专题09 乘法公式和整式除法的九种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（北京版2024）

专题09 乘法公式和整式除法的九种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用乘法公式进行简便运算 2 类型二、利用乘法公式进行化简求值 5 类型三、通过对完全平方公式变形求值 6 类型四、求完全平方式中的字母系数 9 类型五、零指数幂、负整数指数幂的运算 10 类型六、利用完全平方式求代数式的最值问题 12 类型七、平方差公式在几何图形中的应用 14 类型八、完全平方公式在几何图形中的应用 18 类型九、与乘法公式有关的新定义型问题 23 压轴能力测评（18题） 25 解题知识必备 知识点01 平方差公式 平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)=a²-b² 　 公式的几种变化： ①位置变化：（b+a)（-b+a）=(a+b)(a-b)=a²-b²； （-a-b）(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)²-a²=b²-a² ②系数变化：（2a+3b）(2a-3b)=(2a)²-(3b)²=4a²-9b² ③指数变化：（a²+b²）(a²-b²)=（a²）²-（b²）²= ④增项变化：（a-b-c）(a-b+c)=(a-b)²-c² ⑤连用公式变化：（a+b）(a-b)(a²+b²)=（a²-b²）(a²+b²)=（a²）²-（b²）²= ⑥公式逆运算：a²-b² =(a+b)(a-b) 知识点02 完全平方公式 完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍. 即完全平方和 (a+b)²=a²+2ab+b² ；完全平方差 (a-b)²=a²-2ab+b² （1）公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍 （2）公式的变化：①a²+b²=(a+b)²-2ab；②a²+b²=(a-b)²+2ab； ③(a+b)²=(a-b)²+4ab； ④ (a-b)²=(a+b)²-4ab；⑤(a+b)²-(a-b)²=4ab。 知识点03 平方差和完全平方差区别 　平方差公式:(a+b)(a-b)=a²-b² 完全平方差公式： (a-b)²=a²-2ab+b² 平方差公式和完全平方差公式易混淆，切记完全平方差中间有乘积的2倍 知识点04 同底数幂的除法 (其中都是正整数).即同底数幂相除，底数不变，指数相减. 逆用公式：即（都是正整数）. 知识点05 零指数幂、负指数幂 零指数幂：（a≠0） 负指数幂：（a≠0，p是正整数） 压轴题型讲练 类型一、利用乘法公式进行简便运算 例题：（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）简便运算 (1)； (2)． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 2．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）用简便算法计算． (1)； (2)． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）简便运算： (1)； (2)． 类型二、利用乘法公式进行化简求值 例题：（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）先化简，再求值：，，． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）化简求值：，其中，． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）先化简，再求值：，其中，． 3．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 类型三、通过对完全平方公式变形求值 例题：（24-25七年级上·吉林·单元测试）当，时，求下列代数式的值： (1)； (2). 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）已知，，求： (1)的值； (2)的值． 2．（24-25七年级上·上海·期中）已知，，求下列各式的值： (1)； (2) 3．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知，，分别求下列式子的值： (1)； (2)； (3)． 类型四、求完全平方式中的字母系数 例题：已知关于x的式子是某个多项式的完全平方，那么A是 ． 【变式训练】 1．若是一个完全平方式，则 ． 2．若整式是完全平方式，请写出所有满足条件的是 ． 类型五、零指数幂、负整数指数幂的运算 例题：（24-25九年级上·湖北十堰·阶段练习）计算：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如果成立，则 ． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如无意义，则 ． 3．（24-25七年级上·上海·期中）若，则大小关系是 ．（按从小到大顺序排列） 4．计算：． 类型六、利用完全平方式求代数式的最值问题 例题：（23-24八年级上·四川眉山·期末）把完全平方公式 适当地变形，可解决很多数学问题例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴，， ∴，， 得． 根据上面的解题思路与方法，解答下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，，求的值． (3)求代数式的最小值，并求出此时的的值． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． ，． 当时，的值最小，最小值是1，的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)直接写出：的最小值为___________； (2)求出代数式的最小值； (3)若，求的最小值． 