第四讲 比例（单元讲义）-2024-2025学年六年级下册数学举一反三变式拓展重点难点培优讲义（人教版）学生版+教师版

2024-2025学年六年级下册数学举一反三变式拓展重点难点培优讲义（人教版） 第四讲 比例 （导图+知识精讲+易错点拨+13大考点讲练+易错压轴练+难度分层练 共79题） 目录 课前指导 讲义介绍 2 思维导图 一目了然 3 知识精讲 梳理脉络 3 知识点梳理01：比例的意义和基本性质 3 知识点梳理02：解比例 4 知识点梳理03：正比例和反比例 4 知识点梳理04：比例尺 4 知识点梳理05：应用 5 易错点拨 查漏补缺 5 易错知识点01：比例的意义和基本性质 5 易错知识点02：解比例 5 易错知识点03：正比例和反比例 6 易错知识点04：比例尺和图上距离与实际距离的关系 6 易错知识点05：其他易错点 6 考点讲练 明确目标 7 考点讲练01：比例的意义 7 考点讲练02：比例的基本性质 7 考点讲练03：解比例 8 考点讲练04：正比例的意义及辨析 9 考点讲练05：正比例图像的认识 9 考点讲练06：正比例的应用 11 考点讲练07：反比例的意义及辨析 12 考点讲练08：反比例的应用 13 考点讲练09：比例尺的意义 14 考点讲练10：比例尺的应用 14 考点讲练11：应用比例尺画图 16 考点讲练12：图形的放大与缩小 17 考点讲练13：比例的应用 18 易错真题 培优必刷 19 压轴专练 冲刺拔尖 19 培优巩固 拔尖冲刺 22 基础夯实优选题专练 24 培优优选题专练 26 同学你好！恭喜你进入新的学期，开启新的章程！这套讲义资料由编者老师精心策划，编辑整理策划排版！非常适用于预习，复习，培优，拔尖使用。讲义包含：知识精讲，易错点拨，考点讲练，易错题专练，重点难点优选题，培优巩固和拔尖专练题。板块内容清晰，内容详尽。题目优选2023-2025年近两年名校真题。贴近考纲要求，非常有助于学生提升解题思维，强化做题技巧，解析版思路清晰。是学生自学，教师备课的优选资料！ 知识点梳理01：比例的意义和基本性质 1. 比例的意义： 表示两个比相等的式子叫做比例。比例由四个数组成，这四个数叫做比例的项，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。例如，在比例15:10=6:4中，15、10、6、4是比例的项，15和4是外项，10和6是内项。 判断两个比能否组成比例，有两种方法：一是看两个比的比值是否相等；二是看两个内项的积是否等于两个外项的积。 2. 比例的基本性质： 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性质。如果用a、b、c、d表示比例的四个项，那么当a:b=c:d（b、d≠0）时，有ad=bc。 知识点梳理02：解比例 1. 解比例的定义：求比例中的未知项，叫做解比例。 2. 解比例的方法：根据比例的基本性质解比例，先把比例转化成乘积相等的等式，即转化成方程，再解方程。通常把含有未知项的积放在等号的左边，便于计算。计算时一般写成两个数的积除以一个数的分数形式，便于约分和计算。 知识点梳理03：正比例和反比例 1. 正比例： 两种相关联的量，一种量变化，另一个量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例关系可以用式子y/x=k（k为定值）来表示。例如，速度=路程/时间，当速度一定时，路程与时间成正比例关系。 2. 反比例： 两种相关联的量，一种量变化，另一个量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例关系可以用式子xy=k（k为定值）来表示。例如，圆柱体积=底面积×高，当体积一定时，底面积与高成反比例关系。 知识点梳理04：比例尺 1. 比例尺的定义： 比例尺就是图上距离与实际距离的比。图上距离是比的前项，实际距离是比的后项，比例尺是一个最简单的整数比。 2. 比例尺的相关公式： 比例尺=图上距离/实际距离 图上距离=比例尺×实际距离 3. 图形的缩放：把图形按1:n的比缩小，就是把图形的每条边都缩小到原来的1/n；把图形按n:1的比放大，就是把图形的每条边都放大到原来的n倍。 知识点梳理05：应用 1. 判断两个比是否能组成比例：看比值是否相等，或者看内项之积是否等于外项之积。 2. 求比例：设数法。例如，5x=6y，求x:y，可以用设数法。 3. 解比例方程：根据比例的基本性质，转化为基本方程的形式，再求未知数。 易错知识点01：比例的意义和基本性质 1. 比例的意义： 表示两个比相等的式子叫作比例。比例必须是“两个比”和“一个等式”，且两个比的比值必须相等。 易错点：学生可能混淆比例和比的概念，忘记比例是由两个比值相等的比组成的，而比只有两个数（前项和后项）组成。 2. 比例的基本性质： 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 易错点：学生在应用比例的基本性质时，可能忘记将比例转化为“两个外项的积等于两个内项的积”的形式，或者在进行计算时出错。 易错知识点02：解比例 1. 解比例的定义：求比例中的未知项的过程，叫作解比例。 2. 解比例的方法： 根据比例的基本性质，将比例转化为乘积相等的等式（方程），再求解未知数。 易错点：学生在解比例时，可能忘记将比例转化为等式，或者转化后的等式不正确，导致求解错误。 易错知识点03：正比例和反比例 1. 正比例： 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例。 易错点：学生可能混淆正比例和反比例的概念，忘记正比例是比值一定，反比例是乘积一定。 2. 反比例： 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。 易错点：同样在于混淆正比例和反比例的概念，以及忘记反比例是乘积一定。 易错知识点04：比例尺和图上距离与实际距离的关系 1. 比例尺的定义：比例尺就是图上距离与实际距离的比。 2. 相关公式： 比例尺 = 图上距离 ÷ 实际距离 图上距离 = 比例尺 × 实际距离 3. 易错点：学生可能忘记比例尺是一个最简单的整数比，或者在使用比例尺进行计算时出错。 易错知识点05：其他易错点 1. 判断两个比是否能组成比例： 方法有两种：一是根据比例的意义判断，看两个比的比值是否相等；二是根据比例的基本性质判断，看两个内项的积是否等于两个外项的积。 易错点：学生可能忘记这两种判断方法，或者在使用时出错。 2. 应用比例解决实际问题： 如根据圆的面积公式和比例关系求解小圆的面积等。 易错点：学生可能忘记将实际问题转化为比例问题，或者在进行计算时出错。 考点讲练01：比例的意义 【精讲题】（23-24六年级下·湖北黄冈·期中）下面两个比不能组成比例的是（    ）。 A．10∶12和35∶42 B．∶和∶ C．4∶3和60∶45 D．和 【精练题01】（24-25六年级上·河北邢台·期末）已知a÷b＝6，三位同学根据这个信息，分别给出了自己的理解，写出了下面三个比例。 小红：a÷b＝12∶2        小明：b∶a＝3∶18        小刚：b∶a＝6∶1 他们当中（    ）写的比例不正确。 A．小红 B．小明 C．小刚 【精练题02】（23-24六年级下·河南周口·期中）下面哪几组中的两个比可以组成比例？把组成的比例写出来。 2∶9和5∶22.5                   0.8∶0.2和10∶5 12∶9和27∶20                   和0.2∶0.05 考点讲练02：比例的基本性质 【精讲题】（24-25六年级下·全国·单元测试）如图是由两个三角形重叠而成的，重叠部分的面积占三角形A的，占三角形B的，则三角形A的面积∶三角形B的面积是（    ）。 A．9∶5 B．5∶9 C．5∶3 【精练题01】（23-24六年级下·内蒙古通辽·期中）在比例里，两个外项互为倒数，那么两个内项的积是( )，如果一个外项是，另一个外项是( )。 【精练题02】（23-24六年级下·湖南株洲·期末）是的4倍（是大于0的自然数），下列说法错误的是（    ）。 A．a一定是偶数 B．b是a的25% C．a∶4＝b∶1 D．（a，b）＝4 考点讲练03：解比例 【精讲题】（24-25六年级下·全国·单元测试）浩浩解比例时将步骤写得很清楚，如图，他在解比例的过程中，没有用到（    ）。 12∶x＝3∶4 解：3x＝4×12 3x＝48 3x÷3＝48÷3 x＝16 A．比例的基本性质 B．比的基本性质 C．等式的性质 D．乘、除法计算 【精练题01】（23-24六年级下·福建龙岩·期中）解比例。     0.25∶0.4＝∶12    【精练题02】（23-24六年级下·广西河池·期末）求未知数x。 （1）2.4∶x＝4∶3        （2）x＋10%x＝0.45       （3）0.4×（12－x）＝1.6 考点讲练04：正比例的意义及辨析 【精讲题】（23-24六年级下·四川内江·期末）同一时刻，同一地点，旗杆的高度与它影子的长度成正比例关系。( )（判断对错） 【精练题01】（23-24六年级下·四川德阳·期末）一辆汽车行驶30千米耗油4升，照这样计算，这辆汽车从甲地到乙地耗油45升，甲、乙两地相距多少千米？（用比例的方法解答） 【精练题02】（23-24六年级下·辽宁鞍山·期末）下列说法中，正确的有（    ）个。 ①0是正数。 ②正方形的周长和边长成正比例。 ③正六边形的内角和是720°。 ④商场促销中的“买三送一”实际就是“打八折”。 A．1 B．2 C．3 D．4 考点讲练05：正比例图像的认识 【精讲题】（23-24六年级下·江西宜春·期中）如图是一汽车从甲地开往乙地的行驶情况，由图可知，汽车行驶的路程与所用时间成 比例，汽车行驶的速度是 千米/时。如果需要提前1小时到达乙地，速度应提高 千米/时。 【精练题01】（23-24六年级下·吉林松原·期中）下表是订阅数学报纸的数量与总价的关系。 数量/份 0 10 20 30 40 50 … 总价/元 0 120 240 360 480 600 … （1）把订阅数学报纸的数量与总价所对应的点在图中描出来，并连线。 （2）订阅数学报纸的数量与总价成（    ）比例关系。 （3）六（1）班订阅了45份数学报纸，总价是（    ）元；六（2）班订阅数学报纸的总价是516元，六（2）班订阅了（    ）份数学报纸。 【精练题02】（2024六年级下·全国·专题练习）下面是A、B两台机器生产某零件的情况图像。 （1）两台机器生产零件的个数与时间成正比例关系吗？ （2）直接看图像，6分钟两台机器各生产了多少个零件？生产60个零件两台机器各用了多少时间？ （3）从图像看，哪台机器生产效率高些？ （4）算一算，7分钟两台机器各生产了多少个零件？ 考点讲练06：正比例的应用 【精讲题】（23-24六年级下·山东临沂·期末）人的下肢长与身高之比满足黄金比时，更具美感。小红的妈妈身高是170cm，下肢长100cm，她的妈妈想买一双高跟鞋，你认为高跟鞋鞋跟的最佳高度应是多少厘米？列式正确的是（    ）。（x为高跟鞋鞋跟的高度） A． B． C． D． 【精练题01】（23-24六年级下·广东东莞·期末）小米和小力参加学校的“数学实践活动”，下面是他俩的对话。 小米：“校园里这棵大树有多高呢？” 小力：“我们可以通过测量同一时间、同一地点、不同物体的影长来计算。” 小米：“我测得大树的影长是15米。” 小力：“我的身高和影长也测量出来了（如图）。” 请你根据他们的对话求出这棵大树有多高。（列比例解决问题） 【精练题02】（23-24六年级下·湖南怀化·期末）一棵15米高的树在太阳底下的影长为10米，在同一时刻和地点，小明直立站在树旁边，小明的影长为0.8米，小明的身高是多少？（用比例解） 考点讲练07：反比例的意义及辨析 【精讲题】（24-25六年级下·全国·单元测试）收音机刻度盘上的波长和频率分别是用米（m）和千赫兹（kHz）为单位标刻的。下面是一些对应的数值，那么波长和频率的比例关系是什么？（    ） 波长/m 300 500 600 1000 频率/kHz 1000 600 500 300 A．成正比例关系 B．成反比例关系 C．不成比例关系 【精练题01】．（23-24六年级下·河北保定·期末）有两个相关联的量，它们的关系如图所示。这两个量可能是（    ）。 A．货物总量一定，每天运送的吨数和所需天数 B．数量一定，总价和单价 C．修一条路，已修的路和未修的路 D．平行四边形的面积一定，它的底和高 【精练题02】（2024·山西晋中·小升初真题）如图是我国古代的一种计量时间的仪器沙漏（又称沙钟），它分上下两部分，是根据流沙从上面的容器漏到下面的容器的数量来计量时间的。 （1）王亮研究了下图沙漏漏口每分钟漏沙的体积和漏完沙子所用时间如下表。 每分钟漏沙的体积/cm3 4.5 3.375 2.7 漏完所用的时间/分 3 4 5 ①这个沙漏里共有（    ）立方厘米的沙子。 ②在一个沙漏里漏口每分钟漏沙的体积和漏完沙子所用时间成（    ）比例关系。 ③如果让沙漏正好2分钟漏完，每分钟应漏（    ）立方厘米的沙子。 （2）如图中所示，沙漏上部剩余的沙子的体积是多少立方厘米？ 考点讲练08：反比例的应用 【精讲题】（24-25六年级下·海南海口·单元测试）如果支架右侧第3个孔挂4个同样大的正方体，则支架左侧第2个孔应该挂 这样的正方体才保持平衡。 【精练题01】（24-25六年级下·海南海口·单元测试）一间房子，如用边长为30厘米的方砖来铺地，要用200块，如改用边长为20厘米的方砖来铺，则需要多少块？ 【精练题02】（23-24六年级下·江西南昌·期末）王阿姨一家四口打算从长沙来南昌游玩。如果乘高铁来南昌，1.2小时到达。如果选择自驾游来南昌，需要5小时才能到达。王阿姨自驾游时的平均车速是多少？ 出行方式 平均速度 时间 乘高铁 300千米/时 1.2小时 自驾游 ？千米/时 5小时 考点讲练09：比例尺的意义 【精讲题】（23-24六年级下·湖北十堰·期末）一幅地图的比例尺是把它改写成数值比例尺是( )。 【精练题01】（2025六年级下·全国·专题练习）甲、乙两地相距100千米，在一幅地图上量得两地相距10厘米，这幅地图的比例尺是多少？若在这幅地图上量得乙、丙两地的距离是20厘米，则乙、丙两地的实际距离是多少千米？ 