面图形的面积为 .    题型四 平面的概念及表示 【例4】（23-24高一下·广东广州·期中）如图所示的点，线，面的位置关系，用符号语言表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一下·全国·课后作业）构成空间几何体的基本元素为（    ） A．点 B．线 C．面 D．点、线、面 【变式4-2】（多选）（24-25高一下·全国·课堂例题）（多选）下列说法正确的是（    ） A．平面是处处平的面 B．平面是无限延展的 C．平面的形状是平行四边形 D．一个平面的厚度可以是0.001cm 【变式4-3】（2024高一下·全国·专题练习）根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的位置关系. (1)点与直线； (2)点与直线； (3)点与平面； (4)点与平面； 题型五 空间位置关系的画法 【例5】（21-22高一·全国·课前预习）用符号语言表示下列语句，并画出图形： (1)三个平面相交于一点P，且平面与平面相交于，平面与平面相交于，平面与平面相交于； (2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC. 【变式5-1】（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）下图中图形的画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（21-22高一·湖南·课后作业）用集合符号表示下列语句，并画出相应的图形： (1)点A在直线a上，直线a在平面内； (2)直线a经过平面外的一点A； (3)直线a既在平面内，又在平面内． 【变式5-3】（21-22高二·全国·课后作业）用符号表示下列语句，并画出相应的图形： (1)点A在平面内，点B在平面外； (2)直线a经过平面外的一点M． 题型六 平面分空间区域的数量 【例6】（23-24高一下·上海·期末）在平面上画条直线，假设其中任意2条直线都相交，且任意3条直线都不共点，设条直线将平面分成了个区域，那么条直线可把平面分成 个区域． 【变式6-1】（24-25高一下·全国·课后作业）（1）一个平面可以把空间分成 部分． （2）两个平面可以把空间分成 部分． （3）三个平面可以把空间分成 部分． 【变式6-2】（23-24高一下·上海·期末）已知平面与平面将空间分成3部分，若空间中还有一个平面，那么这三个平面可以将空间分成 ．部分． 【变式6-3】（10-11高一上·陕西宝鸡·期末）有下列四个说法：①过三点确定一个平面；②有三个角为直角的四边形是矩形；③三条直线两两相交则确定一个平面；④两个相交平面把空间分成四个区域.其中错误说法的序号是 . 题型七 平面的性质及辨析 【例7】（22-23高一·全国·随堂练习）在空间中，下列命题是否正确？为什么？ (1)有两组对边相等的四边形是平行四边形； (2)四边相等的四边形是菱形； (3)平行于同一条直线的两条直线平行； (4)有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等． 【变式7-1】（24-25高二上·上海崇明·期中）当我们停放自行车时，只要将自行车的排脚放下，自行车就稳了，这用到了（   ） A．三点确定一个平面 B．不在同一直线上的三点确定一个平面 C．两条相交直线确定一个平面 D．两条平行直线确定一个平面 【变式7-2】（24-25高二·上海·课堂例题）对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点②三条直线两两平行③三条直线共点④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，哪些是使三条直线确定一个平面的充分条件（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【变式7-3】（23-24高一下·湖南益阳·期末）下列说法中不正确的是（    ） A．三棱锥是四面体，正四面体是正三棱锥 B．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 C．平行的线段在直观图中仍然平行 D．在同一个圆中，圆心和圆上两点可确定一个平面 题型八 点、线确定平面数量问题 【例8】（22-23高一下·江苏·期中）空间有6个点，其中任意三点不共线，且有五个点共面，则这6个点最多可以确定 个平面． 【变式8-1】（24-25高二上·山东东营·开学考试）不共面的四点最多可确定（    ）个平面 A．3 B．4 C．5 D．6 【变式8-2】（24-25高一下·全国·课后作业）空间中有三条直线，如果其中一条直线和其他两条直线都相交，那么这三条直线能确定的平面个数是（    ） A．1或2 B．3或4 C．1或2或3 D．1或3或4 【变式8-3】（21-22高一下·安徽六安·期末）空间中四点可确定的平面有（    ） A．1个 B．4个 C．1个或4个 D．1个或4个或无数个 题型九 空间共面问题 【例9】（24-25高三上·河北承德·期中）如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知：，，，，，求证：．    【变式9-2】（22-23高一下·黑龙江大庆·期中）（1）直线和两条异面直线都相交，画出每两条相交直线所确定的平面，并标上字母； （2）如图，已知是空间四点，且点在同一直线上，点不在直线上．求证：直线在同一平面内．    【变式9-3】（21-22高一·全国·课后作业）如图，为空间四边形，点、分别是、的中点，点、分别在、上，且，．求证： (1)、、、四点共面； (2)、必相交且交点在直线上． 题型十 空间共线问题 【例10】（2024高一·江苏·专题练习）如图所示，在正方体中，分别为上的点且．求证：点三点共线．    【变式10-1】（2023高三·全国·专题练习）已知三边所在直线分别与平面α交于三点，求证：三点共线．  【变式10-2】（2024高一下·全国·专题练习）已知与所在平面相交，并且交于一点.若，求证:共线. 