类型七、平方差公式在几何图形中的应用 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）【探究】（1）如图①，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含的等式表示）； 【应用】（2）请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为 ； ②计算：． 【拓展】（3）计算：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有_____(填序号)； (2)【应用】利用“平方差公式”计算：； (3)【拓展】计算：． 2．（24-25八年级上·全国·期末）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）． A．            B． C． (2)若，，求的值． (3)计算：． 类型八、完全平方公式在几何图形中的应用 例题：（24-25八年级上·四川宜宾·期末）图1是一个长为，宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用这四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你写出，，之间的等量关系： ． (2)若，，求的值为： ． (3)若，求的值为： ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法．我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）． (1)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是_____； 拓展应用：根据（1）中的等量关系及课本所学的完全平方公式知识，解决如下问题： (2)若，且，求的值； (3)若，求的值； (4)如图3，在中，，点在边上，，在边上取一点，使，分别以为边在外部作正方形和正方形，连接，若的面积等于，设，求正方形和正方形的面积和． 2．（24-25八年级上·湖北孝感·阶段练习） 将完全平方公式 进行适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如： 若，，求 的值． 解：，， 请根据上面的解题思路和方法，解决下列问题： (1)若，，求的值． (2)将边长为的正方形和边长为的正方形按如图所示方式放置，其中点在边上， 连接，，若，， 求阴影部分面积． 3．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）拓广探索： 若x满足，求的值． 解：设， 则， ∴． 请仿照上面的方法求解问题： (1)若x满足，求的值． (2)已知正方形的边长为分别是、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积． 类型九、与乘法公式有关的新定义型问题 例题：（23-24七年级下·浙江·期末）对于实数a，b，定义新运算“*”，规定如下：． 例如：． (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)若，，求的值． 1．（24-25八年级上·全国·期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称．请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于 对称． (2)若关于的多项式关于对称，求的值． (3)整式关于 对称． 压轴能力测评（18题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·广西河池·期末）下列多项式的乘法中，不能运用平方差公式进行计算的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·广东佛山·期中）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河南商丘·期末）人体内一种线粒体的直径约为0.56微米，相当于米．将数据“”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·四川南充·期末）已知，，则的值为（    ） A． B．4 C． D．2 5．（2025七年级下·全国·专题练习）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．例如：，所以4，12，20都是“神秘数”．下面各个数中，是“神秘数”的是（    ） A．60 B．62 C．66 D．88 二、填空题 6．（24-25八年级上·江西上饶·期末）若有意义，则x的取值范围为 ． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则 ． 8．（24-25八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如果，， ， ，那么a，b，c，d四数的大小为 9．（24-25八年级上·四川乐山·阶段练习）解方程：，则 ， ． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）定义新运算“”，对于任意实数都有．例如：．若，则 ． 三、解答题 11．（24-25八年级下·全国·期中）计算： ． 12．（22-23七年级下·甘肃兰州·期中）化简求值：，其中， 13．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）先化简，再求值：，其中，． 14．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）计算 (1) ； (2)； (3)(运用乘法公式计算)； (4)． 15．（24-25七年级下·辽宁沈阳·开学考试）如图，某社区有两块相连的长方形空地，一块长为米，宽为米；另一块长为米，宽为米．现将两块空地进行改造，计划在中间边长为米的正方形（阴影部分）中种花，其余部分种植草坪． (1)求计划种植草坪的面积； (2)已知，求计划种植草坪的面积？ 16．（24-25九年级下·安徽合肥·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： (1)根据上述等式中的规律，写出第10个等式； (2)写出第个等式，并说明它的正确性． 