专题08 整式的乘法的八种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（北京版2024）

专题08 整式的乘法的八种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值 2 类型二、已知多项式乘积不含某项求字母的值 3 类型三、整式的乘法混合运算 5 类型四、整式的乘法中化简求值 7 类型五、(x+p)(x+q)型多项式乘法 9 类型六、整式的乘法与图形面积 11 类型七、多项式乘法中的规律性问题 13 类型八、整式的乘法中的新定义型问题 17 压轴能力测评（20题） 22 解题知识必备 知识点01 单项式与单项式相乘 单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式. 　 单项式乘法法则在运用时要注意以下几点： 　 ①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆； 　　 ②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则； 　 ③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式； 　　 ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用； 　　 ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式. 知识点02 单项式与多项式相乘 单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b+c)m=am+bm+cm　　 单项式与多项式相乘时要注意以下几点： 　 ①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同； 　 ②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号； 　 ③在混合运算时，要注意运算顺序. 知识点03 多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 　 多项式与多项式相乘时要注意以下几点： 　　 ①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积； 　　 ②多项式相乘的结果应注意合并同类项； 　　 ③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘 ，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积.即(x+a)(x+b)=x²+（a+b)x+ab 对于一次项系数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到. 压轴题型讲练 类型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值 例题：（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值 【分析】本题考查单项式乘多项式，利用单项式乘以多项式去括号后即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·重庆渝中·期中）若对任意都成立，则 ． 【答案】1 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值 【分析】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用单项式乘多项式的法则对等式左边进行整理，再结合等式的性质进行求解即可． 【详解】解：， ， ， 原式子对任意都成立， ，， 解得：，， ． 故答案为：1． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）若不论为何值时，等式恒成立，则 ， ． 【答案】 1 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值 【分析】本题考查单项式乘以多项式，整式加减运算中的恒等问题，将等式左边的多项式去括号，合并同类项后，根据对应项的系数相同，进行求解即可． 【详解】恒成立， ． 故答案为：1，． 类型二、已知多项式乘积不含某项求字母的值 例题：（24-25八年级上·四川巴中·阶段练习）若的乘积中不含项，求n的值． 【答案】4 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算方法．先根据整式的乘法运算算出结果，然后令项前面的系数为零，求出n的值． 【详解】解： ， ∵乘积中不含项， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若的积中不含与项． (1)求，的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2)12 【知识点】积的乘方的逆用、已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，积的乘方的逆运算． （1）将展开，根据结果不含与项，即含与项的系数为0进行求解即可； （2）将（1）所求值代入计算即可． 【详解】（1）解： ， 的积中不含与项， ， ； （2）解：∵，， ∴ ． 2．（23-24八年级上·广西河池·期末）已知的展开式中不含的一次项，常数项是． (1)求，的值． (2)先化简再求值． 【答案】(1)， (2)35 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值、多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式运算、代数式求值等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据多项式乘以多项式运算法则将原式展开，结合展开式中不含的一次项，常数项是可得，，求解即可获得答案； （2）根据多项式乘以多项式运算法则将原式化简，然后将，的值代入求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， 又∵展开式中不含的一次项，常数项是， ∴，， 解得，； （2）原式 ， ∵，， ∴原式 ． 