【变式10-3】（19-20高一下·全国·课后作业）如图所示，，，，与，分别在平面的两侧，，．求证：，，三点共线. 题型十一 空间线共点问题 【例11】（2024高一下·全国·专题练习）如图，在正四棱柱中，，，E为的中点，经过BE的截面与棱，分别交于点F，G，直线BG与EF不平行．证明：直线BG，EF，共点. 【变式11-1】（2024高一下·全国·专题练习）如图，已知正方体． （1） ； （2）平面∩平面 ； （3） ． 【变式11-2】（23-24高一下·山东青岛·期末）木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块时，为了经过木料表面内一点P和棱将木料平整锯开，需要在木料表面过点P画直线l，则l满足 .（选出正确的结论） ①；②l与直线相交；③l与直线相交. 【变式11-3】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，已知四面体中，E，F分别是AB，AD上的点，G，H分别是BC，CD上的点，且四边形是以EF，GH为底的梯形．求证：直线EG，FH，AC相交于同一点． 题型十二 平面性质与截面图形 【例12】（24-25高二上·上海·课堂例题）如图，正方体的棱长为a，M、N分别是、AD的中点，P在上且满足，过M、N、P三点作正方体的截面．    【变式12-1】（23-24高一下·福建·期末）如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，设直线与平面交于点，则（    ）    A．2 B． C．1 D． 【变式12-2】（多选）（2024高一下·全国·专题练习）在正方体中，点是棱上的动点，则过三点的截面图形是（　　） A．等边三角形 B．矩形 C．等腰梯形 D．正方形 【变式12-3】（22-23高一下·福建三明·期末）已知正三棱柱木料各棱长都为2，如图所示，，分别为和的中心，为线段上的点，且，过三点的截面把该木料截成两部分，则截面面积为 ．    题型十三 平面基本性质的计算问题 【例13】（23-24高一下·浙江宁波·期中）正方体棱长为2，N为线段上一动点，为线段上一动点，则的最小值为 . 【变式13-1】（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在正三棱柱中，，，，分别为棱，，的中点，过，，三点作正三棱柱的截面，则截面与侧面的交线长为 .    【变式13-2】（21-22高一下·黑龙江哈尔滨·期中）正方体的棱长为2，、分别为棱和中点，直线与平面的交点为，则的长度为 . 【变式13-3】（22-23高一下·河南郑州·阶段练习）在四棱锥中，，，为中点，平面交于，则 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 空间几何体及平面知识归纳与题型突破 知识点1 空间几何体 1.空间几何体的概念： （1）空间几何体：由一些物体抽象出来的空间图形称为空间几何体. （2）多面体：由若干个平面多边形（包括三角形）围成的封闭体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫作多面体的面，两个编的公共边叫作多面体的冷，棱和棱的交点叫作封面图的顶点. （3）把平面上一条封闭曲线内的区域绕着该平面内的一条定直线旋转而成的几何体称为旋转体，这条定直线称为旋转轴. 2.棱柱、棱锥、棱台 （1）棱柱、棱锥、棱台的结构 多面体 棱柱 棱锥 棱台 定义 由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形叫作棱柱 当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的空间图形叫作棱锥 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台 有关 概念 平移起止位置的两个面叫作棱柱的底面，多边形的边平移形成的面叫作棱柱的侧面. 相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点 多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；其它各面叫做棱台的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱；底面与侧面的公共顶点叫做棱台的顶点 图形 表示法 用表示底面各顶点的字母表示棱柱，如上图中的棱柱可记为棱柱ABCDE－A′B′C′D′E′ 用表示顶点和底面各顶点的字母表示，如上图中的棱锥可记为棱锥S－ABCD 用表示底面各顶点的__字母__表示棱台，如上图中的棱台可记为棱台ABCD－A′B′C′D′ 分类 按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……，其中三棱锥又叫四面体 按底面多边形的边数分为三棱台、四棱台、五棱台…… 特征 侧棱互相平行且相等；侧面都是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形. 底面是多边形；侧面是有一个公共顶点的三角形． 侧棱延长后交于一点；侧面是梯形．两个底面与平行于底面的截面是相似多边形 （2）棱柱概念的推广 ①斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱． ②直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱． ③正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱． ④平面六面体：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，即平行六面体的六个面都是平行四边形． ⑤长方体：底面是矩形的直棱柱叫做长方体． ⑥正方体：棱长都相等的长方体叫做正方体． （3）正棱锥：棱锥的底面是正多边形，讲底面水平放置后，它的顶点又在过正多边形中心的铅垂线上，则这样的棱锥称为正棱锥，顶点到底面中心的距离叫作正棱锥的高. （4）正棱台：由正棱锥截得的棱台，叫正棱台. 3.