17．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个边长为b的小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示、． (2)若，，求的值． (3)当时，求出图3中阴影部分的面积S3． 18．（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）我们在应用整式的乘法公式解题时，经常将乘法公式进行变形，如：，． (1)根据以上变形填空： 已知，，则______； (2)若，，求的值； (3)如图，正方形、的边长分别为、，若，，求图中阴影部分的面积之和． 19．（22-23七年级下·甘肃兰州·期中）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个） A、   B、  C、 (2)若，，求的值； (3)计算： 20．（23-24八年级下·河南周口·期末）阅读以下材料： 我们给出如下定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的值时，该多项式的值相等，则称该多项式关于对称，是它的对称轴，例如．观察可以发现，当取任意一对互为相反数的值时，多项式的值是相等的，则称关于对称，是它的对称轴． 请根据上述材料解决下列问题： (1)将多项式变形为的形式，并求出它的对称轴； (2)若关于的多项式关于对称，求的值 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 乘法公式和整式除法的九种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用乘法公式进行简便运算 2 类型二、利用乘法公式进行化简求值 5 类型三、通过对完全平方公式变形求值 6 类型四、求完全平方式中的字母系数 9 类型五、零指数幂、负整数指数幂的运算 10 类型六、利用完全平方式求代数式的最值问题 12 类型七、平方差公式在几何图形中的应用 14 类型八、完全平方公式在几何图形中的应用 18 类型九、与乘法公式有关的新定义型问题 23 压轴能力测评（18题） 25 解题知识必备 知识点01 平方差公式 平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)=a²-b² 　 公式的几种变化： ①位置变化：（b+a)（-b+a）=(a+b)(a-b)=a²-b²； （-a-b）(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)²-a²=b²-a² ②系数变化：（2a+3b）(2a-3b)=(2a)²-(3b)²=4a²-9b² ③指数变化：（a²+b²）(a²-b²)=（a²）²-（b²）²= ④增项变化：（a-b-c）(a-b+c)=(a-b)²-c² ⑤连用公式变化：（a+b）(a-b)(a²+b²)=（a²-b²）(a²+b²)=（a²）²-（b²）²= ⑥公式逆运算：a²-b² =(a+b)(a-b) 知识点02 完全平方公式 完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍. 即完全平方和 (a+b)²=a²+2ab+b² ；完全平方差 (a-b)²=a²-2ab+b² （1）公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍 （2）公式的变化：①a²+b²=(a+b)²-2ab；②a²+b²=(a-b)²+2ab； ③(a+b)²=(a-b)²+4ab； ④ (a-b)²=(a+b)²-4ab；⑤(a+b)²-(a-b)²=4ab。 知识点03 平方差和完全平方差区别 　平方差公式:(a+b)(a-b)=a²-b² 完全平方差公式： (a-b)²=a²-2ab+b² 平方差公式和完全平方差公式易混淆，切记完全平方差中间有乘积的2倍 知识点04 同底数幂的除法 (其中都是正整数).即同底数幂相除，底数不变，指数相减. 逆用公式：即（都是正整数）. 知识点05 零指数幂、负指数幂 零指数幂：（a≠0） 负指数幂：（a≠0，p是正整数） 压轴题型讲练 类型一、利用乘法公式进行简便运算 例题：（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）简便运算 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】（）利用平方差公式进行运算即可； （）根据完全平方公式的逆用即可求解； 本题考查了平方差公式和完全平方公式，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)90000 (2)10000 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用，熟记公式的形式是解题关键． （1）将原式写成，利用完全平方公式即可求解； （2）将原式写成，利用平方差公式即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）用简便算法计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了平方差公式，完全平方公式，含乘方的有理数混合运算等知识点，能灵活运用平方差公式和完全平方公式进行计算是解题的关键． （1）先变形，再根据平方差公式进行计算即可； （2）先变形，再根据完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式： （1）直接利用完全平方公式求解即可； （2）先把原式变形为，再利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型二、利用乘法公式进行化简求值 例题：（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）先化简，再求值：，，． 【答案】，32 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查整式的化简求值，掌握整式的混合运算，乘法公式，代入求值是解题的关键． 