【精练题02】（23-24六年级下·河北保定·期末）下面是小红家附近的平面示意图。 (1)把这幅图的线段比例尺改写成数值比例尺是( )。 (2)小红放学后沿虚线所示的路线去书店买书，她从学校到书店实际走了( )米。（测量取整厘米数） (3)小红在家写作业时发现钢笔坏了，于是步行去文具店买书，她沿道路先向西走100米，再向北偏西15°方向走约120米，点( )最有可能是文具店的位置。 考点讲练10：比例尺的应用 【精讲题】（24-25六年级下·全国·单元测试）智能交通系统可以对事故发生地点精准定位。一天，某高速路上发生两车相撞事故，车祸发生后，救援工作迅速开展。在比例尺为1∶600000的地图上，量得事故现场与最近的派出所相距3.5厘米。最近的派出所与医院收到智能交通系统信号后分别同时派出了一辆警车和一辆救护车，警车经过10分钟到达现场。 （1）事故现场与最近的派出所实际相距多少千米？ （2）若警车与救护车速度之比为5∶6，救护车与警车同时到达事故现场，则事故现场与最近的医院实际相距多少千米？ 【精练题01】（23-24六年级下·河北保定·期末）“神州”九号载人飞船返回舱着陆在内蒙古的四子王旗，聪聪在第一张地图上量得四子王旗与北京的距离大约是3厘米，而在第二张地图上量得四子王旗与北京的距离大约是5厘米。 （1）老师说他量的数据都对，请你解释其中的原因。 （2）如果四子王旗到北京的距离大约是450千米，那么第一张地图的比例尺是多少？ 【精练题02】（2024·山西晋中·小升初真题）临近毕业，A、B两校六年级学生分别为自己的母校绘制了学校平面图，作为礼物送给母校。请你帮助他们完成下面以“约‘绘’我的校园——绘制校园平面图”为主题的项目学习任务。 任务一：实地测量，收集数据。 A校同学测得学校长150米，宽120米。他们要把校园平面图画在一张A4纸上（A4纸尺寸：长297mm宽210mm），选择（    ）的比例尺合适（注意：图的大小要合适哟）。 任务二：确定比例尺，绘制平面图。 B校同学测得学校旗杆在大门正北方向60米处，科技楼在大门东偏北40°的方向90米处。帮助B校同学在下面算出大门到旗杆和科技馆的有关数据，然后在右边B校同学画的部分校园平面图中标出旗杆和科技馆的位置。 考点讲练11：应用比例尺画图 【精讲题】（23-24六年级下·内蒙古通辽·期中）小明家正北方向300米是科技馆，科技馆正东方向600米是动物园，动物园南偏西30°方向400米是书店。画出上述地点的平面图。（比例尺是1∶10000） 【精练题01】（23-24六年级下·江西九江·期末）根据材料，画出曹操高陵遗址博物馆保护棚的平面图。 2023年4月27日，曹操高陵遗址博物馆举行开馆仪式。建于遗址之上的钢结构保护棚是长为140米，宽为120米的长方形，在施工过程中采用了巨型桁钢架结构平移技术，做到了与文物本体的“零”接触，达到国内领先水平。 【精练题02】（21-22六年级下·安徽黄山·期末）如图，学校大门在孔子雕像的正东方240米处。1号教学楼在孔子雕像北偏东45°的200米处。    （1）分别计算出学校大门、1号教学楼到孔子雕像的图上距离。 （2）在图纸上画出学校大门和1号教学楼的位置。 考点讲练12：图形的放大与缩小 【精讲题】（2025六年级下·全国·专题练习）看图回答问题。 (1)图中( )号图形是①号长方形缩小后的图形，它是按( )的比缩小的。 (2)图中( )号图形是①号长方形放大后的图形，它是按( )的比放大的。 【精练题01】（23-24六年级下·福建漳州·期中）操作。 （1）图中的平行四边形沿高分成了两部分。把其中的三角形向（    ）平移（    ）格，平行四边形就变成了长方形。 （2）把小旗子绕点A顺时针旋转°，画出旋转后的图形。 （3）在梯形的右面按2∶1画出梯形放大后的图形。原来梯形面积是放大后梯形面积的（    ）。 【精练题02】（2024·山西长治·小升初真题）按要求在下面的方格纸上画图。（每个小方格表示1平方厘米） （1）在方格纸上按1∶2的比画出三角形A缩小后的图形。 （2）在方格纸上画出图形B以虚线为对称轴的对称图形。 （3）在方格纸上画出以点O为圆心，半径为3厘米的圆，画出的圆的面积是（    ）平方厘米。 考点讲练13：比例的应用 【精讲题】（23-24六年级下·广东韶关·期末）《中华人民共和国国旗法》规定：国旗的长与宽的比是3∶2，国旗的通用尺度规定为五种，各界酌情选用。如果实验小学选用的国旗长是288厘米，那么宽应该是多少厘米？（用比例知识解答） 【精练题01】（23-24六年级下·云南玉溪·期末）施工队计划要修一段20千米的水渠，10天修了全长的。照这样计算，修完这段水渠共要多少天？下面是同学们的解答，你认为合理的有（    ）个。 小聪：（天）；小明：（天）。 小智：10天修，20天修，30天修，70天修，80天修完全长。 小军：解：设修完这段水渠共需要x天，，。 A．4 B．3 C．2 D．1 【精练题02】（23-24六年级下·广东佛山·期中）如图，自行车上的两个齿轮通过链条转动，在同一时间内，大、小齿轮转过的齿数是相同的。 （1）当转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数与转过的圈数成什么比例，为什么？ （2）大齿轮有50个齿，小齿轮有20个齿，如果大齿轮每分转12圈，那么小齿轮每分转多少圈呢？ （3）骑自行车时，自行车后轮随大齿轮的转动而转动，已知后轮与大齿轮圈数之比为2∶3，如果后轮直径为80厘米，请问骑行该自行车走1256米时，小齿轮转了几圈？ 1．（2024春•正定县期中）关于比例关系的判断，以下说法正确的有　　个。 （1）订同一份杂志的钱数和份数成正比例关系。 （2）正方形的面积和它的边长成正比例关系。 （3）圆的面积和它的直径成反比例关系。 （4）三角形的面积一定，它的底和高成反比例关系。 A．3 B．2 C．1 D．4 2．（2024•渝中区）聪聪的笔记本电池条会显示剩余电量的比例。聪聪使用笔记本电脑4小时20分钟后，电量从变为。如果聪聪再使用笔记本电脑130分钟，电池条会显示　　 A． B． C． D． 3．（2024•通州区）摄影师把一张照片按的比放大，放大后照片的面积是原来照片的　　 A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．8倍 4．（2024•宣州区）在一张长方形纸上剪一个最大的三角形，三角形的面积占长方形面积的 　　． 5．（2024•岚山区）如果，当一定时， 和成　 　比例．当一定时，和成　 　比例． 6．（2024•江阳区校级模拟），则和成　　比例． 7．（2024•岳池县）解方程或解比例。 ① ② ③ 8．（2024•梅州）奇思参加了编程无人机的飞行比赛，请在如图方格纸上按要求画出奇思的无人机飞行的过程。 （1）无人机以为对称轴翻转，请画出无人机翻转后的图形。 （2）翻转后的无人机（图向右平行飞行7格，请画出飞行后得到的图形。 （3）将无人机（图按的比，画出放大后的图形。 9．（2024•交城县）人们常说“地下文物看陕西，地上文物看山西。”山西晋祠是现存最古老的皇家园林。其中周柏是晋祠“三绝”之一，树龄已超3000年。树高21.9米，主干直径约2米。如图是周柏主干横截面示意图，奇思把它12等分。 （1）量得如图中圆直径是 　　厘米，这幅图的比例尺是 　　。 （2）树干上点在点 　　　　的方向上，距离点 　　米。 （3）连接、，画出将三角形绕点顺时针旋转后的图形。 （4）在示意图旁边画出这个周柏横截面按缩小后的图形。 10．（2024春•灵宝市期中）2023年央视春晚主舞台以“庙底沟彩陶花瓣纹”文物元素为创意令全国人民眼前一亮！三门峡庙底沟考古遗址公园、“庙底沟博物馆”位于召公路与陕州大道交叉口处。周末王浩和张虹相约一起到博物馆参观。 （1）参观过程中，王浩记录了一件彩陶盆的信息（如图，他想把这件陶器按照缩小画在图纸上，口径应画 　　，高应画 　　。 （2）张虹在参观过程中也记录了一件小型陶罐的相关数据：陶罐（如图的上口是半径为的圆，下口是半径为的圆，陶罐高。张虹回到学校后把该陶罐的下口画在一张方格纸上。请你把它的下口按照放大画在如图的方格纸上。 （3）参观结束后，他们用图上表示实际距离绘制了一份“庙底沟博物馆”周边地图。该地图的比例尺是 　　。 11．（2022•南开区）如图所示，圆的面积与长方形面积相等，则阴影部分的周长与圆周长的比是　　 A． B． C． D． 12．（2022•南开区）一个比例式，两个外项的和是16，一个外项是另一个外项的3倍，两个比的比值是。这个比例式是　　 A． B． C． D． 13．（2024春•蕉岭县期中）两个完全一样的水桶要装满水，淘气、笑笑分别用大杯和小杯舀水，每次都将水杯盛满．第一桶用12大杯和25小杯正好装满，第二桶用20大杯和15小杯也正好装满．大杯和小杯的容积之比是　 　． 14．（2023•凤台县）（1）若、，则　　　　。 （2）如表，若和成反比例，则△　　。 12 24 5 △ 15．（2021春•新沂市期中）在一幅比例尺是的地图上量的两地长6厘米，两地的实际距离是　　千米，把两地画在第二幅地图上，长12厘米，第二幅地图的比例尺是　　，两地长240千米，画在第二幅地图上长　　厘米． 16．（2024春•苍南县期中）巧解密码我能行 ． 17． （2022•即墨区）某工厂生产一批零件，原计划每天生产25件，18天完成任务。实际每天多生产，可提前几天完成任务？（用比例知识解答） 18．（2021•兴义市）在一张长方形彩纸上摆满小正方形，每个小正方形面积与所需小正方形的数量如表： 每个小正方形的面积 4 9 16 所需小正方形的数量个 216 96 54 （1）每个小正方形的面积与所需小正方形的数量成 　　比例关系。 （2）如果采用面积是的小正方形来摆满这张长方形彩纸，需要多少个小正方形？（用比例方法解答） 19．（2019•云龙区）甲、乙两车间原有人数的比为，从甲车间调12人到乙车间后，甲、乙两车间的人数比变为，甲车间原有多少人？ 20．（2023•播州区）作图题。每一小格正方形代表1平方厘米。 （1）三角形的面积是 　　平方厘米。 （2）画一个长方形，使长方形的面积是三角形面积的4倍。 （3）画出把长方形按的比缩小后的图形。 （4）缩小后的图形与原来长方形的面积比是 　　。 基础夯实优选题专练 1．（24-25六年级下·海南海口·期末）甲、乙两地的实际距离是280千米，在一幅地图上的距离是7厘米，这幅地图的比例尺是（    ）。 A．1∶400 B．1∶4000 C．1∶40000 D．1∶4000000 2．（23-24六年级下·安徽黄山·期末）下列成反比例关系的是（    ）。 A．圆的面积一定，它的半径与圆周率 B．平行四边形的面积一定，它的底与高 C．同学的年龄一定，他们的身高与体重 D．三角形的高不变，它的底和面积 3．（23-24六年级下·河北保定·期末）下面各比，能与∶组成比例的是（    ）。 A．2∶3 B．3∶2 C．∶ D．0.3∶2 4．（23-24六年级下·贵州六盘水·期中）“五一”小长假，小华乘坐客车从盘州到贵阳去看望上大学的姐姐，汽车行驶的速度和所用时间（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．不能确定 5．（24-25六年级下·海南海口·单元测试）一个精密零件4毫米，画在图纸上是12厘米，这幅图纸的比例尺是（    ）。 A．1∶30 B．1∶3 C．30∶1 6．（24-25六年级下·全国·单元测试）一个复印机上有标着“25%”“50%”“100%”“200%”的设置参数的按键，“50%”表示将原文件按1∶2缩小。依次按“25%”、“200%”键，表示先将原文件按( )∶( )缩小，再按( )∶( )放大。这样( )（填“能”或“不能”）实现将文件按原大小复印。 7．（23-24六年级下·福建龙岩·期中）已知，那么( )∶( )；已知，则( ) 8．（23-24六年级下·贵州遵义·期中）解方程或者解比例。 ＝          7.5∶x＝1.2∶0.4 x－75%x＝         45÷x＝5 9． （2025六年级下·全国·专题练习）给一个房间铺地砖，如果使用面积是9平方分米的方砖，需要96块，如果改用面积是4平方分米的方砖需要多少块？ 10．（23-24六年级下·河北保定·期末）2021年11月7日下午，神舟十三号航天员进行空间站首次出舱活动，由翟志刚、王亚平执行舱外任务，叶光富留守舱内配合操作指挥，这是中国女性航天员首次进行太空漫步。宇航员在舱外执行任务时，空间站是围绕地球飞行的，飞行一圈就可以看到一次日出。本次出舱任务执行时间持续了6小时，在此期间，宇航员从空间站看到了4次日出。那么，宇航员在空间站一天能看到几次日出呢？ 培优优选题专练 11．（2023·四川·小升初真题）盒子里有黑、白两种棋子，先放入一些白棋子，这样使得盒子中黑、白棋子的比是2∶5，然后又放入一些黑棋子，这样使得盒子中的黑、白棋子的比是3∶5。如果放入的黑棋子和白棋子的数量比是3∶7，那么原来盒子中黑、白棋子的数量之比是（    ）。 A．6∶5 B．5∶6 C．4∶3 D．3∶4 12．（21-22六年级下·湖南益阳·期末）甲乙两个工程队分别承包了两个老旧小区加装电梯的任务。当甲工程队完成了任务的时，乙工程队已完成的与未完成的任务比是5∶2，这时两队剩下的加装电梯的任务一样多。根据以上信息，可以知道（    ）。 A．甲工程队承包的任务多 B．乙工程队承包的任务多 C．两队一样多 D．无法判断 13．（20-21六年级下·福建莆田·期末）下面各图中相对应的两个量能组成比例的有（    ）。 （1）平行四边形                  （2）运输       （3）阅读                             （4）糖水        A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 14．（23-24六年级下·湖南永州·期末）甲乙两数的和是156，甲数的小数点向左移动一位后与乙数的20%相等，那么甲数是( )，乙数是( )。 15．（23-24六年级下·广东佛山·期中）甲乙两堆水泥，已知甲堆水泥比乙堆多50袋，当甲堆运走80%，乙堆运走后，甲乙两堆剩下的水泥袋的比是6∶5，甲堆水泥原来有( )袋，乙堆水泥原来有( )袋。 16．