圆柱、圆锥、圆台和球 （1）圆柱、圆锥、圆台和球的结构： 旋转体 圆柱 圆锥 圆台 球 定义 将矩形绕着它的一边所在直线旋转一周，形成的空间图形叫做圆柱 将直角三角形绕着它的一条直角边所在直线旋转一周，形成的空间图形叫做圆锥 将直角梯形绕着它的垂直于底边的腰所在直线旋转一周，形成的空间图形叫做圆台 半圆绕着它的直径所在直线旋转一周所形成的曲面叫作球面，球面围成的空间图形叫做球体，简称球 有关 概念 旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线 如上图所示，轴为O，底面为⊙O，SA为母线．另外，S叫做圆锥的顶点，OA(或OB)叫做底面⊙O的半径 圆台的下底面和上底面．与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、侧面、母线，如上图所示，轴为OO′，AA′为母线 半圆的圆心叫做球的球心；半圆的半径叫做球的半径；半圆的直径叫做球的直径 图形 表示法 用表示底面圆心的字母表示圆柱，如上图记为圆柱O′O 用表示顶点和底面圆心的字母表示，如上图记为圆锥SO 用表示底面圆心的字母表示圆太，如上图记为圆台O′O 用表示球心的字母表示球，如上图记为球O （2）圆柱、圆锥、圆台的性质 ① ② （3）球的性质： 知识点2 简单几何体的直观图 斜二测画法来画，基本步骤是： (1)画几何体的底面 在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°或135°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴．已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半． (2)画几何体的高 在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变． 知识点3 平面 1.平面及其表示方法： 图形表示、希腊字母表示、大写英文字母表示 2.点、线、面的位置关系的表示 A是点，l，m是直线，α，β是平面. 文字语言 符号语言 图形语言 A在l上 A∈l A在l外 A ∉l A在α内 A∈α A在α外 A ∉α l在α内 L ⊂α l在α外 L ⊄α 或 l，m相交于A l∩m＝A l，α相交于A L ∩α＝A α，β相交于l α∩β＝l 3.平面的基本性质 (1)基本事实1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)． (2) 基本事实2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)． （3）三条推论 推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面． 推论2：两条相交直线确定一个平面． 推论3：两条平行直线确定一个平面． (4) 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 题型一 简单几何体的认识 【例1】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，三棱柱中，平面与其余的面之间有什么位置关系？ 【答案】答案见解析 【知识点】棱柱的结构特征和分类 【分析】结合三棱柱的几何特征结合面面位置关系分别判断即可. 【详解】几何体为三棱柱， 平面与平面平行. 平面与平面有公共直线， 平面与平面相交. 同理可得平面与平面及平面均相交. 【变式1-1】（2024高二上·黑龙江佳木斯·学业考试）一个直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转形成的曲面所围成的几何体是（    ） A．球体 B．圆柱 C．圆台 D．圆锥 【答案】D 【知识点】判断几何体是否为圆锥 【分析】根据圆锥定义可得结论. 【详解】依题意可知一个直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转形成的曲面所围成的几何体是圆锥. 故选：D 【变式1-2】（24-25高二上·北京·阶段练习）下列四个命题中正确的是（   ） A．正三棱锥的每个面都是正三角形 B．所有棱长都相等的四棱柱是正方体 C．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 D．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 【答案】C 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类、圆柱的结构特征辨析、圆锥的结构特征辨析 【分析】根据题意，举出反例可得AB错误，由圆柱、圆锥的定义综合分析可知C正确，D错误. 【详解】对于A，正三棱锥的底面为正三角形，侧面不一定都是正三角形，只需是等腰三角形， 且能保证顶点在底面内的投影在底面正三角形的中心即可，可知A错误； 对于B，底面是菱形的直四棱柱，其侧棱长与底面边长相等时， 该四棱柱的所有棱长都相等，但不是正方体，可得B错误； 对于C，以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，即C正确； 对于D，以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥，可得D错误. 故选：C 【变式1-3】（2024高三·全国·专题练习）下面关于空间几何体叙述正确的是（    ） A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．正四棱柱都是长方体 D．直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆柱 【答案】C 【知识点】棱台的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类、棱柱的结构特征和分类 【分析】由正棱锥的定义判断A，由棱台的定义判断B，由正四棱柱的定义判断C，由圆锥的定义判断D. 