类型三、整式的乘法混合运算 例题：（23-24七年级下·江苏镇江·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)3 【知识点】整式乘法混合运算、计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）先计算单形式乘以多项式，再计算加法即可． （2）先根据多项式乘以多项式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1） （2） 【变式训练】 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】整式乘法混合运算、计算多项式乘多项式 【分析】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知整式乘法的运算法则． （1）运用多项式乘以多项式的法则运算即可求解； （2）先根据整式的乘法运算，然后合并即可求解； 【详解】（1）解： ； （2） 2．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】整式乘法混合运算 【分析】本题考查整式乘法的混合运算，熟记单项式乘多项式，合并同类项法则是解题的关键． （1）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项； （2）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项； （3）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项； （4）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 类型四、整式的乘法中化简求值 例题：（23-24七年级下·浙江金华·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式乘法混合运算 【分析】本题考查整式的乘法，熟练整式乘法的计算方法是解题的关键． 先根据整式的乘法化简原式，再带入数值求解即可． 【详解】原式， ， ， 当时， 原式． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）先化简，再求值，其中，． 【答案】；6 【知识点】已知字母的值，化简求值、整式乘法混合运算 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．先根据整式乘法混合运算法则进行化简，然后再代入数值进行计算即可． 【详解】解： ， 当，时， ． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】；2 【知识点】已知字母的值，化简求值、整式乘法混合运算 【分析】本题主要考查了整式化简求值，先根据多项式乘法运算法则进行化简计算，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， 把代入得：原式． 3．（23-24八年级上·北京大兴·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】整式乘法混合运算、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了整式化简求值，运用单项式乘以多项式、多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，代值计算，即可求解；掌握单项式乘以多项式、多项式乘以多项式法则，括号前是“”时，去括号时要变号是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 当，时， 原式 ． 类型五、(x+p)(x+q)型多项式乘法 例题：（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）观察下列各式： 回答下列问题： (1)总结公式：_____； (2)已知a，b，m均为整数，若，求m的值． 【答案】(1) (2)或 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式． （1）观察题目中的四个式子发现规律：二次项系数都是1，一次项系数为左边括号中两个常数的和，常数项为左边括号中两个常数的积，据此求解即可； （2）利用（1）的猜想展开左边，再根据一次项系数和常数项列方程，最后根据a，b，m均为整数求解即可． 【详解】（1）解：根据上面的计算，可发现：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，， ∵a，b，m均为整数， ∴， ∴或或或， ∴或， ∴m的值为或． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·云南昆明·期中）观察下列多项式的乘法计算，回答问题： ①； ②； ③； ④． (1)计算__________； 根据你发现的规律，猜想__________； (2)若，求的值． 【答案】(1)；； (2)n的值为 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】（1）根据多项式乘多项式法则计算，观察各①②③④小题结果的二次项系数、一次项系数及常数项，发现规律得猜想； （2）利用（1）的猜想先求出，再根据得关于m、n的方程，求解即可． 【详解】（1）解： 根据上面的计算，可发现： 故答案为：；； （2）解：由（1）的规律知：， ∵， ∴． ∴，． ∴． 答：n的值为． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，利用多项式乘多项式法则发现规律得到猜想是解决本题的关键． 类型六、整式的乘法与图形面积 例题：（24-25八年级上·吉林松原·期末）在莹莹住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建一横一竖互相垂直且宽度均为a米的通道． (1)用含a、b的式子表示剩余草坪的面积； (2)若，，求剩余草坪的面积． 【答案】(1)平方米 (2)260平方米 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了多项式乘以多项式在几何图形中的应用； （1）根据图形利用平移的性质可得剩余草坪的面积为宽为米，长为米的长方形面积，根据多项式乘以多项式，即可求解； （2）将，代入（1）中结果，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：依题意，剩余草坪的面积为 答：剩余草坪的面积为平方米． （2）当，时，原式， ∴剩余草坪的面积是260平方米． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·广东深圳·阶段练习）如图，某小区有一块长为，宽为，物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米． (1)用含有a、b的式子表示绿化的总面积S； (2)若，求出此时绿化的总面积S． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式乘法混合运算 【分析】本题考查了整式加减运算的应用，代数式求值．熟练掌握整式加减运算的应用，代数式求值是解题的关键． （1）由题意得：，计算求解即可； （2）将，代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得： ； （2）解：当时，， ∴当时，绿化的总面积为． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）为了提升居民的幸福指数，某居民小组规划将一长为米、宽为米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地中分割出一块长为米、宽为b米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材． (1)求安装健身器材的区域面积； (2)若，，求篮球场的面积． 【答案】(1)安装健身器材的区域面积为平方米； (2)篮球场的面积为420平方米． 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，代数式表示式，求代数式的值，解题的关键在于利用数形结合的思想解决问题． （1）根据“安装健身器材的区域面积长方形场地面积篮球场面积”列式计算，即可解题； （2）根据长方形面积列出代数式，再将，代入式子中计算，即可解题． 【详解】（1）解：安装健身器材的区域面积为： 平方米； （2）解：由题知，篮球场的面积为：， 当，时， 篮球场的面积为：（平方米）， 答：篮球场的面积为420平方米． 3．（24-25八年级上·山西·阶段练习）晋阳湖公园是太原市面积最大的城市综合性公园，位于太原市西南方的晋阳湖水域周边．小华与家人在公园内某一长方形区域观赏风景，设该观景区长3a米，宽米，中间修有一条“S”型等宽小路供游客行走，已知小路宽2米，其余区域皆为草坪． (1)求该观景区草坪的面积． (2)当，时，草坪的面积是多少？ 【答案】(1) (2)草坪的面积是4400平方米． 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值． （1）根据矩形的面积公式即可得到结论； （2）把，代入（1）中的代数式，即可得到结论． 【详解】（1）解：该观景区草坪的面积平方米； （2）解：当，时， （平方米）， 答：草坪的面积是4400平方米． 类型七、多项式乘法中的规律性问题 例题：（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）阅读理解：请你仔细阅读以下等式，并运用你发现的规律完成问题： ① ② ③ ④ (1)规律探究：(________________)； (2)知识运用： ①________________； ②利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】有理数的乘方运算、数字类规律探索、多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题主要考查了整式的乘法，有理数的乘方等知识点， (1)根据探索材料找到规律直接写出答案； (2)把代入(1)中的等式进行求值即可；把代入(1)中式子计算即可； 熟练掌握相应的运算法则，找到规律是解决此题的关键． 【详解】（1）解：∵① ② ③ ④ ， ∴ 故答案为：； （2）解：由（1）知，， ， 故答案为： 把代入中得， ， ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知． (1)根据以上式子计算： ①； ②． (2)请你进行下面的探索： ①____________； ②____________； ③____________． 【答案】(1)①；② (2)①；②；③ 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题主要考查了多项式与多项式相乘，以及规律的探索，解题的关键是总结所给式子的特点，从而进行解题． （1）①直接利用题中的结论代入数值计算；②中，把按升幂进行排列，把化为，然后套用规律进行解答，需要处理好符号； （2）仿照所给等式的规律即可直接写出答案． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：①； ②； 同理可知： ③ 故答案为∶①；②；③． 2．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例、如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律、例如，在三角形中第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数． (1)根据上面的规律不难发现，的展开式共有____________项，请写出它的展开式； (2)的展开式共有__________项，系数和为___________； (3)利用上面的规律计算：； (4)运用：若今天是星期二，经过天后是星期___________． 【答案】(1)6项，； (2)共有（）项，系数和为； (3)1； (4)三． 【知识点】数字类规律探索、多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查了整式乘法运算，多项式乘多项式规律探究，学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出本题的数字规律是正确解题的关键． （1）观察规律可知，的展开式共有6项，三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余数则是等于它其上方左右两数之和，即可解答； （2）的展开式共有项，写出前几项系数，得出一般规律即可； （3）利用规律，根据有理数混合运算的法则计算即可； （4）根据规律展开后看最后一项即可． 【详解】（1）解：根据上面规律，的展开式共有6项， 则； （2）解：的展开式共有项， 系数和为， 系数和为， 系数和为， 故系数和为； （3）解：根据规律可知： ； （4）解：的最后一项是1， 则的余数是1， 若今天是星期二，经过天后是星期三． 类型八、整式的乘法中的新定义型问题 例题：（23-24七年级下·重庆·期末）定义：对于一组关于x的多项式，，，（a．b，c，d是有理数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个有理数p时（不含字母x），称这样的四个多项式是一组黄金多项式，有理数p的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子．