第13讲 二次函数专项突破二（讲练，11种题型（含31种考向）+命题预测）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（全国通用）

模块五 函数压轴 第13讲 二次函数专项突破二 （思维导图+11种题型（含31种考向）+命题预测） 试卷第1页，共3页 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 ►题型01 二次函数与图形变换 考向一 平移 考向二 翻折 ►题型02 二次函数与相似三角形 考向一 已知相似三角形求值 考向二 已知相似三角形求坐标 考向三 相似三角形存在性问题 ►题型03 二次函数等腰三角形 考向一 已知等腰三角形求值 考向二 已知等腰三角形求坐标 考向三 等腰三角形存在性问题 ►题型04 二次函数与直角三角形 考向一 已知直角三角形求值 考向二 已知直角三角形求坐标 考向三 直角三角形存在性问题 ►题型05 二次函数与等腰直角三角形 考向一 已知等腰直角三角形求值 考向二 已知等腰直角三角形求坐标 考向三 等腰直角三角形存在性问题 ►题型06 二次函数与平行四边形 考向一 已知平行四边形求值/坐标 考向二 平行四边形存在性问题（两定两动，一边明确） 考向三 平行四边形存在性问题（两定两动，边未明确） ►题型07 二次函数与矩形，菱形，正方形存在性问题 ►题型08 二次函数与最值问题 考向一 线段最值 考向二 周长最值 考向三 线段比/面积比最值 考向四 将军饮马/将军遛马问题 考向五 胡不归/阿氏圆最值问题 ►题型09 二次函数与定值问题 考向一 两定一动 考向二 一定两动 考向三 化斜为直 ►题型10 二次函数与定点问题 考向一 单切线类 考向二 双切线 考向三 抛物线内接三角形类 ►题型11 二次函数与参数 考向一 参数表示量 考向二 定值求参 考向三 参数间存在的数量关系 01考情透视·目标导航 中考考点 命题预测 二次函数专项突破 二次函数作为初中数学的重要内容，常常在考试中占据重要位置，尤其是在压轴题中。以下是对二次函数专项突破的考情分析，旨在帮助学生更好地掌握这一知识点。 【考试重点与难点】 1. 对称点问题：考查学生对二次函数对称轴的理解，常涉及利用顶点公式（-b/2a）求对称轴，并结合图像分析对称点的位置。 2. 图像与线段交点问题：将直线方程与二次函数方程联立，解出交点坐标，同时注意判别式Δ的正负。这类题目综合性强，对学生的计算能力和逻辑推理能力要求较高。 3. 分类讨论问题：根据开口方向、顶点位置等条件进行分类讨论，要求学生具备严谨的逻辑思维和全面的分析能力。 4. 求交点横坐标取值范围：结合Δ≥0的条件，列出不等式并求解，这类题目侧重考查学生对二次函数图像与性质的综合运用能力。 【常见题型】 1. 利用二次函数的对称性求最短路径：这类题型要求学生熟练掌握二次函数的对称性及弧长公式，通过构造几何图形求解最短路径。 2.面积最值问题：涉及二次函数图像与坐标轴围成的面积最大值或最小值问题，需要学生灵活运用二次函数的性质和几何知识。 3. 最大利润问题：将二次函数应用于实际问题，如求解商品销售的最大利润，考查学生的数学建模能力和解决实际问题的能力。 4. 线段最值问题：通过二次函数图像求解线段长度的最大值或最小值，要求学生具备较强的几何直观和逻辑推理能力。 【备考建议】 1. 专项突破：针对每个考点进行专项训练，每天练习3-5道典型题目，逐步攻克薄弱环节。通过大量练习，加深对知识点的理解和记忆。 2. 错题整理：将做错的题目归纳到错题本中，标注易错点和解题思路。定期回顾错题，避免重复犯错，提高解题的准确性和效率。 3. 真题演练：通过历年中考真题熟悉考点分布和命题规律，增强应试能力。真题演练有助于学生了解考试的难度和题型，调整备考策略。 4. 理解实际应用：二次函数在实际问题中有广泛应用，如抛物线运动轨迹、最优解问题等。理解这些应用场景，不仅能加深对知识点的理解，还能提升解题兴趣和实际应用能力。 总之，掌握二次函数的核心知识和解题方法，并通过针对性的练习和真题演练，学生可以轻松应对二次函数专项突破，提升考试成绩。 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 ►题型01 二次函数与图形变换 考向一 平移 1．（2023·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段上，以点C为顶点的抛物线M：经过点B． (1)求点A，B的坐标； (2)求b，c的值； (3)平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结，且轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式． 2．（2023·湖北宜昌·中考真题）如图，已知．点E位于第二象限且在直线上，，，连接．    (1)直接判断的形状：是_________三角形； (2)求证：； (3)直线EA交x轴于点．将经过B，C两点的抛物线向左平移2个单位，得到抛物线． ①若直线与抛物线有唯一交点，求t的值； ②若抛物线的顶点P在直线上，求t的值； ③将抛物线再向下平移，个单位，得到抛物线．若点D在抛物线上，求点D的坐标． 考向二 翻折 3．（2023·四川德阳·中考真题）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，如果把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线与新图象有三个公共点时，求k的值； (3)如图2，如果把直线沿y轴向上平移至经过点，与抛物线的交点分别是，，直线交于点，过点作于点，若．求点的坐标． 4．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为．直线过点，且平行于轴，与抛物线交于两点（在的右侧）．将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线交轴于点，顶点为．     　　   (1)当时，求点的坐标； (2)连接，若为直角三角形，求此时所对应的函数表达式； (3)在（2）的条件下，若的面积为两点分别在边上运动，且，以为一边作正方形，连接，写出长度的最小值，并简要说明理由． ►题型02 二次函数与相似三角形 考向一 已知相似三角形求值 1．（2023·湖北武汉·中考真题）抛物线交轴于两点（在的左边），交轴于点．    (1)直接写出三点的坐标； (2)如图（1），作直线，分别交轴，线段，抛物线于三点，连接．若与相似，求的值； (3)如图（2），将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点．直线与抛物线交于两点，过的中点作直线（异于直线）交抛物线于两点，直线与直线交于点．问点是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由． 2．（2022·陕西西安·模拟预测）已知如图，抛物线与轴相交于两点，与轴的正半轴相交于点，过、、三点的与轴相切于点．为轴负半轴上的一个动点，直线交于点，交抛物线于点． (1)请求出点坐标和的半径； (2)请确定抛物线的解析式； (3)若：：，求点坐标； (4)若与以、、为顶点的三角形相似，求的值．（先画出符合题意的示意图再求解） 考向二 已知相似三角形求坐标 3．（2024·内蒙古包头·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P为直线上方抛物线上一动点，连接交于点Q，连接，当，求点P的坐标； (3)如图2，过点A作交抛物线于点N，连接，点M是x轴上点B左侧一动点，若与相似，求点M的坐标． 4．（2025·上海宝山·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为D，点A、B在抛物线上，且都在y轴右侧，横坐标分别是m，． (1)连接、，求的值（结果用含a的代数式表示）； (2)如果y轴上存在点C，使得，且， ①求抛物线的表达式； ②若，点E在y轴上，且与相似，求点E的坐标 考向三 相似三角形存在性问题 5．（2024·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，在第一象限的抛物线上取一点，过点作轴于点，交于点． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式； (2)是否存在点，使得和相似？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)是第一象限内抛物线上的动点（不与点重合），过点作轴的垂线交于点，连接，当四边形为菱形时，求点的横坐标． 6．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． ①为何值时线段的长度最大，并求出最大值； ②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． ►题型03 二次函数等腰三角形 考向一 已知等腰三角形求值 1．（2023·湖北随州·中考真题）如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点 为抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点．    (1)直接写出抛物线和直线的解析式； (2)如图2，连接，当为等腰三角形时，求的值； (3)当点在运动过程中，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似（其中点与点相对应），若存在，直接写出点和点的坐标；若不存在，请说明理由． 考向二 已知等腰三角形求坐标 2．（2023·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点，直线与抛物线交于B，C两点．      (1)求抛物线的函数表达式； (2)若是以为腰的等腰三角形，求点B的坐标； (3)过点作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E．试探究：是否存在常数m，使得始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 考向三 等腰三角形存在性问题 3.（2024·云南怒江·一模）已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)点D是直线上方抛物线上的点，连接、，求的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2023·青海·中考真题）如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，交轴于点．    (1)求此二次函数的解析式； (2)设二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点，求四边形的面积（请在图1中探索）； (3)二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由（请在图中探索）． ►题型04 二次函数与直角三角形 考向一 已知直角三角形求值 1．（2023·湖南益阳·中考真题）在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与抛物线交于B，C两点（B在C的左边）．    (1)求A点的坐标； (2)如图1，若B点关于x轴的对称点为点，当以点A，，C为顶点的三角形是直角三角形时，求实数a的值； (3)定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如，等均为格点．如图2，直线l与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，求a的取值范围． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知抛物线与轴交于点，点，且点在点的左侧，与轴交于点． (1)求出点A与点B的坐标． (2)当是以为斜边的直角三角形时，求抛物线的表达式．   考向二 已知直角三角形求坐标 3．（2022·山东济南·中考真题）抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线y＝kx－6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的表达式和t，k的值； (2)如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标； (3)如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求的最大值． 4．（2024·四川遂宁·中考真题）二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点． (1)求二次函数的表达式； (2)当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标； (3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 考向三 直角三角形存在性问题 5．（2023·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．    (1)求直线及抛物线的表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值． 6．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，抛物线经过点和点，与轴的另一个交点为，连接、． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)如图1，若点是线段的中点，连接，在轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴，分别交、轴于点、，当中有某个角的度数等于度数的2倍时，请求出满足条件的点的横坐标． ►题型05 二次函数与等腰直角三角形 考向一 已知等腰直角三角形求值 1．（2020·江苏连云港·一模）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (3)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值； (4)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 2．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．经过点A的直线与抛物线交于另一点D，与y轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)连接、，求的面积； (3)如图1，点P是线段上一动点，过点P作轴，交该抛物线于点F，作轴，交该抛物线于另一点G ①若是等腰直角三角形，求的长； ②如图2，点P的横坐标为，点M是直线上方抛物线上的一个动点，点N是y轴负半轴上一动点．请问是否存在点M，使得以P、N、E为顶点的三角形与全等，且以同一条线段为对应边？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 考向二 已知等腰直角三角形求坐标 3．（2022·山东东营·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； (3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标． 考向三 等腰直角三角形存在性问题 4．（2022·山东枣庄·中考真题）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作ACx轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．    (1)求抛物线的关系式； (2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标； (3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围； (4)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．    (1)求b，c的值． (2)点是抛物线上的动点 ①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值； ②过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． ►题型06 二次函数与平行四边形 考向一 已知平行四边形求值/坐标 1．（2023·山东聊城·中考真题）如图①，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点． (1)求抛物线的表达式； (2)点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标； (3)如图②，当点从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作，交AC于点E，作，垂足为点D．当m为何值时，面积最大，并求出最大值． 2．（2024·山东济南·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为；抛物线，顶点为． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)如图1，连接，点是拋物线对称轴右侧图象上一点，点是拋物线上一点，若四边形是面积为12的平行四边形，求的值； (3)如图2，连接，点是抛物线对称轴左侧图像上的动点（不与点重合），过点作 交轴于点，连接，求面积的最小值． 3．（2023·山东·中考真题）如图，直线交轴于点，交轴于点，对称轴为的抛物线经过两点，交轴负半轴于点．为抛物线上一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点．      (1)求抛物线的解析式； (2)若，当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)若，设直线交直线于点，是否存在这样的值，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 考向二 平行四边形存在性问题（两定两动，一边明确） 4．（2022·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，其顶点为点D，连结AC． (1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标； (2)在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点、AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标； (3)在（2）的条件下，将点D向下平移5个单位得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值． 考向三 平行四边形存在性问题（两定两动，边未明确） 5．（2025·陕西西安·一模）如图，抛物线的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于点B，交y轴于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若抛物线的顶点为P，求的面积； (3)点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线交直线l于点N，是否存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． ►题型07 二次函数与矩形，菱形，正方形存在性问题 1．（2024·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由； (3)点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． ►题型08 二次函数与最值问题 考向一 线段最值 1．（2023·四川资阳·中考真题）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点．    (1)求抛物线的表达式； (2)点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线交于点C，求的长的最大值； (3)点Q是线段上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结交y轴于点N．是否存在点P，使与相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 考向二 周长最值 2．（2024·安徽阜阳·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点 P，使的周长最小，求的周长的最小值及此时点P的坐标； (3)若M为抛物线在第一象限内的一动点，求出四边形的面积的最大值及此时点M的坐标. 3．（2024·甘肃金昌·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)若是抛物线对称轴上一动点，是平面内任意一点，当四边形是菱形时，求点的坐标； (3)已知是该抛物线上的一点，点分别为轴，轴上的点，且使得四边形的周长最小，求四边形周长的最小值及点的坐标． 考向三 线段比/面积比最值 4．（2024·江苏扬州·三模）如图：已知抛物线与x轴交于A、两点（点A在点B的左侧），与y轴的交点为，点P是抛物线上第一象限内的点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)如图1，是否存在点P，使的内心恰好在直线上，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，交x轴于点D，交于点E，求的最小值． 5．（2024·吉林长春·一模）在平面直角坐标系中，顶点坐标为的抛物线经过点，与轴相交于点．点在这条抛物线上运动，其横坐标为． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式及点的坐标． (2)当点在、两点之间（点不与点、重合）运动时，过点作轴的平行线交线段于点．