【详解】对于A，底面是正多边形且顶点在底面内的射影为底面中心的棱锥是正棱锥，故A错误； 对于B，将两个相同的棱台的底面重合得到的多面体满足有两个面互相平行，其余各面都是梯形， 但是这样的多面体不是棱台，故B错误； 对于C，因为正四棱柱是底面为正方形的直棱柱，所以正四棱柱都是长方体，故C正确； 对于D，根据圆锥的定义可知D不正确. 故选：C. 题型二 利用斜二测画法画几何体的直观图 【例2】（2024高一下·全国·专题练习）有一个正六棱锥，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正六棱锥的直观图． 【答案】直观图见解析 【知识点】斜二测法画立体图形的直观图 【分析】借助直观图的画法逐步画出即可得. 【详解】（1）先画出边长为3 cm的正六边形的水平放置的直观图，如图①所示． （2）过正六边形的中心O′建立z′轴，在z′轴上截取O′V′＝3 cm，如图②所示． （3）连接V′A′，V′B′，V′C′，V′D′，V′E′，V′F′，如图③所示． （4）擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的直观图，如图④所示． 【变式2-1】（24-25高一下·全国·课前预习）我们可以把长方体看成底面沿着与底面垂直的方向平移后形成的几何体，依据这一点，如何作出长方体的直观图呢？ 【答案】答案见详解 【知识点】斜二测法画平面图形的直观图 【详解】先作出底面的直观图，然后找一个与底面垂直的方向，将底面平移，就形成了长方体的直观图. 【变式2-2】（22-23高一·全国·随堂练习）画出上、下底面边长分别为2cm和4cm.高为2cm的正四棱台的直观图. 【答案】直观图见解析 【知识点】斜二测法画立体图形的直观图 【分析】根据斜二测画法，画出水平放置的边长为4cm的正方形，再画出高和上底面，即可求解. 【详解】第一步，用斜二测画法，画出水平放置的边长为4cm的正方形； 第二步，取四边形对角线中点O，建立坐标系，作平面，且2cm； 第三步，建立平面坐标系，用斜二测画法画出水平放置的边长为2cm的正方形； 第四步，连接，得四棱台即为所求，如图：      【变式2-3】（2024高三·全国·专题练习）画正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的直观图．（底面边长尺寸不作要求，侧棱长为1.5 cm） 【答案】答案见解析 【知识点】斜二测法画立体图形的直观图 【分析】根据斜二测画法绘制正六棱柱的直观图即可. 【详解】（1）画轴．画轴、轴、轴，使，． （2）画底面．根据轴、轴，画正六边形的直观图ABCDEF． （3）画侧棱．过A，B，C，D，E，F各点分别作轴的平行线， 在这些平行线上分别截取、、、、、都等于1.5 cm. （4）成图．顺次连接，，，，，，去掉辅助线， 将被遮挡的部分改为虚线，就得到正六棱柱的直观图． 题型三 斜二测画法下的计算问题 【例3】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，在中，，边上的高． (1)画出水平放置的的直观图； (2)求直观图的面积． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【知识点】斜二测画法中有关量的计算、斜二测法画平面图形的直观图 【分析】（1）利用斜二测画法画出直观图即可； （2）作，为垂足，求出即可求解． 【详解】（1）①以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图①， ②画出对应的，轴，使， 在轴上取点，，使，， 在轴上取点，使， 连接，，则即为的直观图，如图②． （2）在图②中，作，为垂足， ，， ， ． 【变式3-1】（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，斜边，则原图形的面积是 ． 【答案】 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据直观图中的位置关系以及线段长度还原出原图形，即可计算出面积. 【详解】易知， 所以原图形中，且，如下图所示： 因此其面积为. 故答案为： 【变式3-2】（21-22高一下·上海闵行·期末）将边长为的正三角形，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为，则 ．    【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】先在直角坐标系中得出各边的数值，再按“斜二测”画法作图，得出相关关系，再利用余弦定理，求出边. 【详解】由题意，在平面直角坐标系中，三角形是边长为的正三角形， ，边上的高为， 按“斜二测”画法如下图所示 ，， 在三角形中，，    由余弦定理得 . 故答案为： 【变式3-3】（20-21高三下·浙江·期末）如图是一个水平放置的平面图形的直观图，它是一个底角为，腰和上底均为1，下底为的等腰梯形，那么原平面图形的面积为 .    【答案】 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据斜二侧画法画平面图形的直观图的步骤，判断平面图形为直角梯形，且直角腰长为2，上底边长为1，再求出下底边长，代入梯形的面积公式计算即可． 【详解】平面图形的直观图是一个底角为，腰和上底长均为1的等腰梯形， 平面图形为直角梯形，且直角腰长为2，上底边长为1， 梯形的下底边长为平面图形的面积. 故答案为：. 题型四 平面的概念及表示 【例4】（23-24高一下·广东广州·期中）如图所示的点，线，面的位置关系，用符号语言表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面的概念及其表示 【分析】根据点、线、面的位置关系，及其符号表示逐一判断即可. 【详解】点和面、点和线的关系用“”或“”表示，故A错误； 线面关系用“”或“”表示，故BD错误； 根据图形有，C正确. 故选：C 【变式4-1】（24-25高一下·全国·课后作业）构成空间几何体的基本元素为（    ） A．