例如：对于多项式，，，，因为，所以多项式，，，是一组黄金多项式，其黄金因子为． (1)小贤发现多项式，，，是一组黄金多项式，其列式为 请帮小贤求出这组黄金多项式的黄金因子． (2)若多项式，，，（n是有理数）是一组黄金多项式，求n的值． (3)若多项式（m为有理数），，是一组黄金多项式，且黄金因子为5，请直接写出m的值． 【答案】(1)12 (2)的值为或8或2 (3)的值为 【知识点】新定义下的实数运算、计算多项式乘多项式、多项式乘多项式——化简求值 【分析】（1）根据整式的四则混合运算法则计算，根据“黄金因子”的定义即可解答； （2）分三种情况，分别计算①②；③，根据“黄金多项式”的定义即可解答； （3）分三种情况，分别计算①，②，③，根据这是一组黄金多项式，且黄金因子为4，进行判断即可解答． 本题考查定义新概念，整式的四则混合运算，读懂题意，理解“黄金多项式”，“黄金因子”等定义是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 这组黄金多项式的黄金因子是； （2）解：若多项式，，，是有理数）是一组黄金多项式，有三种情况， ① ． 这是一组黄金多项式， ， ； ② ． 这是一组黄金多项式， ， ； ③ ． 这是一组黄金多项式， ， ， 综上所述，的值为或8或2； （3）解：① ， 这是一组黄金多项式， ， ， 黄金因子为，不合题意，舍去； ② ， 这是一组黄金多项式， ， ， 黄金因子为，不合题意，舍去； ③ ， 这是一组黄金多项式， ， ， 黄金因子为，符合题意， 综上所述，的值为． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如． (1)填空：当，时，__________； (2)若，，求的值． 【答案】(1)3 (2)81 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方运算、同底数幂除法的逆用 【分析】（1）根据新定义的运算方法计算即可； （2）根据条件结合新定义的运算方法判断出，，可得结论． 【详解】（1）解： ， 故答案为：3； （2），， ，， 整理得：，，解得：， ． 【点睛】本题考查新定义运算和幂的运算法则，包括幂的乘方，同底数幂相乘的逆用，同底数幂相除的逆用，实数的混合运算，解题的关键是理解题意，灵活运用幂的运算法则解决问题． 2．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算，学会了研究运算的方法．现定义了一种新运算“”，对于任意有理数a，b，c，d，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：．    请解答下列问题： (1)填空：______； (2)若的代数式中不含x的一次项时，求n的值； (3)求的值，其中； (4)如图1，小长方形长为a，宽为b，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为．当，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)24 【知识点】新定义下的实数运算、已知多项式乘积不含某项求字母的值、多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题主要考查了新定义，多项式乘以多项式： （1）根据新定义计算求解即可； （2）根据新定义求出，再根据不含x的一次项，即可含x的一次项的系数为0进行求解即可； （3）根据新定义求出，再利用整体代入法代值计算即可； （4）根据所给图形可得，根据推出，再根据新定义，进而一步步利用整体代入法降次求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解： ∵代数式中不含x的一次项， ∴， ∴； （3）解： ∵， ∴原式； （4）解：根据题意得：， 整理得：， ∴ ． 压轴能力测评（20题） 一、单选题 1．（24-25七年级下·陕西汉中·阶段练习）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．单项式乘单项式，就是把系数和相同字母分别相乘，作为积的因式，对于只在一个单项式里出现的字母，连同它的指数作为积的一个因式，由此计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 2．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）若，则的值为（    ） A． B．7 C． D．5 【答案】C 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了多项式乘以多项式法则，先根据多项式乘多项式法则展开，合并同类项，求出、值，再代入求出即可．能正确根据多项式乘以多项式法则展开是解此题的关键． 【详解】解：， ， ，， ， 故选：C． 3．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）已知的展开式中不含x项，则m的值为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】C 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查整式的乘法，先根据多项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项，根据题意求得x项系数为0时的m值即可． 【详解】解： ， ∵展开式中不含x项， ∴，解得， 故选：C． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）一个三角形的一边长是，这条边上的高是2x，则这个三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】单项式乘多项式的应用 【分析】本题是整式的乘法在实际中的应用，解题关键是熟练掌握相关运算法则．根据三角形的面积等于底乘以底上高的一半，来解决此题． 【详解】解：根据题意，得， 即这个三角形的面积为． 故选：C． 5．（24-25八年级上·广东广州·期末）如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据新定义和单项式乘以多项式法则计算即可． 【详解】解：根据题意，， 故选：D． 6．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出的展开式的系规律（按a的次数由大到小的顺序）． 　　　