热点11 相似三角形(7大题型+高分技法+限时提升练)-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练(上海专用)

热点11 相似三角形 一、考情分析 相似三角形是中考数学中的重要考察内容。题型以选择、填空、解答综合题目为主，难度相对较高。考察的重点包括相似三角形的性质和判定方法，以及相似三角形与全等三角形的关系。同时，相似多边形、黄金分割的应用，以及相似形与三角形、平行四边形的综合性题目也是考察的难点。 二、备考指导 1.理解相似三角形的概念和性质 相似三角形的对应角相等，对应边的比相等。这是相似三角形的基本性质，也是解题的基础。考生需要深入理解这一性质，并能够灵活应用。 2.掌握相似三角形的判定方法 相似三角形的判定方法有多种，包括三组对应边的比相等、两组对应边的比相等且夹角相等、两个角对应相等等。考生需要熟练掌握这些判定方法，并能够根据题目条件灵活运用。 3.注意相似三角形与全等三角形的关系 全等三角形是相似比为1的特殊相似三角形。考生需要明确这一点，并能够理解全等三角形和相似三角形之间的联系和区别。 4.多做练习题，提高解题能力 通过大量的练习，考生可以加深对相似三角形知识点的理解和掌握，提高解题能力。在练习过程中，要注重总结归纳，形成自己的解题思路和方法。 5.注意题目的陷阱和易错点 在解题过程中，考生要注意题目的陷阱和易错点，如平行线分线段成比例定理的应用、相似三角形模型的识别等。要避免因粗心大意或理解不透彻而导致的错误。 6.培养综合运用知识的能力 相似三角形常常与其他知识点综合运用，如函数、几何证明等。考生需要培养综合运用知识的能力，能够灵活运用所学知识解决实际问题。 考向一：比例线段与相似图形 【题型1 比例线段】 一、核心公式与性质（必记） 1．比例基本性质： 2．合比性质： 3．分比性质： 4．等比性质： 二、解题技巧（快速得分） 1．设比例常数： 若，则（如已知，设 2．交叉相乘： 比例方程转整式方程（如）。 3．黄金分割计算： 若点是的黄金分割点，则：\ 三、注意事项 1．比例顺序： 保持分子分母对应关系（如中，与对应，与对应）。 2．分母非零： 所有分母均不为0。 3．单位统一： 计算比例前需统一单位（如1米与50厘米需转换为100厘米50厘米）。 1．（2024•虹口区模拟）如果四条线段、、、构成，，则下列式子中，成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据比例的性质变形，再进行判断． 【解答】解：、，，；故本选项错误； 、，，；故本选项错误； 、，，；故本选项错误； 、，，；故本选项正确． 故选：． 【点评】本题考查了比例的性质．比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积． 2．（2023•长宁区模拟）已知线段是线段、的比例中项，且，，那么　　． 【分析】根据比例中项的概念，可得，可得，即可得到的值，注意线段的长为正数． 【解答】解：线段是线段、的比例中项，且，， ， ， 解得， 又线段的长度是正数， ． 故答案为：4 【点评】本题考查了比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应开平方；求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．根据比例中项的概念列出比例式是解答本题的关键． 3．（2024•松江区二模）一个凸四边形的四条边及两条对角线共6条线段中，如果只有两种大小不同的长度，那么称这个四边形为“精致四边形”．如正方形的四条边都相等，两条对角线相等，且边长与对角线长度不等，所以正方形是一个“精致四边形”． （1）如图所示的四边形是一个“精致四边形”，其中，．试写出该“精致四边形”的两条性质， 除外）； （2）如果一个菱形（除正方形外）是“精致四边形”，试画出它的大致图形，并求出该“精致四边形”的6条线段中较长线段与较短线段长度的比值； （3）如果一个梯形是“精致四边形”，试画出它的大致图形，指出两种长度的线段各是哪几条，并求出它的各内角度数． 【答案】（1），（答案不唯一）； （2）； （3）两种长度的线段是，，梯形的各内角度数分别是、，、． 【分析】（1）由等腰三角形的性质即可得到答案； （2）由菱形的性质得到，，，，判定是等边三角形，得到，因此，即可求出，得到较长线段与较短线段长度的比值是； （3）由等腰三角形的性质得到，由平行线的性质推出，得到，同理：，由等腰梯形的性质推出，得到，由，得到，由三角形内角和定理得到，求出，得到，由平行线的性质得到，求出，由等腰梯形的性质得到，． 【解答】解：（1），（答案不唯一），理由如下： ， ， ， ； （2）如图，菱形中，， 四边形是菱形， ，，，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 较长线段与较短线段长度的比值； （3）如图，梯形中，，，， ， ， ， ， ， 同理：， 四边形是等腰梯形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是等腰梯形， ，， 两种长度的线段是，，梯形的各内角度数分别是、，、． 【点评】本题考查梯形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，关键是由“精致四边形”的定义画出符合要求的菱形和梯形． 【题型2 黄金分割】 一、核心概念（必记） 1．定义：点将线段分成两部分，若，则为的黄金分割点。 2．比例公式： 若； 若。 