运用乘法公式展开，再根据整式的混合运算计算，最后代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）化简求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】此题考查了平方差公式和完全平方公式以及代数求值，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算平方差公式和完全平方公式，然后合并同类项，然后代入求解即可． 【详解】解： 当，时， 原式． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】多项式乘多项式——化简求值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式 ． 3．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式，完全平方公式，单项式乘以多项式，合并同类项等知识．先根据平方差公式，完全平方公式，单项式与多项式的乘法法则计算，再合并同类项，然后把x，y的值代入计算． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 类型三、通过对完全平方公式变形求值 例题：（24-25七年级上·吉林·单元测试）当，时，求下列代数式的值： (1)； (2). 【答案】(1)； (2)． 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了求代数式的值．求代数式的值时要先把代数式化简，然后把字母的值代入化简后的代数式求值． 首先利用平方差公式化简代数式可得原式，然后再把、的值代入化简后的代数式计算即可； 首先利用完全平方公式化简代数式可得原式，然后再把、的值代入化简后的代数式计算即可． 【详解】（1）解： ， 当，时， 原式 ； （2）解：， 当，时， 原式． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）已知，，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)26 (2)36 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】（1）把变形为，再把，代入计算； （2）把变形为，再把，代入计算． 本题考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，， ． 2．（24-25七年级上·上海·期中）已知，，求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1)13 (2)97 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式变形求值，即可求解． （2）根据完全平方公式即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解： ，， ，， ； 3．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知，，分别求下列式子的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)12 (2)21 (3)126 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． （1）根据完全平方公式得出，，根据得出结果即可； （2）根据，，求出，得出，最后代入求值即可； （3）根据，，变形求出的值即可． 【详解】（1）解：，， ，， ， ∴， ； （2）解：∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：． 类型四、求完全平方式中的字母系数 例题：已知关于x的式子是某个多项式的完全平方，那么A是 ． 【答案】、和 【详解】解：①∵， ∴， ②若是多项式的平方， 则； 故答案为：、和． 【变式训练】 1．若是一个完全平方式，则 ． 【答案】11或/或 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴，解得或， 故答案为：11或． 2．若整式是完全平方式，请写出所有满足条件的是 ． 【答案】或或 【详解】解：当为和的中间项时； 当为和的中间项时； 当为和的中间项时； 故答案为：或或． 类型五、零指数幂、负整数指数幂的运算 例题：（24-25九年级上·湖北十堰·阶段练习）计算：． 【答案】9 【知识点】实数的混合运算、求一个数的绝对值、零指数幂、负整数指数幂 【分析】此题考查了绝对值，有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算绝对值，有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，然后计算加减． 【详解】解： ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如果成立，则 ． 【答案】 【知识点】零指数幂 【分析】本题主要考查了零指数幂成立的条件，解题的关键是熟练掌握．根据零指数幂成立的条件，得出，求出结果即可． 【详解】解：如果成立，那么， 解得：． 故答案为：． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如无意义，则 ． 【答案】4 【知识点】负整数指数幂 【分析】本题考查了负整数指数幂，由已知无意义，可知，然后代入求值． 【详解】解：∵无意义， ∴， ∴， ∴． 故答案为4． 3．（24-25七年级上·上海·期中）若，则大小关系是 ．（按从小到大顺序排列） 【答案】 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了负指数幂和零指数幂．解决本题的关键是根据负指数幂的法则可得、、根据指数幂运算法则可得，然后根据计算的结果比较它们之间的大小关系为． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为： ． 4．计算：． 【答案】 【分析】此题考查了绝对值，有理数的乘方，零指数幂以及负整数指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则．