1  1　　　 　　1  2  1　　 　1  3  3 1　　 1   4  6 4  1　　 请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【知识点】数字类规律探索、多项式乘法中的规律性问题 【分析】此题主要考查整式的规律探索，解题的关键是根据已知式子找出规律．首先确定前几个展开式中第二项的系数，总结出规律，再根据规律即可解决问题． 【详解】解：展开式中的第二项系数为1， 展开式中的第二项系数为2， 展开式中的第二项系数为3， 展开式中的第二项系数为4， ， 展开式中的第二项系数为， 由图中规律可知：含的项是的展开式中的第二项， 的展开式中的第二项系数为， 故选：B． 二、填空题 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算：（1） ；（2） ． 【答案】 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查了整式的乘法，利用单项式乘以多项式的法则进行计算，可得到答案． 【详解】解：； ； 故答案为：； 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知有两个单项式的积为，则这两个单项式可以是 和 （写出一组即可）． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】本题主要考查了单项式与单项式相乘．本题是一道开放性的题目，答案不唯一，只要符合乘积是，即可． 【详解】解：∵两个单项式的积是， ∴这两个单项式可以是和， 故答案为：和（答案不唯一）． 9．（2025七年级下·全国·专题练习）某同学在计算乘一个多项式时错误的计算成了加法，得到的答案是，由此可以推断正确的计算结果是 ． 【答案】 【知识点】整式的加减运算、计算单项式乘多项式及求值 【分析】 本题考查的是单项式乘多项式、整式的加减混合运算，单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 根据整式的减法法则求出多项式，根据单项式与多项式相乘的运算法则计算，得到答案． 【详解】 解：， ， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）A，B两块长方形板材的规格如图所示（为正整数），设板材A，B面积分别为，，比较，的大小，则 ．（填“”或“”或“”）    【答案】 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题主要考查多项式乘多项式及整式的大小比较，熟练掌握多项式乘多项式及整式的大小比较是解题的关键． 由题意及图形可得，进而运用作差法求解即可． 【详解】解：由题意得：，， ， ∵， ， 故答案为：． 11．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）若规定符号的意义是：，则当时，的值为 【答案】12 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式乘法混合运算 【分析】本题考查了定义新运算、整式的乘法、代数式的求值，理解新定义是解题的关键．根据新定义化简，由得到，再整体代入即可求解． 【详解】解：由题意得， ， ， ， ， 的值为12． 故答案为：12． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），面积分别为． （1）若，则m的取值范围为 ； （2）满足不等式组的整数n有且只有4个，则 ． 【答案】 2 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、求不等式组的解集、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题主要考查整式的混合运算、一元一次不等式的应用，解题的关键是掌握多项式乘多项式运算法则． （1）根据长方形的面积公式计算出和，再求出差即可列出不等式，解不等式即可； （2）根据有4个整数解，得出有4个整数解，得出，解不等式，得出m的取值范围，即可得到结论． 【详解】解：（1）， ， ， ∵， 解得：； 故答案为：． （2）由（1）得：， ∵m为正整数， ∴ ∴， ∵有4个整数解， ∴有4个整数解， 这4个整数为5，6，7，8， 为正整数， ， 故答案为：2． 三、解答题 13．（24-25七年级下·全国·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【知识点】单项式乘多项式的应用、计算多项式乘多项式 【分析】本题主要考查了整式的运算—分解因式、多项式乘多项式等，熟练掌握多项式乘多项式和单项式乘多项式运算的知识点是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的法则计算即可； （2）先分别进行多项式乘多项式和单项式乘多项式运算，再合并同类项即可得解． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：， ， ， ， ． 14．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）请根据下面小智同学整式的化简求值过程，完成下面各项任务： 先化简，再求值：，其中． 解：原式         步骤1                 步骤2                            步骤3 当时，原式   步骤4 任务一（填空）：以上解题过程中，从步骤______开始出现错误，错误的原因是______； 任务二：请把正确的解答过程完整地写出来． 【答案】任务一：一；括号前是负号，去括号时，括号里的各项都要改变符号；任务二：见解析 【知识点】整式的加减中的化简求值、计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是掌握其运算法则． 任务一：根据运算过程即可求解； 任务二：按去括号法则，合并同类项法则，正确运算即可求解． 【详解】解：任务一：小智的解题过程中，从第一步开始出现错误，错误的原因是：括号前是负号，去括号时，括号里的各项都要改变符号， 故答案为：一；括号前是负号，去括号时，括号里的各项都要改变符号； 任务二：解：原式 ， 当时， 原式． 15．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，从一个长方形铁皮中剪去一个小正方形，长方形的长为米，宽为米，小正方形的边长为b米． (1)求剩余铁皮（阴影部分）的面积． (2)当时，求剩余铁皮的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查整式运算的应用： （1）用长方形的面积减去正方形的面积，进行求解即可； （2）将代入（1）中的结果中，进行计算即可． 