（2023·全国·小升初模拟）求未知数的值。                  17．（23-24六年级下·湖北武汉·开学考试）某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配两个螺母）？ 18． （23-24六年级下·天津南开·期末）客车和货车分别从甲乙两地相向而行，客车3小时后到达甲乙两地中点，继续行驶，又过了一个小时，货车到达甲乙两地中点，这时货车开始提速，速度比原来提高了20%，当客车到达乙地时，货车行驶了全程的几分之几？ 19．（23-24六年级下·浙江嘉兴·期末）一个带有容积刻度的圆柱形容器，里面水平放置着一个由圆柱和圆锥两部分组成的几何体铁块。以同样的速度往容器中注水（如左下图），注水时间与水面对应刻度的关系如右下图所示。 （1）图中铁块圆柱部分的高是圆锥高的（    ）倍。 （2）每秒注水多少毫升？ （3）铁块圆柱部分的体积是多少立方厘米。 20．（23-24六年级下·广东佛山·期中）500米口径球面射电望远镜FAST被誉为“中国天眼”，2019年FAST将进入全面投入使用阶段，寻找宇宙中的微弱信号，综合性能是著名的射电望远镜阿雷西博的十倍。 （1）“中国天眼”的占地面积约多少平方米？ （2）从正上方观察这个望远镜，按照一定的比例尺在图纸上画出这个圆面，已知图纸上圆的周长是15.7厘米，这个图纸的比例尺是多少？ （3）在“天眼”附近的天象影院可以让我们坐在影院，抬头感受星空独特的美丽。影片介绍八大行星的天体运动和相关天文科学知识，时长20分钟。影片播放前来了一批客人，期间有的人离开了座位，这时候观众席共有18个空位，接着来了3人，此时现场有一半的位置还空着，那开场前来的这批人有多少人？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年六年级下册数学举一反三变式拓展重点难点培优讲义（人教版） 第四讲 比例 （导图+知识精讲+易错点拨+13大考点讲练+易错压轴练+难度分层练 共79题） 目录 课前指导 讲义介绍 2 思维导图 一目了然 3 知识精讲 梳理脉络 3 知识点梳理01：比例的意义和基本性质 3 知识点梳理02：解比例 4 知识点梳理03：正比例和反比例 4 知识点梳理04：比例尺 4 知识点梳理05：应用 5 易错点拨 查漏补缺 5 易错知识点01：比例的意义和基本性质 5 易错知识点02：解比例 5 易错知识点03：正比例和反比例 6 易错知识点04：比例尺和图上距离与实际距离的关系 6 易错知识点05：其他易错点 6 考点讲练 明确目标 7 考点讲练01：比例的意义 7 考点讲练02：比例的基本性质 9 考点讲练03：解比例 11 考点讲练04：正比例的意义及辨析 13 考点讲练05：正比例图像的认识 15 考点讲练06：正比例的应用 18 考点讲练07：反比例的意义及辨析 20 考点讲练08：反比例的应用 23 考点讲练09：比例尺的意义 24 考点讲练10：比例尺的应用 26 考点讲练11：应用比例尺画图 29 考点讲练12：图形的放大与缩小 32 考点讲练13：比例的应用 36 易错真题 培优必刷 39 压轴专练 冲刺拔尖 46 培优巩固 拔尖冲刺 53 基础夯实优选题专练 53 培优优选题专练 59 同学你好！恭喜你进入新的学期，开启新的章程！这套讲义资料由编者老师精心策划，编辑整理策划排版！非常适用于预习，复习，培优，拔尖使用。讲义包含：知识精讲，易错点拨，考点讲练，易错题专练，重点难点优选题，培优巩固和拔尖专练题。板块内容清晰，内容详尽。题目优选2023-2025年近两年名校真题。贴近考纲要求，非常有助于学生提升解题思维，强化做题技巧，解析版思路清晰。是学生自学，教师备课的优选资料！ 知识点梳理01：比例的意义和基本性质 1. 比例的意义： 表示两个比相等的式子叫做比例。比例由四个数组成，这四个数叫做比例的项，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。例如，在比例15:10=6:4中，15、10、6、4是比例的项，15和4是外项，10和6是内项。 判断两个比能否组成比例，有两种方法：一是看两个比的比值是否相等；二是看两个内项的积是否等于两个外项的积。 2. 比例的基本性质： 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性质。如果用a、b、c、d表示比例的四个项，那么当a:b=c:d（b、d≠0）时，有ad=bc。 知识点梳理02：解比例 1. 解比例的定义：求比例中的未知项，叫做解比例。 2. 解比例的方法：根据比例的基本性质解比例，先把比例转化成乘积相等的等式，即转化成方程，再解方程。通常把含有未知项的积放在等号的左边，便于计算。计算时一般写成两个数的积除以一个数的分数形式，便于约分和计算。 知识点梳理03：正比例和反比例 1. 正比例： 两种相关联的量，一种量变化，另一个量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例关系可以用式子y/x=k（k为定值）来表示。例如，速度=路程/时间，当速度一定时，路程与时间成正比例关系。 2. 反比例： 两种相关联的量，一种量变化，另一个量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例关系可以用式子xy=k（k为定值）来表示。例如，圆柱体积=底面积×高，当体积一定时，底面积与高成反比例关系。 知识点梳理04：比例尺 1. 比例尺的定义： 比例尺就是图上距离与实际距离的比。图上距离是比的前项，实际距离是比的后项，比例尺是一个最简单的整数比。 2. 比例尺的相关公式： 比例尺=图上距离/实际距离 图上距离=比例尺×实际距离 3. 图形的缩放：把图形按1:n的比缩小，就是把图形的每条边都缩小到原来的1/n；把图形按n:1的比放大，就是把图形的每条边都放大到原来的n倍。 知识点梳理05：应用 1. 判断两个比是否能组成比例：看比值是否相等，或者看内项之积是否等于外项之积。 2. 求比例：设数法。例如，5x=6y，求x:y，可以用设数法。 3. 解比例方程：根据比例的基本性质，转化为基本方程的形式，再求未知数。 易错知识点01：比例的意义和基本性质 1. 比例的意义： 表示两个比相等的式子叫作比例。比例必须是“两个比”和“一个等式”，且两个比的比值必须相等。 易错点：学生可能混淆比例和比的概念，忘记比例是由两个比值相等的比组成的，而比只有两个数（前项和后项）组成。 2. 比例的基本性质： 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 易错点：学生在应用比例的基本性质时，可能忘记将比例转化为“两个外项的积等于两个内项的积”的形式，或者在进行计算时出错。 易错知识点02：解比例 1. 解比例的定义：求比例中的未知项的过程，叫作解比例。 2. 解比例的方法： 根据比例的基本性质，将比例转化为乘积相等的等式（方程），再求解未知数。 易错点：学生在解比例时，可能忘记将比例转化为等式，或者转化后的等式不正确，导致求解错误。 易错知识点03：正比例和反比例 1. 正比例： 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例。 易错点：学生可能混淆正比例和反比例的概念，忘记正比例是比值一定，反比例是乘积一定。 2. 反比例： 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。 易错点：同样在于混淆正比例和反比例的概念，以及忘记反比例是乘积一定。 易错知识点04：比例尺和图上距离与实际距离的关系 1. 比例尺的定义：比例尺就是图上距离与实际距离的比。 2. 相关公式： 比例尺 = 图上距离 ÷ 实际距离 图上距离 = 比例尺 × 实际距离 3. 易错点：学生可能忘记比例尺是一个最简单的整数比，或者在使用比例尺进行计算时出错。 易错知识点05：其他易错点 1. 判断两个比是否能组成比例： 方法有两种：一是根据比例的意义判断，看两个比的比值是否相等；二是根据比例的基本性质判断，看两个内项的积是否等于两个外项的积。 易错点：学生可能忘记这两种判断方法，或者在使用时出错。 2. 应用比例解决实际问题： 如根据圆的面积公式和比例关系求解小圆的面积等。 易错点：学生可能忘记将实际问题转化为比例问题，或者在进行计算时出错。 考点讲练01：比例的意义 【精讲题】（23-24六年级下·湖北黄冈·期中）下面两个比不能组成比例的是（    ）。 A．10∶12和35∶42 B．∶和∶ C．4∶3和60∶45 D．和 【答案】D 【思路点拨】表示两个比相等的式子叫做比例。根据比例的意义，分别求出原式和各选项中比的比值，比值相等的能组成比例；反之，比值不相等的，就不能组成比例。 【规范解答】A．10∶12＝10÷12＝ 35∶42＝35÷42＝ ＝，所以10∶12和35∶42能组成比例； B．∶＝÷＝×2＝ ∶＝÷＝×4＝ ＝，所以∶和∶能组成比例； C．4∶3＝4÷3＝ 60∶45＝60÷45＝ ＝，所以4∶3和60∶45能组成比例； D．∶＝÷＝×3＝ ∶＝÷＝×4＝ ≠，所以∶和∶不能组成比例。 故答案为：D 【精练题01】（24-25六年级上·河北邢台·期末）已知a÷b＝6，三位同学根据这个信息，分别给出了自己的理解，写出了下面三个比例。 小红：a÷b＝12∶2        小明：b∶a＝3∶18        小刚：b∶a＝6∶1 他们当中（    ）写的比例不正确。 A．小红 B．小明 C．小刚 【答案】C 【思路点拨】已知a÷b＝6，将a看作6，b看作1，两数相除又叫两个数的比，表示两个比相等的式子叫比例，据此分别计算各比例中比的比值，比值相等的正确。 【规范解答】小红：12∶2＝12÷2＝6，比例正确； 小明：b∶a＝1÷6＝，3∶18＝3÷18＝，比例正确； 小刚：b∶a＝1÷6＝，6∶1＝6÷1＝6，比例不正确。 小刚写的比例不正确。 故答案为：C 【精练题02】（23-24六年级下·河南周口·期中）下面哪几组中的两个比可以组成比例？把组成的比例写出来。 2∶9和5∶22.5                   0.8∶0.2和10∶5 12∶9和27∶20                   和0.2∶0.05 【答案】可以，2∶9＝5∶22.5；不可以 不可以；可以， 【思路点拨】根据比例的意义，表示两个比相等的式子叫比例，求出各组比的比值，比值相等的可以组成比例。 【规范解答】2∶9 ＝2÷9 ＝ 5∶22.5 ＝5÷22.5 ＝ ＝，所以2∶9和5∶22.5可以组成比例； 0.8∶0.2 ＝0.8÷0.2 ＝4 10∶5 ＝10÷5 ＝2 4≠2，所以0.8∶0.2和10∶5不能组成比例； 12∶9 ＝12÷9 ＝ 27∶20 ＝27÷20 ＝ ≠，所以12∶9和27∶20不能组成比例； ∶ ＝÷ ＝×14 ＝4 0.2∶0.05 ＝0.2÷0.05 ＝4 4＝4，所以和0.2∶0.05能组成比例。 考点讲练02：比例的基本性质 【精讲题】（24-25六年级下·全国·单元测试）如图是由两个三角形重叠而成的，重叠部分的面积占三角形A的，占三角形B的，则三角形A的面积∶三角形B的面积是（    ）。 A．9∶5 B．5∶9 C．5∶3 【答案】A 【思路点拨】根据题意，重叠部分的面积占三角形A的，占三角形B的，根据分数乘法的意义可得出：三角形A的面积×＝三角形B的面积×，根据比例的基本性质改写成比例式为三角形A的面积∶三角形B的面积＝∶，再化简比即可。 【规范解答】三角形A的面积×＝三角形B的面积× 三角形A的面积∶三角形B的面积＝∶ ＝（×45）∶（×45） ＝9∶5 则三角形A的面积∶三角形B的面积是9∶5。 故答案为：A 【精练题01】（23-24六年级下·内蒙古通辽·期中）在比例里，两个外项互为倒数，那么两个内项的积是( )，如果一个外项是，另一个外项是( )。 【答案】 1 3 【思路点拨】已知在比例里，两个外项互为倒数，根据倒数的意义可知，两个外项的乘积为1；根据比例的基本性质可知，那么两个内项的积也是1； 已知如果一个外项是，用 两个外项的积1除以已知的外项，即可求出另一个外项。 比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 乘积是1的两个数互为倒数。 【规范解答】1÷ ＝1×3 ＝3 在比例里，两个外项互为倒数，那么两个内项的积是（1），如果一个外项是，另一个外项是（3）。 【精练题02】（23-24六年级下·湖南株洲·期末）是的4倍（是大于0的自然数），下列说法错误的是（    ）。 A．a一定是偶数 B．b是a的25% C．a∶4＝b∶1 D．（a，b）＝4 【答案】D 【思路点拨】A．偶数×偶数＝偶数，偶数×奇数＝偶数； B．假设b是1，那么a是4。用b除以a求出b是a的百分之几； C．比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积。由此将比例写成乘积的形式，再判断正误； D．成倍数关系的两个数，较小数是这两个数的最大公因数。 【规范解答】a是b的4倍，那么a＝4b。 A．4是偶数，那么4b一定是偶数，即a一定是偶数； B．1÷4＝25%，所以b是a的25%； C．因为a∶4＝b∶1，所以a＝4b，符合题意； D．（a，b）＝b，说法错误。 故答案为：D 考点讲练03：解比例 【精讲题】（24-25六年级下·全国·单元测试）浩浩解比例时将步骤写得很清楚，如图，他在解比例的过程中，没有用到（    ）。 12∶x＝3∶4 解：3x＝4×12 3x＝48 3x÷3＝48÷3 x＝16 A．比例的基本性质 B．比的基本性质 C．等式的性质 D．乘、除法计算 【答案】B 【思路点拨】由题可知，先根据比例的性质，把式子转化为3x＝4×12，再化简方程，最后根据等式的性质，把方程两边同时除以3即可求出解。 【规范解答】浩浩解比例时将步骤写得很清楚，如图，他在解比例的过程中，没有用到比的基本性质。 故答案为：B 【精练题01】（23-24六年级下·福建龙岩·期中）解比例。     0.25∶0.4＝∶12    【答案】；＝7.5；＝7.2 【思路点拨】比例的基本性质：两内项的积等于两外项的积。 （1）根据比例的基本性质，将原式变成，再根据等式的性质2，方程两边同时除以，即可求解。 （2）根据比例的基本性质，将原式变成0.4＝0.25×12，再根据等式的性质2，方程两边同时除以0.4，即可求解。 （3）根据比例的基本性质，将原式变成0.25＝3×0.6，再根据等式的性质2，方程两边同时除以0.25，即可求解。 【规范解答】 解： 0.25∶0.4＝∶12 解：0.4＝0.25×12 0.4÷0.4＝0.25×12÷0.4 ＝7.5 解：0.25＝3×0.6 0.25÷0.25＝3×0.6÷0.25 ＝7.2 【精练题02】（23-24六年级下·广西河池·期末）求未知数x。 （1）2.4∶x＝4∶3        （2）x＋10%x＝0.45       （3）0.4×（12－x）＝1.6 【答案】（1）x＝1.8；（2）x＝；（3）x＝8 【思路点拨】（1）2.4∶x＝4∶3，根据比例的基本性质，先写成4x＝2.4×3的形式，两边再同时÷4即可； （2）x＋10%x＝0.45，将百分数和分数都化成小数，将左边合并成0.85x，根据等式的性质2，两边同时÷0.85即可； （3）0.4×（12－x）＝1.6，根据等式的性质1和2，两边同时÷0.4，右边得4，再同时＋x，最后同时－4即可。 【规范解答】（1）2.4∶x＝4∶3 解：4x＝2.4×3 4x÷4＝7.2÷4 x＝1.8 （2）x＋10%x＝0.45 解：0.75x＋0.1x＝0.45 0.85x＝0.45 0.85x÷0.85＝0.45÷0.85 x＝ x＝ （3）0.4×（12－x）＝1.6 解：0.4×（12－x）÷0.4＝1.6÷0.4 12－x＝4 12－x＋x＝4＋x 4＋x＝12 4＋x－4＝12－4 x＝8 考点讲练04：正比例的意义及辨析 【精讲题】（23-24六年级下·四川内江·期末）同一时刻，同一地点，旗杆的高度与它影子的长度成正比例关系。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路点拨】两个相关联的量它们的比值（商）一定，这两个量就成正比例关系，否则不成正比例关系，据此解答。 【规范解答】在同一时间，同一地点，树越高，影子越长；树越矮，影子越短。物体的影长∶物体的高度＝每米物体的影长（比值一定）。 所以，同一时刻，同一地点，旗杆的高度与它影子的长度成正比例关系。说法正确。 故答案为：√ 【精练题01】（23-24六年级下·四川德阳·期末）一辆汽车行驶30千米耗油4升，照这样计算，这辆汽车从甲地到乙地耗油45升，甲、乙两地相距多少千米？（用比例的方法解答） 【答案】337.5千米 【思路点拨】根据题意可知：这辆车每千米耗油量不变，即耗油量÷总路程＝每千米耗油量（一定），比值一定，那么耗油量与行驶的总路程成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解即可。 【规范解答】解：设甲、乙两地相距x千米。 4∶30＝45∶x 4x＝30×45 4x＝1350 4x÷4＝1350÷4 x＝337.5 答：甲、乙两地相距337.5千米。 【精练题02】（23-24六年级下·辽宁鞍山·期末）下列说法中，正确的有（    ）个。 ①0是正数。 ②正方形的周长和边长成正比例。 ③正六边形的内角和是720°。 ④商场促销中的“买三送一”实际就是“打八折”。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路点拨】①0是正数和负数的分界点，0既不是正数也不是负数； ②正方形周长＝边长×4。比值或商一定的两个量成正比例关系； ③多边形的内角和＝（边数－2）×180°； ④“买三送一”说明买三个得四个。将3除以4，可求出折扣。百分之几十几对应几几折。 【规范解答】①0不是正数，原说法错误； ②正方形周长÷边长＝4，所以正方形的周长和边长成正比例。原说法正确； ③（6－2）×180° ＝4×180° ＝720° 所以，正六边形的内角和是720°。原说法正确； ④3÷4＝75%＝七五折 所以“买三送一”实际是“打七五折”。原说法错误。 所以，正确的说法有2个。 故答案为：B 考点讲练05：正比例图像的认识 【精讲题】（23-24六年级下·江西宜春·期中）如图是一汽车从甲地开往乙地的行驶情况，由图可知，汽车行驶的路程与所用时间成 比例，汽车行驶的速度是 千米/时。如果需要提前1小时到达乙地，速度应提高 千米/时。 【答案】 正 50 12.5 【思路点拨】根据汽车行驶的路程与所用时间图像是一条直线，可以确定这两种量成正比例关系，然后用某一点的对应的路程除以对应的时间，求出速度；最后用250千米除以4，求出汽车提前1小时到达乙地的速度，再减去原来的速度即可。 【规范解答】由图可知，汽车行驶的路程与所用时间图像是一条直线，可以确定这两种量成正比例关系； 50÷1＝50（千米/时） 250÷（5－1）－50 ＝62.5－50 ＝12.5（千米/时） 则汽车行驶的速度是50千米/时。如果需要提前1小时到达乙地，速度应提高12.5千米/时。 【精练题01】（23-24六年级下·吉林松原·期中）下表是订阅数学报纸的数量与总价的关系。 数量/份 0 10 20 30 40 50 … 总价/元 0 120 240 360 480 600 … （1）把订阅数学报纸的数量与总价所对应的点在图中描出来，并连线。 （2）订阅数学报纸的数量与总价成（    ）比例关系。 （3）六（1）班订阅了45份数学报纸，总价是（    ）元；六（2）班订阅数学报纸的总价是516元，六（2）班订阅了（    ）份数学报纸。 【答案】（1）见详解 （2）正 （3）540；43 【思路点拨】（1）根据表中数据，在图中先描出各点，再连线即可； （2）正比例是指两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。据此可知，订阅数学报纸的数量与总价成正比例关系； （3）先通过表中数据求出订阅一份数学报纸需要的钱数，再乘45就得订阅了45份数学报纸的总价；用钱数516除以订阅一份数学报纸需要的钱数就得订阅的份数。 【规范解答】（1） ； （2）由图可知，订阅数学报纸的数量与总价成正比例关系； （3）订阅一份数学报纸需：120÷10＝12（元） 45×12＝540（元） 516÷12＝43（份） 所以，六（1）班订阅了45份数学报纸，总价是540元；六（2）班订阅数学报纸的总价是516元，六（2）班订阅了43份数学报纸。 【精练题02】（2024六年级下·全国·专题练习）下面是A、B两台机器生产某零件的情况图像。 （1）两台机器生产零件的个数与时间成正比例关系吗？ （2）直接看图像，6分钟两台机器各生产了多少个零件？生产60个零件两台机器各用了多少时间？ （3）从图像看，哪台机器生产效率高些？ （4）算一算，7分钟两台机器各生产了多少个零件？ 【答案】（1）成正比例关系 （2）A机器90个零件，B机器60个零件；A机器4分钟，B机器6分钟 （3）A机器 （4）A机器105个零件，B机器70个零件 【思路点拨】（1）从图像上看，成正比例关系的图像就是一条经过原点的直线。据此解答。 （2）观察图像，找出两条射线上6分钟的点对应的零件个数即可得出6分钟两台机器各生产了多少个零件；同理，找出两条射线上60个零件的点对应的时间即可解答。 （3）从图像看，在同一时间，A机器生产的零件个数都多于B机器，则A机器生产效率高些。 （4）从图像上可以看出，A机器6分钟生产90个零件，B机器6分钟生产60个零件。根据工作总量÷工作时间＝工作效率，用90和60分别除以6，即可求出两台机器的工作效率，再根据工作效率×工作时间＝工作总量，分别用两台机器的工作效率乘7即可解答。 【规范解答】（1）通过分析可得：两台机器生产零件的个数与时间成正比例关系。 （2）观察图像可知，6分钟A机器生产了90个零件，B机器6分钟生产60个零件；生产60个零件A机器用了4分钟，B机器用了6分钟。 （3）通过分析可得：A机器生产效率高些。 （4）A机器：90÷6×7 ＝15×7 ＝105（个） B机器：60÷6×7 ＝10×7 ＝70（个） 答：7分钟A机器生产了105个零件，B机器生产了70个零件。 考点讲练06：正比例的应用 【精讲题】（23-24六年级下·山东临沂·期末）人的下肢长与身高之比满足黄金比时，更具美感。小红的妈妈身高是170cm，下肢长100cm，她的妈妈想买一双高跟鞋，你认为高跟鞋鞋跟的最佳高度应是多少厘米？列式正确的是（    ）。（x为高跟鞋鞋跟的高度） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】当人的下肢长与身高之比满足黄金比＝0.618时，即人的下肢长与身高之比的比值一定时，更具美感，因为比值一定，所以更具美感时，人的下肢长与身高成正比例关系，据此设高跟鞋鞋跟的最佳高度应是xcm，列正比例解答即可。 【规范解答】解：设高跟鞋鞋跟的最佳高度应是xcm。 （x＋100）∶（x＋170）＝0.618∶1 （x＋170）×0.618＝x＋100 0.618x＋170×0.618＝x＋100 0.618x＋105.06＝x＋100 0.618x＋105.06－0.618x＝x＋100－0.618x 105.06＝0.382x＋100 105.06－100＝0.382x＋100－100 0.382x＝5.06 0.382x÷0.382＝5.06÷0.382 x≈13.25 所以正确的列式是：（x＋100）∶（x＋170）＝0.618∶1。 故答案为：C 【精练题01】（23-24六年级下·广东东莞·期末）小米和小力参加学校的“数学实践活动”，下面是他俩的对话。 小米：“校园里这棵大树有多高呢？” 小力：“我们可以通过测量同一时间、同一地点、不同物体的影长来计算。” 小米：“我测得大树的影长是15米。” 小力：“我的身高和影长也测量出来了（如图）。” 请你根据他们的对话求出这棵大树有多高。（列比例解决问题） 【答案】18.75米 【思路点拨】同一时间、同一地点，物体的高度和它的影长的比值是一定的，也就是物体的高度和它的影长成正比例。 设大树的高度为x米，可列出比例＝，再解比例即可。 【规范解答】解：设大树的高度为x米 ＝ 1.2x＝1.5×15 1.2x＝22.5 1.2x÷1.2＝22.5÷1.2 x＝18.75 答：这课大树的高度为18.75米。 【精练题02】（23-24六年级下·湖南怀化·期末）一棵15米高的树在太阳底下的影长为10米，在同一时刻和地点，小明直立站在树旁边，小明的影长为0.8米，小明的身高是多少？（用比例解） 【答案】1.2米 【思路点拨】在同一时刻和地点的太阳光下，物体的高度与影长成正比例关系，据此列出比例方程进行解答即可。 【规范解答】解：设小明的身高是x米。 答：小明的身高是1.2米。 考点讲练07：反比例的意义及辨析 【精讲题】（24-25六年级下·全国·单元测试）收音机刻度盘上的波长和频率分别是用米（m）和千赫兹（kHz）为单位标刻的。下面是一些对应的数值，那么波长和频率的比例关系是什么？（    ） 波长/m 300 500 600 1000 频率/kHz 1000 600 500 300 A．成正比例关系 B．成反比例关系 C．不成比例关系 【答案】B 【思路点拨】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。通过计算判断。 【规范解答】 可知，波长和频率的比值不一定，不成正比例关系。 波长×频率＝300000（一定），所以波长和频率的比例关系是反比例关系。 故答案为：B 【精练题01】．（23-24六年级下·河北保定·期末）有两个相关联的量，它们的关系如图所示。这两个量可能是（    ）。 A．货物总量一定，每天运送的吨数和所需天数 B．数量一定，总价和单价 C．修一条路，已修的路和未修的路 D．平行四边形的面积一定，它的底和高 【答案】B 【思路点拨】两种相关联的量，如果这两种量中相对应的两个数比值一定，这两种量就成正比例；如果这两种量中相对应的两个数乘积一定，这两种量就成反比例，根据图象可知，图形中两种相关联的量是正比例，逐项分析各选项，进行解答。 【规范解答】A．因为每天运送的吨数×所需天数＝货物总量（一定），每天运送的吨数和所需天数的乘积一定，则每天运送的吨数和所需天数成反比例，不符合题意； B．数量（一定）＝总价÷单价，所以比值一定，单价和总价成正比例，符合题意； C．已修的路＋未修的路＝这段路的总长（一定），是对应的两个量的和一定，所以修一段路，已经修的与未修的不成比例，不符合题意； D．底×高＝平行四边形的面积（一定），乘积一定，所以它的底和高成反比例关系，不符合题意。 故答案为：B 【精练题02】（2024·山西晋中·小升初真题）如图是我国古代的一种计量时间的仪器沙漏（又称沙钟），它分上下两部分，是根据流沙从上面的容器漏到下面的容器的数量来计量时间的。 （1）王亮研究了下图沙漏漏口每分钟漏沙的体积和漏完沙子所用时间如下表。 每分钟漏沙的体积/cm3 4.5 3.375 2.7 漏完所用的时间/分 3 4 5 ①这个沙漏里共有（    ）立方厘米的沙子。 ②在一个沙漏里漏口每分钟漏沙的体积和漏完沙子所用时间成（    ）比例关系。 ③如果让沙漏正好2分钟漏完，每分钟应漏（    ）立方厘米的沙子。 （2）如图中所示，沙漏上部剩余的沙子的体积是多少立方厘米？ 【答案】（1）①13.5；②反；③6.75 （2）3.14立方厘米 【思路点拨】（1）①这个沙漏里共有沙子的体积＝每分钟漏沙的体积×漏完所用的时间，据此解答。 ②判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 ③首先求出沙漏里面沙子的体积，然后用沙漏里面沙子的体积除以漏完所用时间即可。 （2）根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出沙漏上部剩余的沙子的体积。 【规范解答】（1）①4.5×3＝13.5（立方厘米） 这个沙漏里共有13.5立方厘米的沙子。 ②因为每分钟漏沙的体积×漏完所用的时间＝沙漏里沙子的体积（一定），乘积一定，所以在一个沙漏里漏口每分钟漏沙的体积和漏完沙子所用时间成反比例关系。 ③4.5×3÷2 ＝13.5÷2 ＝6.75（立方厘米） 如果让沙漏正好2分钟漏完，每分钟应漏6.75立方厘米的沙子。 （2）×3.14×（2÷2）2×3 ＝×3.14×12×3 ＝×3.14×1×3 ＝3.14（立方厘米） 答：沙漏上部剩余的沙子的体积是3.14立方厘米。 