首先计算绝对值，有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，然后计算加减． 【详解】解： 类型六、利用完全平方式求代数式的最值问题 例题：（23-24八年级上·四川眉山·期末）把完全平方公式 适当地变形，可解决很多数学问题例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴，， ∴，， 得． 根据上面的解题思路与方法，解答下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，，求的值． (3)求代数式的最小值，并求出此时的的值． 【答案】(1)8 (2) (3)最小值为，， 【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查完全平方公式的变形求解，掌握完全平方公式是解决问题的关键． （1）先求得，即，再把代入计算，即可求解； （2）根据，再把，整体代入计算即可求解； （3）先把变形为，再根据，，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 即， 又， ， ； （2）解：，， ， （3）解： ∵，， ∴当，时，有最小值，最小值为， 此时，， 解得：，． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． ，． 当时，的值最小，最小值是1，的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)直接写出：的最小值为___________； (2)求出代数式的最小值； (3)若，求的最小值． 【答案】(1) (2)8 (3) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】（1）根据题意可直接得出答案； （2）依题意，将所求代数式变形，得出，从而可得出答案； （3）首先将y用含x的代数式表示出来，再按照题中的方法求最小值即可． 本题主要考查完全平方公式的应用，理解题中的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，当时，则，， 即当时，有最小值，是， 故答案为：； （2）解： 则当时，则，， 则代数式的最小值是8； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴的最小值是． 类型七、平方差公式在几何图形中的应用 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）【探究】（1）如图①，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含的等式表示）； 【应用】（2）请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为 ； ②计算：． 【拓展】（3）计算：． 【答案】（1）；（2）①4；②；（3） 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】本题考查平方差公式的应用． （1）将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可； （2）①利用平方差公式得出，代入求值即可； ②可将写成，再利用平方差公式求值； （3）利用平方差公式将写成，以此类推，然后化简求值． 【详解】解：（1）图1中阴影部分面积，图2中阴影部分面积， 所以，得到乘法公式， 故答案为：； （2）①由得，， ∵，， ∴； 故答案为：4； ② ； （3） ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有_____(填序号)； (2)【应用】利用“平方差公式”计算：； (3)【拓展】计算：． 【答案】(1)①②③ (2) (3) 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】本题考查平方差公式的几何背景， （1）用不同的方法分别用代数式表示各个图形中左图、右图阴影部分面积即可得出等式，再进行判断即可； （2）利用平方差公式进行计算即可； （3）将原式化为，再连续利用平方差公式进行计算即可； 解题的关键是掌握平方差公式的结构特征：①左边是两个二项式相乘，且两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数；②右边是两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）；③公式中的和可以是单项式，也可以是多项式． 【详解】（1）解：图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图①可以验证平方差公式； 图②中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故图②可以验证平方差公式； 图③中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图③可以验证平方差公式； 图④中，左图阴影部分的可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故图④不能验证平方差公式； 综上所述，能验证平方差公式的有①②③， 故答案为：①②③； （2） ； （3） ． 2．（24-25八年级上·全国·期末）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）． A．            B． C． (2)若，，求的值． (3)计算：． 【答案】(1)B (2)3 (3) 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）结合图1和图2阴影部分面积相等建立等式即可． （2）利用平方差公式计算即可． （3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值． 【详解】（1）边长为a的正方形面积是，边长为b的正方形面积是，图①阴影部分面积为；图②长方形面积为； 验证的等式是， 故答案为：B． （2），且， ， 解得：； （3） ． 