当线段的长随的增大而减小时，求的取值范围． (3)当抛物线在、两点之间（包含、两点）函数的最小值为，求的值． (4)当点不与点重合时，以为对角线作矩形，使轴．设直线将矩形的面积分为、两部分，当时，直接写出的取值范围． 考向四 将军饮马/将军遛马问题 7．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为和（点在点的左侧），与轴交于点，点是直线上方抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，过点作轴平行线交于点，过点作轴平行线交轴于点，求的最大值及点的坐标； (3)如图2，设点为抛物线对称轴上一动点，当点，点运动时，在坐标轴上确定点，使四边形为矩形，求出所有符合条件的点的坐标． 8．（2022·广西桂林·中考真题）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)求CP+PQ+QB的最小值； (3)过点P作PM⊥y轴于点M，当CPM和QBN相似时，求点Q的坐标． 9．（2024·吉林长春·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点在轴上，抛物线经过点两点，且与直线交于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点为顶点的四边形是以或边的菱形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点P的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（23-24九年级下·安徽六安·阶段练习）如图1，抛物线与轴相交于点、，对称轴是直线，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点是轴上一动点，分别连接，求的最小值； (3)点是直线上方抛物线上一点，连接交于点，若，如图2，求点的坐标． 考向五 胡不归/阿氏圆最值问题 11．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，的平分线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点，点是轴下方抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P的横坐标为m，当时，求m的值； (3)当直线为抛物线的对称轴时，以点为圆心，为半径作，点为上的一个动点，求的最小值 12．（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，，为抛物线顶点． (1)求，的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 13．（2024·江苏苏州·二模）如图，抛物线的图像与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，其中点坐标，点坐标． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是抛物线上一动点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)点为轴上一个动点，则最小值为_______． ►题型09 二次函数与定值问题 考向一 两定一动 1．（2023·四川·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标； (3)如图，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 考向二 一定两动 2．（2023·四川南充·中考真题）如图1，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标； (3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（直线除外）与抛物线交于G，H两点，直线，分别交x轴于点M，N．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由． 考向三 化斜为直 3．（2024·江苏泰州·一模）已知抛物线与x轴交于点A、B(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，顶点为D． (1)求的面积； (2)若时，求m的值； (3)如图，当时，过顶点D作直线交x轴于点E，点G与点E关于点D对称，点M、N分别在线段上，若线段与抛物线有且只有一个交点（与x轴不平行），求的值． 4．（2022·福建泉州·模拟预测）已知抛物线与x轴的两个交点为A，B（点B在点A的右侧），且，与y轴交点为C． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)若点M是抛物线位于直线下方的图象上一个动点，求点M到直线的距离的最大值； (3)设直线（）与抛物线交于P，Q两点（点Ｑ在点P的右侧），与直线交于点R．试证明：无论k取任何正数，恒成立． ►题型10 二次函数与定点问题 考向一 单切线类 1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点，且． (1)请直接写出抛物线的解析式为__； (2)如图1，已知点在线段上，过点作直线与抛物线交于D、E两点，且，求的值； (3)如图2，动点在第二象限内的抛物线上，作轴于点，过点P作直线交轴于点，且直线与抛物线有唯一公共点，过点的另一直线交抛物线于，若平分，求证：直线必过一定点，并求这个定点的坐标． 考向二 双切线 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是抛物线的顶点． (1)当时，直接写出A，B，C三点的坐标； (2)如图1，点，N均为（1）中抛物线上的点，，求点N的坐标； (3)如图2，将抛物线平移使其顶点为，点P为直线上的一点，过点P的直线，与抛物线只有一个公共点，问直线是否过定点，请说明理由． 考向三 抛物线内接三角形类 3．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图1，抛物线与轴交于A，两点（点A在点左边），与轴交于点，点在抛物线上，且的面积为． (1)求抛物线的解析式； (2)点在第三象限内的抛物线上，当的面积为21时，求点的坐标； (3)如图2，直线交抛物线于，两点，直线，分别与轴的正、负半轴交于，两点，且．求证：直线必过定点，并求出这个定点的坐标． ►题型11 二次函数与参数 考向一 参数表示量 1．（2022·湖北武汉·中考真题）抛物线交轴于A，两点（A在的左边），是第一象限抛物线上一点，直线交轴于点． (1)直接写出A，两点的坐标； (2)如图（1），当时，在抛物线上存在点（异于点），使，两点到的距离相等，求出所有满足条件的点的横坐标； (3)如图（2），直线交抛物线于另一点，连接交轴于点，点的横坐标为．求的值（用含的式子表示）． 考向二 定值求参 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，且对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，在第二象限的抛物线上作点D，连接交直线于点E，若与相似，求点D的横坐标； (3)如图2，经过点的直线交抛物线于两点（M在第三象限，N在第一象限），直线交线段于点Q（不与重合），若的值与k无关，求的值． 考向三 参数间存在的数量关系 3．（2024·江西南昌·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，若抛物线与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，则称为抛物线P的“交轴三角形”． (1)若抛物线存在“交轴三角形”． ①k的取值范围为________； ②若，则该三角形是________三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） (2)若抛物线的“交轴三角形”是一个等边三角形，求a，c之间的数量关系． 4．（2024·湖北·模拟预测）如图，抛物线经过和两点，直线交抛物线于A，B两点． (1)求抛物线解析式； (2)如图（1），若的面积是，求k的值； (3)如图（2），若是直角，请探求d与k之间的数量关系． 二次函数作为中考数学的重难点，常常出现在压轴题中，对学生的综合能力要求较高。以下是针对二次函数压轴题的专项突破解题思路，帮助学生理清思路，提高解题效率。 一、基础知识回顾 1.解析式求解：掌握二次函数的一般式、顶点式和交点式，根据不同条件选择适当的解析式形式。 2. 函数性质与图像：理解二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值以及与x轴、y轴的交点等基本性质。 3. 相关知识：熟练掌握一次函数、反比例函数、点的坐标、方程求解等基础知识，并熟悉三角形、四边形、圆及平行线、垂直等几何图形的性质。 二、典型题型与解题技巧 1. 求解析式 例题：已知抛物线经过三点，求解析式。 方法：利用待定系数法，将已知点的坐标代入一般式或顶点式，解方程组求出a、b、c的值。 2. 面积问题 例题：已知抛物线上一点M，求△MBC面积的最大值。 方法：利用平行于y轴的直线MN分割三角形，将面积表示为MN与底边长度的函数关系，通过求导或配方法求最值。 3. 最值问题 例题：求抛物线上一动点到某直线的距离最大值。 方法：将距离表示为二次函数，利用配方法或求导法求最值，或通过几何方法（如相似三角形、点到直线的距离公式）求解。 4. 与圆相关的问题 例题：判断抛物线上是否存在一点，使得该点到原点的距离等于到某定点的距离。 方法：利用圆的定义和两点间距离公式建立方程，解方程求出符合条件的点坐标。 5. 构造特殊图形 例题：是否存在抛物线上一点，使得以该点为顶点的三角形为直角三角形或菱形。 方法：利用几何图形的性质（如勾股定理、菱形的对角线互相垂直平分）建立方程，求解符合条件的点坐标。 三、解题策略 1. 数形结合：充分利用二次函数的图像，直观理解问题，将代数问题转化为几何问题。 2. 转化思想：将复杂问题转化为简单问题，如将面积问题转化为线段长度问题，将最值问题转化为函数极值问题。 3. 动中找不动：对于动点动线问题，找到运动过程中的不变量，建立方程求解。 4. 分类讨论：对于存在性问题，根据条件进行分类讨论，确保不遗漏任何情况。 通过系统学习二次函数的基础知识，掌握典型题型的解题技巧，并灵活运用解题策略，学生可以有效突破二次函数压轴题，提高数学综合能力。 1．（2025·湖南长沙·一模）如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是抛物线上位于直线上方的动点，过点作的垂线，垂足为，交于点． ①求的最大值； ②连接，若与相似，求点坐标； ③若点运动到抛物线顶点位置，过点作的垂线，垂足为．过点的直线与抛物线交于两点，直线分别交轴于点．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 2．（2025·重庆·模拟预测）如图，二次函数与轴交于，，与轴交于点，连接． (1)求二次函数的解析式； (2)如图，点为下方抛物线上一动点，过作交轴于点，过作交轴于点，求的最大值以及对应点的坐标； (3)在问（2）的条件下，将二次函数沿射线平移使得平移后的抛物线恰好经过点点为平移后抛物线对称轴上一动点，且满足，请直接写出所有符合题意点的坐标． 3．（2025·四川·模拟预测）抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，P是第四象限内抛物线上的一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，过点P作轴于点D，交直线于点E．设点D的横坐标为m，当时，求m的值； (3)如图②，点，连接并延长交直线于点M，N是x轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，x轴上是否存在一点H，使得以F，M，N，H为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2025·内蒙古包头·一模）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点E在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段为邻边作矩形，当矩形的周长为时，求线段的长； (3)点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标． 5．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，抛物线经过，，三点，连接． (1)求抛物线的解析式： (2)作直线，l交抛物线于E、F两点（点E在点F的左侧），已知， ①求直线l的解析式； ②点P是抛物线上的动点，作，垂足为点K，是否存在点P，使得以P、E、K为顶点的三角形与相似？若存在，请写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2025·广东·模拟预测）如图在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，求的最大值及此时P的坐标； (3)在（2）的条件下，过点P作，垂足为M．求的最大值． 7．（24-25九年级上·海南三亚·期末）如图1，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线所对应的函数关系式； (2)已知点是抛物线的顶点，点是线段上的一个动点（与点、不重合），过点E作轴于点，交抛物线于点． ①求四边形的面积； ②求的边上的高的最大值； ③如图2，在②的条件下，在x轴上是否存在点G，使得的值最小？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． $$模块五 函数压轴 第13讲 二次函数专项突破二 （思维导图+11种题型（含31种考向）+命题预测） 试卷第1页，共3页 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 ►题型01 二次函数与图形变换 考向一 平移 考向二 翻折 ►题型02 二次函数与相似三角形 考向一 已知相似三角形求值 考向二 已知相似三角形求坐标 考向三 相似三角形存在性问题 ►题型03 二次函数等腰三角形 考向一 已知等腰三角形求值 考向二 已知等腰三角形求坐标 考向三 等腰三角形存在性问题 ►题型04 二次函数与直角三角形 考向一 已知直角三角形求值 考向二 已知直角三角形求坐标 考向三 直角三角形存在性问题 ►题型05 二次函数与等腰直角三角形 考向一 已知等腰直角三角形求值 考向二 已知等腰直角三角形求坐标 考向三 等腰直角三角形存在性问题 ►题型06 二次函数与平行四边形 考向一 已知平行四边形求值/坐标 考向二 平行四边形存在性问题（两定两动，一边明确） 考向三 平行四边形存在性问题（两定两动，边未明确） ►题型07 二次函数与矩形，菱形，正方形存在性问题 ►题型08 二次函数与最值问题 考向一 线段最值 考向二 周长最值 考向三 线段比/面积比最值 考向四 将军饮马/将军遛马问题 考向五 胡不归/阿氏圆最值问题 ►题型09 二次函数与定值问题 考向一 两定一动 考向二 一定两动 考向三 化斜为直 ►题型10 二次函数与定点问题 考向一 单切线类 考向二 双切线 考向三 抛物线内接三角形类 ►题型11 二次函数与参数 考向一 参数表示量 考向二 定值求参 考向三 参数间存在的数量关系 01考情透视·目标导航 中考考点 命题预测 二次函数专项突破 二次函数作为初中数学的重要内容，常常在考试中占据重要位置，尤其是在压轴题中。以下是对二次函数专项突破的考情分析，旨在帮助学生更好地掌握这一知识点。 【考试重点与难点】 1. 对称点问题：考查学生对二次函数对称轴的理解，常涉及利用顶点公式（-b/2a）求对称轴，并结合图像分析对称点的位置。 2. 图像与线段交点问题：将直线方程与二次函数方程联立，解出交点坐标，同时注意判别式Δ的正负。这类题目综合性强，对学生的计算能力和逻辑推理能力要求较高。 3. 分类讨论问题：根据开口方向、顶点位置等条件进行分类讨论，要求学生具备严谨的逻辑思维和全面的分析能力。 4. 求交点横坐标取值范围：结合Δ≥0的条件，列出不等式并求解，这类题目侧重考查学生对二次函数图像与性质的综合运用能力。 【常见题型】 1. 利用二次函数的对称性求最短路径：这类题型要求学生熟练掌握二次函数的对称性及弧长公式，通过构造几何图形求解最短路径。 2.面积最值问题：涉及二次函数图像与坐标轴围成的面积最大值或最小值问题，需要学生灵活运用二次函数的性质和几何知识。 3. 最大利润问题：将二次函数应用于实际问题，如求解商品销售的最大利润，考查学生的数学建模能力和解决实际问题的能力。 4. 线段最值问题：通过二次函数图像求解线段长度的最大值或最小值，要求学生具备较强的几何直观和逻辑推理能力。 【备考建议】 1. 专项突破：针对每个考点进行专项训练，每天练习3-5道典型题目，逐步攻克薄弱环节。通过大量练习，加深对知识点的理解和记忆。 2. 错题整理：将做错的题目归纳到错题本中，标注易错点和解题思路。定期回顾错题，避免重复犯错，提高解题的准确性和效率。 3. 真题演练：通过历年中考真题熟悉考点分布和命题规律，增强应试能力。真题演练有助于学生了解考试的难度和题型，调整备考策略。 4. 理解实际应用：二次函数在实际问题中有广泛应用，如抛物线运动轨迹、最优解问题等。理解这些应用场景，不仅能加深对知识点的理解，还能提升解题兴趣和实际应用能力。 总之，掌握二次函数的核心知识和解题方法，并通过针对性的练习和真题演练，学生可以轻松应对二次函数专项突破，提升考试成绩。 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 ►题型01 二次函数与图形变换 考向一 平移 1．（2023·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段上，以点C为顶点的抛物线M：经过点B． (1)求点A，B的坐标； (2)求b，c的值； (3)平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结，且轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式． 【答案】(1)， (2)， (3)或 【分析】（1）根据题意，分别将，代入直线即可求得； （2）设，得到抛物线的顶点式为，将代入可求得，进而可得到抛物线解析式为，即可求得b，c； （3）根据题意，设，，根据平移的性质可得点，点向下平移的距离相同，即列式求得，，然后得到抛物线N解析式为：，将代入可得，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，y轴交于点B， 当时，代入得：，故， 当时，代入得：，故， （2）设， 则可设抛物线的解析式为：， ∵抛物线M经过点B， 将代入得：， ∵， ∴， 即， ∴将代入， 整理得：， 故，； （3）如图： ∵轴，点P在x轴上， ∴设，， ∵点C，B分别平移至点P，D， ∴点，点向下平移的距离相同， ∴， 解得：， 由（2）知， ∴， ∴抛物线N的函数解析式为：， 将代入可得：， ∴抛物线N的函数解析式为：或． 【点睛】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，求抛物线的解析式，平移的性质，二次函数的图象和性质等，解题的关键是根据的平移性质求出m和a的值． 2．（2023·湖北宜昌·中考真题）如图，已知．点E位于第二象限且在直线上，，，连接．    (1)直接判断的形状：是_________三角形； (2)求证：； (3)直线EA交x轴于点．将经过B，C两点的抛物线向左平移2个单位，得到抛物线． ①若直线与抛物线有唯一交点，求t的值； ②若抛物线的顶点P在直线上，求t的值； ③将抛物线再向下平移，个单位，得到抛物线．若点D在抛物线上，求点D的坐标． 【答案】(1)等腰直角三角形 (2)详见解析 (3)①；②；③ 【分析】（1）由得到，又由，即可得到结论； （2）由，得到，又有，，利用即可证明； （3）①求出直线的解析式和抛物线的解析式，联立得，由即可得到t的值； ②抛物线向左平移2个单位得到抛物线，则抛物线的顶点，将顶点代入得到，解得,根据即可得到t的值； ③过点E作轴，垂足为M，过点D作轴，垂足为N，先证明，则，设,由得到,则,求得,得到，由抛物线再向下平移个单位，得到抛物线,把代入抛物线,得到,解得,由，得,即可得到点D的坐标． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形 （2）如图，    ∵，， ， ， ∵， ； （3）①设直线的解析式为， ， ∴， ， 将代入抛物线得， ， 解得， ， 直线与抛物线有唯一交点 ∴联立解析式组成方程组解得 ②∵抛物线向左平移2个单位得到， ∴抛物线， 抛物线的顶点， 将顶点代入， ，解得, ∵， ； ③过点E作轴，垂足为M，过点D作轴，垂足为N,    ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的解析式为， ∴设, ∴， 轴, ∴, ∴， , , , ∴，， , 抛物线再向下平移个单位，得到抛物线， ∴抛物线, 代入抛物线, , 解得, 由，得, ∴， ． 【点睛】此题是二次函数和几何综合题，考查了二次函数的平移、二次函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、解一元二次方程、全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定与性质等知识点，综合性较强，熟练掌握二次函数的平移和数形结合是解题的关键． 考向二 翻折 3．（2023·四川德阳·中考真题）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，如果把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线与新图象有三个公共点时，求k的值； (3)如图2，如果把直线沿y轴向上平移至经过点，与抛物线的交点分别是，，直线交于点，过点作于点，若．