点 B．线 C．面 D．点、线、面 【答案】D 【知识点】平面的概念及其表示 【分析】根据空间合体的基本元素判断即可 【详解】构成空间几何体的基本元素为：点、线、面. 故选：D 【变式4-2】（多选）（24-25高一下·全国·课堂例题）（多选）下列说法正确的是（    ） A．平面是处处平的面 B．平面是无限延展的 C．平面的形状是平行四边形 D．一个平面的厚度可以是0.001cm 【答案】AB 【知识点】平面的概念及其表示 【分析】根据平面的概念进行选择. 【详解】平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，AB两种说法是正确的；CD两种说法是错误的． 故选：AB 【变式4-3】（2024高一下·全国·专题练习）根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的位置关系. (1)点与直线； (2)点与直线； (3)点与平面； (4)点与平面； 【答案】(1) (2) (3)平面 (4)平面 【知识点】平面的概念及其表示 【分析】先判断位置关系，再根据符号语言表示即可. 【详解】（1）点在直线上，所以 ； （2）点不在直线上，所以 ； （3）点在平面内，所以平面； （4）点不在平面内，所以平面. 题型五 空间位置关系的画法 【例5】（21-22高一·全国·课前预习）用符号语言表示下列语句，并画出图形： (1)三个平面相交于一点P，且平面与平面相交于，平面与平面相交于，平面与平面相交于； (2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC. 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【知识点】平面的基本性质及辨析、空间位置关系的画法 【分析】根据点线面的关系，将文字语言转化为符号语言和图形语言． 【详解】（1）符号语言表示：, 图形表示：如图 ； （2）符号语言表示：平面平面，平面平面，图形表示：如图 【变式5-1】（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）下图中图形的画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】空间位置关系的画法 【分析】根据平面的基本性质及空间位置关系的画法判断即可． 【详解】对于A：点在表示平面的平行四边形内部，表示点在面内，故A正确； 对于B：直线在平面外，则直线与平面平行（没有交点），或直线与平面相交（有一个交点，记为）， 则所对应的图形如下所示： 故B错误； 对于C：由B可知C正确，故C正确； 对于D：三个平面两两相交，有一条交线或者有三条交线， 三条交线可能交于同一点也可能互相平行，D中没有三线平行的情形， 故D错误. 故选：AC 【变式5-2】（21-22高一·湖南·课后作业）用集合符号表示下列语句，并画出相应的图形： (1)点A在直线a上，直线a在平面内； (2)直线a经过平面外的一点A； (3)直线a既在平面内，又在平面内． 【答案】(1)集合符合表示为：，图形见解析； (2)集合符合表示为：，图形见解析； (3)集合符合表示为：，图形见解析 【知识点】空间位置关系的画法、平面的概念及其表示 【分析】（1）根据题意，写出集合表示，结合空间中点线面的位置关系，作出图象即可 （2）根据题意，写出集合表示，结合空间中点线面的位置关系，作出图象即可 （3）根据题意，写出集合表示，结合空间中点线面的位置关系，作出图象即可 【详解】（1）集合符合表示为：， （2）集合符合表示为：， （3）集合符合表示为： 【变式5-3】（21-22高二·全国·课后作业）用符号表示下列语句，并画出相应的图形： (1)点A在平面内，点B在平面外； (2)直线a经过平面外的一点M． 【答案】(1)，，图形见解析； (2)，，图形见解析. 【知识点】空间位置关系的画法、平面的概念及其表示 【分析】（1）（2）根据点、线、面的位置关系写出数学表达式，进而画出示意图即可. 【详解】（1）由题设知：，，如下图． （2）由题设知：，，如下图． 题型六 平面分空间区域的数量 【例6】（23-24高一下·上海·期末）在平面上画条直线，假设其中任意2条直线都相交，且任意3条直线都不共点，设条直线将平面分成了个区域，那么条直线可把平面分成 个区域． 【答案】/ 【知识点】平面分空间的区域数量、图与形中的归纳推理 【分析】根据题意，依次分析的值，由此类推，归纳可得答案. 【详解】条直线把平面分成个区域，条直线把平面分成个区域，则有， 同理，条直线把平面分成个区域，则有， 条直线把平面分成个区域，则有， 条直线把平面分成个区域，则有， 依次类推，第条直线与前条直线都相交， 则第条直线有个交点，被分为段，每段都会把对应的平面分为两部分， 则增加了个平面，即． 故答案为：. 【变式6-1】（24-25高一下·全国·课后作业）（1）一个平面可以把空间分成 部分． （2）两个平面可以把空间分成 部分． （3）三个平面可以把空间分成 部分． 【答案】 2 3或4 4或6或7或8 【知识点】平面分空间的区域数量 【分析】利用面面位置关系，结合图形逐一分析求解. 【详解】（1）一个平面可以把空间分成2部分，如图1． （2）两个平面可以把空间分成3或4部分，如图2、图3． （3）三个平面可以把空间分成4或6或7或8部分．如图4～图8．    故答案为：2；3或4；4或6或7或8 【变式6-2】（23-24高一下·上海·期末）已知平面与平面将空间分成3部分，若空间中还有一个平面，那么这三个平面可以将空间分成 ．部分． 【答案】或 【知识点】平面分空间的区域数量 【分析】由题意可得，再分分别与相交时，时两种情况讨论即可. 【详解】因为平面与平面将空间分成3部分， 所以， 当分别与相交时，这三个平面可以将空间分成部分； 当时，这三个平面可以将空间分成部分， 综上所述这三个平面可以将空间分成或部分. 故答案为：或. 【变式6-3】（10-11高一上·陕西宝鸡·期末）有下列四个说法：①过三点确定一个平面；②有三个角为直角的四边形是矩形；③三条直线两两相交则确定一个平面；④两个相交平面把空间分成四个区域.其中错误说法的序号是 . 