二、解题技巧（快速得分） 1．代数法求分割点： 设（如，则）。 2．几何法验证黄金矩形： 矩形宽与长比为0.618时，去掉一个正方形后剩余矩形仍为黄金矩形。 3．黄金三角形： 顶角的等腰三角形，底边与腰的比为0.618。 三、注意事项 1．黄金分割比固定： 始终为，非近似值0.618（填空题需写精确形式）。 2．分割点位置： 黄金分割点有两个（或），题目末说明时默认。 3．非角度或面积比例： 黄金分割仅针对线段比例，与角度，面积无关。 1．（2024•浦东新区二模）定义：四边形中，点在边上，联结、，如果的面积是四边形面积的一半，且的面积是及面积的比例中项，我们称点是四边形的边上的一个面积黄金分割点． 已知：如图，四边形是梯形，且，，如果点是它的边上的一个面积黄金分割点，那么的值是 　　． 【答案】． 【分析】过点作，交于点，设梯形的高为，则，，利用新定义的规定得到为梯形的中位线，和中，边上的高为，利用三角形的面积公式求得三个三角形的面积，再利用新定义的规定得到关于的方程，解方程即可得出结论． 【解答】解：过点作，交于点，如图， ，， ． 设梯形的高为，则，． 点是四边形的边上的一个面积黄金分割点， ， ， ， 为梯形的中位线， 和中，边上的高为． ，，． 点是四边形的边上的一个面积黄金分割点， ， ． ． （负数不合题意，舍去）． ． ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了梯形的性质，梯形的中位线，三角形的面积，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键． 2．（2023•徐汇区模拟）如果把两条邻边中较短边与较长边的比值为的矩形称作黄金矩形．现将长度为的铁丝折成一个黄金矩形，这个黄金矩形较短的边长是　　． 【分析】设这个黄金矩形较长的边长是，根据长方形的周长公式列出算式求出的值，再根据黄金分割的定义即可得出这个黄金矩形较短的边长． 【解答】解：设这个黄金矩形较长的边长是，根据题意得： ， 解得：， 则这个黄金矩形较短的边长是． 故答案为：． 【点评】本题考查了黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比．同时考查了矩形的周长公式． 3．（2023•徐汇区模拟）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，，得，记，，，，则 。 【答案】10． 【分析】利用分式的加减法则分别可求，，，即可求解． 【解答】解：，，，， ， 故答案为10． 【点评】本题考查了分式的加减法，找出的规律是本题的关键． 【题型3 相似图形】 一、核心概念（必记） 1．定义： 形状相同，大小不同的图形，对应角相等，对应边成比例（相似比）。 2．性质： 对应角相等，对应边成比例； 周长比相似比，面积比相似比2 。 二、判定方法（快速得分） 1．SSS：三边对应成比例； 2．SAS：两边对应成比例且夹角相等； 3． ：两角对应相等（最常用）。 三、解题技巧 1．比例计算： 已知相似比，求边长／周长／面积（如相似比为，面积比为4：9）。 2．实际应用： 测高问题：利用标杆与物体的相似三角形，列比例式求解（如树高标杆高物体影长标杆影长）。 3．几何证明： 通过相似证明线段平行（如）。 1．下列各组图形中，一定相似的是　　 A．两个菱形 B．两个正方形 C．两个三角形 D．两个等腰三角形 【答案】 【分析】根据相似图形的定义解答即可． 【解答】解：、两个菱形的对应角不一定相等，故两个菱形不一定相似，不符合题意； 、两个正方形一定相似，符合题意； 、两个三角形不一定相似，不符合题意； 、两个等腰三角形不一定相似，不符合题意， 故选：． 【点评】本题考查的是相似图形，熟知我们把形状相同的图形称为相似图形是解题的关键． 2．（2024•黄浦区二模）小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰梯形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，你认为　　 A．结论1、结论2都正确 B．结论1正确、结论2不正确 C．结论1不正确、结论2正确 D．结论1、结论2都不正确 【答案】 【分析】分别作上下底的垂直平分线即可判定结论1正确；连接两腰与其垂直平分线的交点即可判定结论2错误． 【解答】如图，存在与上、下底边相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论1正确； 如图，存在与两腰相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论2不正确； 故选：． 【点评】本题主要考查了图形的相似和垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 3．下列图形，相似的一组是　　 A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．有一个内角为的两个菱形 D．边长分别是2厘米和3厘米的两个菱形 【答案】 【分析】根据相似图形的定义进行判断即可． 【解答】解：、两个直角三角形不一定相似，不符合题意； 、两个等腰三角形不一定相似，不符合题意； 、有一个内角为的两个菱形对应边成比例，对应角相等，相似，符合题意； 、边长分别为2厘米和3厘米的两个菱形对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了相似图形的定义，解题的关键是了解对应角相等，对应边成比例的图形相似． 