考点讲练08：反比例的应用 【精讲题】（24-25六年级下·海南海口·单元测试）如果支架右侧第3个孔挂4个同样大的正方体，则支架左侧第2个孔应该挂 这样的正方体才保持平衡。 【答案】6 【思路点拨】根据题意可知，孔数和挂正方体的数量成反比例，即左边的孔数×挂的正方体数量＝右边的孔数×挂的正方体数量，设左侧第2个孔应挂x个正方体，列方程：2x＝3×4，解方程，即可解答。 【规范解答】解：设支架左侧第2个孔挂x个正方体。 2x＝3×4 2x＝12 x＝12÷2 x＝6 如果支架右侧第3个孔挂4个同样大的正方体，则支架左侧第2个孔应该挂6这样的正方体才保持平衡。 【精练题01】（24-25六年级下·海南海口·单元测试）一间房子，如用边长为30厘米的方砖来铺地，要用200块，如改用边长为20厘米的方砖来铺，则需要多少块？ 【答案】450块 【思路点拨】正方形的面积＝边长×边长；方砖的面积×方砖的块数＝铺地的总面积（一定），所以，方砖的面积与方砖的块数成反比例关系，设所求量为未知数x，根据反比例关系，列方程：20×20×x＝30×30×200，再利用等式的性质解方程即可。 【规范解答】解：设如改用边长为20厘米的方砖来铺，则需要x块。 20×20×x＝30×30×200 400x＝180000 400x÷400＝180000÷400 x＝450 答：如改用边长为20厘米的方砖来铺，则需要450块。 【精练题02】（23-24六年级下·江西南昌·期末）王阿姨一家四口打算从长沙来南昌游玩。如果乘高铁来南昌，1.2小时到达。如果选择自驾游来南昌，需要5小时才能到达。王阿姨自驾游时的平均车速是多少？ 出行方式 平均速度 时间 乘高铁 300千米/时 1.2小时 自驾游 ？千米/时 5小时 【答案】72千米/时 【思路点拨】长沙到南昌的路程是不变的，速度与时间的乘积是一定的，即速度与时间这两种量成反比例，由此设王阿姨自驾游时的平均车速是x千米/时，列出比例式解答即可。 【规范解答】解：设王阿姨自驾游时的平均车速是x千米/时。 答：王阿姨自驾游时的平均车速是72千米/时。 考点讲练09：比例尺的意义 【精讲题】（23-24六年级下·湖北十堰·期末）一幅地图的比例尺是把它改写成数值比例尺是( )。 【答案】1∶3000000 【思路点拨】观察线段比例尺可知，图上1厘米表示实际30千米，根据图上距离∶实际距离＝比例尺，转化成数值比例尺即可。要注意把30千米转化为以厘米为单位。 【规范解答】1厘米∶30千米＝1厘米∶3000000厘米＝1∶3000000 一幅地图的比例尺是把它改写成数值比例尺是1∶3000000。 【精练题01】（2025六年级下·全国·专题练习）甲、乙两地相距100千米，在一幅地图上量得两地相距10厘米，这幅地图的比例尺是多少？若在这幅地图上量得乙、丙两地的距离是20厘米，则乙、丙两地的实际距离是多少千米？ 【答案】1∶1000000；200千米 【思路点拨】根据图上距离∶实际距离＝比例尺，写出图上距离与实际距离的比，将前项化成1即可确定比例尺；根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出乙丙两地图上距离。 【规范解答】10厘米∶100千米 ＝10厘米∶10000000厘米 ＝10∶10000000 ＝（10÷10）∶（10000000÷10） ＝1∶1000000 20÷ ＝20×1000000 ＝20000000（厘米） 20000000厘米＝200千米 答：这幅地图的比例尺是1∶1000000，乙、丙两地的实际距离是200千米。 【精练题02】（23-24六年级下·河北保定·期末）下面是小红家附近的平面示意图。 (1)把这幅图的线段比例尺改写成数值比例尺是( )。 (2)小红放学后沿虚线所示的路线去书店买书，她从学校到书店实际走了( )米。（测量取整厘米数） (3)小红在家写作业时发现钢笔坏了，于是步行去文具店买书，她沿道路先向西走100米，再向北偏西15°方向走约120米，点( )最有可能是文具店的位置。 【答案】(1)1∶10000 (2)400 (3)B 【思路点拨】（1）图中的线段比例尺的意义是图上1厘米表示实际的100米，根据1米＝100厘米，把100米化成10000厘米，再根据比例尺＝图上距离：实际距离，计算得出数值比例尺； （2）首先量出图上虚线的长度是4厘米，然后根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出实际的路程，最后把单位厘米转化为米； （3）根据地图上的方向：上北下南，左西右东，以及描述的路线，找出文具店的大体位置，从而解决问题。 【规范解答】（1）100米＝10000厘米 1厘米∶10000厘米＝1∶10000 把这幅图的线段比例尺改写成数值比例尺是1∶10000。 （2）量得虚线的长度一共是4厘米 （厘米）＝400（米） 小红放学后沿虚线所示的路线去书店买书，她从学校到书店实际走了400米。 （3）如图，小红在家写作业时发现钢笔坏了，于是步行去文具店买书，她沿道路先向西走100米，再向北偏西15°方向走约120米，点B最有可能是文具店的位置。 考点讲练10：比例尺的应用 【精讲题】（24-25六年级下·全国·单元测试）智能交通系统可以对事故发生地点精准定位。一天，某高速路上发生两车相撞事故，车祸发生后，救援工作迅速开展。在比例尺为1∶600000的地图上，量得事故现场与最近的派出所相距3.5厘米。最近的派出所与医院收到智能交通系统信号后分别同时派出了一辆警车和一辆救护车，警车经过10分钟到达现场。 （1）事故现场与最近的派出所实际相距多少千米？ （2）若警车与救护车速度之比为5∶6，救护车与警车同时到达事故现场，则事故现场与最近的医院实际相距多少千米？ 【答案】（1）21千米； （2）25.2千米 【思路点拨】（1）根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据计算，再把单位转化为千米即可得解。 （2）根据，代入数据计算警车的速度，再根据比的意义，把警车的速度看作5份，救护车速度看作6份，用警车速度除以5再乘6即可得救护车的速度，再根据，代入数据计算即可得解。 【规范解答】（1）（厘米） 2100000厘米＝21千米 答：事故现场与最近的派出所实际相距21千米。 （2） （千米） 答：事故现场与最近的医院实际相距25.2千米。 【精练题01】（23-24六年级下·河北保定·期末）“神州”九号载人飞船返回舱着陆在内蒙古的四子王旗，聪聪在第一张地图上量得四子王旗与北京的距离大约是3厘米，而在第二张地图上量得四子王旗与北京的距离大约是5厘米。 （1）老师说他量的数据都对，请你解释其中的原因。 （2）如果四子王旗到北京的距离大约是450千米，那么第一张地图的比例尺是多少？ 【答案】（1）实际距离一样，两幅图所用比例尺不一样，量的得图上距离就不一样。 （2）1∶15000000 【思路点拨】（1）比例尺是地图上的距离与实际地理距离之间的比例关系。比例尺的计算公式为：，实际距离相同的情况下，如果两张地图的比例尺不同，那么图上距离就会不同。据此解答。 （2）根据比例尺的计算公式为：，代入数据计算，根据1千米＝1000米，1米＝100厘米，先把450千米转化为以厘米为单位再计算。 【规范解答】（1）答：实际距离一样，两幅图所用比例尺不一样，量的得图上距离就不一样，所以老师说他量的数据都对。 （2））3厘米∶450千米＝3厘米∶45000000厘米＝3∶45000000＝（3÷3）∶（45000000÷3）＝1∶15000000 答：第一张地图的比例尺是1∶15000000。 【精练题02】（2024·山西晋中·小升初真题）临近毕业，A、B两校六年级学生分别为自己的母校绘制了学校平面图，作为礼物送给母校。请你帮助他们完成下面以“约‘绘’我的校园——绘制校园平面图”为主题的项目学习任务。 任务一：实地测量，收集数据。 A校同学测得学校长150米，宽120米。他们要把校园平面图画在一张A4纸上（A4纸尺寸：长297mm宽210mm），选择（    ）的比例尺合适（注意：图的大小要合适哟）。 任务二：确定比例尺，绘制平面图。 B校同学测得学校旗杆在大门正北方向60米处，科技楼在大门东偏北40°的方向90米处。帮助B校同学在下面算出大门到旗杆和科技馆的有关数据，然后在右边B校同学画的部分校园平面图中标出旗杆和科技馆的位置。 【答案】1∶800；图见详解 【思路点拨】任务一：根据图上距离∶实际距离＝比例尺，结合学校的长、宽与A4纸的大小，求出比例尺； 任务二：根据实际距离×比例尺＝图上距离，求出实际60米、90米的图上长度；结合”上北下南，左西右东“，确定方向和距离，进而画出旗杆、科技楼的位置。 【规范解答】任务一：150米＝15000厘米 A4纸长297毫米，约是30厘米，留少量空白可以看作学校的长在图中是25厘米。 25∶15000＝1∶600 120米＝12000厘米 A4纸宽210毫米，约是20厘米，留少量空白可以看作学校的宽在图中是15厘米。 15∶12000＝1∶800 所以选择1∶800的比例尺合适。（答案不唯一） 任务二：60米＝6000厘米 6000×＝2（厘米） 90米＝9000厘米 9000×＝3（厘米） 所以大门到旗杆的图上距离是2厘米，大门到科技馆的图上距离是3厘米。 考点讲练11：应用比例尺画图 【精讲题】（23-24六年级下·内蒙古通辽·期中）小明家正北方向300米是科技馆，科技馆正东方向600米是动物园，动物园南偏西30°方向400米是书店。画出上述地点的平面图。（比例尺是1∶10000） 【答案】见详解 【思路点拨】以图上的“上北下南，左西右东”为准，比例尺是1∶10000表示图上1厘米相当于实际距离100米。 在小明家正北方向上画300÷100＝3厘米长的线段即是科技馆； 在科技馆正东方向上画600÷100＝6厘米长的线段即是动物园； 在动物园南偏西30°方向上画400÷100＝4厘米长的线段即是书店。 【规范解答】10000厘米＝100米 比例尺1∶10000表示图上1厘米相当于实际距离100米。 300÷100＝3（厘米） 600÷100＝6（厘米） 400÷100＝4（厘米） 如图： 【精练题01】（23-24六年级下·江西九江·期末）根据材料，画出曹操高陵遗址博物馆保护棚的平面图。 2023年4月27日，曹操高陵遗址博物馆举行开馆仪式。建于遗址之上的钢结构保护棚是长为140米，宽为120米的长方形，在施工过程中采用了巨型桁钢架结构平移技术，做到了与文物本体的“零”接触，达到国内领先水平。 【答案】画图见详解 【思路点拨】由高级单位米转换成低级单位厘米，乘进率100，据此把该长方形的长和宽分别转化成以厘米为单位； 根据图上距离＝实际距离×比例尺，将数据代入计算出画在图上的长方形长和宽的厘米数，据此画图即可。 【规范解答】由分析可得： 140米＝（140×100）厘米＝14000厘米 120米＝（120×100）厘米＝12000厘米 14000×＝3.5（厘米） 12000×＝3（厘米） 画图如下： 【精练题02】（21-22六年级下·安徽黄山·期末）如图，学校大门在孔子雕像的正东方240米处。1号教学楼在孔子雕像北偏东45°的200米处。    （1）分别计算出学校大门、1号教学楼到孔子雕像的图上距离。 （2）在图纸上画出学校大门和1号教学楼的位置。 【答案】（1）学校大门6厘米；1号教学楼5厘米 （2）见详解 【思路点拨】（1）根据进率“1米＝100厘米”以及“图上距离＝实际距离×比例尺”，分别求出学校大门、1号教学楼到孔子雕像的图上距离。 （2）以图上的“上北下南，左西右东”为准，在孔子雕像的正东方画6厘米长的线段，即是学校大门；在孔子雕像的北偏东45°方向画5厘米长的线段，即是1号教学楼。 【规范解答】（1）240米＝24000厘米 24000×＝6（厘米） 200米＝20000厘米 20000×＝5（厘米） 答：学校大门到孔子雕像的图上距离是6厘米，1号教学楼到孔子雕像的图上距离是5厘米。 （2）如图：    【考点评析】本题考查比例尺的应用、根据比例尺画图以及根据方向、角度和距离确定物体的位置。 考点讲练12：图形的放大与缩小 【精讲题】（2025六年级下·全国·专题练习）看图回答问题。 (1)图中( )号图形是①号长方形缩小后的图形，它是按( )的比缩小的。 (2)图中( )号图形是①号长方形放大后的图形，它是按( )的比放大的。 【答案】(1) ③ 1∶2 (2) ⑤ 2∶1 【思路点拨】先确定①号长方形的长和宽，再通过观察其他图形的长和宽，找出与①号长方形存在放大或缩小关系的图形，最后根据长和宽的变化确定放大或缩小的比例。 【规范解答】（1）①号长方形长4个方格，宽2个方格； ③号图形长占2个方格，宽占1个方格； 计算③号图形长与①号图形长的比为2∶4＝（2÷2）∶（4÷2）＝1∶2，宽的比为1∶2，长和宽的缩小比例相同，所以③号图形是①号长方形缩小后的图形，是按1∶2的比缩小的。 （2）观察①号长方形，数方格可知它的长占4个方格，宽占2个方格。 对于⑤号图形，同样数方格可得它的长占8个方格，宽占4个方格。 计算⑤号图形长与①号图形长的比为8∶4＝（8÷4）∶（4÷4）＝2∶1，宽的比为4∶2＝2∶1 长和宽的放大比例相同，所以图中⑤号图形是①号长方形放大后的图形，是按2∶1的比放大的。 【精练题01】（23-24六年级下·福建漳州·期中）操作。 （1）图中的平行四边形沿高分成了两部分。把其中的三角形向（    ）平移（    ）格，平行四边形就变成了长方形。 （2）把小旗子绕点A顺时针旋转°，画出旋转后的图形。 （3）在梯形的右面按2∶1画出梯形放大后的图形。原来梯形面积是放大后梯形面积的（    ）。 【答案】（1）右；4 （2）见详解 （3）作图见详解； 【思路点拨】（1）根据平行四边形面积公式推导过程，平行四边形沿高分成两部分，通过平移可以拼成一个长方形，确定一个图形平移后的位置，除需要原来的位置外，还需要知道平移的方向、平移的距离。 （2）作旋转一定角度后的图形步骤：根据题目要求，确定旋转中心、旋转方向和旋转角；分析所作图形，找出构成图形的关键点；找出关键点的对应点：按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点；作出新图形，顺次连接作出的各点即可。 （3）根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，分别计算出放大前后的面积，将放大后的面积看作单位“1”，原来面积÷放大后梯形的面积＝原来梯形面积是放大后梯形面积的几分之几或百分之几。 【规范解答】（1）图中的平行四边形沿高分成了两部分。把其中的三角形向右平移4格，平行四边形就变成了长方形。 （2）作图如下： （3）（1＋3）×2÷2 ＝4×2÷2 ＝4 （2＋6）×4÷2 ＝8×4÷2 ＝16 4÷16＝＝ 原来梯形面积是放大后梯形面积的或25%。 【精练题02】（2024·山西长治·小升初真题）按要求在下面的方格纸上画图。（每个小方格表示1平方厘米） （1）在方格纸上按1∶2的比画出三角形A缩小后的图形。 （2）在方格纸上画出图形B以虚线为对称轴的对称图形。 （3）在方格纸上画出以点O为圆心，半径为3厘米的圆，画出的圆的面积是（    ）平方厘米。 【答案】（1）（2）（3）图见详解 （3）28.26 【思路点拨】（1）根据图形放大与缩小的意义，把三角形的高、底分别缩小到原来的，所得到的图形就是原图按l∶2缩小后的图形； （2）根据轴对称的性质，先找出图形B的几个顶点关于直线的对称点，再依次连接起来即可得出图形； （3）先确定圆心，即点O，用圆规有针的一脚固定在圆心，然后以圆规两脚之间的距离为3厘米进行旋转一周，得到的图形就是我们要画的圆；再根据圆的面积＝πr2，据此画图即可。 【规范解答】（1）（2）（3）作图如下： （3）3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 画出的圆的面积是28.26平方厘米。 考点讲练13：比例的应用 【精讲题】（23-24六年级下·广东韶关·期末）《中华人民共和国国旗法》规定：国旗的长与宽的比是3∶2，国旗的通用尺度规定为五种，各界酌情选用。如果实验小学选用的国旗长是288厘米，那么宽应该是多少厘米？（用比例知识解答） 【答案】192厘米 【思路点拨】设宽应该是x厘米，根据题意，国旗的长与宽的比是3∶2，列比例：288∶x＝3∶2，解比例，即可解答。 【规范解答】解：设宽应该是x厘米。 288∶x＝3∶2 3x＝288×2 3x＝576 x＝576÷3 x＝192 答：宽应该是192厘米。 【精练题01】（23-24六年级下·云南玉溪·期末）施工队计划要修一段20千米的水渠，10天修了全长的。照这样计算，修完这段水渠共要多少天？下面是同学们的解答，你认为合理的有（    ）个。 小聪：（天）；小明：（天）。 小智：10天修，20天修，30天修，70天修，80天修完全长。 小军：解：设修完这段水渠共需要x天，，。 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【思路点拨】小聪的算法：根据求一个数的几分之几是多少，用这个数×几分之几，即用20×求出10天修了多少千米，再利用10天修的长度÷10天，求出每天修多少千米，最后求出修完这段水渠共要多少天，20÷（20×÷10）＝80，算法正确。 小明的算法：把水渠的长度看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间；先用÷10，求出工作效率，再根据工作时间＝工作总量÷工作效率，用1除以工作效率，求出修完这段水渠共要多少天，1÷（÷10）＝80天，算法正确。 小智的算法：利用修的天数与分率，得出修完这段水渠共要多少天，10天修，20天修，30天修，70天修，80天修完全长，算法正确。 小慧的算法：把这段水渠的长度看作单位“1”；设修完这段水渠需要x元，根据工作总量∶10天修的工作总量的分率比与工作总天数比已修的天数比不变；小军：解：设修完这段水渠共需要x天，1∶＝x∶10，x＝80；算法正确。 【规范解答】根据分析可知，小聪、小明、小智、小军的算法正确。 施工队计划要修一段20千米的水渠，10天修了全长的。照这样计算，修完这段水渠共要多少天？下面是同学们的解答，认为合理的有4个。 故答案为：A 【精练题02】（23-24六年级下·广东佛山·期中）如图，自行车上的两个齿轮通过链条转动，在同一时间内，大、小齿轮转过的齿数是相同的。 （1）当转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数与转过的圈数成什么比例，为什么？ （2）大齿轮有50个齿，小齿轮有20个齿，如果大齿轮每分转12圈，那么小齿轮每分转多少圈呢？ （3）骑自行车时，自行车后轮随大齿轮的转动而转动，已知后轮与大齿轮圈数之比为2∶3，如果后轮直径为80厘米，请问骑行该自行车走1256米时，小齿轮转了几圈？ 【答案】（1）反比例；每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定） （2）30圈 （3）1875圈 【思路点拨】（1）两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；xy＝k（一定），x和y成反比例关系，据此分析； （2）设小齿轮每分转x圈，根据每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定），列出反比例算式解答即可； （3）圆的周长＝圆周率×直径，据此求出后轮周长，自行车行驶距离÷后轮周长＝后轮转的圈数，先设大齿轮转了x圈，根据后轮转的圈数∶大齿轮转的圈数＝2∶3，列出比例求出x的值是大齿轮转的圈数；再设小齿轮转了y圈，根据每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定），列出反比例算式，即可求出小齿轮转的圈数。 【规范解答】（1）当转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数与转过的圈数成反比例，因为每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定）。 （2）解：设小齿轮每分转x圈。 20x＝50×12 20x＝600 20x÷20＝600÷20 x＝30 答：小齿轮每分转30圈。 （3）80厘米＝0.8米 3.14×0.8＝2.512（米） 1256÷2.512＝500（圈） 解：设大齿轮转了x圈。 500∶x＝2∶3 2x＝500×3 2x÷2＝1500÷2 x＝750 解：小齿轮转了y圈。 20y＝50×750 20y＝37500 20y÷20＝37500÷20 y＝1875 答：小齿轮转了1875圈。 【考点评析】关键是确定比例关系，商一定是正比例关系，积一定是反比例关系，用比例解决问题只要比例两边的比统一即可。 1．（2024春•正定县期中）关于比例关系的判断，以下说法正确的有　　个。 （1）订同一份杂志的钱数和份数成正比例关系。 （2）正方形的面积和它的边长成正比例关系。 （3）圆的面积和它的直径成反比例关系。 （4）三角形的面积一定，它的底和高成反比例关系。 A．3 B．2 C．1 D．4 【思路点拨】两种相关联的量，如果比值一定，就成正比例关系，如果乘积一定，就成反比例关系； （1）订同一份杂志时，钱数和份数的比值一定，据此分析； （2）正方形的面积边长边长，即正方形的面积与它的边长的比值不一定，据此分析； （3）圆的面积直径直径，由此判断； （4）三角形的底高面积，由此判断。 【规范解答】解：（1）订杂志的钱数份数每份的钱数，订同一份杂志时，每份的钱数不变，则订同一份杂志的钱数和份数成正比例关系； （2）正方形的面积边长边长，因此正方形的面积和它的边长不成正比例关系； （3）圆的面积和它的直径不成反比例关系； （4）三角形的底高面积，则三角形的面积一定时，它的底和高成反比例关系。 综上所述，正确的是（1）（4），共2个。 故选：。 【考点评析】本题考查的是正比例和反比例的应用。 2．（2024•渝中区）聪聪的笔记本电池条会显示剩余电量的比例。聪聪使用笔记本电脑4小时20分钟后，电量从变为。如果聪聪再使用笔记本电脑130分钟，电池条会显示　　 A． B． C． D． 【思路点拨】依据题意可知，使用笔记本电脑4小时20分钟后，电脑电量从10格变成6格，由此计算电量用1格需要多少时间，然后计算使用130分钟，用掉多少格电量。 【规范解答】解：4小时20分钟分 （格 （分格） （格 （格 答：电池条会显示4格。 故选：。 【考点评析】解决本题的关键是找出题中数量关系。 3．（2024•通州区）摄影师把一张照片按的比放大，放大后照片的面积是原来照片的　　 A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．8倍 【思路点拨】依据题意可知，照片是长方形的，利用长方形的面积长宽，结合题中数据计算即可。 【规范解答】解：，摄影师把一张照片按的比放大，放大后照片的面积是原来照片的4倍。 故选：。 【考点评析】本题考查的是图形的放大的应用。 4．（2024•宣州区）在一张长方形纸上剪一个最大的三角形，三角形的面积占长方形面积的 　50　． 【思路点拨】在一张长方形纸上剪一个最大的三角形，三角形和长方形等底等高，根据“三角形的面积底高”可知：三角形的面积等于和它等底等高的长方形面积的一半，把三角形的面积看作“1份”，长方形的面积即为2份，根据求一个数是另一个数数的几分之几，用除法解答即可． 【规范解答】解：； 答：三角形的面积占长方形面积的； 故答案为：50． 【考点评析】解答此题的关键是通过分析得出三角形和与它等底等高的长方形面积的关系，进而根据求一个数是另一个数数的几分之几，用除法解答即可． 5．（2024•岚山区）如果，当一定时， 和成　反　比例．当一定时，和成　 　比例． 【思路点拨】根据正比例的意义和反比例的意义：即看两种相关联量是比值一定还是乘积一定，如乘积一定，则两种量成反比例；如比值一定，则两种量成正比例；进行解答即可． 【规范解答】解：如果，当一定时，即：（一定），则和成反比例； 当一定，即：（一定），则和成正比例； 故答案为：反，正． 【考点评析】解答此题的关键是：看两种相关联量是比值一定还是乘积一定，如乘积一定，则两种量成反比例；如比值一定，则两种量成正比例；进行解答即可． 6．（2024•江阳区校级模拟），则和成　正　比例． 【思路点拨】判断和成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例． 【规范解答】解：因为， 则有，（一定）， 是和对应的比值一定，所以和成正比例关系； 故答案为：正． 【考点评析】此题属于根据正、反比例的意义，辨识两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，还是对应的其它量一定，再做出判断． 7．（2024•岳池县）解方程或解比例。 ① ② ③ 【思路点拨】①，利用等式性质二去计算； ②，利用比例的基本性质和等式性质二去计算； ③，利用比与除法的关系去计算。 【规范解答】解：① ② ③ 【考点评析】本题考查的是解分数方程和解比例的应用。 8．（2024•梅州）奇思参加了编程无人机的飞行比赛，请在如图方格纸上按要求画出奇思的无人机飞行的过程。 （1）无人机以为对称轴翻转，请画出无人机翻转后的图形。 （2）翻转后的无人机（图向右平行飞行7格，请画出飞行后得到的图形。 （3）将无人机（图按的比，画出放大后的图形。 【思路点拨】（1）利用轴对称图形的特点结合图示作图； （2）找出无人机各个顶点向右平行飞行7格后的各个点，依次连接，由此作图； （3）依据题意可知，无人机各个边分别扩大2倍，由此作图。 【规范解答】解：（1）如图： （2）如图： （3）如图： 。 【考点评析】本题考查的是轴对称图形，平移，图形放大的应用。 9．（2024•交城县）人们常说“地下文物看陕西，地上文物看山西。”山西晋祠是现存最古老的皇家园林。其中周柏是晋祠“三绝”之一，树龄已超3000年。树高21.9米，主干直径约2米。如图是周柏主干横截面示意图，奇思把它12等分。 （1）量得如图中圆直径是 　2　厘米，这幅图的比例尺是 　　。 （2）树干上点在点 　　　　的方向上，距离点 　　米。 （3）连接、，画出将三角形绕点顺时针旋转后的图形。 （4）在示意图旁边画出这个周柏横截面按缩小后的图形。 【思路点拨】（1）量得如图中圆直径是2厘米，比例尺图上距离实际距离，由此解答本题； （2）利用平面图上方向规定：上北下南左西右东，依据题意结合图示去解答。 （3）找出三角形的三个顶点绕点顺时针旋转后的点，依次连接，由此作图； （4）依据题意可知，缩小后的圆的直径是米，由此作图。 【规范解答】解：（1）量得如图中圆直径是2厘米，2米厘米，，这幅图的比例尺是。 （2），树干上点在点北偏东的方向上，距离点米。 （3）如图： ； （4）圆的直径：（米 0.04米厘米，如图： 。 故答案为：2，；北偏东，30，100。 【考点评析】本题考查的是比例尺，图形缩小以及根据方向和距离确定物体位置的应用。 10．（2024春•灵宝市期中）2023年央视春晚主舞台以“庙底沟彩陶花瓣纹”文物元素为创意令全国人民眼前一亮！三门峡庙底沟考古遗址公园、“庙底沟博物馆”位于召公路与陕州大道交叉口处。周末王浩和张虹相约一起到博物馆参观。 （1）参观过程中，王浩记录了一件彩陶盆的信息（如图，他想把这件陶器按照缩小画在图纸上，口径应画 　13.35　，高应画 　　。 （2）张虹在参观过程中也记录了一件小型陶罐的相关数据：陶罐（如图的上口是半径为的圆，下口是半径为的圆，陶罐高。张虹回到学校后把该陶罐的下口画在一张方格纸上。请你把它的下口按照放大画在如图的方格纸上。 （3）参观结束后，他们用图上表示实际距离绘制了一份“庙底沟博物馆”周边地图。该地图的比例尺是 　　。 【思路点拨】（1）在图纸上，口径应画厘米，高应画厘米，由此解答本题； （2）它的下口在图上半径为厘米，由此解答本题； （3）比例尺图上距离：实际距离，注意单位统一。 【规范解答】解：（1）（厘米） （厘米） 答：口径应画，高应画。 （2）（厘米），如图：。 （3）2千米厘米，比例尺。 故答案为：13.35，4.15；。 【考点评析】本题考查的是图形的放大与缩小，比例尺的应用。 11．