【详解】（1）解：； 答：剩余铁皮（阴影部分）的面积为； （2）当时，； 答：剩余铁皮（阴影部分）的面积为． 16．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，一块长方形铁皮的长为，宽为．将这块长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为的正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子． (1)求这个盒子底面的面积；（用含a、b的式子表示） (2)当，时，求这个盒子底面的面积． 【答案】(1) (2)63 【知识点】整式加减的应用、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，整式的加减运算，代数式求值，正确化简计算是解题的关键． （1）根据题意可知，这个盒子的长=等于长方形铁皮的长2倍的正方形的边长，这个盒子的宽=等于长方形铁皮的宽2倍的正方形的边长，由此求解即可得到答案； （2）把，代入求值即可 【详解】（1）解：盒子底面的面积为： （2）解：当，时，盒子底面的面积为：． 17．（24-25八年级下·四川乐山·阶段练习）我们知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这些形式表示，例如：，就可以用图甲或图乙等图形的面积表示． (1)请写出图丙所表示的代数恒等式； (2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示为： 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题主要考查了多项式乘法的几何背景，应从整体和部分两方面来理解多项式乘法的几何意义；主要围绕图形面积展开分析． （1）图丙中大长方形的长为，宽为，根据题意列出恒等式； （2）设计一个长方形的长为，宽为的大长方形即可 【详解】（1）解：； （2）解：如图所示： 18．（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）回答下列问题： (1)计算： ①______； ②______． ③______． (2)总结公式______ (3)已知，，均为整数，且．求的所有可能值． 【答案】(1)①；②；③ (2) (3)8或 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题主要考查整式运算的知识，解题的关键是熟练掌握多项式乘以多项式的性质： （1）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （3）根据（2）可得，结合都是整数，通过计算即可得到答案． 【详解】（1）①； ②； ③； 故答案为：①；②；③； （2） ， 故答案为：； （3）∵， ∴， ∴， ∵都是整数，， ∴或或或， ∴或． 19．（23-24八年级上·云南昆明·期中）观察下列多项式的乘法计算，回答问题： ①； ②； ③； ④． (1)计算__________； 根据你发现的规律，猜想__________； (2)若，求的值． 【答案】(1)；； (2)n的值为 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】（1）根据多项式乘多项式法则计算，观察各①②③④小题结果的二次项系数、一次项系数及常数项，发现规律得猜想； （2）利用（1）的猜想先求出，再根据得关于m、n的方程，求解即可． 【详解】（1）解： 根据上面的计算，可发现： 故答案为：；； （2）解：由（1）的规律知：， ∵， ∴． ∴，． ∴． 答：n的值为． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，利用多项式乘多项式法则发现规律得到猜想是解决本题的关键． 20．（2025·河北保定·一模）如图，正方形的边长为a，点E在边上，四边形也是正方形，它的边长为b（），连结、、． (1)用含a，b的代数式表示的面积； (2)的面积为，的面积为，当，时，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、单项式乘多项式的应用 【分析】本题主要考查列代数式，单项式乘多项式与几何图形的面积，化简求值． （1）利用即可求解； （2）根据三角形面积公式分别表示出，，代入中，化简后，由，求出，即，再求出，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为a，正方形的边长为b（）， ∴ ； （2）解：根据题意：，， 由（1）知， ∴ ； ∵， ∴，即， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 整式的乘法的八种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值 2 类型二、已知多项式乘积不含某项求字母的值 3 类型三、整式的乘法混合运算 5 类型四、整式的乘法中化简求值 7 类型五、(x+p)(x+q)型多项式乘法 9 类型六、整式的乘法与图形面积 11 类型七、多项式乘法中的规律性问题 13 类型八、整式的乘法中的新定义型问题 17 压轴能力测评（20题） 22 解题知识必备 知识点01 单项式与单项式相乘 单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式. 　 单项式乘法法则在运用时要注意以下几点： 　 ①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆； 　　 ②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则； 　 ③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式； 　　 ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用； 　　 ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式. 知识点02 单项式与多项式相乘 单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b+c)m=am+bm+cm　　 单项式与多项式相乘时要注意以下几点： 　 ①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同； 　 ②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号； 　 ③在混合运算时，要注意运算顺序. 