类型八、完全平方公式在几何图形中的应用 例题：（24-25八年级上·四川宜宾·期末）图1是一个长为，宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用这四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你写出，，之间的等量关系： ． (2)若，，求的值为： ． (3)若，求的值为： ． 【答案】(1) (2)41 (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了完全平方公式在结合图形中的应用，根据完全平方公式变形求值，解题的关键是熟练完全平方公式． （1）表示图2的面积，从整体或局部来表示，即可得出等式； （2）直接利用（1）的结论代入即可； （3）根据，求出，即可求解． 【详解】（1）解：观察图2，可得四块小长方形的面积为或， ∴； 故答案为：． （2）解：根据（1）可得， 因为，， 所以． （3）解：∵， ∴ ， ∴． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法．我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）． (1)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是_____； 拓展应用：根据（1）中的等量关系及课本所学的完全平方公式知识，解决如下问题： (2)若，且，求的值； (3)若，求的值； (4)如图3，在中，，点在边上，，在边上取一点，使，分别以为边在外部作正方形和正方形，连接，若的面积等于，设，求正方形和正方形的面积和． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是熟练掌握完全平方公式及其变形： （1）根据大正方形的面积等于4个长方形的面积加上阴影正方形的面积即可得出结论； （2）利用（1）中的结论进行求解即可； （3）利用完全平方公式变形计算即可； （4）设，则，利用面积公式和完全平凡公式变形计算即可． 【详解】（1）解：由图可知：大正方形的面积等于4个长方形的面积加上阴影正方形的面积 ∴； （2）由（1）可得， ， ， ， ； （3） ， ， ， ； （4）设，则， ， ， ， ， 令， ， 正方形和正方形的面积和： ． 2．（24-25八年级上·湖北孝感·阶段练习） 将完全平方公式 进行适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如： 若，，求 的值． 解：，， 请根据上面的解题思路和方法，解决下列问题： (1)若，，求的值． (2)将边长为的正方形和边长为的正方形按如图所示方式放置，其中点在边上， 连接，，若，， 求阴影部分面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了整式的运算，掌握完全平方公式和整式的运算法则是解题的关键． （1）根据求解即可； （2）运用割补法阴影部分的面积为：，根据面积公式结合题意化简整理得，将已知代入计算即可． 【详解】（1）解：，， ； （2） 3．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）拓广探索： 若x满足，求的值． 解：设， 则， ∴． 请仿照上面的方法求解问题： (1)若x满足，求的值． (2)已知正方形的边长为分别是、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式的应用，解题的关键是理解题意，掌握完全平方公式与平方差公式之间的转换． （1）设，，根据题意进行计算即可得； （2）根据题意可得，，，设，，长方形的面积，，即可得出，则即可得出答案． 【详解】（1）解：设，， 则，， ∴； （2）∵正方形的边长为，， ∴，， 设，， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 类型九、与乘法公式有关的新定义型问题 例题：（23-24七年级下·浙江·期末）对于实数a，b，定义新运算“*”，规定如下：． 例如：． (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)若，，求的值． 【答案】(1)20 (2)6 (3)3或 【知识点】运用平方差公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】此题主要考查了整式的混合运算，读懂题意，理解新定义运算的运算规定，掌握完全平方公式、平方差公式及变形是解决本题的关键． （1）先按给出的新定义运算，再整体代入求值； （2）先按给出的新定义运算，再整体代入求值； （3）先按给出的新定义运算，再根据已知，利用完全平方公式及变形求出的值，最后代入计算． 【详解】（1）解： ． 当时， 原式； （2） ． ， 即． 原式 ； （3） ． ，， ，即． ． ． ． 或． 当，时， 原式； 当，时， 原式． 1．（24-25八年级上·全国·期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称．请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于 对称． (2)若关于的多项式关于对称，求的值． (3)整式关于 对称． 【答案】(1)2 (2) (3) 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． （1）对多项式进行配方，根据新定义判断即可； （2）对多项式进行配方，根据新定义判断即可； （3）对多项式进行配方，根据新定义判定即可． 【详解】（1）解：， ∴该多项式关于对称， 故答案为：； （2）解：∵， ∵关于x的多项式关于对称， ∴， ∴； （3）解： ， ∴该多项式关于对称， 故答案为：． 压轴能力测评（18题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·广西河池·期末）下列多项式的乘法中，不能运用平方差公式进行计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式，理解并掌握平方差公式的结构特征是解题关键．