求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）设抛物线的解析式为， ， ， ， 把，代入，得：， 解得：， 抛物线的解析式为 （2）直线表达式， 直线经过定点， 将过点的直线旋转观察和新图象的公共点情况 把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折，抛物线的解析式为， 新图象表达式为：时，；或时，， 如下图当直线与翻折上去的部分抛物线相切时，和新图象有三个公共点，    联立，得：， 整理得： ， ， ， ， ， 时，即如上图所示，符合题意， 时，如下图所示，经过点，    不符合题意，故舍去， 如下图，当直线经过点时，和新图象有三个公共点，      把代入，得：， 解得：， 综上所述，当平面内的直线与新图象有三个公共点时，k的值为或 （3）在抛物线上， 设坐标为， ，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （舍去）， ，代入， 点的坐标为 【点睛】本题考查了二次函数综合、翻折、交点个数问题，结合一元二次方程、三角函数解直角三角形知识点，熟练掌握、综合运用知识点，数形结合是解题的关键． 4．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为．直线过点，且平行于轴，与抛物线交于两点（在的右侧）．将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线交轴于点，顶点为．     　　   (1)当时，求点的坐标； (2)连接，若为直角三角形，求此时所对应的函数表达式； (3)在（2）的条件下，若的面积为两点分别在边上运动，且，以为一边作正方形，连接，写出长度的最小值，并简要说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)，见解析 【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式，进而得出顶点坐标，根据对称性，即可求解． （2）由题意得，的顶点与的顶点关于直线对称，，则抛物线．进而得出可得，①当时，如图1，过作轴，垂足为．求得，代入解析式得出，求得．②当时，如图2，过作，交的延长线于点．同理可得，得出，代入解析式得出代入，得；③当时，此情况不存在． （3）由（2）知，当时，，此时的面积为1，不合题意舍去．当时，，此时的面积为3，符合题意．由题意可求得．取的中点，在中可求得．在中可求得．易知当三点共线时，取最小值，最小值为． 【详解】（1）∵， ∴抛物线的顶点坐标． ∵，点和点关于直线对称． ∴． （2）由题意得，的顶点与的顶点关于直线对称， ∴，抛物线． ∴当时，可得． ①当时，如图1，过作轴，垂足为． ∵， ∴． ∵ ∴． ∴． ∵， ∴． ∵直线轴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵点在图像上， ∴． 解得或． ∵当时，可得，此时重合，舍去．当时，符合题意． 将代入， 得． 　　   　　   ②当时，如图2，过作，交的延长线于点． 同理可得． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵点在图像上， ∴．解得或． ∵， ∴．此时符合题意． 将代入，得． ③当时，此情况不存在． 综上，所对应的函数表达式为或． （3）如图3，由（2）知，当时，， 此时 则，，则的面积为1，不合题意舍去． 当时，， 则， ∴，此时的面积为3，符合题意 ∴． 依题意，四边形是正方形， ∴． 取的中点，在中可求得． 在中可求得． ∴当三点共线时，取最小值，最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，特殊三角形问题，正方形的性质，勾股定理，面积问题，分类讨论是解题的关键． ►题型02 二次函数与相似三角形 考向一 已知相似三角形求值 1．（2023·湖北武汉·中考真题）抛物线交轴于两点（在的左边），交轴于点．    (1)直接写出三点的坐标； (2)如图（1），作直线，分别交轴，线段，抛物线于三点，连接．若与相似，求的值； (3)如图（2），将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点．直线与抛物线交于两点，过的中点作直线（异于直线）交抛物线于两点，直线与直线交于点．问点是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)的值为2或 (3)点在定直线上 【分析】（1）令，解一元二次方程求出值可得、两点的坐标，令求出值可得点坐标，即可得答案； （2）分和两种情况，利用相似三角形的性质分别列方程求出值即可得答案； （3）根据平移的性质可得解析式，联立直线与解析式可得点坐标，即可得出中点的坐标，设，利用待定系数法可得直线的解析式为，同理得出直线的解析式为，联立两直线解析式可得，设点在直线上，把点代入，整理比较系数即可得出、的值即可得答案，也可根据点的纵坐标变形得出横坐标与纵坐标的关系，得出答案． 【详解】（1）∵抛物线解析式为， ∴当时，， 解得：，， 当时，， ∴，，． （2）解：是直线与抛物线的交点， ， ①如图，若时， ， ∴ ， ∴， 解得，（舍去）或． ②如图，若时．过作轴于点． ， ∴， ∴， ， ， ∴ ， ∴，， ， ∴， 解得，（舍去）或．    综上，符合题意的的值为2或． （3）解：∵将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点， ∴， ∵直线的解析式为， ∴联立直线与解析式得：， 解得：（舍去），， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 设，直线的解析式为， 则， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵直线经过点， ∴ 同理，直线的解析式为；直线的解析式为． 联立，得， 解得：． ∵直线与相交于点， ． 设点在直线上，则，① 整理得，， 比较系数得：， 解得：， ∴当时，无论为何值时，等式①恒成立． ∴点在定直线上． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合、二次函数图象的平移及相似三角形的性质，正确作出辅助线，熟练掌握待定系数法求函数解析式及相似三角形的性质是解题关键． 2．（2022·陕西西安·模拟预测）已知如图，抛物线与轴相交于两点，与轴的正半轴相交于点，过、、三点的与轴相切于点．为轴负半轴上的一个动点，直线交于点，交抛物线于点． (1)请求出点坐标和的半径； (2)请确定抛物线的解析式； (3)若：：，求点坐标； (4)若与以、、为顶点的三角形相似，求的值．（先画出符合题意的示意图再求解） 【答案】(1)点坐标是，的半径长为 (2) (3) (4)图见解析，或 【分析】（1）由题意知，，且轴，设，根据勾股定理即可求解； （2）根据待定系数法求解即可； （3）设点坐标为，根据面积相等即可求解； （4）根据相似三角形对应边和对应角进行分类讨论． 【详解】（1）解：由题意知，，且轴， 设， ∴ 过点P作 ∴ 点坐标是，的半径长为； （2）将，代入得： ，解得 抛物线的解析式是：； （3）设点坐标为， 由题意有 解得 点在抛物线上 解得或不合题意，舍去 点的坐标为； （4）根据题意， 所以和相似有两种情况 和对应，此时是的直径 则， ∽ ：：即 ∽ ：： 即． 和对应，此时是的直径， 所以直线过点 ， 直线的解析式是： 点的坐标为 由∽得：： ． 【点睛】本题考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定和性质等知识点．（4）题中，要根据相似三角形对应边和对应角的不同分类讨论，不要漏解． 考向二 已知相似三角形求坐标 3．（2024·内蒙古包头·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P为直线上方抛物线上一动点，连接交于点Q，连接，当，求点P的坐标； (3)如图2，过点A作交抛物线于点N，连接，点M是x轴上点B左侧一动点，若与相似，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点M的坐标为或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴，交于点，易得，根据同高三角形的面积比等于底边比，得到，进而求出，设，表示出的长，列出方程进行求解即可； （3）平移求出直线的解析式，进而求出点的坐标，分和两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴抛物线的解析式为：； （2）如图1， ∵， ∴， 作轴，交于D， ∴， ∵，当时，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， 设，则， ∴，解得：， ∴； （3）过点A作交抛物线于点N，连接，点M是x轴上点B左侧一动点，如图2， 由（2）知直线的解析式为，设直线解析式为，将代入得：，解得：， ∴， 联立得：， 解得：或， ∴点N坐标为； ∴， ∵， ∴， 当时，，即， 解得， ∴， ∴； 当时，，即， 解得：， ∴， ∴； 综上，点M的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，两点式求解析式，一次函数的平移，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想求解，是解题的关键． 4．（2025·上海宝山·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为D，点A、B在抛物线上，且都在y轴右侧，横坐标分别是m，． (1)连接、，求的值（结果用含a的代数式表示）； (2)如果y轴上存在点C，使得，且， ①求抛物线的表达式； ②若，点E在y轴上，且与相似，求点E的坐标 【答案】(1)a (2)①；②或 【分析】（1）由，即可求解； （2）①证明，得到，，即可求解； ②证明为等腰直角三角形，且与相似，则为等腰直角三角形，进而求解． 【详解】（1）解：设点A、B的坐标分别为：，， 由抛物线的表达式知，点， 则； （2）解：①，且，则为等腰直角三角形，设点， 过点A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为点M、N， ∵，， ∴， ∵， ∴， 则，， 即且， 整理得：，则， 故抛物线的表达式为：； ②由点A、B的坐标得：， 解得：， 则点A、B的坐标分别为：、， 由得：，即点； ∵，且， 则为等腰直角三角形， ∵与相似，则为等腰直角三角形， 过点A作轴于点M，则点， 则， 故当点E和点M重合时，即点，符合题意； 如图，取，则为等腰直角三角形， 即点符合题意， 综上，或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等和相似，解直角三角形，求抛物线解析式等知识点，数据处理是解题的关键． 考向三 相似三角形存在性问题 5．（2024·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，在第一象限的抛物线上取一点，过点作轴于点，交于点． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式； (2)是否存在点，使得和相似？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)是第一象限内抛物线上的动点（不与点重合），过点作轴的垂线交于点，连接，当四边形为菱形时，求点的横坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3) 【分析】（1）先求出A、B的坐标，然后代入，求出b、c的值即可； （2）由对顶角的性质性质知，若存在和相似，则有和两种情况，然后分情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可； （3）设点，，，，则，，根据菱形的性质得出，可求出，过点作于，可得，利用等角的余弦值相等得出，求出，根据菱形的性质得出，解方程求出m的值即可． 【详解】（1）解：令，则，则；令，则 ∴， 把，代入，得： 解得： ∴这条抛物线所对应的函数表达式为：； （2）解：存在点，使得和相似． 设点，则，， ∴，，，， ∵和相似， ∴或 ①如图1，当时， ∴ ∴点纵坐标为6 ∴，解得：或 ∴ ②如图2，当时， 过B作于H ∴ ∴ ∴ ∴，解得：（舍去）或 ∴ 综上所述，点的坐标为或． （3）如图3，∵四边形为菱形 ∴，， 设点，，， ∴， ∴，即 ∵ ∴，即或 ∵， ∴， ∴ 过点作于 ∴ ∴ ∴，即 ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：（不合题意，舍去）或 故 答：点的横坐标为 【点睛】本题是常见的中考数学压轴题型，综合性比较强，涉及到知识点较多；主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质，菱形的性质；解题时要能够灵活运用所学的数学知识，要会分类讨论． 6．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． ①为何值时线段的长度最大，并求出最大值； ②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①当时，有最大值为；②当P的坐标为或时，与相似 【分析】（1）把，，代入求解即可，利用待定系数法求出直线解析式，然后令，求出y，即可求出C的坐标； （2）①根据P、D的坐标求出，然后根据二次函数的性质求解即可； ②先利用等边对等角，平行线的判定与性质等求出，然后分，两种情况讨论过，利用相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等求解即可． 【详解】（1）解：把，，代入， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴； （2）解：①设，则， ∴ ， ∴当时，有最大值为； ②∵，， ∴， 又， ∴， 又轴， ∴轴， ∴， 当时，如图， ∴， ∴轴， ∴P的纵坐标为3， 把代入，得， 解得，， ∴， ∴， ∴P的坐标为； 当时，如图，过B作于F， 则，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴P的坐标为 综上，当P的坐标为或时，与相似． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键． ►题型03 二次函数等腰三角形 考向一 已知等腰三角形求值 1．（2023·湖北随州·中考真题）如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点 为抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点．    (1)直接写出抛物线和直线的解析式； (2)如图2，连接，当为等腰三角形时，求的值； (3)当点在运动过程中，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似（其中点与点相对应），若存在，直接写出点和点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线：；直线： (2)或或 (3)，或，或，或， 【分析】（1）由题得抛物线的解析式为，将点代入求，进而得抛物线的解析式；设直线的解析式为，将点，的坐标代入求，，进而得直线的解析式． （2）由题得，分别求出，，，对等腰中相等的边进行分类讨论，进而列方程求解； （3）对点在点左侧或右侧进行分类讨论，设法表示出各线段的长度，利用相似三角形的相似比求解，进而可得，的坐标． 【详解】（1）解：抛物线过点，， 抛物线的表达式为， 将点代入上式，得， ． 抛物线的表达式为，即． 设直线的表达式为， 将点，代入上式， 得， 解得． 直线的表达式为． （2）解：点在直线上，且， 点的坐标为． ，，． 当为等腰三角形时， ①若，则， 即， 解得． ②若，则， 即， 解得或（舍去）． ③若，则， 即， 解得（舍去）或． 综上，或或． （3）解：点与点相对应， 或． ①若点在点左侧， 则，，． 当，即时，如图所示： 则：直线的表达式为， ， 解得：或（舍去）． ，即， ，即， 解得． ，； 当，即时，过点P作轴，如图所示： 则， ∴，， ∵， ，即， 解得：或（舍去）， 经检验是原方程的解， 此时点，， ∴； ②若点在点右侧，则，， 当，即时，如图所示： 此时直线的表达式为， ， 解得或（舍去）， ， ∵， ，即， 解得：． ，． 当，即时，如图所示： ，， ∵， ，即， 解得或（舍去）， 经检验是原方程的解， ，, ∴． 综上，，或，或，或，． 【点睛】本题是二次函数的综合应用，考查了待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质与判定，平面直角坐标系中两点距离的算法，相似三角形的性质与判定等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 考向二 已知等腰三角形求坐标 2．（2023·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点，直线与抛物线交于B，C两点．      (1)求抛物线的函数表达式； (2)若是以为腰的等腰三角形，求点B的坐标； (3)过点作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E．试探究：是否存在常数m，使得始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点B的坐标为或或 (3)存在，m的值为2或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设，分和两种情况，分别根据等腰三角形性质和两点坐标距离公式列方程求解即可； （3）先根据题意画出图形，设抛物线与直线的交点坐标为，，联立抛物线和直线解析式，根据根与系数关系得到，，利用待定系数法分别求得直线、的表达式为得到， ，过E作轴于Q，过D作轴于N，证明得到，整理可得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：设， 根据题意，是以为腰的等腰三角形，有两种情况： 当时，点B和点P关于y轴对称，    ∵，∴； 当时，则， ∴， 整理，得， 解得，， 当时， ，则， 当时， ，则， 综上，满足题意的点B的坐标为或或； （3）解：存在常数m，使得． 根据题意，画出图形如下图，      设抛物线与直线的交点坐标为，， 由得， ∴，； 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为， 令，由得， ∴， 同理，可得直线的表达式为，则， 过E作轴于Q，过D作轴于N， 则，，，， 若，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， 整理，得， 即， 将，代入，得， 即，则或， 解得，， 综上，存在常数m，使得，m的值为2或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、等腰三角形的性质、一元二次方程根与系数关系、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、坐标与图形等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线构造相似三角形，并利用数形结合和分类讨论思想解决问题是解答的关键． 考向三 等腰三角形存在性问题 3.（2024·云南怒江·一模）已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)点D是直线上方抛物线上的点，连接、，求的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)最大值为 (3)存在，或或或或 【分析】（1）分别令、计算即可得解； （2）求出直线的解析式为：，过点作轴，交于点，设点的坐标为，则，求出，再由并结合二次函数的性质即可得解； （3）设，则，，，再分三种情况：当时，当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：令， 解得：，， 点在点左侧， ，， 当时，， ； （2）解：设直线的解析式为， ，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 过点作轴，交于点， 设点的坐标为，则， ， ， 当时，的面积最大，最大值为； （3）解：点在抛物线对称轴上，且对称轴为：， 设，则，，， 是等腰三角形，需分3种情况讨论： ①当时，，解得：， 此时点的坐标为或； ②当时，，解得：， 此时点的坐标为或； ③当时，，解得：， 此时点的坐标为． 综上所述，满足条件的点有5个，分别为或或或或． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点、二次函数综合—面积问题、二次函数综合—特殊三角形、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 4．（2023·青海·中考真题）如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，交轴于点．    (1)求此二次函数的解析式； (2)设二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点，求四边形的面积（请在图1中探索）； (3)二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由（请在图中探索）． 【答案】(1)； (2)； (3)， 【分析】（1）将，两点坐标代入抛物线的解析式，进一步求解得出结果； （2）连接，将二次函数的解析式配方求得顶点的坐标，邻求得的坐标，从而求得，，的长，再根据求得结果； （3）设，，表示出和，根据列出方程求得的值，进而求得结果． 【详解】（1）解：由题意得， ， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，    ∵， ∴， ∴，， 由得，， ∴， ∴； （3）解：设，， ∵， ∴， 由得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． ►题型04 二次函数与直角三角形 考向一 已知直角三角形求值 1．（2023·湖南益阳·中考真题）在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与抛物线交于B，C两点（B在C的左边）．    (1)求A点的坐标； (2)如图1，若B点关于x轴的对称点为点，当以点A，，C为顶点的三角形是直角三角形时，求实数a的值； (3)定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如，等均为格点．