知识点03 多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 　 多项式与多项式相乘时要注意以下几点： 　　 ①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积； 　　 ②多项式相乘的结果应注意合并同类项； 　　 ③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘 ，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积.即(x+a)(x+b)=x²+（a+b)x+ab 对于一次项系数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到. 压轴题型讲练 类型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值 例题：（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）若，则的值为 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·重庆渝中·期中）若对任意都成立，则 ． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）若不论为何值时，等式恒成立，则 ， ． 类型二、已知多项式乘积不含某项求字母的值 例题：（24-25八年级上·四川巴中·阶段练习）若的乘积中不含项，求n的值． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若的积中不含与项． (1)求，的值； (2)求代数式的值． 2．（23-24八年级上·广西河池·期末）已知的展开式中不含的一次项，常数项是． (1)求，的值． (2)先化简再求值． 类型三、整式的乘法混合运算 例题：（23-24七年级下·江苏镇江·阶段练习）计算 (1) (2) 【变式训练】 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2) 2．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 类型四、整式的乘法中化简求值 例题：（23-24七年级下·浙江金华·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）先化简，再求值，其中，． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 3．（23-24八年级上·北京大兴·期末）先化简，再求值：，其中，． 类型五、(x+p)(x+q)型多项式乘法 例题：（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）观察下列各式： 回答下列问题： (1)总结公式：_____； (2)已知a，b，m均为整数，若，求m的值． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·云南昆明·期中）观察下列多项式的乘法计算，回答问题： ①； ②； ③； ④． (1)计算__________； 根据你发现的规律，猜想__________； (2)若，求的值． 类型六、整式的乘法与图形面积 例题：（24-25八年级上·吉林松原·期末）在莹莹住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建一横一竖互相垂直且宽度均为a米的通道． (1)用含a、b的式子表示剩余草坪的面积； (2)若，，求剩余草坪的面积． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·广东深圳·阶段练习）如图，某小区有一块长为，宽为，物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米． (1)用含有a、b的式子表示绿化的总面积S； (2)若，求出此时绿化的总面积S． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）为了提升居民的幸福指数，某居民小组规划将一长为米、宽为米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地中分割出一块长为米、宽为b米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材． (1)求安装健身器材的区域面积； (2)若，，求篮球场的面积． 3．（24-25八年级上·山西·阶段练习）晋阳湖公园是太原市面积最大的城市综合性公园，位于太原市西南方的晋阳湖水域周边．小华与家人在公园内某一长方形区域观赏风景，设该观景区长3a米，宽米，中间修有一条“S”型等宽小路供游客行走，已知小路宽2米，其余区域皆为草坪． (1)求该观景区草坪的面积． (2)当，时，草坪的面积是多少？ 类型七、多项式乘法中的规律性问题 例题：（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）阅读理解：请你仔细阅读以下等式，并运用你发现的规律完成问题： ① ② ③ ④ (1)规律探究：(________________)； (2)知识运用： ①________________； ②利用上述规律计算：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知． (1)根据以上式子计算： ①； ②． (2)请你进行下面的探索： ①____________； ②____________； ③____________． 2．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例、如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律、例如，在三角形中第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数． (1)根据上面的规律不难发现，的展开式共有____________项，请写出它的展开式； (2)的展开式共有__________项，系数和为___________； (3)利用上面的规律计算：； (4)运用：若今天是星期二，经过天后是星期___________． 类型八、整式的乘法中的新定义型问题 例题：（23-24七年级下·重庆·期末）定义：对于一组关于x的多项式，，，（a．b，c，d是有理数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个有理数p时（不含字母x），称这样的四个多项式是一组黄金多项式，有理数p的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子．