平方差公式：，据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A.可以用平方差公式进行计算，本选项不符合题意； B. 可以用平方差公式进行计算，本选项不符合题意； C. ，故不可以用平方差公式进行计算，本选项符合题意； D. 可以用平方差公式进行计算，本选项不符合题意． 故选：C． 2．（23-24七年级下·广东佛山·期中）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】幂的乘方运算、计算单项式除以单项式、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了乘法公式，幂的、积的乘方，单项式除以单项式计算，正确计算是解题的关键． 分别利用完全平方公式，平方差公式，幂的、积的乘方，单项式除以单项式运算法则判断各选项即可． 【详解】解：A、，原写法错误，故A不符合题意； B、，原写法错误，故B不符合题意； C、，正确，故C符合题意； D、，原写法错误，故D不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级上·河南商丘·期末）人体内一种线粒体的直径约为0.56微米，相当于米．将数据“”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：． 故选C． 4．（24-25八年级上·四川南充·期末）已知，，则的值为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】D 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了完全平方公式．先把的左右两边同时平方，然后利用完全平方公式展开，即可求出即可． 【详解】解：，， ， ∴， ∴， ∴， ． 故选：D． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．例如：，所以4，12，20都是“神秘数”．下面各个数中，是“神秘数”的是（    ） A．60 B．62 C．66 D．88 【答案】A 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是正确解答此题的关键． 利用“神秘数”的定义判断即可． 【详解】解：， 60是“神秘数”， 62、66、88不能表示为两个连续偶数的平方差， 故选：A． 二、填空题 6．（24-25八年级上·江西上饶·期末）若有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】零指数幂、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查零指数幂．熟练掌握零指数幂的底数不为0，是解题的关键．根据零指数幂的底数不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则 ． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式的应用，利用平方差公式将变形为，即可得解，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如果，， ， ，那么a，b，c，d四数的大小为 【答案】/ 【知识点】有理数大小比较、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了负整数指数幂、零指数幂、有理数大小比较的知识；解题的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂的性质，从而完成求解．首先根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则，分别计算出a、b、c、d的值，然后再比较大小，即可得到答案． 【详解】解：，， ， ， ∵， ∴． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·四川乐山·阶段练习）解方程：，则 ， ． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式，由完全平方公式可得，结合非负数的性质可得，，从而得解，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴，， 故答案为：，． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）定义新运算“”，对于任意实数都有．例如：．若，则 ． 【答案】5 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式和代数式求值，解题的关键是根据新定义运算法则得到关于x的等式．根据新运算的定义列出等式，然后再形求解即可． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， ． 故答案为：5． 三、解答题 11．（24-25八年级下·全国·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据零指数幂，负整数指数幂，乘方化简，再计算，即可求解． 【详解】解：原式． 12．（22-23七年级下·甘肃兰州·期中）化简求值：，其中， 【答案】；． 【知识点】整式的加减中的化简求值、整式四则混合运算 【分析】本题考查了整式的四则混合运算和求值的应用，能正确根据整式的混合运算法则进行化简是解此题的关键． 根据整式的混合运算法则，先算括号内的乘方、乘法再合并同类项，然后算除法，最后代入求值即可． 【详解】解：原式， ， ， 当，时， 原式． 13．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的混合运算 【分析】本题主要考查了整式混合运算，先根据平方差公式和完全平方公式以及整式除法运算法则进行化简，然后再代入数据计算即可． 【详解】解： ， 把，代入得： 原式． 14．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）计算 (1) ； (2)； (3)(运用乘法公式计算)； (4)． 