如图2，直线l与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)或； (3)或． 【分析】（1）对于直线，令，求出x，即可求解； （2）表示出点，，的坐标，利用勾股定理解方程求解，注意直角顶点不确定，需分类讨论； （3）直线与抛物线所围成的封闭图形（不包含边界）中的格点只能落在轴和直线上，各为13个，分别求出的范围． 【详解】（1）解：对于直线， 当时，， ∴A点的坐标为； （2）解：联立直线与抛物线得： ， ， 或， ，， 点关于轴的对称点为点， ， ， ， ， 若，则，即，所以， 若，则，即，所以， 若，则，即，此方程无解． 或； （3）解：如图，直线与抛物线所围成的封闭图形（不包含边界）中的格点只能落在轴和直线上，   ，，， ， 格点数恰好是26个， 落在轴和直线上的格点数应各为13个， 落在轴的格点应满足，即， ①若，即， 所以线段上的格点应该为，，，， ②若，，，所以线段上的格点正好13个， 综上，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，勾股定理，关键是弄清格点只能落在轴和直线上，各为13个，并对点、进行定位． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知抛物线与轴交于点，点，且点在点的左侧，与轴交于点． (1)求出点A与点B的坐标． (2)当是以为斜边的直角三角形时，求抛物线的表达式． 【答案】(1)、 (2)或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形相似、直角三角形的性质等，难度不大． （1）令，即可求解； （2）证明，得到，即可求解． 【详解】（1）令， 解得：或4， 即点、的坐标分别为：、； （2）由抛物线的表达式知，点， 是以为斜边的直角三角形，    则， ，， ， ， ， ， 即， 则， 解得：， 则抛物线的表达式为：或． 考向二 已知直角三角形求坐标 3．（2022·山东济南·中考真题）抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线y＝kx－6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的表达式和t，k的值； (2)如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标； (3)如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求的最大值． 【答案】(1)，，t=3， (2)点 (3) 【分析】（1）分别把代入抛物线解析式和一次函数的解析式，即可求解； （2）作轴于点，根据题意可得，从而得到，，再根据，可求出m，即可求解； （3）作轴交于点，过点作轴于点，则，再根据，可得，，然后根据，可得，从而得到，在根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴，（舍）， ∴． ∵在直线上， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为． （2）解：如图，作轴于点， 对于，令x=0，则y=-6， ∴点C（0，-6），即OC=6， ∵A（3，0）， ∴OA=3， ∵点P的横坐标为m． ∴， ∴，， ∵∠CAP=90°， ∴， ∵， ∴， ∵∠AOC=∠AMP=90°， ∴， ∴， ∴，即， ∴（舍），， ∴， ∴点． （3）解：如图，作轴交于点，过点作轴于点， ∵， ∴点， ∴， ∵PN⊥x轴， ∴PN∥y轴， ∴∠PNQ=∠OCB， ∵∠PQN=∠BOC=90°， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵EN⊥y轴， ∴EN∥x轴， ∴， ∴，即 ∴， ∴， ∴， ∴当时，的最大值是． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键，是中考的压轴题． 4．（2024·四川遂宁·中考真题）二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点． (1)求二次函数的表达式； (2)当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标； (3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，最小值为 【分析】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求函数解析式，勾股定理，已知两点坐标表示两点距离，二次函数最值，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）可求，设，由，得，则 ，解得，（舍去），故； （3）分当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时，当点P、Q在x轴下方，且点P在点Q上方时，当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方，得到这个面积是关于m的二次函数，进而求最值即可． 【详解】（1）解：把，代入得， ，解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：如图： 由得抛物线对称轴为直线， ∵两点关于抛物线对轴对称， ∴， 设， ∵， ∴， ∴ ， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴， ∴； （3）存在，理由： 当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时， 设点，则点，设直线交轴于点， 设直线表达式为：， 代入， 得：， 解得：， ∴直线的表达式为：， 令，得 则， 则， 则 ， 即存在最小值为； 当点P、Q在x轴下方，且点P在点Q上方时， 同上可求直线表达式为：， 令，得 则， 则， 则 即存在最小值为； 当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方同理可求， 即存在最小值为， 综上所述，的面积是否存在最小值，且为． 考向三 直角三角形存在性问题 5．（2023·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．    (1)求直线及抛物线的表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值． 【答案】(1)直线的解析式为；抛物线解析式为 (2)存在，点M的坐标为或 或 (3) 【分析】（1）根据对称轴，，得到点A及B的坐标，再利用待定系数法求解析式即可； （2）先求出点D的坐标，再分两种情况：①当时，求出直线的解析式为，解方程组，即可得到点M的坐标；②当时，求出直线的解析式为，解方程组，即可得到点M的坐标； （3）在上取点，使，连接，证得，又，得到，推出，进而得到当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长，利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴，， ∴， 将代入直线，得， 解得， ∴直线的解析式为； 将代入，得 ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）存在点， ∵直线的解析式为，抛物线对称轴与轴交于点． ∴当时，， ∴， ①当时， 设直线的解析式为，将点A坐标代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 解方程组， 得或， ∴点M的坐标为； ②当时， 设直线的解析式为，将代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 解方程组， 解得或， ∴点M的坐标为 或 综上，点M的坐标为或 或； （3）如图，在上取点，使，连接， ∵， ∴， ∵，、 ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长， ∵， ∴， ∴的最小值为．    【点睛】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键． 6．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，抛物线经过点和点，与轴的另一个交点为，连接、． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)如图1，若点是线段的中点，连接，在轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴，分别交、轴于点、，当中有某个角的度数等于度数的2倍时，请求出满足条件的点的横坐标． 【答案】(1)；A（-1，0）； (2)存在E（0，2）或（0，-1），使得是以为斜边的直角三角形； (3)2或 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）先根据中点坐标公式可得点，设点E（0，m），再根据两点坐标公式可得，，，再由勾股定理，即可求解； （3）先求出，再求出直线BC的解析式，然后设点，则，CF=a，可得，再分三种情况讨论：若∠PCM=2∠OBC，过点C作CFx轴交PM于点F；若∠PMC=2∠OBC；若∠CPM=2∠OBC，过点P作PG平分∠CPM，则∠MPG=∠OBC，即可求解． 【详解】（1）解：把点和点代入，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为， 令y=0，则， 解得：， ∴点A（-1，0）； （2）解：存在，理由如下： ∵点A（-1，0），点，点是线段的中点， ∴点， 设点E（0，m）， ∴， ， ， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴， 整理得：， 解得：或-1， ∴点E的坐标为（0，2）或（0，-1）； （3）解：∵点B（4，0），C（0，2）， ∴OB=4，OC=2， ∴， 设直线BC的解析式为， 把点B（4，0），C（0，2）代入得： ，解得：， ∴直线BC的解析式为， 设点，则，CF=a， ∴， 若∠PCM=2∠OBC，过点C作CFx轴交PM于点F，如图甲所示， ∴∠FCM=∠OBC，即， ∴∠PCF=∠FCM， ∵轴， ∴CF⊥PQ， ∴PM=2FM， ∴， ∴，解得：解得：a=2或0（舍去）， ∴点P的横坐标为2； 若∠PMC=2∠OBC， ∵∠PMC=∠BMN， ∴∠BMN=2∠OBC， ∵∠OBC+∠BMN=90°， ∴∠OBC=30°，与相矛盾，不合题意，舍去； 若∠CPM=2∠OBC，如图乙所示，过点P作PG平分∠CPM，则∠MPG=∠OBC， ∵∠PMG=∠BMN， ∴△PMG∽△BMN， ∴∠PGM=∠BNM=90°， ∴∠PGC=90°， ∵PG平分∠CPM，即∠MPG=∠CPG， ∴∠PCM=∠PMC， ∴PC=PM， ∴， 解得：或0（舍去）， ∴点P的横坐标为； 综上所述，点P的横坐标为2或． 　 图甲                            图乙 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的综合题，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． ►题型05 二次函数与等腰直角三角形 考向一 已知等腰直角三角形求值 1．（2020·江苏连云港·一模）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (3)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值； (4)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 【答案】(1)， (2) (3) (4)的值为或 【分析】（1）由、两点的坐标利用待定系数法可求得抛物线解析式，则可求得点坐标，再利用待定系数法可求得直线的解析式； （2）用可分别表示出、的坐标，则可表示出的长，再利用二次函数的最值可求得的最大值； （3）由题意可得当是以为腰的等腰直角三角形时则有，且，则可求表示出点纵坐标，代入抛物线解析式可求得的值； （4）由条件可得出，结合（）可得到关于的方程，可求得的值． 【详解】（1）解：∵抛物线过、两点， ∴代入抛物线解析式可得， 解得， ∴抛物线解析式为， 令可得，，解， ∵点在点右侧， ∴点坐标为， 设直线解析式为， 把、坐标代入可得，解得， ∴直线解析式为； （2）解：∵轴，点的横坐标为， ∴，， ∵在线段上运动， ∴点在点上方， ∴， ∴当 时，有最大值，的最大值为； （3）解：由（1）（2）得点坐标为，点坐标为， ∴ ∵ ∴ ∵轴，轴， ∴ ∴ ∴当是以为腰的等腰直角三角形时，， ∴点纵坐标为， ∴，解得或， 当时，则、重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； （4）解：由（）得，， 当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，则有， 当点在线段上时，由（）得， ∴，此方程无实数根， 当点不在线段上时，则有， ∴，解得或， 综上可知当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为或． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质及分类讨论思想等知识点．在（）中用表示出的长是解题的关键，在（）中确定出是解题的关键，在（）中由平行四边形的性质得到是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大． 2．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．经过点A的直线与抛物线交于另一点D，与y轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)连接、，求的面积； (3)如图1，点P是线段上一动点，过点P作轴，交该抛物线于点F，作轴，交该抛物线于另一点G ①若是等腰直角三角形，求的长； ②如图2，点P的横坐标为，点M是直线上方抛物线上的一个动点，点N是y轴负半轴上一动点．请问是否存在点M，使得以P、N、E为顶点的三角形与全等，且以同一条线段为对应边？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)① ； ②存在；或或 【分析】（1）设抛物线的解析式为交点式，代入点坐标，进而得出结果； （2）作轴于，设，，根据得出，从而求得的值，进一步得出结果； （3）①设，，从而表示出和，根据得出，求得的值，进一步得出结果；②分两种情形：当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ， ， ； （2）解：如图1， 作轴于， 设， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （3）解：①设直线的解析式为 把，人攻，得 ，解得：， 直线的解析式为， 设，， ， 轴，轴，是等腰直角三角形， 点和关于抛物线的对称轴对称，，， ， ， ，（舍去）， ； ②当时，如图2， ∵， ∴， ，即轴， ， ， ， 当时，，过点A作于，过点W作轴于点，作交延长线于K，如图3， ∵，， ，， ， ∵ ∴ ∴， ， ， ， ，，， ， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，，， ∴， ， ， 设，则，， ， 由得， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得：， 直线的解析式为：， 由得， ，， 或， 综上所述：或或． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 考向二 已知等腰直角三角形求坐标 3．（2022·山东东营·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； (3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标． 【答案】(1) (2)（1，-2） (3)（-1，0）或（，-2）或（，2） 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标和抛物线的对称轴，如图所示，作点C关于直线的对称点E，连接AE，EQ，则点E的坐标为（2，-3），根据轴对称最短路径可知AE与抛物线对称轴的交点即为点Q； （3）分两种情况当∠BPM=90°和当∠PBM=90°两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为，与y轴交于点C， ∴抛物线对称轴为直线，点C的坐标为（0，-3） 如图所示，作点C关于直线的对称点E，连接AE，EQ，则点E的坐标为（2，-3），   由轴对称的性质可知CQ=EQ， ∴△ACQ的周长=AC+AQ+CQ， 要使△ACQ的周长最小，则AQ+CQ最小，即AQ+QE最小， ∴当A、Q、E三点共线时，AQ+QE最小， 设直线AE的解析式为， ∴， ∴， ∴直线AE的解析式为， 当时，， ∴点Q的坐标为（1，-2）； （3）解： 如图1所示，当点P在x轴上方，∠BPM=90°时，过点P作轴，过点M作MF⊥EF于F，过点B作BE⊥EF于E， ∵△PBM是以PB为腰的等腰直角三角形， ∴PA=PB，∠MFP=∠PEB=∠BPM=90°， ∴∠FMP+∠FPM=∠FPM+∠EPB=90°， ∴∠FMP=∠EPB， ∴△FMP≌△EPB（AAS），   ∴PE=MF，BE=PF， 设点P的坐标为（1，m）， ∴， ∴，， ∴点M的坐标为（1-m，m-2）， ∵点M在抛物线上， ∴，   ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴点M的坐标为（-1，0）； 同理当当点P在x轴下方，∠BPM=90°时可以求得点M的坐标为（-1，0）； 如图2所示，当点P在x轴上方，∠PBM=90°时，过点B作轴，过点P作PE⊥EF于E，过点M作MF⊥EF于F，设点P的坐标为（1，m）， 同理可证△PEB≌△BFM（AAS）， ∴， ∴点M的坐标为（3-m，-2）， ∵点M在抛物线上， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴点M的坐标为（，-2）； 如图3所示，当点P在x轴下方，∠PBM=90°时， 同理可以求得点M的坐标为（，2）； 综上所述，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，点M的坐标为（-1，0）或（，-2）或（，2）． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 考向三 等腰直角三角形存在性问题 4．（2022·山东枣庄·中考真题）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作ACx轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．    (1)求抛物线的关系式； (2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标； (3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围； (4)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3 (2)P点坐标为（，） (3)h的取值范围为3≤h≤4 (4)存在，点P的坐标是（，）或（，）或（，）或（，） 【分析】（1）利用待定系数法可得抛物线的解析式； （2）过P作PGy轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得△OPE的面积，利用二次函数的最值可得其最大值； （3）求出原抛物线的对称轴和顶点坐标以及对称轴与OE的交点坐标、与AE的交点坐标，用含h的代数式表示平移后的抛物线的顶点坐标，列出不等式组求出h的取值范围； （4）存在四种情况：作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据|OM|＝|PN|，列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0）， ∴ ， 解得， ∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3； （2）如图1，过P作PGy轴，交OE于点G，    设P（m，m2﹣4m+3）， ∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°， ∴∠AOE＝45°， ∴△AOE是等腰直角三角形， ∴AE＝OA＝3， ∴E（3，3）， 设直线OE的解析式为y＝kx，把点（3，3）代入得， 3＝3k， 解得k＝1， ∴直线OE的解析式为：y＝x， ∴G（m，m）， ∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3， ∴S△OPE＝S△OPG+S△EPG PG•AE 3×（﹣m2+5m﹣3） （m2﹣5m+3） （m）2， ∵0， ∴当m时，△OPE面积最大， 此时m2﹣4m+3＝， ∴P点坐标为（，）； （3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1）， 抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）． 