（2022•南开区）如图所示，圆的面积与长方形面积相等，则阴影部分的周长与圆周长的比是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】通过观察图形可知，长方形的宽等于圆的半径，根据圆的周长公式：，那么，据此求出半径，根据圆的面积公式：，长方形的面积公式：，那么，据此求出长方形的长，然后根据长方形的周长公式：，由此可知，阴影部分的周长等于长方形的两条长加上圆周长的四分之一，把圆的周长看作单位“1”，把圆的周长平均分成4份，则阴影部分的周长相当于份，再根据比的意义解答即可。 【规范解答】解：假设圆的周长是12.56厘米， 圆的半径：（厘米） 圆的面积： （平方厘米） 长方形的长：（厘米） 阴影部分的周长： （厘米） 阴影部分的周长与圆的周长的比是： 答：阴影部分的周长与圆的周长的比是。 故选：。 【考点评析】此题主要考查圆的周长公式、面积公式、长方形的面积公式、周长公式的灵活运用，比的意义及应用，关键是熟记公式。 12．（2022•南开区）一个比例式，两个外项的和是16，一个外项是另一个外项的3倍，两个比的比值是。这个比例式是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】设一个外项是，则另一个外项是，根据两个外项的和是16，列方程求出两个外项；再分两种情况：①当第一个外项是4，第二个外项是12时，②当第一个外项是12，第二个外项是4时，分别求出两内项，写出比例式即可。 【规范解答】解：设一个外项是，则另一个外项是，根据题意列方程 另一个外项是： ①当第一个外项是4，第二个外项是12时， 因为两个比的比值是， 所以第一个内项是： 第二个内项是： 所以这个比例式是： ②当第一个外项是12，第二个外项是4时， 因为两个比的比值是， 所以第一个内项是： 第二个内项是： 所以这个比例式是： 故选：。 【考点评析】本题主要考查了比的意义和基本性质，解题的关键是求出比例式的外项。 13．（2024春•蕉岭县期中）两个完全一样的水桶要装满水，淘气、笑笑分别用大杯和小杯舀水，每次都将水杯盛满．第一桶用12大杯和25小杯正好装满，第二桶用20大杯和15小杯也正好装满．大杯和小杯的容积之比是　　． 【思路点拨】将大杯的容积设为，小杯的容积设为，根据题意可以得出，然后根据等式的基本性质可以得出，所以． 【规范解答】解：设大杯的容积为，小杯的容积为； 根据题意可以得出： ； 那么：； 答：大杯和小杯的容积之比是． 故答案为：． 【考点评析】本题关键是设出未知数，根据等量关系列出方程，然后再根据比例的基本性质进行解答． 14．（2023•凤台县）（1）若、，则　4　　　。 （2）如表，若和成反比例，则△　　。 12 24 5 △ 【思路点拨】（1）根据比例的基本性质，在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 （2）和成反比例，所以乘积一定。 【规范解答】解：（1） （2） 故答案为：（1）4，3。（2）2.5。 【考点评析】此题考查了化简比根据比的基本性质作答，即比的前项和后项同时乘或除以一个数除外），比值不变；解反比例时，它们的乘积一定。 15．（2021春•新沂市期中）在一幅比例尺是的地图上量的两地长6厘米，两地的实际距离是　120　千米，把两地画在第二幅地图上，长12厘米，第二幅地图的比例尺是　　，两地长240千米，画在第二幅地图上长　　厘米． 【思路点拨】根据“图上距离比例尺实际距离”，代入数值即可求两地间的实际距离，根据比例尺图上距离实际距离，代入数值计算出第二幅地图的比例尺，进而根据“实际距离比例尺图上距离”即可解答第三问． 【规范解答】解：（厘米） 12000000厘米千米 240千米厘米 （厘米） 答：两地的实际距离是120千米，第二幅地图的比例尺是，两地长240千米，画在第二幅地图上长24厘米． 故答案为：120，，24． 【考点评析】解答此题应根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论．要注意单位的统一． 16．（2024春•苍南县期中）巧解密码我能行 ． 【思路点拨】通过观察，这几题都可利用比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积，先把比例化成方程形式，再利用等式的性质解方程． 【规范解答】解：① ② 【考点评析】主要考查比例的基本性质的应用，注意掌握比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积． 17．（2022•即墨区）某工厂生产一批零件，原计划每天生产25件，18天完成任务。实际每天多生产，可提前几天完成任务？（用比例知识解答） 【思路点拨】把一批零件的总数看作单位“1“，批零件的总数一定，所以每天生产的件数与天数成反比例，设出未知数，列出比例计算即可。 【规范解答】解：设可提前天完成任务。 答：可提前3天完成任务。 【考点评析】本题考查了比较复杂的百分数和比例的问题。首先需要求出实际每天生产的件数。 18．（2021•兴义市）在一张长方形彩纸上摆满小正方形，每个小正方形面积与所需小正方形的数量如表： 每个小正方形的面积 4 9 16 所需小正方形的数量个 216 96 54 （1）每个小正方形的面积与所需小正方形的数量成 　反　比例关系。 （2）如果采用面积是的小正方形来摆满这张长方形彩纸，需要多少个小正方形？（用比例方法解答） 【思路点拨】（1）每个小正方形的面积小正方形的数量长方形彩纸的面积；长方形彩纸的面积一定，每个小正方形的面积与所需小正方形的数量成反比例关系。 （2）长方形彩纸的面积需要小正方形个数，由此解答。 【规范解答】解：（1）长方形彩纸的面积一定，每个小正方形的面积与所需小正方形的数量成反比例关系。 （2）设需要多个小正方形。 答：（1）每个小正方形的面积与所需小正方形的数量成反比例关系。 （2）需要24个小正方形。 故答案为：反，24。 【考点评析】解决此题关键是根据比值一定或乘积一定，先列出比例，进而根据比例的性质先把比例式转化为乘积式来解比例得解；注意等号要对齐。 19．（2019•云龙区）甲、乙两车间原有人数的比为，从甲车间调12人到乙车间后，甲、乙两车间的人数比变为，甲车间原有多少人？ 【思路点拨】甲、乙两车间原有人数的比为，则甲车间的人数占总人数的，从甲车间调12人到乙车间后，甲、乙两车间的人数比变为，这时甲车间的人数占总人数的，则这12人占总人数的，根据分数除法的意义，用12除以求出总人数，再用总人数乘即可求出甲车间原有多少人。 【规范解答】解： （人 （人 答：甲车间原有40人。 【考点评析】本题考查了比较复杂的有关比和问题和分数的除法问题。 20．（2023•播州区）作图题。每一小格正方形代表1平方厘米。 （1）三角形的面积是 　3　平方厘米。 （2）画一个长方形，使长方形的面积是三角形面积的4倍。 （3）画出把长方形按的比缩小后的图形。 （4）缩小后的图形与原来长方形的面积比是 　　。 【思路点拨】（1）根据三角形的面积公式：，把数据代入公式解答。 （2）根据长方形的面积长宽，已知长方形的面积确定长、宽，再根据长方形的画法画出这个长方形。（答案不唯一） （3）根据图形缩小的方法，先分别求出缩小2倍后，长、宽各是多少，据此作图即可。 （4）根据长方形的面积长宽，求出缩小后的长方形的面积，然后根据比的意义解答。 【规范解答】解：（1）（平方厘米） 答：三角形的面积是3平方厘米。 （2）（平方厘米） 可以画一个长是6厘米，宽是2厘米的长方形（答案不唯一），作图如下： （3）（厘米） （厘米） 作图如下： （4）（平方厘米） 答：缩小后的图形与原来长方形的面积比是。 故答案为：3；。 【考点评析】此题主要考查三角形、长方形面积公式的灵活运用，图形缩小的方法及应用，比的意义及应用。 基础夯实优选题专练 1．（24-25六年级下·海南海口·期末）甲、乙两地的实际距离是280千米，在一幅地图上的距离是7厘米，这幅地图的比例尺是（    ）。 A．1∶400 B．1∶4000 C．1∶40000 D．1∶4000000 【答案】D 【思路点拨】根据比例尺的意义作答，即比例尺是图上距离与实际距离的比；据此解答。 【规范解答】280千米＝280000米＝28000000厘米 7∶28000000 ＝（7÷7）∶（28000000÷7） ＝1∶4000000 这幅地图的比例尺是1∶4000000。 故答案为：D 2．（23-24六年级下·安徽黄山·期末）下列成反比例关系的是（    ）。 A．圆的面积一定，它的半径与圆周率 B．平行四边形的面积一定，它的底与高 C．同学的年龄一定，他们的身高与体重 D．三角形的高不变，它的底和面积 【答案】B 【思路点拨】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两个量中相对应的两个数的比值一定，这两种量叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系，用式子表示为：＝k；如果这两个量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系，用式子表示为：xy＝k；据此解答。 【规范解答】A．因为圆的面积＝πr2，圆周率π是一个固定值，所以圆的面积一定时，圆的半径是一个固定值，所以圆的面积一定，它的半径与圆周率不成反比例关系； B．因为底×高＝平行四边形的面积（一定），所以平行四边形的面积一定时，它的底和高成反比例关系； C．因为年龄、身高、体重不是相关联的量，所以同学的年龄一定时，身高与体重不成比例； D．因为＝高（一定），所以三角形的高一定时，它的底和面积成正比例关系，不成反比例关系。 故答案为：B 3．（23-24六年级下·河北保定·期末）下面各比，能与∶组成比例的是（    ）。 A．2∶3 B．3∶2 C．∶ D．0.3∶2 【答案】B 【思路点拨】求比值：比的前项除以后项得到的商就是比值。可以是整数、小数或分数。求出∶以及各选项的比值，比值与∶的比值相等的即能与∶组成比例。 【规范解答】 A．，，该选项不符合题意。 B．，，该选项符合题意。 C．，，该选项不符合题意。 D．，，该选项不符合题意。 故答案为：B 4．（23-24六年级下·贵州六盘水·期中）“五一”小长假，小华乘坐客车从盘州到贵阳去看望上大学的姐姐，汽车行驶的速度和所用时间（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．不能确定 【答案】B 【思路点拨】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两个量中相对应的两个数的比值一定，这两种量叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系，用式子表示为：＝k；如果这两个量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系，用式子表示为：xy＝k；据此解答。 【规范解答】因为汽车行驶的速度×所用时间＝总路程（一定），满足汽车行驶的速度和所用时间的乘积一定，所以它们成反比例关系。 “五一”小长假，小华乘坐客车从盘州到贵阳去看望上大学的姐姐，汽车行驶的速度和所用时间成反比例关系。 故答案为：B 5．（24-25六年级下·海南海口·单元测试）一个精密零件4毫米，画在图纸上是12厘米，这幅图纸的比例尺是（    ）。 A．1∶30 B．1∶3 C．30∶1 【答案】C 【思路点拨】根据图上距离∶实际距离＝比例尺，写出图上距离与实际距离的比，化简即可。 【规范解答】12厘米∶4毫米＝120毫米∶4毫米＝（120÷4）∶（4÷4）＝30∶1 这幅图纸的比例尺是30∶1。 故答案为：C 6．（24-25六年级下·全国·单元测试）一个复印机上有标着“25%”“50%”“100%”“200%”的设置参数的按键，“50%”表示将原文件按1∶2缩小。依次按“25%”、“200%”键，表示先将原文件按( )∶( )缩小，再按( )∶( )放大。这样( )（填“能”或“不能”）实现将文件按原大小复印。 【答案】 1 4 2 1 不能 【思路点拨】25%即，化为最简分数是，由比和分数的关系可知，＝1∶4，“25%”表示将原文件按1∶4缩小，200%即＝2，“200%”表示把缩小后的文件按2∶1放大，假设出原文件大小，再求出复印之后文件的大小，复印之后文件的大小＝原文件大小××2，最后比较大小，即可求得。 【规范解答】25%＝＝＝＝1∶4 200%＝＝2＝2∶1 假设原文件大小为a。 a××2 ＝a×（×2） ＝a× ＝a 因为a＜a，所以复印之后的文件比原文件小。 综上所述，依次按“25%”、“200%”键，表示先将原文件按1∶4缩小，再按2∶1放大。这样不能实现将文件按原大小复印。 7．（23-24六年级下·福建龙岩·期中）已知，那么( )∶( )；已知，则( ) 【答案】 5 3 24 【思路点拨】根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，根据，A和3是外项，则B和5是内项，则；根据比例的基本性质，由，得出。 【规范解答】已知，那么；已知，则。 8．（23-24六年级下·贵州遵义·期中）解方程或者解比例。 ＝          7.5∶x＝1.2∶0.4 x－75%x＝         45÷x＝5 【答案】x＝42；x＝2.5 x＝；x＝81 【思路点拨】＝，解比例，原式化为：2.5x＝15×7，再根据等式的性质2，方程两边同时除以2.5即可。 7.5∶x＝1.2∶0.4，解比例，原式化为：1.2x＝7.5×0.4，再根据等式的性质2，方程两边同时除以1.2即可。 x－75%x＝，先化简方程左边含有x的算式，即求出1－75%的差，再根据等式的性质2，方程两边同时除以1－75%的差即可。 45÷x＝5，根据等式的性质2，方程两边同时乘x，再同时除以5，再根据等式的性质2，方程两边同时除以即可。 【规范解答】＝ 解：2.5x＝15×7 2.5x＝105 2.5x÷2.5＝105÷2.5 x＝42 7.5∶x＝1.2∶0.4 解：1.2x＝7.5×0.4 1.2x＝3 1.2x÷1.2＝3÷1.2 x＝2.5 x－75%x＝ 解：0.25x＝ 0.25x÷0.25＝÷0.25 x＝÷ x＝×4 x＝ 45÷x＝5 解：45÷x×x÷5＝5÷5×x x＝45÷5 x＝9 x÷＝9÷ x＝9×9 x＝81 9．（2025六年级下·全国·专题练习）给一个房间铺地砖，如果使用面积是9平方分米的方砖，需要96块，如果改用面积是4平方分米的方砖需要多少块？ 