四川省南充市高坪中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学 试题

南充市高坪中学高 2023 级高一（下）第二次月考 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共 58 分） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1. 已知向量 ( 2,1) ( ,4) / / ( )a b m a b m → → → → = − = =， ，若 ，则 A．8 B. -8 C. 2 D. -2 2．已知复数Z 满足 3 2iZ i= + ，则其共轭复数 Z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3．已知圆锥的母线长为 6，底面半径为 2，则该圆锥的表面积为（ ） A．8π B．4π C．16π D．24π 4. 已知三角形的边长分别为 1， 2 ， 5 ，则它的最大内角的度数是( ) A．90 B．120 C．135 D．150 5．右图为抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称“解放碑”，位于重庆市渝中区，是抗战 胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑．如图：在解放碑的 水平地面上的点 A 处测得其顶点 P 的仰角为 45°,点 B 处测得其顶点 P 的仰角为 30°，若 | | 55AB = 米，且 =60OAB ，则解放碑的高度为（ ） A. 55 2 米 B. 55 米 C. 55 4 米 C. 55 3 米 6. 求值： 1 3 tan10 1 cos 20   − = − （ ） A．1 B． 2 C． 3 D．2 2 7．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持 与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了 转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个 球的相交部分围城的几何体如图乙所示，若正四面体的棱长为 4，则下列说法正确的是（ ） A．勒洛四面体最大的截面是正三角形 C．勒洛四面体 ABCD的体积是8 6π D．勒洛四面体 ABCD内切球的半径是 4 6− 45° 30° 60° P A B O D．若 P、Q是勒洛四面体 ABCD表面上的任意两点，则 PQ 的最大值为 2 8.已知函数 3 3 ( ) - 4 4 f x        的定义域为 ， ，且 sin 2 sin cos ( ) sin sin cos x x x f x x x x  =   ， ， ，若关于 x 的方程 ( )f x a= 有 4 个不同实根 1 2 3 4 1 2 3 4, , , ( )x x x x x x x x   ，则 1 2 3 4 1 + + + ( )sin 2 x x x x f x 的取值范围是 （ ） A. 1 2 2 2        ， B. 2 1 2 2   −     ， C. (1, 2) D. ( 2,1)− 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 下列各组向量中可以用来表示向量 ( 1,2)a = − 的是（ ） A. 1 2(1,1), (1,2)e e= = B. 1 2( 1,1), ( 2,2)e e= − = − C. 1 2( 1,2), (3, 6)e e= − = − D. 1 2(1,2), ( 3, 4)e e= = − − 10．已知复数 1 2 2, ( 0)z z z  下列命题中，真命题为（ ） A．若 2 1 1z z ，则 B．若 1 2 z z  ，则 1 2z z  C．若 1 2 2 1 1| | 2 4z z z z z= =，则 D． 2 1 2 1 1 2| |z z z z z= =，则 11. 已知函数 ( ) sin( )( 0)f x x  = +  ，则（ ） A. 若 3 = 3   = ， ，则将函数 ( )f x 的图象向右平移 5 18  个单位后关于 y 轴对称 B. 若 ( ) , 3 6 3 f x     = ，函数 在( )上有最小值，无最大值，且 ( ) ( ) 6 3 f f   = ，则 5 = C．若 3   = ，函数 3 ( ) [0, ] 4 f x x  在 上恰有 2 个零点，则 20 32 [ , ) 9 9   D. 若直线 4 x  = 为函数 ( )f x 的一条对称轴， 5 ( ,0) 3  为函数 ( )f x 图象的一个对称中心，且 ( )f x 在 5 ( , ) 4 6   上单调递减，则 的最大值为 18 17 第Ⅱ卷（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分． 12.已知点 、 、 、 ，则向量 在 方向上的投影向量的模长 为 ( 1, 1)A − (1, 2)B ( 2, 1)C − − (3, 4)D AB CD 13.六氟化硫，化学式为 6SF ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良 好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八 面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示． 若此正八面体的棱长为 4，则它的内切球的表面积为__________． 14. 锐角 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 3sin cos 2B B+ = ， 2 3c = ，则 ABC 面积的取值范围为______. 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤． 15.（13 分）已知向量 ( 3,1) ( ,2)a b x= − =， （1）若 ( )a a b⊥ + ，求 | |a b− ； （2）若 1 ( ,1) / / (3 ) ( 2 ) 2 c c b a b b c= − −  +， ，求 16．（15分）设复数 ( )1 21 i R , 3 4iz a a z= −  = − ． (1)在复平面内，复数 1 2z z+ 对应的点在实轴上，求 1 2z z ； (2)若 1 2 z z 是纯虚数，求 1| |z . 17.（15 分）如图：某公园改建一个三角形池塘， 90C = ， 2AB = （百米）， 1BC = （百 米），现准备养一批观赏鱼供游客观赏． (1)若在 ABC 内部取一点 P，建造 APC 连廊供游客观赏，如图①，使得点 P 是等腰三角形 PBC 的顶点，且 2π 3 CPB = ，求连廊 AP PC PB+ + 的长（单位为百米）； (2)若分别在 AB，BC，CA 上取点 D，E，F，并建行连廊，使得 DEF 变成池中池，放养更 名贵的鱼类供游客观赏．如图②，当 DEF 为正三角形时，求 DEF 的面积的最小值． 18.（17 分）已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D− 中， 2AB = ，点 ,M N 分别是线段 1 1 1,C D CC 的中 点． （1）求证直线 1 1/ /MN A BC平面 ； （2）求三棱锥 1 1M AC B− 的高； （3）求证直线 1 1 1A M BN B C、 、 三线共点。 19.（17 分）已知函数 ( )y f x= ，若存在实数 , ( 0)m k m  ，使得对定义域内的任意实数 x ，均 有 ( ) ( ) ( )m f x f x k f x k = + + − 成立，则称函数 ( )f x 为“可平衡”函数；有序数对 ( , )m k 称为 函数 ( )f x 的“平衡”数对。 （1）若 2( )f x x= ，求函数 ( )f x 的“平衡”数对； （2）若 1m = ，判断 ( ) sinf x x= 是否为“可平衡函数，并说明理由； （3）若 1 2m m 、 ，且 1 2( , ) ( , ) 2 4 m m   、 均为函数 2( ) cos (0 ) 4 f x x x  =   的“平衡”数对，求 2 2 1 2m m+ 的取值范围。