设直线x＝2交OE于点M，交AE于点N，则N（2，3），如图2，    ∵直线OE的解析式为：y＝x， ∴M（2，2）， ∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界）， ∴2≤﹣1+h≤3， 解得3≤h≤4； （4）设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况： ①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，    ∴∠OMP＝∠PNF＝90°， ∵△OPF是等腰直角三角形， ∴OP＝PF，∠OPF＝90°， ∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°， ∴∠OPM＝∠PFN， ∴△OMP≌△PNF（AAS）， ∴OM＝PN， ∵P（m，m2﹣4m+3）， 则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m， 解得：m或， ∵m＞2，不合题意，舍去， ∴m， 此时m2﹣4m+3＝， ∴P的坐标为（，）； ②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时， 同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3， 解得：m1或m2， ∵＞2，不合题意，舍去， ∴m＝， 此时m2﹣4m+3＝， ∴P的坐标为（，）； ③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，    同理得△ONP≌△PMF， ∴PN＝FM， 则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2， 解得：m1或m2； ∵＜2，不合题意，舍去， ∴m＝， 此时m2﹣4m+3＝， P的坐标为（，）； ④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图5，      同理得m2﹣4m+3＝m﹣2， 解得：m或（舍）， P的坐标为：（，）； 综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的图象与性质及图形的平移，全等三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，运用分类讨论思想和方程的思想是解决问题的关键． 5．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．    (1)求b，c的值． (2)点是抛物线上的动点 ①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值； ②过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①当时，的面积由最大值，最大值为； ②当点的坐标为或时，为等腰直角三角形 【分析】（1）将将、代入抛物线即可求解； （2）①由（1）可知：，得，可求得的解析式为，过点P作轴，交于点E，交轴于点，易得，根据的面积，可得的面积 ，即可求解； ②由题意可知抛物线的对称轴为，则，分两种情况：当点在对称轴左侧时，即时，当点在对称轴右侧时，即时，分别进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：将、代入抛物线中， 可得：，解得：， 即：，； （2）①由（1）可知：， 当时，，即， 设的解析式为：， 将，代入中， 可得，解得：， ∴的解析式为：， 过点P作轴，交于点E，交轴于点，    ∵，则， ∴点E的横坐标也为，则纵坐标为， ∴， 的面积 ， ∵， ∴当时，的面积有最大值，最大值为； ②存在，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形． 理由如下：由①可知， 由题意可知抛物线的对称轴为直线， ∵轴， ∴，，则， 当点在对称轴左侧时，即时，   ，当时，为等腰直角三角形， 即：，整理得：， 解得：（，不符合题意，舍去） 此时，即点； 当点在对称轴右侧时，即时，   ，当时，为等腰直角三角形， 即：，整理得：， 解得：（，不符合题意，舍去） 此时：，即点； 综上所述，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形． 【点睛】本题二次函数综合题，考查了利用待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及图象上的点的特点，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是表示出点的坐标，进行分类讨论． ►题型06 二次函数与平行四边形 考向一 已知平行四边形求值/坐标 1．（2023·山东聊城·中考真题）如图①，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点． (1)求抛物线的表达式； (2)点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标； (3)如图②，当点从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作，交AC于点E，作，垂足为点D．当m为何值时，面积最大，并求出最大值． 【答案】(1) (2)点Q坐标，或或； (3)时，有最大值，最大值为． 【分析】（1）将，代入，待定系数法确定函数解析式； （2）由二次函数，求得点，设点，点，分类讨论：当为边，为对角线时，当为边，为对角线时，运用平行四边形对角线互相平分性质，构建方程求解； （3）如图，过点D作，过点E作，垂足为G，F， 可证，；运用待定系数法求直线解析式，直线 解析式；设点，，则，，，，运用解直角三角形，中，，，中，，可得，，；中，，可得，，，，于是，从而确定时，最大值为． 【详解】（1）将，代入，得 ，解得 ∴抛物线解析式为： （2）二次函数，当时， ∴点 设点，点， 当为边，为对角线时， ∵四边形为平行四边形， ∴，互相平分 ∴解得，（舍去）或 点Q坐标； 当为边，为对角线时， 同理得， 解得，或， ∴ ∴点Q坐标或 综上，点Q坐标，或或； （3）如图，过点D作，过点E作，垂足为G，F， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴，同理可得 设直线的解析式为： 则，解得 ∴直线： 同理由点，，可求得直线 ： 设点，， 则，，， 中，， ∴， 中， ∴，解得， ∴ ∵ ∴； 中， ∴，解得， ∴ ∵ ∴ ∴， 即． ∵ ∴时，，有最大值，最大值为． 【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，平行四边形的性质，一元二次方程求解，解直角三角形，结合动点运动情况，分类讨论是解题的关键． 2．（2024·山东济南·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为；抛物线，顶点为． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)如图1，连接，点是拋物线对称轴右侧图象上一点，点是拋物线上一点，若四边形是面积为12的平行四边形，求的值； (3)如图2，连接，点是抛物线对称轴左侧图像上的动点（不与点重合），过点作 交轴于点，连接，求面积的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解出抛物线的解析式，再转化为顶点式，即可得到顶点坐标； （2）连接，过点作 轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于，设点的横坐标为．设直线的表达式为，解方程组得到直线的表达式为，则，求得，求得于是得到，解方程得到，根据平移的性质得到，将代入，解方程即可； （3）过作轴，垂足为，过点作 轴，过点作 轴，与交于点，设且，求得抛物线的顶点，得到，推出，解方程得到当时，，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：抛物线过点 得 解得 抛物线的表达式为 顶点； （2）解：如图，连接，过点作 轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于，设点的横坐标为． 设直线的表达式为 由题意知 解得 直线的表达式为 的面积为12 ， ， 解得（舍） 点先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点 将代入 得 解得． （3）解：如图，过作轴，垂足为，过点作 轴，过点作 轴，与交于点，设且 抛物线的顶点 ， 易得 当时， 点横坐标最小值为，此时点到直线距离最近，的面积最小 最近距离即边上的高，高为： 面积的最小值为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，平移的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确地找出辅助线是解题的关键． 3．（2023·山东·中考真题）如图，直线交轴于点，交轴于点，对称轴为的抛物线经过两点，交轴负半轴于点．为抛物线上一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点．      (1)求抛物线的解析式； (2)若，当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)若，设直线交直线于点，是否存在这样的值，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式； （2）结合平行四边形的性质，通过求直线的函数解析式，列方程求解； （3）分3种情况求解：当时；当时；当时；根据，确定点坐标，从而利用一次函数图象上点的特征计算求解． 【详解】（1）解：在直线中，当时，，当时，， ∴点，点， 设抛物线的解析式为， 把点，点代入可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由题意，， ∴， 当四边形是平行四边形时，， ∴， ∴，， 设直线的解析式为， 把代入可得， 解得， ∴直线的解析式为， 又∵过点作轴的平行线交抛物线于另一点，且抛物线对称轴为， ∴ ∴， 解得（不合题意，舍去），； （3）解：存在，理由如下． 由题意，， ∴，． 当时，点P在x轴的上方， ∵， ∴点E为线段的中点， ∴，， ∴， 代入整理得，， 解得（不合题意，舍去），． 当时，点P在x轴上，此时点E与点M重合，所以此种情况不存在； 当时，点P在x轴的下方，点E在射线上， 如图，设线段的中点为R，      ∴，， ∴． ∵， ∴M为的中点， ∴，， ∴， 代入整理得，， 解得（不合题意，舍去），． 综上可知，存在或，使． 【点睛】本题考查一次函数和二次函数的综合应用，掌握待定系数法求函数解析式，利用数形结合思想和方程思想解题是关键． 考向二 平行四边形存在性问题（两定两动，一边明确） 4．（2022·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，其顶点为点D，连结AC． (1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标； (2)在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点、AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标； (3)在（2）的条件下，将点D向下平移5个单位得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值． 【答案】(1)，顶点D的坐标为 (2)或 (3) 【分析】（1）用待定系数法求解二次函数解析式，再化成顶点式即可得出顶点坐标； （2）先用待定系数法求直线AC解析式为，再过点F作于点G，证，得，设F点的坐标为，则G点的坐标为，所以，即可求出或，从而求得点F坐标； （3），是平移得得点M的坐标为，则（2）知点与点关于对称轴对称，连结，对称轴于点H，连结、，过点作于点N，交对称轴于点P，则，，．在中，，则在中，，所以，所以为最小值，根据，所以，即可求出． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：=-(x-1)2+4， ∴顶点D的坐标为； （2）解：设直线AC的解析式为：， 把点，代入得：，， ∴直线AC解析式为：， 过点F作于点G， ∵以A、C、E、F四点为顶点的四边形是以AC为边的平行四边形， ∴，AC=EF， 又∵， ∴ ∴， ∴， 设F点的坐标为， 则G点的坐标为， ∴， ∴或，当时，， ∴， 当时， ∴， ∴或； （3）解：由题意，得点M的坐标为， 由题意知：点与点关于对称轴对称， 连结，对称轴于点H，连结、，过点作于点N，交对称轴于点P，则，，． 在中，，则在中， ∴， 又∵ ∴为最小值， 又∵， ∴， ∴求得的最小值为． 【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式，二次函数图象性质，平行四边形的性质，解直角三角形，利用轴对称求最小值，本题属二次函数综合题目，掌握二交次函数图象性质和灵活运用是解题的关键． 考向三 平行四边形存在性问题（两定两动，边未明确） 5．（2025·陕西西安·一模）如图，抛物线的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于点B，交y轴于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若抛物线的顶点为P，求的面积； (3)点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线交直线l于点N，是否存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)9 (3)存在，或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，求出直线的解析式，过点作轴并延长交于E，根据进行求解即可； （3）分四边形为平行四边形和四边形为平行四边形，两种情况进行讨论，利用平移思想进行求解即可． 【详解】（1）解：， ∴当时，， ∴， ∵抛物线的图象与x轴交于，两点， ∴，把，代入，得：， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴设的解析式为：，把代入，得：， ∴， 过点作轴并延长交于E，则：， ∴， ∴； （3）解：存在； 由（2）知，直线的解析式为：，设， ∵，且以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形， ∴； ①当四边形为平行四边形时， ∵， ∴点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点，即：， ∴， 解得：或， 当时，， 当时，（不符合题意，舍去）； ②当四边形为平行四边形时， ∵， ∴点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点，即：， ∴， 解得：或， 当时，， 当时，（不符合题意，舍去）； 综上：或． ►题型07 二次函数与矩形，菱形，正方形存在性问题 1．（2024·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由； (3)点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)时，；时，；时， (3)存在，或或或或或 【分析】（1）将点A和点B的坐标代入，求出a和c的值，即可得出这个二次函数的表达式； （2）根据题意得出，，再用作差法得出，进行分类讨论即可； （3）求出直线的函数解析式为，然后进行分类讨论：当为正方形的边时；当为正方对角线时，结合正方形的性质和三角形全等的判定和性质，即可解答． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为； （2）解：∵，都在该二次函数的图象上， ∴，， ∴， 当时，即时，； 当时，即时，； 当时，即时，； （3）解：设直线的函数解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的函数解析式为， 当为正方形的边时， ①∵， ∴， 过点M作y轴的垂线，垂足为点G，过点P作的垂线，垂足为点H， ∵轴， ∴， ∴，则， 设，则， ∴， ∴点N的纵坐标为， 即， ∵以，，，为顶点的四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：，（舍去）， ∴； ②如图：构造， 和①同理可得：，， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； ③如图：构造， 和①同理可得：，， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； ④如图：构造， 和①同理可得：，， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：，（舍去）， ∴； 当为正方形对角线时， ⑤如图：构造矩形，过点P作于点K， 易得， ∴， 设，则， 和①同理可得：， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴，则， ∴， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； ⑥如图：构造， 同理可得：， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； 综上：或或或或或 ． 【点睛】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造全等三角形解答． 2．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2 【分析】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分和，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可． （3）分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴，解得：， ∴； （2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小， ∵时，， ①当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：或，均不符合题意，舍去； ②当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：； 故； （3）存在； 当时，解得：，当时，， ∴，， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， 设，则：， ∴，，， 当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当为边时，则：，即， 解得：（舍去）或， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，则：，即：， 解得：或（舍去） 此时菱形的边长为：； 综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2． 3．（2022·贵州黔西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线AB与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的表达式； (2)M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当轴且时，求点M的坐标； (3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 (3)存在，或或或 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； (2)求出直线AB的表达式为，设，，分当M在N点上方时，．和当M在N点下方时，，即可求出M的坐标； （3）画出图形，分AC是四边形的边和AC是四边形的对角线，进行讨论，利用勾股定理、相似三角形的判定与性质、函数图像的交点、平移等知识点进行解答即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴，解得， ∴抛物线的表达式为． （2）设直线AB的解析式为：， ∵直线AB经过，， ∴， ∴， ∴直线AB的表达式为． ∵轴，可设，，其中． 当M在N点上方时，． 解得，（舍去）． ∴． 当M在N点下方时， ． 解得，． ∴，． 综上所述，满足条件的点M的坐标有三个，，． （3）存在．满足条件的点Q的坐标有4个．，，，． 理由如下： ①如图，若AC是四边形的边． 当时， ∴拋物线的对称轴与直线AB相交于点． 过点C，A分别作直线AB的垂线交抛物线于点，， ∵，， ∴，，． ∵， ∴． ∴． ∴点与点D重合． 当时，四边形是矩形． ∵向右平移1个单位，向上平移1个单位得到． ∴向右平移1个单位，向上平移1个单位得到． 此时直线的解析式为． ∵直线与平行且过点， ∴直线的解析式为． ∵点是直线与拋物线的交点， ∴． 解得，（舍去）． ∴．当时，四边形是矩形． ∵向左平移3个单位，向上平移3个单位得到． ∴向左平移3个单位，向上平移3个单位得到． ②如图，若AC是四边形的对角线， 当时．过点作轴，垂足为H，过点C作，垂足为K． 可得，． ∴． ∴． ∴． ∵点P不与点A，C重合， ∴和． ∴． ∴． ∴如图，满足条件的点P有两个．即，． 当时，四边形是矩形． ∵向左平移个单位，向下平移个单位得到． ∴向左平移个单位，向下平移个单位得到． 当时，四边形是矩形． ∵向右平移个单位，向上平移个单位得到． ∴向右平移个单位，向上平移个单位得到． 综上，满足条件的点Q的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，本题主要涉及了待定系数法求函数的解析式、勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，点的平移等知识，根据题意画出符合条件的图形、进行分类讨论是解题的关键． ►题型08 二次函数与最值问题 考向一 线段最值 1．（2023·四川资阳·中考真题）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点．    (1)求抛物线的表达式； (2)点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线交于点C，求的长的最大值； (3)点Q是线段上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结交y轴于点N．