【答案】216块 【思路点拨】设如果改用面积是4平方分米的方砖需要x块，由于房间的总面积不变，所以方砖的数量与单块面积成反比例关系，据此列出反比例方程解答即可。 【规范解答】解：设如果改用面积是4平方分米的方砖需要x块。 4x＝9×96 4x＝864 4x÷4＝864÷4 x＝216 答：如果改用面积是4平方分米的方砖需要216块。 10．（23-24六年级下·河北保定·期末）2021年11月7日下午，神舟十三号航天员进行空间站首次出舱活动，由翟志刚、王亚平执行舱外任务，叶光富留守舱内配合操作指挥，这是中国女性航天员首次进行太空漫步。宇航员在舱外执行任务时，空间站是围绕地球飞行的，飞行一圈就可以看到一次日出。本次出舱任务执行时间持续了6小时，在此期间，宇航员从空间站看到了4次日出。那么，宇航员在空间站一天能看到几次日出呢？ 【答案】16次 【思路点拨】时间÷看日出次数＝相邻每两次看日出间隔时间，相邻每两次看日出的时间间隔是固定的，即时间和看日出的次数成正比。一天是24小时，将宇航员在空间站一天能看到日出的次数设为未知数，再根据正比例关系列出比例，解比例即可。 【规范解答】解：设宇航员在空间站一天能看到x次日出。 6∶4＝24∶x 6x＝4×24 6x＝96 6x÷6＝96÷6 x＝16 答：宇航员在空间站一天能看到16次日出。 培优优选题专练 11．（2023·四川·小升初真题）盒子里有黑、白两种棋子，先放入一些白棋子，这样使得盒子中黑、白棋子的比是2∶5，然后又放入一些黑棋子，这样使得盒子中的黑、白棋子的比是3∶5。如果放入的黑棋子和白棋子的数量比是3∶7，那么原来盒子中黑、白棋子的数量之比是（    ）。 A．6∶5 B．5∶6 C．4∶3 D．3∶4 【答案】D 【思路点拨】设原来有黑棋子x个，白棋子y个。先放入一些白棋子，这样使得盒子中黑、白棋子的比是2∶5，黑棋子没有发生改变，则现在的白棋子是黑棋子的，则白棋子有个，则放进白棋子的数量＝现在白棋子的数量－原来白棋子的数量＝个。然后又放入一些黑棋子，这样使得盒子中的黑、白棋子的比是3∶5，白棋子的数量没有发生改变，现在黑棋子的数量是白棋子的，则现在黑棋子的数量为个，那么放进去的黑棋子的数量＝现在黑棋子的数量－原来黑棋子的数量＝个。根据放入的黑棋子和白棋子的数量比是3∶7列出比例，再根据比例的基本性质化简比例得出，根据比例的基本性子，x∶y＝3∶4。 【规范解答】设：原来有黑棋子x个，白棋子y个。 x∶y＝3∶4 原来盒子中黑、白棋子的数量之比是3∶4 故答案为：D 12．（21-22六年级下·湖南益阳·期末）甲乙两个工程队分别承包了两个老旧小区加装电梯的任务。当甲工程队完成了任务的时，乙工程队已完成的与未完成的任务比是5∶2，这时两队剩下的加装电梯的任务一样多。根据以上信息，可以知道（    ）。 A．甲工程队承包的任务多 B．乙工程队承包的任务多 C．两队一样多 D．无法判断 【答案】A 【思路点拨】把甲工程队的任务看作单位“1”，甲完成，则还剩下甲任务的（1－）； 把乙工程队的任务看作单位“1”，乙工程队已完成的与未完成的任务比是5∶2，则乙完成了，还剩下乙任务的1－＝； 已知这时两队剩下的加装电梯的任务一样多，根据分数乘法的意义可得：甲×＝乙×；然后根据比例的基本性质改写成甲∶乙＝∶，再化简比，求出甲、乙的任务之比；份数多的，承包的任务就多。 【规范解答】甲剩下任务的：1－＝ 乙剩下任务的：1－＝ 甲×＝乙× 甲∶乙＝∶ ＝（×35）∶（×35） ＝10∶7 10＞7，所以甲工程队承包的任务多。 故答案为：A 【考点评析】本题考查比的应用，分别求出甲、乙剩下的任务，根据剩下的任务一样多，写出乘法等式，据此写出甲、乙任务的比，并化简比。 13．（20-21六年级下·福建莆田·期末）下面各图中相对应的两个量能组成比例的有（    ）。 （1）平行四边形                  （2）运输       （3）阅读                             （4）糖水        A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【思路点拨】表示两个比相等的式子叫做比例。根据比例的意义可知，比值相等的两个比可以组成比例。 【规范解答】A．平行四边形的底与高的比： 6∶4＝6÷4＝ 3∶2＝3÷2＝ 比值相等，可以组成比例6∶4＝3∶2； B．每天运输总量与运输次数的比： 20∶4＝20÷4＝5 15∶3＝15÷3＝5 比值相等，可以组成比例20∶4＝15∶3； C．小君每天看的页数与小好每天看的页数比，小好看的天数与小君看的天数比： 30∶25＝30÷25＝ 18∶15＝18÷15＝ 比值相等，可以组成比例30∶25＝18∶15； D．糖与水的比： 1∶6＝1÷6＝ 10∶60＝10÷60＝ 比值相等，可以组成比例1∶6＝10∶60。 综上所述，相对应的两个量能组成比例的有①②③④。 故答案为：D 【考点评析】掌握比例的意义及比值的求法是解题的关键。 14．（23-24六年级下·湖南永州·期末）甲乙两数的和是156，甲数的小数点向左移动一位后与乙数的20%相等，那么甲数是( )，乙数是( )。 【答案】 104 52 【思路点拨】从“甲数的小数点向左移动一位后与乙数的20%相等”可得：甲× ＝乙×20%，根据比例的基本性质可得：甲∶乙＝20%∶＝2∶1。甲乙两数的和是156，对应（2＋1）份。用156÷（2＋1）就求出一份的量，即乙；再用和减去乙，就求出了甲。据此解答。 【规范解答】甲× ＝乙×20% 甲∶乙＝20%∶＝20%∶10%＝2∶1 乙：156÷（2＋1） ＝156÷3 ＝52 甲：156－52＝104 甲是104，乙是52。 【考点评析】理解甲数的小数点向左移动一位即缩小到甲的 ，利用比例的基本性质求出甲乙的比是解题关键。 15．（23-24六年级下·广东佛山·期中）甲乙两堆水泥，已知甲堆水泥比乙堆多50袋，当甲堆运走80%，乙堆运走后，甲乙两堆剩下的水泥袋的比是6∶5，甲堆水泥原来有( )袋，乙堆水泥原来有( )袋。 【答案】 150 100 【思路点拨】根据“甲堆水泥比乙堆多50袋”，可以设乙堆原有水泥袋，则甲堆原有水泥（＋50）袋。 把甲堆原有的水泥袋数看作单位“1”，运走80%，则甲堆还剩下原有水泥的（1－80%），根据百分数乘法的意义可知，甲堆还剩下（1－80%）（＋50）袋； 把乙堆原有的水泥袋数看作单位“1”，运走，则乙堆还剩下原有水泥的（1－），根据分数乘法的意义可知，乙堆还剩下（1－）袋； 等量关系式：甲堆剩下的水泥袋数∶乙堆剩下的水泥袋数＝6∶5，据此列出比例方程，并求解。 【规范解答】解：设乙堆原有水泥袋，则甲堆原有水泥（＋50）袋。 （1－80%）（＋50）∶（1－）＝6∶5 0.2（＋50）∶0.25＝6∶5 （0.2＋10）∶0.25＝6∶5 0.25×6＝（0.2＋10）×5 1.5＝＋50 1.5－＝50 0.5＝50 ＝50÷0.5 ＝100 甲原有：100＋50＝150（袋） 甲堆水泥原来有150袋，乙堆水泥原来有100袋。 【考点评析】本题主要考查比例的应用，从题目中找出等量关系，按等量关系列出比例方程是解题的关键。 16．（2023·全国·小升初模拟）求未知数的值。                  【答案】＝10； 【思路点拨】（1）方程两边先同时乘6，把方程化简成，然后方程两边先同时减去，再同时加上6，最后同时除以2，求出方程的解； （2）先将比例方程改写成，把方程化简成，然后方程两边先同时除以，再同时减去，最后同时加上，求出方程的解。 【规范解答】（1） 解： （2） 解： 17．（23-24六年级下·湖北武汉·开学考试）某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配两个螺母）？ 【答案】生产螺栓的工人12名，生产螺母的工人16名 【思路点拨】可以设生产螺栓的工人有x名，生产螺母的工人有（28－x）名；则生产的螺栓有12x个，生产的螺母有18×（28－x）个；因为1个螺栓配2个螺母，即螺栓与螺母的数量比是1∶2，可以据此列一个比例式，即生产螺栓的数量∶生产螺母的数量＝1∶2，解比例即可。 【规范解答】解：设生产螺栓的工人有x名，生产螺母的工人有（28－x）名。 12x∶18×（28－x）＝1∶2 18×（28－x）＝12x×2 504－18x＝24x 504－18x＋18x＝24x＋18x 42x＝504 42x÷42＝504÷42 x＝12 28－12＝16（名） 答：生产螺栓的工人12名，生产螺母的16名，才能使螺栓和螺母正好配套。 【考点评析】根据一个螺栓配两个螺母明确螺栓和螺母的比是1∶2，据此找出两者关系列出比例是解决本题关键。 18．（23-24六年级下·天津南开·期末）客车和货车分别从甲乙两地相向而行，客车3小时后到达甲乙两地中点，继续行驶，又过了一个小时，货车到达甲乙两地中点，这时货车开始提速，速度比原来提高了20%，当客车到达乙地时，货车行驶了全程的几分之几？ 【答案】 【思路点拨】由题意可知，客车3小时后到两地中点，货车小时后到两地中点，根据路程相同，时间和速度成反比，则可知客车和货车原来的速度比是，因货车到达两地中点后，速度比原来提高了20%，则可计算客车和货车后来的速度比是，当客车到达乙地时，可知客车又走了两地路程的，可根据时间相同，路程和速度成正比，利用客车和货车后来的速度比计算货车提速后走了全程的分率，再加上提速前的，即可得解。 【规范解答】客车和货车原来的速度比： 客车和货车后来的速度比： 答：当客车到达乙地时，货车行驶了全程的。 【考点评析】此题关键根据路程相同，时间和速度成反比，求出客车和货车之前及之后的速度比，再根据时间相同，路程和速度成正比，求出货车后来走了全程的分率，再加上之前的。 19．（23-24六年级下·浙江嘉兴·期末）一个带有容积刻度的圆柱形容器，里面水平放置着一个由圆柱和圆锥两部分组成的几何体铁块。以同样的速度往容器中注水（如左下图），注水时间与水面对应刻度的关系如右下图所示。 （1）图中铁块圆柱部分的高是圆锥高的（    ）倍。 （2）每秒注水多少毫升？ （3）铁块圆柱部分的体积是多少立方厘米。 【答案】（1）2 （2）10毫升 （3）30立方厘米 【思路点拨】（1）从图中可知，水先填满圆柱周围空间，再填满圆锥周围空间。当容器里有圆柱时，水面刻度上升到了200毫升；当容器里有圆锥时，水面刻度上升了300－200＝100毫升；因为圆柱形容器的底面积不变，容积刻度和水面高度成正比，所以用200÷100即可求出圆柱的高是圆锥高的倍数。 （2）当注水第25秒至40秒时，水漫过了圆柱和圆锥。水面刻度从300毫升到450毫升时，即增加了水的体积450－300＝150毫升，用时40－25＝15秒，用150÷15＝10毫升，即求出了每秒注水量。 （3）当容器里有圆柱时，水面刻度上升到了200毫升，用时17秒。此时容积刻度＝圆柱体积＋水的体积，水的体积：10×17＝170毫升＝170立方厘米，所以圆柱体积＝水面刻度－水的体积＝200－170＝30毫升＝30立方厘米。 【规范解答】（1）200÷（300－200） ＝200÷100 ＝2 图中铁块圆柱部分的高是圆锥高的2倍。 （2）（450－300）÷（40－25） ＝150÷15 ＝10（毫升） 答：每秒注水10毫升。 （3）200－17×10 ＝200－170 ＝30（毫升） ＝30（立方厘米） 答：铁块圆柱部分的体积是30立方厘米。 【考点评析】理解圆柱形容器的底面积不变，容积刻度和水面高度成正比是解此题的关键。 20．（23-24六年级下·广东佛山·期中）500米口径球面射电望远镜FAST被誉为“中国天眼”，2019年FAST将进入全面投入使用阶段，寻找宇宙中的微弱信号，综合性能是著名的射电望远镜阿雷西博的十倍。 （1）“中国天眼”的占地面积约多少平方米？ （2）从正上方观察这个望远镜，按照一定的比例尺在图纸上画出这个圆面，已知图纸上圆的周长是15.7厘米，这个图纸的比例尺是多少？ （3）在“天眼”附近的天象影院可以让我们坐在影院，抬头感受星空独特的美丽。影片介绍八大行星的天体运动和相关天文科学知识，时长20分钟。影片播放前来了一批客人，期间有的人离开了座位，这时候观众席共有18个空位，接着来了3人，此时现场有一半的位置还空着，那开场前来的这批人有多少人？ 【答案】（1）196250平方米 （2）1∶10000 （3）18人 【思路点拨】（1）已知“中国天眼”的直径是500米，根据圆的面积公式S＝πr2，即可求出它的占地面积。 （2）已知图纸上圆的周长是15.7厘米，根据圆的周长公式C＝πd可知，d＝C÷π，由此求出直径的图上尺寸； 再根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”，以及进率“1米＝100厘米”，即可求出这个图纸的比例尺。 （3）由“这时候观众席共有18个空位，接着来了3人，此时现场有一半的位置还空着”，用“18－3”求出一半的座位，再乘2，即是座位的总数； 由“影片播放前来了一批客人，期间有的人离开了座位，这时候观众席共有18个空位”，把这批客人的总人数看作单位“1”，用座位的总数减去18，求出有的人离开了座位后还剩下的人数，占总人数的（1－），单位“1”未知，用还剩下的人数除以（1－），即可求出这批客人的总人数。 【规范解答】（1）3.14×（500÷2）2 ＝3.14×2502 ＝3.14×62500 ＝196250（平方米） 答：“中国天眼”的占地面积约196250平方米。 （2）15.7÷3.14＝5（厘米） 5厘米∶500米 ＝5厘米∶（500×100）厘米 ＝5∶50000 ＝（5÷5）∶（50000÷5） ＝1∶10000 答：这个图纸的比例尺是1∶10000。 （3）总座位数： （18－3）×2 ＝15×2 ＝30（个） 开场前来的人数： （30－18）÷（1－） ＝12÷ ＝12× ＝18（人） 答：那开场前来的这批人有18人。 【考点评析】（1）本题考查圆的面积公式的运用。 （2）本题考查圆的周长公式以比例尺的意义，求出图上圆的直径是解题的关键。 （3）关键是分析出剩下的人数占总人数的几分之几，找出单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法的意义解答。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$