【答案】①②③ 【知识点】空间中的点（线）共面问题、点（线）确定的平面数量问题、平面的基本性质及辨析、平面分空间的区域数量 【分析】根据空间中平面的性质，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于①，过不共线的三点确定一个平面；故①错误， 对于②,有三个角为直角的四边形可能是空间四边形，故②错误， 对于③，若三条直线相交于一点，则可以确定3个平面；故③错误， 对于④,两个相交平面把空间分成四个区域, ④正确， 故答案为：①②③ 题型七 平面的性质及辨析 【例7】（22-23高一·全国·随堂练习）在空间中，下列命题是否正确？为什么？ (1)有两组对边相等的四边形是平行四边形； (2)四边相等的四边形是菱形； (3)平行于同一条直线的两条直线平行； (4)有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等． 【答案】(1)不正确，理由见解析； (2)不正确，理由见解析； (3)正确； (4)正确； 【知识点】平面的基本性质及辨析、平面的概念及其表示 【分析】在平面内成立的相关结论，拓展到空间中就不一定成立.从空间图形中找出反例，或应用基本事实和相关推论即可判断（1）~（4）是否正确. 【详解】（1）不正确； 在空间中，有两组对边相等的四边形不一定是平行四边形； 例如平行四边形沿其中一条对角线翻折一定的角度形成的空间四边形就不是平行四边形； （2）不正确； 如图所示：    在正四面体中，四边形的四边形等，但其不是菱形； （3）正确； 根据基本事实4的内容可知，不管在空间中还是同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行； （4）正确； 这是三角形全等的判定条件之一 【变式7-1】（24-25高二上·上海崇明·期中）当我们停放自行车时，只要将自行车的排脚放下，自行车就稳了，这用到了（   ） A．三点确定一个平面 B．不在同一直线上的三点确定一个平面 C．两条相交直线确定一个平面 D．两条平行直线确定一个平面 【答案】B 【知识点】平面的基本性质及辨析 【分析】根据平面基本事实可得正确的选项. 【详解】自行车的前轮、后轮、排脚与地面的三个接触点不在同一条直线， 它们可以确定一个平面，因此自行车就稳了， 故选：B. 【变式7-2】（24-25高二·上海·课堂例题）对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点②三条直线两两平行③三条直线共点④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，哪些是使三条直线确定一个平面的充分条件（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【知识点】平面的基本性质及辨析 【分析】根据确定平面的依据，即可判断选项. 【详解】①三条直线两两相交且不共点，则三条直线可以确定一个平面，故①正确； ②三条直线两两平行，有可能确定三个平面，故②错误； ③三条直线共点，有可能确定三个平面，故③错误； ④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交，则三条直线确定一个平面，故④正确. 故选：D 【变式7-3】（23-24高一下·湖南益阳·期末）下列说法中不正确的是（    ） A．三棱锥是四面体，正四面体是正三棱锥 B．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 C．平行的线段在直观图中仍然平行 D．在同一个圆中，圆心和圆上两点可确定一个平面 【答案】D 【知识点】平面的基本性质及辨析、斜二测画法辨析、棱锥的结构特征和分类、棱柱的结构特征和分类 【分析】根据棱锥的定义判断A，根据平行六面体的定义判断B，根据斜二测画法判断C，根据基本事实判断D. 【详解】对于A：三棱锥是四面体，正四面体所有棱长均相等，所以正四面体是正三棱锥，故A正确； 对于B：平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故B正确； 对于C：根据斜二测画法可知，平行的线段在直观图中仍然平行，故C正确； 对于D：当三点恰好在同一条直径上时不能唯一确定一个平面，故D错误. 故选：D 题型八 点、线确定平面数量问题 【例8】（22-23高一下·江苏·期中）空间有6个点，其中任意三点不共线，且有五个点共面，则这6个点最多可以确定 个平面． 【答案】11 【知识点】点（线）确定的平面数量问题 【分析】根据不共线的三点确定唯一一个平面，即可列举求解. 【详解】记5个共面的点分别为 ，不共面的第6个点为,则从中随机选取两个点，连同第6个点，即可构成一个平面，此时共有 共有10 个平面，这5个点确定一个平面，故最多可以确定10+1=11个平面， 故答案为：11 【变式8-1】（24-25高二上·山东东营·开学考试）不共面的四点最多可确定（    ）个平面 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】点（线）确定的平面数量问题 【分析】根据平面的基本定理求解． 【详解】四点中任意三个点都不共线时，确定的平面的个数最多， 结合三棱锥的结构特征可知，确定个平面. 故选：B． 【变式8-2】（24-25高一下·全国·课后作业）空间中有三条直线，如果其中一条直线和其他两条直线都相交，那么这三条直线能确定的平面个数是（    ） A．1或2 B．3或4 C．1或2或3 D．1或3或4 【答案】C 【知识点】点（线）确定的平面数量问题、平面的基本性质及辨析 【分析】分三种情况讨论即可求解. 【详解】如图，在正方体中， ①，，直线，与可以确定1个平面（平面）； ②，，直线，与可以确定2个平面（平面和平面）； ③三条直线，，交于一点，它们可以确定3个平面（平面，平面和平面）． 故选：C. 【变式8-3】（21-22高一下·安徽六安·期末）空间中四点可确定的平面有（    ） A．1个 B．4个 C．1个或4个 D．1个或4个或无数个 【答案】D 【知识点】点（线）确定的平面数量问题 【分析】根据确定平面的公理，结合平面图形以及三棱锥的几何性质，可得答案. 