是否存在点P，使与相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)当时，的长的最大值为4 (3)点P的坐标为或 【分析】（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式； （2）设，则，进而表示出CD的长；接下来用含m的二次函数表示S，根据二次函数的性质，即可解答； （3）分两种情况：①当△时，②当时，分别求解即可． 【详解】（1）直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ，， 抛物线经过A、B两点． ， 解得， ； （2）设， 作x轴，与直线交于点C， ，解得， ， 当时，的长的最大值为4； （3）设， ，， ， 分两种情况： ①当时，    ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 或3（舍去）， ， ，， 设直线的解析式为， 解得， 直线PQ的解析式为， 联立解得或（不合题意，舍去） 点P的坐标为； ②当时，过点Q作于H，    ， ，， ， ， ， ∴， ∴， 设，则，， ，解得， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， 同理得直线的解析式为， 联立解得或（不合题意，舍去） 点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，解题的关键是利用方程的思想和函数的思想方法解决问题，利用相似三角形的判定得出关于m的方程是解题关键，解（3）的关键是分和两种情况讨论求解． 考向二 周长最值 2．（2024·安徽阜阳·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点 P，使的周长最小，求的周长的最小值及此时点P的坐标； (3)若M为抛物线在第一象限内的一动点，求出四边形的面积的最大值及此时点M的坐标. 【答案】(1)； (2)的周长的最小值为，点P的坐标为； (3)的最大值为，此时． 【分析】题目主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，最短周长及最大面积问题，理解题意，熟练掌握二次函数的应用是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）连接交对称轴于点，此时的周长最小，利用勾股定理以及待定系数法求得直线的解析式，据此求解即可； （3）连接，设，根据列得二次函数的解析式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 连接交对称轴于点，此时，取得最小值，最小值为的长， 令，则， ∴， ∵，， ∴，， ∴的周长的最小值为， 设直线的解析式为， 则， 解得, ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：连接，设， 依题意得 ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为，此时． 3．（2024·甘肃金昌·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)若是抛物线对称轴上一动点，是平面内任意一点，当四边形是菱形时，求点的坐标； (3)已知是该抛物线上的一点，点分别为轴，轴上的点，且使得四边形的周长最小，求四边形周长的最小值及点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)四边形的周长的最小值为，， 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）当四边形是菱形时，则，即可求解； （3）作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，交轴于点，则此时四边形的周长最小，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ，解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：设点， 当四边形是菱形时，则， 即， 解得：， 即点； （3）解：由（1）得抛物线解析式为 当时， ∴ 作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，交轴于点，则此时四边形的周长最小， 理由：四边形的周长为最小， 则， 即四边形的周长的最小值为， 设直线的表达式为， 把、代入，得 ，解得： ∴直线的表达式为：， 令，则， 解得： ∴， 令，则 ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养，轴对称求最短路径问题，勾股定理，菱形的判定与性质．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 考向三 线段比/面积比最值 4．（2024·江苏扬州·三模）如图：已知抛物线与x轴交于A、两点（点A在点B的左侧），与y轴的交点为，点P是抛物线上第一象限内的点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)如图1，是否存在点P，使的内心恰好在直线上，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，交x轴于点D，交于点E，求的最小值． 【答案】(1) (2)存在，点 (3) 【分析】（1）根据待定系数法即可求解； （2）根据使的内心恰好在直线上，得出平分，即，过点作轴的平行线交于点，证出，求出直线的表达式设点，则点，根据，列方程求解即可； （3）由抛物线的表达式知，点，得出，设点，根据，直线的表达式为：，求出直线的表达式，从而求出点，，得出的最大值为，根据，得出，根据相似三角形的性质得出，即可得出取得最大值时，取得最小值即可解答． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得：， 故抛物线对应的函数表达式为：． （2）存在，理由： ∵使的内心恰好在直线上， 则平分，即， 过点作轴的平行线交于点， 则， 则， 设直线的表达式为：， 由点的坐标得，， 解得：， 故直线的表达式为：， 设点，则点， 由点的坐标得，， 解得：， 则点； （3）∵抛物线的表达式， 令，则，解得：或， ∴点， 则， 设点， ∵，直线的表达式为：， 设直线的表达式为， 将点代入，得：， 解得：， 则直线的表达式为：， 令，则，解得：， 则点， 则， 故的最大值为， ∵，则， 则， 故取得最大值时，的最小值为：， 即的最小值为：． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 5．（2024·吉林长春·一模）在平面直角坐标系中，顶点坐标为的抛物线经过点，与轴相交于点．点在这条抛物线上运动，其横坐标为． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式及点的坐标． (2)当点在、两点之间（点不与点、重合）运动时，过点作轴的平行线交线段于点．当线段的长随的增大而减小时，求的取值范围． (3)当抛物线在、两点之间（包含、两点）函数的最小值为，求的值． (4)当点不与点重合时，以为对角线作矩形，使轴．设直线将矩形的面积分为、两部分，当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)的值为0、、4 (4)或且 【分析】（1）设抛物线的解析式为，将点代入即可； （2）根据题意可得，当线段的长随的增大而减小时，； （3）当时，，解得；当时，，解得或 (舍)；当时，，解得； （4）当时，与直线的交点为，，则时；当时，，则时；当时，与直线的交点为 ，则时． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 将点代入，可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 当时，， ∴； （2）∵点横坐标为， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴当线段的长随的增大而减小时，；    （3）当时，，解得； 当时，， 解得或(舍)； 当时，， 解得； 综上所述：的值为0或4或； （4）∵轴， ， 当时，与直线的交点为， ， 解得， 时，； 当时， ， 解得， 时，； 当时，与直线的交点为， ， 解得或， 时，， 综上所述：或且时，； 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，矩形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 6．（2024·山东济宁·中考真题）已知二次函数的图像经过，两点，其中a，b，c为常数，且． (1)求a，c的值； (2)若该二次函数的最小值是，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． ①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标； ②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，连接，，．是否存在点P，使？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①该二次函数的解析式为：；， ②存在，P点横坐标为：或或 【分析】（1）先求得，则可得和关于对称轴对称，由此可得，进而可求得； （2）①根据抛物线顶点坐标公式得，由此可求得，进而可得抛物线的表达式为，进而可得，； ②分两种情况进行讨论：当点P在点A右侧时，当点P在点A左侧时，分别画出图形，求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵的图像经过， ∴， ∴和关于对称轴对称， ∴， ， ， ∴，． （2）解：①∵，， ∴， ∵， ∵解得， ∵，且， ∴， ∴， ∴该二次函数的解析式为：， 当时，， 解得，， ∴， ． ②设直线的表达式为：， 则， 解得， ∴直线的表达式为：， 当点P在点A右侧时，作于F，如图所示： 设，则，， 则， , ， ∵，，， ∴ ， ∵， ， 解得：，， ∴点P横坐标为或； 当点P在点A左侧时，作于F，如图所示： 设，则，， 则， , ， ∵，，， ∴ ， ∵， ， 解得：，（舍去）， ∴点P横坐标为， 综上所述，P点横坐标为：或或． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，二次函数与几何综合，利用待定系数法求二次函数和一次函数的表达式．熟练掌握“三角形面积水平宽铅锤高”是解题的关键． 考向四 将军饮马/将军遛马问题 7．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为和（点在点的左侧），与轴交于点，点是直线上方抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，过点作轴平行线交于点，过点作轴平行线交轴于点，求的最大值及点的坐标； (3)如图2，设点为抛物线对称轴上一动点，当点，点运动时，在坐标轴上确定点，使四边形为矩形，求出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为，点的坐标为 (3)符合条件的点坐标为：或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求得直线的解析式，设，则，，得到，利用二次函数的性质求解即可； （3）先求得抛物线的顶点，对称轴为，分当点在轴上和点在轴负半轴上时，两种情况讨论，当点在轴负半轴上时，证明，求得，再证明，求得点的坐标为，由点在抛物线上，列式计算求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，与轴交于点 解得 抛物线的解析式为：； （2）解：当时，， 解得，， ∴， 设直线的解析式为：， 把，代入得：， 解得 ∴直线的解析式为， 设， ∵轴， ∴点的纵坐标为， 又∵点在直线上， ∴，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为， 当时，， ∴点的坐标为； 答：的最大值为，点的坐标为； （3）解：， 则抛物线的顶点，对称轴为， 情况一：当点在轴上时，为抛物线的顶点， ∵四边形为矩形， ∴与纵坐标相同， ∴； 情况二：当点在轴负半轴上时，四边形为矩形， 过作轴的垂线，垂足为，过作轴的垂线，垂足为， 设，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵抛物线对称轴为，点在对称轴上，， ∴，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得，（舍去）， ∴， 综上所述：符合条件的点坐标为：或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是方程思想的应用． 8．（2022·广西桂林·中考真题）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)求CP+PQ+QB的最小值； (3)过点P作PM⊥y轴于点M，当CPM和QBN相似时，求点Q的坐标． 【答案】(1)A(﹣1，0)，B(4，0)，C(0，4) (2)6 (3)(，)或(，)或(，) 【分析】（1）由y＝﹣x2+3x+4可得A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）； （2）将C（0，4）向下平移至C'，使CC'＝PQ，连接BC'交抛物线的对称轴l于Q，可知四边形CC'QP是平行四边形，及得CP+PQ+BQ＝C'Q+PQ+BQ＝BC'+PQ，而B，Q，C'共线，故此时CP+PQ+BQ最小，最小值为BC'+PQ的值，由勾股定理可得BC'＝5，即得CP+PQ+BQ最小值为6； （3）由在y＝﹣x2+3x+4得抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，设Q（，t），则Q（，t+1），M（0，t+1），N（，0），知BN＝，QN＝t，PM＝，CM＝|t﹣3|，①当＝时，＝，可解得Q（，）或（，）；②当＝时，＝，得Q（，）． 【详解】（1）解：在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝﹣1或x＝4， ∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）． （2）将C（0，4）向下平移至，使，连接交抛物线的对称轴l于Q，如图所示： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵B，Q，共线， ∴此时CP+PQ+BQ最小，最小值为的值， ∵C（0，4），， ∴， ∵B（4，0）， ∴＝＝5， ∴， ∴CP+PQ+BQ最小值为6． （3）如图： 由y＝﹣x2+3x+4得，抛物线对称轴为直线， 设Q（，t），则P（，t+1），M（0，t+1），N（，0）， ∵B（4，0），C（0，4）； ∴BN＝，QN＝t，PM＝，CM＝|t﹣3|， ∵∠CMP＝∠QNB＝90°， ∴△CPM和△QBN相似，只需＝或＝， ①当＝时，＝， 解得t＝或t＝， ∴Q（，）或（，）； ②当＝时，＝， 解得t＝或t＝（舍去）， ∴Q（，）， 综上所述，Q的坐标是(，)或(，)或(，)． 【点睛】本题主要考查二次函数综合应用，涉及二次函数图象上点坐标的特征，线段和的最小值，相似三角形的性质及应用等，解题的关键是分类讨论思想的应用． 9．（2024·吉林长春·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点在轴上，抛物线经过点两点，且与直线交于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点为顶点的四边形是以或边的菱形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为或或或 (3)存在，的最小值为， 【分析】（1）由四边形为正方形及点D的坐标，可求得点B的坐标，利用待定系数法即可求解； （2）由抛物线解析式求出抛物线的对称轴，则可得点E的坐标，从而求得； 分两种情况：①当吋；②当时，设点F坐标为，利用或建立关于a的方程，求出a的值，即可求得点F的坐标； （3）连接，易得四边形BOMP是平行四边形，则，从而有 ，故当的值最小时，则值最小，当点三点共线时，的值为最小，此时与抛物线对称轴的交点为M，且由勾股定理可求得的值，即可求得的最小值；再求出的解析式，即可求得它与对称轴的交点M的坐标，从而求得点P的坐标． 【详解】（1）解:四边形为正方形，， ， ， ； 把点B、D坐标代入得：，解得：， 拋物线的解析式为： （2）解：由（1）得，抛物线解析式为， 则抛物线的对称轴为直线， 点与点关于抛物线的对称轴对称， ， ， 设点，当以点为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分：①当吋，如图所示： 由两点距离公式可得，即， 解得:， 点的坐标为或； ②当时，如图所示: 由两点距离公式可得，即， 解得:， 点的坐标为或； 综上所述：点的坐标为或或或； （3）解：由题意可得如图所示： 连接， 由(2)可知点D与点关于抛物线的对称轴对称，， ； 过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 若使的值为最小，即为最小， ∴当点三点共线时，的值为最小，此时与抛物线对称轴的交点为M，如图所示： ， ， 的最小值为，即的最小值为， 设线段的解折式为，代入点的坐标得：， 线段的解析式为， ， ． 【点睛】本题是二次函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，两点间线段最短等知识，综合性强，注意分类讨论及数形结合． 10．（23-24九年级下·安徽六安·阶段练习）如图1，抛物线与轴相交于点、，对称轴是直线，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点是轴上一动点，分别连接，求的最小值； (3)点是直线上方抛物线上一点，连接交于点，若，如图2，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)的坐标为或 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，轴对称最短路径的计算方法，相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）把点，对称轴为直线，代入解析式，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意分别求出，，在y轴上作点D的对称点，连接交于点N，此时的值最小，根据轴对称最短路径的方法即可求解； （3）根据题意求出直线的解析式，设，则，，根据题意可得，结合相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，对称轴为直线， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线AM的解析式为，当时，， ∴． 如图1， 在y轴上作点D的对称点，连接交于点N，此时的值最小． 过点M作轴于点T， ∴， ∴， ∴的值的最小值为； （3）解：抛物线的解析式为， ∴令时，；令时，, 解得，，， ∴，, ∴直线的解析式为．如图2，过点E，P分别作，，垂足分别为F，H． 设，则，， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵点P在抛物线上， ∴， 得，， ∴， ∴P的坐标为或． 考向五 胡不归/阿氏圆最值问题 11．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，的平分线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点，点是轴下方抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P的横坐标为m，当时，求m的值； (3)当直线为抛物线的对称轴时，以点为圆心，为半径作，点为上的一个动点，求的最小值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出、、的坐标，利用两根式求出抛物线的解析式即可； （2）求出直线的解析式，根据方程即可解决问题； （3）首先求出的半径，在上取一点，使得，此时，由，可得，推出，可得，推出，可得当、、共线时，的值最小，由此求出点坐标，点坐标即可解决问题； 【详解】（1）解：由题意，，， 设抛物线的解析式为， 把代入 ∴ 得到． ∴ 则 故抛物线的解析式为． （2）解：在中，， ， 平分， ， ， ， 设直线的解析式为 把和代入 得 直线的解析式为， 由题意，，， ， 解得或（舍弃）， 当时，的值为． （3）解：如图，是对称轴，， ∴ 依题意点在轴上 ， 依题意 ∵点在直线的解析式为 把代入 得 ∴， ∵过点且垂直于的直线交轴于点， ， 由（2）得 ， ， ， ， ，， ， 在上取一点，使得， 设 ∵ 则 解得（点K在第三象限，正值舍去） 把代入，得出 此时， ，， ， ， ， ， ， ， ， 当、、共线时，的值最小，最小值． 【点睛】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、一元二次方程、圆的有关知识、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 12．（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，，为抛物线顶点． (1)求，的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 【答案】(1)，. (2)存在， (3) 【分析】（1）通过长度先得到点坐标，再将两点代入函数解析式，解方程即可； （2）先求出直线的函数表达式，设出点坐标为，进而得到两点坐标，再通过列出方程，解方程即可； （3）取取，连接，，先证得，得到，进而可得到，再通过两点坐标求得长度． 【详解】解：（1）， 点坐标为， 将，代入， 得，， 解得， （2）设直线的表达式为， 由（1）可知抛物线的表达式为， 故点坐标为， 直线的表达式为 设点坐标为， 则， ， ， 若， 则， 解得， ， 故，此时点坐标为； （3）如图，取，连接， ，，， 又， ， ， ， ， ， 故的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数综合问题，能够熟练掌握二次函数的基本性质以及相似三角形的应用是解题关键． 