【答案】(1)4 (2) (3)4 (4) 【知识点】整式四则混合运算、运用平方差公式进行运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了负整数指数幂、零指数幂、整式的混合运算、平方差公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）先利用乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算法则化简，再加减即可； （2）利用积的乘方和幂的乘方化简，再计算整式的乘除，最后合并同类项即可； （3）先利用平方差公式化简，再计算即可； （4）利用平方差公式和多项式的乘法化简，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 15．（24-25七年级下·辽宁沈阳·开学考试）如图，某社区有两块相连的长方形空地，一块长为米，宽为米；另一块长为米，宽为米．现将两块空地进行改造，计划在中间边长为米的正方形（阴影部分）中种花，其余部分种植草坪． (1)求计划种植草坪的面积； (2)已知，求计划种植草坪的面积？ 【答案】(1)平方米； (2)平方米； 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，整式的混合运算的应用，代数式求值，弄清楚题意是解题关键． （1）根据计划种植草坪的面积等于2个矩形的面积减去阴影部分的面积，利用多项式乘多项式法则，平方差公式和完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果即可； （2）将a与b的值代入（1）中求得的式子中计算即可求解． 【详解】（1）解： ， 即计划种植草坪的面积为平方米； （2）解：当时， ， 计划种植草坪的面积为平方米； 16．（24-25九年级下·安徽合肥·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： (1)根据上述等式中的规律，写出第10个等式； (2)写出第个等式，并说明它的正确性． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查数字的变化类规律． （1）根据所给的等式的形式进行解答即可； （2）先写出等式，再展开，合并同类项，即可得证． 【详解】（1）解：； （2）解：； 证明：右边， 左边， ∴左边=右边， ∴正确． 17．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个边长为b的小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示、． (2)若，，求的值． (3)当时，求出图3中阴影部分的面积S3． 【答案】(1)， (2)34 (3)20 【知识点】整式加减的应用、完全平方公式在几何图形中的应用、单项式乘多项式的应用 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，解决问题的关键是根据图形之间的面积关系进行推导计算． （1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含、的代数式分别表示、； （2）根据，将，代入进行计算即可； （3）根据，，即可得到阴影部分的面积． 【详解】（1）解：由图可得，， ； （2）解：， ，， ； （3）解：由图可得，， ， ． 18．（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）我们在应用整式的乘法公式解题时，经常将乘法公式进行变形，如：，． (1)根据以上变形填空： 已知，，则______； (2)若，，求的值； (3)如图，正方形、的边长分别为、，若，，求图中阴影部分的面积之和． 【答案】(1)3 (2) (3) 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了完全平方公式和数形结合思想，灵活变形完全平方公式成为解答本题的关键． （1）根据即可求解； （2）根据求出，即可求解； （3）根据题意可得：，， ，得到，根据，求出，进而得到，可求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ， ， 故答案为： 3 ； （2）解：，， ， ； （3）解：正方形、的边长分别为、， ，， ， ， ，， ， ， （负值已舍去）， ． 19．（22-23七年级下·甘肃兰州·期中）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个） A、   B、  C、 (2)若，，求的值； (3)计算： 【答案】(1)A； (2)的值为； (3)． 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，熟知平方差公式是解题的关键． （1）分别表示出图1和图2中阴影部分的面积，再根据图1和图2中的阴影部分面积相等，即可得到答案； （2）先利用平方差公式得到，则，再利用整体代入法求解即可； （3）利用（1）中的公式进行计算即可． 【详解】（1）图1中阴影部分的面积为， 图2中阴影部分的面积为， ∵图1和图2中的阴影部分面积相等， ∴上述操作能验证的等式是， 故选：A； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：原式， ， ， ． 20．（23-24八年级下·河南周口·期末）阅读以下材料： 我们给出如下定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的值时，该多项式的值相等，则称该多项式关于对称，是它的对称轴，例如．观察可以发现，当取任意一对互为相反数的值时，多项式的值是相等的，则称关于对称，是它的对称轴． 请根据上述材料解决下列问题： (1)将多项式变形为的形式，并求出它的对称轴； (2)若关于的多项式关于对称，求的值 【答案】(1)，对称轴是 (2) 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了新定义，完全平方公式，正确理解新定义是解答本题的关键． （1）根据完全平方公式变形后根据新定义求解即可； （2）由多项式关于对称可设，化简后即可求出的值． 【详解】（1）∵ ∴对称轴是； （2）∵多项式关于对称， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$