例如：对于多项式，，，，因为，所以多项式，，，是一组黄金多项式，其黄金因子为． (1)小贤发现多项式，，，是一组黄金多项式，其列式为 请帮小贤求出这组黄金多项式的黄金因子． (2)若多项式，，，（n是有理数）是一组黄金多项式，求n的值． (3)若多项式（m为有理数），，是一组黄金多项式，且黄金因子为5，请直接写出m的值． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如． (1)填空：当，时，__________； (2)若，，求的值． 2．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算，学会了研究运算的方法．现定义了一种新运算“”，对于任意有理数a，b，c，d，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：．    请解答下列问题： (1)填空：______； (2)若的代数式中不含x的一次项时，求n的值； (3)求的值，其中； (4)如图1，小长方形长为a，宽为b，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为．当，求的值． 压轴能力测评（20题） 一、单选题 1．（24-25七年级下·陕西汉中·阶段练习）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）若，则的值为（    ） A． B．7 C． D．5 3．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）已知的展开式中不含x项，则m的值为（　　） A． B． C．2 D． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）一个三角形的一边长是，这条边上的高是2x，则这个三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·广东广州·期末）如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是（  ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出的展开式的系规律（按a的次数由大到小的顺序）． 　　　1  1　　　 　　1  2  1　　 　1  3  3 1　　 1   4  6 4  1　　 请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 二、填空题 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算：（1） ；（2） ． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知有两个单项式的积为，则这两个单项式可以是 和 （写出一组即可）． 9．（2025七年级下·全国·专题练习）某同学在计算乘一个多项式时错误的计算成了加法，得到的答案是，由此可以推断正确的计算结果是 ． 10．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）A，B两块长方形板材的规格如图所示（为正整数），设板材A，B面积分别为，，比较，的大小，则 ．（填“”或“”或“”）    11．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）若规定符号的意义是：，则当时，的值为 12．（2025七年级下·全国·专题练习）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），面积分别为． （1）若，则m的取值范围为 ； （2）满足不等式组的整数n有且只有4个，则 ． 三、解答题 13．（24-25七年级下·全国·阶段练习）计算： (1) (2) 14．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）请根据下面小智同学整式的化简求值过程，完成下面各项任务： 先化简，再求值：，其中． 解：原式         步骤1                 步骤2                            步骤3 当时，原式   步骤4 任务一（填空）：以上解题过程中，从步骤______开始出现错误，错误的原因是______； 任务二：请把正确的解答过程完整地写出来． 15．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，从一个长方形铁皮中剪去一个小正方形，长方形的长为米，宽为米，小正方形的边长为b米． (1)求剩余铁皮（阴影部分）的面积． (2)当时，求剩余铁皮的面积． 16．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，一块长方形铁皮的长为，宽为．将这块长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为的正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子． (1)求这个盒子底面的面积；（用含a、b的式子表示） (2)当，时，求这个盒子底面的面积． 17．（24-25八年级下·四川乐山·阶段练习）我们知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这些形式表示，例如：，就可以用图甲或图乙等图形的面积表示． (1)请写出图丙所表示的代数恒等式； (2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示为： 18．（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）回答下列问题： (1)计算： ①______； ②______． ③______． (2)总结公式______ (3)已知，，均为整数，且．求的所有可能值． 19．（23-24八年级上·云南昆明·期中）观察下列多项式的乘法计算，回答问题： ①； ②； ③； ④． (1)计算__________； 根据你发现的规律，猜想__________； (2)若，求的值． 20．（2025·河北保定·一模）如图，正方形的边长为a，点E在边上，四边形也是正方形，它的边长为b（），连结、、． (1)用含a，b的代数式表示的面积； (2)的面积为，的面积为，当，时，求的值． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$