【详解】当四个点为平面四边形的四个端点时，只能确定唯一平面； 当四个点为三棱锥的四个端点时，可以确定四个不同的平面； 当四个点共线时，可以有无数个平面过这四个点. 故选：D. 题型九 空间共面问题 【例9】（24-25高三上·河北承德·期中）如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间中的点（线）共面问题 【分析】根据图形及平行公理判断即可. 【详解】对于A：显然、、在正方体的上底面，且三点不共线，不在正方体的上底面， 所以、、、四点不共面，故A错误； 对于B： 如图，，即、、、四点共面，即、、三点共面，且三点不共线， 又平面，所以、、、四点不共面，故B错误； 对于C：显然、、在正方体的下底面，且三点不共线，不在正方体的下底面， 所以、、、四点不共面，故C错误； 对于D： 如图，连接，则，又，所以， 所以、、、四点共面，故D正确. 故选：D 【变式9-1】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知：，，，，，求证：．    【答案】证明见解析 【知识点】空间中的点共线问题、空间中的点（线）共面问题 【分析】运用平面当中的点，线，面相关定理证明即可. 【详解】  ，与确定一个平面． 直线，点．，，． 又，与重合，． 【变式9-2】（22-23高一下·黑龙江大庆·期中）（1）直线和两条异面直线都相交，画出每两条相交直线所确定的平面，并标上字母； （2）如图，已知是空间四点，且点在同一直线上，点不在直线上．求证：直线在同一平面内．    【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析 【知识点】异面直线的概念及辨析、空间中的点（线）共面问题、空间位置关系的画法 【分析】（1）根据题意直接画图即可， （2）根据平面基本性质结合题意证明即可. 【详解】（1）解：根据题意，画出的图形如图所示：    直线和直线所确定的平面为，直线直线所确定的平面为． （2）证明：因为点在同一直线上，点不在直线上， 所以点确定唯一的一个平面，设为，所以， 因为，所以，所以， 所以， 即直线在同一平面内．    【变式9-3】（21-22高一·全国·课后作业）如图，为空间四边形，点、分别是、的中点，点、分别在、上，且，．求证： (1)、、、四点共面； (2)、必相交且交点在直线上． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】空间中的点共线问题、空间中的点（线）共面问题 【分析】（1）根据中位线及等比分点可得平行，进而可证四点共面； （2）结合面面位置关系可得证. 【详解】（1） 连接、，， 由，分别为，中点，则， 又，，则， ， 、、、四点共面. （2） 由，， 易知， 又，分别为，中点，即， ， 结合（1）的结论可知，四边形是梯形，因此直线、不平行， 设它们交点为，平面，同理平面， 又平面平面，因此， 即、必相交且交点在直线上． 题型十 空间共线问题 【例10】（2024高一·江苏·专题练习）如图所示，在正方体中，分别为上的点且．求证：点三点共线．    【答案】证明见解析 【知识点】空间中的点（线）共面问题、空间中的线共点问题、空间中的点共线问题 【分析】由题意可证平面，平面，进而，即可证明. 【详解】因为，且平面，所以平面， 同理平面， 从而M在两个平面的交线上， 因为平面∩平面，所以成立． 所以点三点共线． 【变式10-1】（2023高三·全国·专题练习）已知三边所在直线分别与平面α交于三点，求证：三点共线． 【答案】证明见解析 【知识点】空间中的点共线问题 【分析】根据平面的基本性质即可求证. 【详解】∵是不在同一直线上的三点 ∴过有一个平面 又,且，所以， 设，则 同理可证：， 所以三点共线    【变式10-2】（2024高一下·全国·专题练习）已知与所在平面相交，并且交于一点.若，求证:共线. 【答案】证明见解析. 【知识点】空间中的点共线问题 【分析】先证明平面与平面相交于,再根据线面关系证明在直线上,即可证明三点共线. 【详解】因为, 所以平面平面 , 因为平面,平面,且, 所以, 即三点位于同一直线上. 【变式10-3】（19-20高一下·全国·课后作业）如图所示，，，，与，分别在平面的两侧，，．求证：，，三点共线. 【答案】证明见解析 【知识点】空间中的点共线问题 【分析】推导出、、是平面与平面的公共点，由此能证明，，三点共线． 【详解】证明：，，，与，分别在平面的两侧， ，、、、构成一个平面， ，．，， 、、是平面与平面的公共点， 、、都在平面与平面的交线上， ，，三点共线． 题型十一 空间线共点问题 【例11】（2024高一下·全国·专题练习）如图，在正四棱柱中，，，E为的中点，经过BE的截面与棱，分别交于点F，G，直线BG与EF不平行．证明：直线BG，EF，共点. 【答案】证明见解析 【知识点】空间中的线共点问题 【分析】先设与有一公共点，再根据基本事实3证明该公共点在直线上即可 【详解】四点共面，不平行于，设， 又平面，平面，均不平行于， P为平面与的公共点， ∵平面平面， ∴根据基本事实3可得， ∴直线BG，EF，共点. 【变式11-1】（2024高一下·全国·专题练习）如图，已知正方体． （1） ； （2）平面∩平面 ； （3） ． 【答案】 【知识点】空间中的线共点问题、空间中的点共线问题、平面的基本性质及辨析 【分析】利用平面的基本性质与图象可求答案. 【详解】（1）同在平面中，交于点，故． （2）平面与平面相交，交线为，故平面∩平面． （3）三条直线交于一点，． 故答案为：；；. 【变式11-2】（23-24高一下·山东青岛·期末）木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块时，为了经过木料表面内一点P和棱将木料平整锯开，需要在木料表面过点P画直线l，则l满足 .（选出正确的结论） ①；②l与直线相交；③l与直线相交. 【答案】②③ 【知识点】平面的基本性质及辨析、棱台的结构特征和分类 【分析】延长、交于点，则、的延长线也过点，则直线即为所求作的直线，由此可得出结论. 