13．（2024·江苏苏州·二模）如图，抛物线的图像与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，其中点坐标，点坐标． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是抛物线上一动点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)点为轴上一个动点，则最小值为_______． 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】（1）将、代入，利用待定系数法求解即可； （2）连接，过O作于H，并延长至点M，使，作直线交抛物线于G，过M作于N，利用等面积法求出，，证明，求出，，可得M的坐标，求直线解析式，把直线解析式和抛物线的解析式联立方程组，解方程组可求点G坐标； （3）取点，作直线，过Q作于H，过B作于M，利用勾股定理求出，利用同角的正弦值相等可得出，求出，则，故要求的最小值，只需求的最小，当B、Q、H三点共线，且时，最小，最小值为，证明，利用相似三角形的性质求出得，即可求解． 【详解】（1）解：将、代入可得， ， 解得， 抛物线的解析式是 （2）解：当时，， ∴， 连接，过O作于H，并延长至点M，使，作直线交抛物线于G，过M作于N， ∴， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 联立方程组， 整理得， 解得，（舍去）， ∴， ∴ ∴存在点，使； （3）解：取点，作直线，过Q作于H，过B作于M， 则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴要求的最小值，只需求的最小， 当B、Q、H三点共线，且时，最小，最小值为， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴的最小值为 ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，垂线段最短等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造相似三角形是解题的关键． ►题型09 二次函数与定值问题 考向一 两定一动 1．（2023·四川·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标； (3)如图，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或或 (3)，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）先求得抛物线的对称轴为直线，设与交于点，当点F在x轴上方时，过点作于点，证明，设，则，，进而得出点的坐标，代入抛物线解析式，求得的值即可求出点F的坐标；当点F在x轴上方，且点E与点A重合时，利用等腰直角三角形的性质求出，即可求出点F的坐标；同理可求得当点F在x轴下方时的坐标；当点与点重合时，求得另一个解，进而即可求解； （3）设，直线的解析式为，的解析式为，求得解析式，然后求得，即可求解． 【详解】（1）解：将点，，代入中得， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵点，， ∴抛物线的对称轴为直线：， 如图所示，当点F在x轴上方时，设与交于点，过点作于点，     ∵以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵点在抛物线上 ∴ 解得：（舍去）或, ∴； 如图所示，当点F在x轴上方时，且点E与点A重合时，设直线l与x轴交于G， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴； 如图所示，当点F在x轴下方时，，设与交于点，过点作于点    ∵以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵点在抛物线上 ∴ 解得：（舍去）或， ∴， 如图所示，当点F在x轴下方，当点与点重合时，     ∵，是等腰直角三角形，且， ∴ ∴， 综上所述，或或或； （3）解：设，直线的解析式为，的解析式为， ∵点，，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为，的解析式为， 对于，当时，，即， 对于，当时，，即， ∵在抛物线上，则 ∴ ∴为定值． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，一次函数与坐标轴交点问题，全等三角形的性质与判定等等，熟练掌握二次函数的性质并利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 考向二 一定两动 2．（2023·四川南充·中考真题）如图1，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标； (3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（直线除外）与抛物线交于G，H两点，直线，分别交x轴于点M，N．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)或或 (3)定值，理由见详解 【分析】（1）将两点代入抛物线的解析式即可求解； （2）根据P，Q的不确定性，进行分类讨论：①过作轴，交抛物线于，过作，交轴于，可得，由，可求解；②在轴的负半轴上取点，过作，交抛物线于，同时使，连接、，过作轴，交轴于，，即可求解；③当为平行四边形的对角线时，在①中，只要点Q在点B的左边，且满足，也满足条件，只是点P的坐标仍是①中的坐标； （3）可设直线的解析式为，，，可求，再求直线的解析式为，从而可求，同理可求，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于两点， ， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：①如图，过作轴，交抛物线于，过作，交轴于， 四边形是平行四边形， ， ， 解得：，， ； ②如图，在轴的负半轴上取点，过作，交抛物线于，同时使，连接、，过作轴，交轴于， 四边形是平行四边形， ， 在和中， ， ()， ， ， ， 解得：，， ； 如上图，根据对称性：， ③当为平行四边形的对角线时，由①知，点Q在点B的左边，且时，也满足条件，此时点P的坐标仍为； 综上所述：的坐标为或或． （3）解：是定值， 理由：如图，直线经过， 可设直线的解析式为， 、在抛物线上， 可设，， ， 整理得：， ，， ， 当时，， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 解得：， ， ， 同理可求：， ； 当与对调位置后，同理可求； 故的定值为． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，待定系数法求函数解析式，求函数图象与坐标轴交点坐标，动点产生的平行四边形判定，一元二次方程根与系数的关系，理解一次函数与二次函数图象的交点，与对应一元二次方程根的关系，掌握具体的解法，并会根据题意设合适的辅助未知数是解题的关键． 考向三 化斜为直 3．（2024·江苏泰州·一模）已知抛物线与x轴交于点A、B(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，顶点为D． (1)求的面积； (2)若时，求m的值； (3)如图，当时，过顶点D作直线交x轴于点E，点G与点E关于点D对称，点M、N分别在线段上，若线段与抛物线有且只有一个交点（与x轴不平行），求的值． 【答案】(1)8 (2)1或3 (3) 【分析】（1）把解析式化为顶点式得到顶点D的坐标为，再求出，得到，据此根据三角形面积计算公式求解即可； （2）先求出，得到，再求出根据建立方程求解即可； （3）当时，，则，利用勾股定理得到；利用待定系数法可得直线的函数表达式为：，直线的函数表达式为：设直线的函数表达式为： 联立得到，则可得；联立，解得，即，同理：可得；设，则点M、N到直线的距离分别为，，根据，得到，据此求出即可得到答案． 【详解】（1）解：将化成顶点式得， ∴顶点D的坐标为 令，则，解得， ∵A在B的左边 ∴， ∴， ∴； （2）解：令，则， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴当时，，，解得，或 (舍去)， 当时，，，解得或(舍去)； 综上所述，m的值为1或3； （3）解：当时，， ∵点G与点E关于点D对称， ∴， ∴； 利用待定系数法可得直线的函数表达式为：，直线的函数表达式为： 设直线的函数表达式为： 联立得到 ∵直线与抛物线只有一个公共点， ∴ ∴ ∴直线的函数表达式为：， 联立，解得， ∴， 同理：可得， 由对称性可得，设， ∴点M、N到直线的距离分别为，， ∵， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，解直角三角形，勾股定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 4．（2022·福建泉州·模拟预测）已知抛物线与x轴的两个交点为A，B（点B在点A的右侧），且，与y轴交点为C． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)若点M是抛物线位于直线下方的图象上一个动点，求点M到直线的距离的最大值； (3)设直线（）与抛物线交于P，Q两点（点Ｑ在点P的右侧），与直线交于点R．试证明：无论k取任何正数，恒成立． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）先求出抛物线的对称轴，根据二次函数图象的对称性求出B点坐标，将其代入函数式求出a值，即可解答； （2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，设，设点M到的距离为d，则点，过点M作轴于点E，交于点D，轴，，法1：利用正弦三角函数求出d的表达式，再利用二次函数的性质求出d的最大值；法2：根据列式，求出d的表达式，再利用二次函数的性质求出d的最大值；法3：过点M作直线，当直线l与抛物线只有一个公共点时，点M到直线的距离最大，设直线l解析式为：，联立两个解析式，利用判别式△=0列式求出b值，再利用三角函数求出d值即可； （3）设点，点，联立直线和抛物线的解析式，由根与系数的关系得出，，然后再联立直线和直线求出，法1：根据两点间距离公式分别把OP、OQ和OR表示出来，求出，即可得证；法2：过P，Q，R分别作轴于F，轴于G，轴于H，推出，设，然后求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：对称轴 又抛物线交x轴于A，B两点（点B在点A的右侧），且， ∴， ∴，即， ∴函数表达式为：； （2）解：设直线的函数表达式为， ∵，在直线上， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式为； 法1：如图1，过点M作轴于点E，交于点D， 依题意，设，则点， 设点M到的距离为d， ∵轴， ∴，则， 即， 则 当时，． 法2：如图1，过点M作轴于点E，交于点D， 依题意，设，设，则点， 设点M到的距离为d，连结，， ， 又， 则， ∴， 当时，． 法3：如图2，过点M作直线， 当直线l与抛物线只有一个公共点时，点M到直线的距离最大． 设直线l解析式为：， 联立方程，得， 由，得， ∴此时直线l：， 则直线l与y轴交点， ∴， 又， ∴， 即，即， ∴； （3）如图3，设点，点， 联立方程，得， 则，， 联立方程， ∴， 法1： ∴， ， ， ∴， 又， ， ∴无论k取何正数，成立； 法2：如图4，过P，Q，R分别作轴于F，轴于G，轴于H， 由，则， 可设， 则，，， 则， 又， 即， ∴无论k取何正数，成立． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数和线段长度的综合，二次函数的定值问题，二次函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，锐角三角函数的定义和一元二次方程根与系数的关系，以及利用其判别式求最大距离；解题的关键是能综合运用所学知识，数形结合解决问题． ►题型10 二次函数与定点问题 考向一 单切线类 1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点，且． (1)请直接写出抛物线的解析式为__； (2)如图1，已知点在线段上，过点作直线与抛物线交于D、E两点，且，求的值； (3)如图2，动点在第二象限内的抛物线上，作轴于点，过点P作直线交轴于点，且直线与抛物线有唯一公共点，过点的另一直线交抛物线于，若平分，求证：直线必过一定点，并求这个定点的坐标． 【答案】(1)（或 ） (2) (3)直线必过一定点，定点为 【分析】（1）根据抛物线（）对称轴为直线，结合，求得点A、B的坐标，将点A坐标代入抛物线的解析式中，解方程可得的值，即可得解； （2）求出直线的解析式为，联立方程组，整理得：，设两个交点坐标为，，利用根与系数关系得，，由得点M的坐标为，由点在线段上可求解； （3）设 ，则，设直线的解析式为，先确定，再联立，利用根的判别式得到，进而求得，可得直线的解析式为，设直线与抛物线的对称轴交于点M，则有，设直线交对称轴于点，对称轴与x轴交于L，过点作于点，过点作于点S，根据矩形的判定与性质，结合坐标与图形性质和勾股定理可得，，根据角平分线和平行线性质，结合等腰三角形的判定证明，然后证明，求得，利用坐标与图形求得，进而可得，即可得到结论． 【详解】（1）解：由抛物线（）得对称轴为直线， ∵抛物线与轴交于A、B两点，且， ∴，， 将代入得：， 解得，又， ∴， ∴， 则抛物线的解析式为， 故答案为：； （2）解：当时，， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 联立方程组，整理得：， 设两个交点坐标为，， ∴，， ∵， ∴点M为的中点， ∴点M的坐标为，即， ∵点在线段上， ∴， 解得； （3）证明：∵点为抛物线上在第二象限的一个动点，作轴于点H， 设 ，则， ∴，， 设直线的解析式为，过点， ∴， ∴， 联立，得：， ∵直线与抛物线有唯一公共点， ∴， 即， ∴， 整理，得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 直线的解析式为， 设直线与抛物线的对称轴交于点M， ∵当时，， ∴， 设直线交对称轴于点，对称轴与x轴交于L，过点作于点，过点作于点S， ∵轴，对称轴轴，， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵轴，对称轴轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴（设、分别为点R、M的纵坐标）， ∵， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴直线必过一定点，这个定点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法确定函数解析式，二次函数的图像与性质，相似三角形的判定和性质，函数图像的交点与方程组的解的关系，一元二次方程的判别式和根与系数关系，解一元二次方程，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理、坐标与图形等知识点．综合性极强，有一定的难度，通过作辅助线构造相似三角形和等腰三角形是解题的关键． 考向二 双切线 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是抛物线的顶点． (1)当时，直接写出A，B，C三点的坐标； (2)如图1，点，N均为（1）中抛物线上的点，，求点N的坐标； (3)如图2，将抛物线平移使其顶点为，点P为直线上的一点，过点P的直线，与抛物线只有一个公共点，问直线是否过定点，请说明理由． 【答案】(1)，, (2) (3)直线过定点，理由见解析； 【分析】（1）把代入函数解析式，令，求出x的值，可求A、B的坐标，把解析式化为顶点式可求C的坐标； （2）过点作，过点作轴于点，过点作延长线于点， 证明， 得到，利用，，即可求出点坐标，结合，可求出直线解析式，联立抛物线方程即可求出另一个交点，也就是点． （3）将抛物线平移使其顶点为可得此时抛物线解析式为：，设，设过点P的直线为，与抛物线解析式联立方程组，利用过点P的直线与抛物线只有一个公共点，得出a与p的关系式，则直线解析式为，直线解析式为，分别与抛物线解析式联立，设点E的横坐标为，则是的根，利用根与系数的关系可求，同理可求，则是方程的两个实数根，方程变形为，于是得到点E、F是抛物线与直线的交点，则结论可得． 【详解】（1）当时，抛物线为， 当时，，解得， ，， ， ． （2）根据图1，可知抛物线经过原点，代入，得，解得，（由于，故舍去）， 抛物线解析式为：． 点在抛物线上， ． ． 过点作，如图所示， ，， ． 过点作，过点作轴于点，过点作延长线于点，如图所示， 设点，则，，，， ，， ，又， ， ， ， ， 又， ， ，即，解得， 点， 设直线解析式为，将，，代入得 ，解得， 直线解析式为， 联立，解得，， 直线与抛物线的另一个交点为， 点N的坐标． （3） 将抛物线平移使其顶点为， 此时抛物线解析式为：， 点P为直线上的一点， 设， 设过点P的直线为， ， ， 过点P的直线为， 联立方程组， ， 过点P的直线，与抛物线只有一个公共点， ，即， ，， 则直线解析式为：， 直线解析式为：， 联立方程组， ， 设点E的横坐标为，则是的根， 过点P的直线与抛物线只有一个公共点， 有两个相等的实根， ， ， 同理设点F的横坐标为，， ， ， 是方程的两个实根， ， ，即点的坐标满足方程组， 点是抛物线与直线的交点， ，过定点， 直线过定点． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，包括求二次函数与坐标轴交点问题，特殊图形及一次函数与抛物线交点问题，一元二次方程根与系数的关系，三角形相似的判定和性质，作出合适的辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 考向三 抛物线内接三角形类 3．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图1，抛物线与轴交于A，两点（点A在点左边），与轴交于点，点在抛物线上，且的面积为． (1)求抛物线的解析式； (2)点在第三象限内的抛物线上，当的面积为21时，求点的坐标； (3)如图2，直线交抛物线于，两点，直线，分别与轴的正、负半轴交于，两点，且．求证：直线必过定点，并求出这个定点的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析，顶点坐标为 【分析】（1）根据解析式求出A、B两点坐标得到的长，再根据的面积为求出的长度即点C纵坐标，代入解析式得到a的值，即可求解； （2）过作轴交的延长线于点，将代入抛物线解析式得到P点坐标，进而得到直线解析式，设，点，根据的面积为21，根据建立关于m的方程，即可求解； （3）根据P点坐标，分别设出解析式，将M、N两点坐标表示出来，再根据求出m、n的关系，从而得到直线解析式，当m为0时即为定点． 【详解】（1）解：令，， ，， 令，则， ， ， 抛物线的解析式为：； （2）解：过作轴交的延长线于点， 令，， ， 设直线的解析式为：， 将 ，代入，得：， 解得：， 直线的解析式为：， 设，， ， ， ， ，（舍去）， ； （3）解：设的解析式为：，的解析式为：， ，， ， ， ， 联立直线与抛物线得：， ， 同理：， 联立直线与抛物线得：， ，， 即：，， ，， ， ，即：顶点坐标为． 【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式等知识，令常数前的值为0是解答定点题目的关键． ►题型11 二次函数与参数 考向一 参数表示量 1．（2022·湖北武汉·中考真题）抛物线交轴于A，两点（A在的左边），是第一象限抛物线上一点，直线交轴于点． (1)直接写出A，两点的坐标； (2)如图（1），当时，在抛物线上存在点（异于点），使，两点到的距离相等，求出所有满足条件的点的横坐标； (3)如图（2），直线交抛物线于另一点，连接交轴于点，点的横坐标为．求的值（用含的式子表示）． 【答案】(1)，； (2)0，或； (3)． 【分析】（1）令求出x的值即可知道A，两点的坐标； （2）求出直线的解析式为，分情况讨论：①若点在下方时，②若点在上方时； （3）设点的横坐标为．过点的直线解析式为．联立，得． 利用A，B点的横坐标求出，，设直线的解析式为，求出，进一步求出，即可求出答案． 【详解】（1）解：令，解得：，， ∴，． （2）解：∵， ∴， ∴直线的解析式为． ①若点在下方时， 过点作的平行线与抛物线的交点即为． ∵，， ∴的解析式为． 联立， 解得，，（舍）． ∴点的横坐标为0． ②若点在上方时，点关于点的对称点为． 过点作的平行线，则与抛物线的交点即为符合条件的点． 直线的解析式为． 联立，得， 解得，，． ∴点，的横坐标分别为，． ∴符合条件的点的横坐标为：0，或． （3）解：设点的横坐标为．过点的直线解析式为． 联立，得． 设，是方程两根，则．（*） ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 设直线的解析式为， 同（*）得， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，难度较大，需要掌握函数与x轴交点坐标，（1）的关键是令进行求解；（2）的关键是分点在下方和在上方时两种情况讨论：（3）的关键是求出OP，FP． 考向二 定值求参 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，且对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，在第二象限的抛物线上作点D，连接交直线于点E，若与相似，求点D的横坐标； (3)如图2，经过点的直线交抛物线于两点（M在第三象限，N在第一象限），直线交线段于点Q（不与重合），若的值与k无关，求的值． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)或者 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）分为和两种情况分别画图，求出直线解析式，联立直线和二次函数的解析式求解即可； （3）设点，可以求出直线，然后求出，，然后分别作，则，进而得到代入求值即可． 