【详解】在四棱台中，侧棱的延长线交于一点，令此点为，    由，平面，得平面，同理平面， 而平面，平面，则平面平面， 即直线为所求作的直线，所以直线与直线、直线都相交，①错误，②③正确. 故答案为：②③ 【变式11-3】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，已知四面体中，E，F分别是AB，AD上的点，G，H分别是BC，CD上的点，且四边形是以EF，GH为底的梯形．求证：直线EG，FH，AC相交于同一点． 【答案】证明见解析 【知识点】空间中的线共点问题 【分析】先设两腰EG，FH的延长线相交于一点，再应用平面的基本性质证明三条线交于一点. 【详解】四边形是梯形，其两腰所在直线必相交． 设两腰EG，FH的延长线相交于一点， 平面ABC，平面ACD，平面ABC，平面ACD． 又平面平面， ，故直线EG，FH，AC相交于同一点． 题型十二 平面性质与截面图形 【例12】（24-25高二上·上海·课堂例题）如图，正方体的棱长为a，M、N分别是、AD的中点，P在上且满足，过M、N、P三点作正方体的截面．    【答案】答案见解析 【知识点】由平面的基本性质作截面图形 【分析】根据作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面即可求解. 【详解】如图，    连接MP并延长交DC的延长线于E，连接NE交BC于G，连接PG，延长PM交的延长线于F，连接NF交于H，连接MH， 则五边形MHNGP为过M、N，P三点的平面截正方体所得的截面． 【变式12-1】（23-24高一下·福建·期末）如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，设直线与平面交于点，则（    ）    A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【知识点】由平面的基本性质作截面图形 【分析】先作出直线与平面的交点，进而求得的长度. 【详解】在平面中，延长交于P，连接，交于Q， 在中，则 又在中， 则.    故选：C 【变式12-2】（多选）（2024高一下·全国·专题练习）在正方体中，点是棱上的动点，则过三点的截面图形是（　　） A．等边三角形 B．矩形 C．等腰梯形 D．正方形 【答案】ABC 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、判断正方体的截面形状 【分析】分点与点，重合及点不与点重合，分别作出平面，即可得答案. 【详解】解：当点与点重合时，截面图形为等边三角形，如图（1）； 当点与点重合时，截面图形为矩形，如图（2）； 当点不与点重合时，当分别为的中点， 则截面图形为等腰梯形，不可能为正方形，如图（3）． 故选：ABC. 【变式12-3】（22-23高一下·福建三明·期末）已知正三棱柱木料各棱长都为2，如图所示，，分别为和的中心，为线段上的点，且，过三点的截面把该木料截成两部分，则截面面积为 ．    【答案】 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、平面的基本性质的有关计算 【分析】连接，延长分别交于，利用 得出的延长线交于，作，从而得到梯形为过三点的平面截正三棱柱的截面，再利用三棱柱为正三棱柱且棱长为2，求出梯形的上底和高即可求出结果. 【详解】如图，连接，延长分别交于，易知， 连接并延长交于，过作交于，连接， 因为，所以，故梯形为过三点的平面截正三棱柱的截面， 因为，分别为和的中心，， 又，所以， 又是等边三角形，所以， 故，即是的中点，所以， 易知四边形为等腰梯形，所以为等腰梯形的高， 又正三棱柱各棱长都为2， 所以，，， 所以，    故答案为：. 题型十三 平面基本性质的计算问题 【例13】（23-24高一下·浙江宁波·期中）正方体棱长为2，N为线段上一动点，为线段上一动点，则的最小值为 . 【答案】/ 【知识点】平面的基本性质的有关计算、空间中的点共线问题、空间中的点（线）共面问题、点（线）确定的平面数量问题 【分析】先明确MN最小值情况，进而得到MN最小时MN位置，然后把空间两根线段和等价转化成共面的两根线段和即可求解. 【详解】如图，连接MC，MA， 则由题意可知当为等腰三角形，当MN垂直于AC时MN最短， 此时N为AC中点，面， 如图延长至G，使得，连接GM， 则面，且， 所以面，故当三点共线时最小， 此时. 故答案为：. 【变式13-1】（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在正三棱柱中，，，，分别为棱，，的中点，过，，三点作正三棱柱的截面，则截面与侧面的交线长为 .    【答案】 【知识点】平面的基本性质的有关计算、由平面的基本性质作截面图形 【分析】延长交的延长线于，连接交于，连接，则截面与侧面的交线，再结合数量关系求解即可. 【详解】如图，延长交的延长线于，连接交于，连接.    因为面，，所以面，又面，所以面， 所以为截面与侧面的交线. 取中点，连接，则，且, 易知，所以，所以为的中点， 所以，则. 故答案为：. 【变式13-2】（21-22高一下·黑龙江哈尔滨·期中）正方体的棱长为2，、分别为棱和中点，直线与平面的交点为，则的长度为 . 【答案】 【知识点】平面的基本性质的有关计算 【分析】作出辅助线，找到点M的位置，求出AM的长. 【详解】连接并延长，交AB的延长线于点N， 过点N作NM∥AD，延长EF交MN于点M，则MN⊥AN， 则此点即为直线EF与平面ABCD的交点，连接AM， 因为、分别为棱和中点， 所以MN=，， 所以由勾股定理定理得：. 故答案为： 【变式13-3】（22-23高一下·河南郑州·阶段练习）在四棱锥中，，，为中点，平面交于，则 【答案】2 【知识点】平面的基本性质的有关计算、由平面的基本性质作截面图形 【分析】延长直线、，交于点，平面变为，连接，交于点，再根据三角形中线的性质，求的值. 【详解】延长、，交于点，连接，交于点， ，且，可得点、分别是、的中点， 又点是的中点，和是的中线， 点是的重心，所以.    故答案为： 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$