【详解】（1）由已知，知点， 且对称轴为直线则 解得 所以抛物线的解析式为． （2）如图，①当时，，则 设直线为， 将代入得解得， 所以直线， 因为，所以直线为：， 联立抛物线与直线得 即， 解得（舍去）； ②当时，， 作， 由，对称轴为直线， 则， 所以， 所以， 作，则， 设得，点， 直线为：，联立抛物线与直线， 解得（舍去） 综上所述点D的横坐标为或者．          （3）  如图，设点， 因为直线经过点， 所以，直线 联立直线与直线，解得① 联立直线与抛物线得 即 由韦达定理得② 如图分别作，则， ， 所以 ， 将及①②代入得， 设， ，因为若的值与k无关， 解得，或． 当时，P与Q重合，不合题意，故舍 ． 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 考向三 参数间存在的数量关系 3．（2024·江西南昌·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，若抛物线与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，则称为抛物线P的“交轴三角形”． (1)若抛物线存在“交轴三角形”． ①k的取值范围为________； ②若，则该三角形是________三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） (2)若抛物线的“交轴三角形”是一个等边三角形，求a，c之间的数量关系． 【答案】(1)①②钝角 (2) 【分析】本题考查二次函数与几何新定义的问题，准确掌握求二次函数与两个坐标轴交点方法是解题的关键． （1）①令，得到一元二次方程，根据即可求出结果； ②把代入，求得、、三点的坐标，再求出、、三边的长，根据勾股定理相关知识即可求出． （2）先用、表示出、、三点的坐标，再表示出、、三边的长，根据，即可求出结果． 【详解】（1）①∵抛物线存在“交轴三角形”， ∴， 即， 解得，； ②当时， ， 令，得， 解得，， ∴，， 当时，， ∴， ∴， ， ， ∵， ， ∴， ∴是钝角三角形； （2）当时，，， 当时，， ，，， ∴，，， ∵， ∴， 化简得：． ∴a，c之间的数量关系是：． 4．（2024·湖北·模拟预测）如图，抛物线经过和两点，直线交抛物线于A，B两点． (1)求抛物线解析式； (2)如图（1），若的面积是，求k的值； (3)如图（2），若是直角，请探求d与k之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）依据题意，利用待定系数法即可求解； （2）如图1，设直线交轴于点，分别过点作轴的垂线，垂足分别为，设两点的横坐标分别为．根据的面积是可得，联立方程组可得，即可得求解； （3）如图2，分别过点作轴的垂线，垂足分别为，证明，根据相似三角形的性质得，联立方程组得，由根与系数的关系得，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过和两点， ∴． ∴． ∴抛物线解析式是． （2）如图1，设直线交轴于点，分别过点作轴的垂线，垂足分别为，设两点的横坐标分别为． ∵的面积是， ∵直线交抛物线于两点．， ∴， ∴， 联立方程组， 得， ∴． ∴，即． ∵， ∴． （3）如图2，分别过点作轴的垂线，垂足分别为， ， 是直角， ， ， ， ， 设两点坐标分别为， ， ， ， 联立方程组， 得， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质、三角形的面积，相似三角形的判定和性质、根与系数的关系等知识，灵活应用数形结合思想是解题的关键． 二次函数作为中考数学的重难点，常常出现在压轴题中，对学生的综合能力要求较高。以下是针对二次函数压轴题的专项突破解题思路，帮助学生理清思路，提高解题效率。 一、基础知识回顾 1.解析式求解：掌握二次函数的一般式、顶点式和交点式，根据不同条件选择适当的解析式形式。 2. 函数性质与图像：理解二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值以及与x轴、y轴的交点等基本性质。 3. 相关知识：熟练掌握一次函数、反比例函数、点的坐标、方程求解等基础知识，并熟悉三角形、四边形、圆及平行线、垂直等几何图形的性质。 二、典型题型与解题技巧 1. 求解析式 例题：已知抛物线经过三点，求解析式。 方法：利用待定系数法，将已知点的坐标代入一般式或顶点式，解方程组求出a、b、c的值。 2. 面积问题 例题：已知抛物线上一点M，求△MBC面积的最大值。 方法：利用平行于y轴的直线MN分割三角形，将面积表示为MN与底边长度的函数关系，通过求导或配方法求最值。 3. 最值问题 例题：求抛物线上一动点到某直线的距离最大值。 方法：将距离表示为二次函数，利用配方法或求导法求最值，或通过几何方法（如相似三角形、点到直线的距离公式）求解。 4. 与圆相关的问题 例题：判断抛物线上是否存在一点，使得该点到原点的距离等于到某定点的距离。 方法：利用圆的定义和两点间距离公式建立方程，解方程求出符合条件的点坐标。 5. 构造特殊图形 例题：是否存在抛物线上一点，使得以该点为顶点的三角形为直角三角形或菱形。 方法：利用几何图形的性质（如勾股定理、菱形的对角线互相垂直平分）建立方程，求解符合条件的点坐标。 三、解题策略 1. 数形结合：充分利用二次函数的图像，直观理解问题，将代数问题转化为几何问题。 2. 转化思想：将复杂问题转化为简单问题，如将面积问题转化为线段长度问题，将最值问题转化为函数极值问题。 3. 动中找不动：对于动点动线问题，找到运动过程中的不变量，建立方程求解。 4. 分类讨论：对于存在性问题，根据条件进行分类讨论，确保不遗漏任何情况。 通过系统学习二次函数的基础知识，掌握典型题型的解题技巧，并灵活运用解题策略，学生可以有效突破二次函数压轴题，提高数学综合能力。 1．（2025·湖南长沙·一模）如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是抛物线上位于直线上方的动点，过点作的垂线，垂足为，交于点． ①求的最大值； ②连接，若与相似，求点坐标； ③若点运动到抛物线顶点位置，过点作的垂线，垂足为．过点的直线与抛物线交于两点，直线分别交轴于点．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②或；③是定值，16 【分析】（1）两点式设出函数解析式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）①求出直线的解析式，设出点坐标，将的长转化为二次函数求最值即可； ②易得为等腰直角三角形，根据相似得到也为等腰直角三角形，分两种情况进行讨论求解即可； ③求出的坐标，设过点的直线为：，联立直线和抛物线的解析式，求出的坐标，设过点的直线的解析式为，分别求出点的坐标，进而求出的值，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点，与轴交于点， ∴设抛物线的解析式为：，把，代入，得：， ∴， ∴； （2）设， ①∵，， ∴设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，得值最大为：； ②∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴当与相似时，也为等腰直角三角形： 当时，则：， ∴轴， 即：关于对称轴对称， ∵， ∴对称轴为直线， ∵， ∴； 当时，过点作，则：， 由①知：， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； 综上：或； ③是定值： ∵， ∴， ∴，， 由②可知：， 设过点的直线为：， 联立 ，解得： 或， 不妨设，， 设过点的直线解析式为：， 当时，， 把代入，得：， 解得：， ∴， 同理：当点在上时， ∴， 由题意可知：点分别在点的两旁， 不妨设点在点的左边，点在点的右边， 则：，， ∴； ∴是定值，为16． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，求二次函数的最值，相似三角形的判定和性质，求函数与坐标轴的交点问题等知识点，综合性强，计算量大，属于压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 2．（2025·重庆·模拟预测）如图，二次函数与轴交于，，与轴交于点，连接． (1)求二次函数的解析式； (2)如图，点为下方抛物线上一动点，过作交轴于点，过作交轴于点，求的最大值以及对应点的坐标； (3)在问（2）的条件下，将二次函数沿射线平移使得平移后的抛物线恰好经过点点为平移后抛物线对称轴上一动点，且满足，请直接写出所有符合题意点的坐标． 【答案】(1)； (2)9，； (3)，，，． 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）过点P作轴于点R，轴，交于点Q，过点B作轴，交于点H，根据相似三角形的判定与性质，分别证明，，然后证明，即得，设，进一步求得，最后根据二次函数的性质求解即可； （3）分两种情况讨论：平移后抛物线得对称轴右侧部分经过点F和左侧部分经过点F．通过构造全等三角形的方法及用勾股定理列方程得方法，可分别求得答案． 【详解】（1）解：把，代入，得， 解得， 二次函数的解析式； （2）解：过点P作轴于点R，轴，交于点Q，过点B作轴，交于点H， 令，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 轴， 轴， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 设，则， ， ， ，， 当时，的最大值为9， ， 此时点的坐标为； （3）解：分两种情况讨论： ①如图，当平移后抛物线对称轴右侧部分经过点F时，平移的距离为线段的长， 相当于抛物线先向右平移4个单位，再向上平移2个单位， 抛物线的对称轴为直线， 所以平移后抛物线的对称轴为直线， 设与平移后的对称轴交于点M，过点P作轴，与平移后的抛物线交于点S，过点M作交于点N，过点N作轴，与平移后的抛物线交于点T， ，， ， ， ，， ， ， ，， ，， 设直线的解析式为， 连结，由（2）知，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 把，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ， ， 由可得， ， 解得， ； 设， ， ， ， ， 解得， ； ②如图，当平移后抛物线对称轴左侧部分经过点F时，延长交抛物线于点D，则平移的距离为线段的长， 联立方程组， 解得，， ， 相当于抛物线先向右平移6个单位，再向上平移3个单位， 所以平移后抛物线的对称轴为直线， 根据①，同理可求得，； 综上所述，符合题意点的坐标是，，，． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何的综合，用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确画出图形平移后的图形及添加辅助线是解题的关键． 3．（2025·四川·模拟预测）抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，P是第四象限内抛物线上的一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，过点P作轴于点D，交直线于点E．设点D的横坐标为m，当时，求m的值； (3)如图②，点，连接并延长交直线于点M，N是x轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，x轴上是否存在一点H，使得以F，M，N，H为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）利用待定系数法计算即可； （2）根据题意，点D的横坐标为m，结合抛物线解析式得， 确定直线的解析式为：，从而确定， ，，结合轴， 得到相似三角形，运用等式性质，构造方程解答即可． （3）设，，点，，分为对角线，为对角线， 为对角线，结合中点坐标公式解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C， ∴, 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C， ∴，对称轴为直线，且， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， ∴， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去）， 故m的值为． （3）解：存在点，使得以F，M，N，H为顶点的四边形是平行四边形． 理由如下： 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 由， ∴， 设，，点，， 当为对角线时， 由中点坐标公式得： 解得：或， ∵N是x轴上方抛物线上的一点， ∴或， ∴或都符合题意， ∴或； ∴或； 当为对角线时，，，点，， 由中点坐标公式得： 解得：或， ∵N是x轴上方抛物线上的一点， ∴或， ∴或都符合题意， ∴或； ∴或； 当为对角线时，，，点，， 由中点坐标公式得： 解得：或， ∵N是x轴上方抛物线上的一点， ∴或， ∵，， ∴或都不符合题意，舍去； ∴或； 综上所述，存在点H，使得F，H，M，N为顶点的四边形是平行四边形且点的坐标为或或或． 【点睛】此题属于二次函数的综合问题，考查了待定系数法求函数解析式、求函数图象的交点坐标，中点坐标公式，平行四边形的判定和性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质并能利用分类讨论思想求解点N的坐标是解答此题的关键． 4．（2025·内蒙古包头·一模）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点E在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段为邻边作矩形，当矩形的周长为时，求线段的长； (3)点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点坐标或或或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求得直线的解析式为，设，则，利用对称性质求得，推出，，利用矩形周长公式列一元二次方程计算即可求解； （3）先求得直线的解析式为，分别过点作轴的垂线，垂足分别为，证明，推出，设，则，由点在直线上，列式计算，可求得的值，利用平移的性质即可求解．当沿着点逆时针旋转得到，设，则点，然后表示出的坐标，再代入一次函数即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和， ∴ 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点和， 设直线的解析式为，则， 解得， 直线的解析式为， 设，且，则， ， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 依题意得， 解得（舍去）或， ∴； （3）解：令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为，将，代入， 解得,， ∴直线的解析式为， ∵四边形是正方形， ∴，分别过点作轴的垂线，垂足分别为，如图， ∴ ∴， ∴ 设， 当点在轴左侧，轴下方时， 则， ， ∴， ∵点在直线上， ∴． 解得或（舍去）， 当时，，， 点向左平移个单位，再向下平移个单位，得到点， 则点向左平移个单位，再向下平移个单位，得到点， 当点在轴左侧，轴上方时，如图，分别过点作轴的垂线，垂足分别为， 则， ， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得：（舍去），， ∴，， 同理可得：； 当点在轴右侧，轴下方时，作轴，轴，如图： 设，则点，则点， ∴， 解得， ∴（舍去）， ∴点的坐标为； 当点在轴右侧，轴上方时，作轴，轴，如图： 则，， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得：（舍去）， ∴， ∴点N的坐标为； 综上，点坐标或或或 ． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与几何图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形的关系，数形结合，分类讨论思想等知识的综合运用是解题的关键． 5．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，抛物线经过，，三点，连接． (1)求抛物线的解析式： (2)作直线，l交抛物线于E、F两点（点E在点F的左侧），已知， ①求直线l的解析式； ②点P是抛物线上的动点，作，垂足为点K，是否存在点P，使得以P、E、K为顶点的三角形与相似？若存在，请写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②点的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①作于点，作于点，证明，求得，即，设直线的解析式为，联立得，利用根与系数的关系，列方程求解即可； ②分三种情况讨论，画出图形，同①法求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，， ∴设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①，，， ∴，，， ∴， 作于点，作于点，如图， ∵直线，即， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵直线， ∴设直线的解析式为， 联立得， 整理得， ∴，， ∴， 即， 解得， ∴直线的解析式为； ②∵，，，， ∴，， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， 作轴交抛物线于点， ∵， ∴， ∴， ∴点符合题意， ∵，即， 整理得， 解得或， 当时，， ∴， ∴点的纵坐标为， 解方程， 得或， ∴点的坐标为； 作点关于直线的对称点，连接交延长交抛物线于点， 此时， ∴， ∴点符合题意， ∵，直线，又， ∴， 同理，直线的解析式为， 同理，直线的解析式为， 联立得， 解得，， 即点的坐标为， ∵点与点关于直线对称， ∴点的坐标为， 同理，直线的解析式为， 联立， 解得或， 当时，， ∴点的坐标为； 过点作交轴于点，交抛物线于点， ∴， ∴， ∴点符合题意， 作轴于点， 设直线交轴于点， 令，， 解得， ∴点的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 同理，直线的解析式为， 联立得， 解得或， 当时，， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了是二次函数的综合问题，相似三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 6．（2025·广东·模拟预测）如图在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，求的最大值及此时P的坐标； (3)在（2）的条件下，过点P作，垂足为M．求的最大值． 【答案】(1) (2)的最大值是2，此时的P点坐标是 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． （1）运用待定系数法解答即可； （2）求出直线l的解析式，设点P的坐标为，则，得，运用二次函数的性质可得结论； （3）证明，即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， ． 把A，B两点坐标代入解析式，得 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线l的解析式为， 把A，B两点的坐标代入解析式，得， 解得：， 直线l的解析式为； 轴， 设点P的坐标为，则， ． ∴当时，有最大值是2， 当时，， ， 的最大值是2，此时的P点坐标是． （3）解：，， ． ∵在中，， ． 轴，， ． 在中，，． ， ． 在中，，， ， ．此时最大， ， 的最大值是． 7．（24-25九年级上·海南三亚·期末）如图1，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线所对应的函数关系式； (2)已知点是抛物线的顶点，点是线段上的一个动点（与点、不重合），过点E作轴于点，交抛物线于点． ①求四边形的面积； ②求的边上的高的最大值； ③如图2，在②的条件下，在x轴上是否存在点G，使得的值最小？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①12；②．③ 【分析】（1）根据抛物线与x轴交于，两点，设函数解析式为，再将点代入求解即可． （2）①先求出抛物线的顶点坐标为，再根据四边形的面积计算即可； ②求出直线的解析式为：，求出，设的边上的高为，设点E为，则，在中，，即可求出答案； ③以点A为顶点作，过点G作于点M，得到三点共线时，有最小值，即为的长，此时点G在点的位置，利用解直角三角形求出答案即可． 【详解】（1）∵抛物线与x轴交于，两点， ∴设该抛物线的解析式为：． ∵过点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为：． （2）∵， ∴抛物线的顶点坐标为 ∴四边形的面积； 即四边形的面积 ②设直线的解析式为：， 把点，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为：． ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的边上的高为，如图， 设点E为，则， 则， 在中，， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； ③以点A为顶点作，过点G作于点M， ∴， ∴，即三点共线时，有最小值，即为的长，此时点G在点的位置， 如图： 由可知，当时，， ∴有最大值时，点E的坐标为， 则， 在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定和性质，二次函数求最值，解直角三角形，矩形的判定和性质等知识，解题关键是在求等腰直角三角形的存在性时，注意分类讨论的思想的运用，要把所有符合条件的点求全． $$