考向二：相似三角形的性质与判定 【题型4 相似三角形的性质】 一、核心性质（必记） 1．对应角相等：相似三角形的对应角大小相同； 2.对应边成比例：相似比=； 3．周长比：等于相似比； 4．面积比：等于相似比的平方。 二、解题技巧（快速得分） 1．比例线段求边长： 若，且，，相似比，则。 2．周长与面积转换： 已知相似比，原三角形面积为相似三角形面积。 3．相似比传递性： 若，则，相似比为。 三、注意事项 1．相似比顺序： 对应顶点顺序必须一致（如对应对应）。 2．单位统一： 计算比例前需统一单位（如厘米与米转换为相同单位）。 3．中线，角平分线，高： 相似三角形对应中线，角平分线，高的比等于相似比。 1．（2024•上海模拟）将一张以为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片，其中，，，，，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是　　 A． B． C．10 D． 【答案】 【分析】根据题意，画出相应的图形，然后利用相似三角形的性质和分类讨论的方法，求出剪掉的两个直角三角形的斜边长，然后即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：如图1所示， 由已知可得，， 则， 设，， 则， 解得， ，故选项不符合题意； ，故选项不符合题意； 如图2所示， 由已知可得，， 则， 设，， 则， 解得， ，故选项不符合题意； ； 如图3所示： 此时两个直角三角形的斜边长为6和7； 故选：． 【点评】本题考查相似三角形的性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答． 2．（2024•奉贤区二模）如图，正方形的边长为1，点在延长线上，联结、，如果与相似，那么　　． 【答案】． 【分析】结合题意推出，根据相似三角形的性质求出，则，根据正切定义求解即可． 【解答】解：在正方形中，，， ， 与相似， 或， 或， ，， 不合题意， ， ， （负值已舍）， ， ， 故答案为：． 【点评】此题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质求出是解题的关键． 3．（2024•杨浦区三模）如图，已知在中，，垂足为点，，，点、分别在边和上，将分割成两个小三角形，将分割成两个小三角形，如果分割成的两个小三角形与分割成的两个小三角形分别相似，那么的值是 　　． 【答案】或． 【分析】设，根据题意可得，，，继而确定平分，即，设，则，分两种情况：①当时；②当时，分别求解即可． 【解答】解：设， 在中，，，， ，，， ， ， ， 将分割成两个小三角形，将分割成两个小三角形，分割成的两 个小三角形与分割成的两个小三角形分别相似， 分割成的两个小三角形都有一个角为 ， 平分，即， 设，则 ； ①当时，如图1， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ， ； ②当时，如图2， ， ， ，，即， ， ， ， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意． ， ； 综上所述，的值是或． 故答案为：或． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，等边对等角，平行四边形的判定和性质等知识点．掌握锐角三角函数的意义及相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【题型5 相似三角形的判定】 一、核心判定方法（必记） 1．AA（两角对应相等）： 若与中，。 2．SAS（两边对应成比例且夹角相等）： 若且。 3．SSS（三边对应成比例）： 若。 4．HL（直角三角形斜边与直角边对应成比例）： 若Rt与Rt中，。 二、解题技巧（快速得分） 1．优先选AA： 题目中给出角度相等或平行线（同位角／内错角相等）时，首选AA判定。 2．边比例＋夹角： 已知两边比例且夹角明确，用SAS（如且）。 3．三边比例验证： 复杂图形中，按顺序计算三边比例（如）。 4．常见模型： A型：； 型：。 三、注意事项 1．对应顺序： 对应顶点顺序必须一致（如对应对应）。 2．夹角非任意角： SAS判定中，相等的角必须是两边的夹角（如与的夹角是）。 3．避免混淆全等： 全等是相似比为1的特殊情况，相似不一定全等。 1．（2024•静安区校级模拟）如图，已知与都是等边三角形，点在边上（不与点、重合），与相交于点，那么与相似的三角形是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由相似三角形的判定，即可判断． 【解答】解：与都是等边三角形， ，． 、只有，和不一定相似，故不符合题意； 、由，，推出，故符合题意； 、只有，和不一定相似，故不符合题意； 、只有，和不一定相似，故不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查相似三角形的判定，等边三角形，关键是掌握相似三角形的判定方法． 2．（2023•徐汇区模拟）如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够判定△△的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】由相似三角形的判定方法，即可判断． 【解答】解：①，，由有两角对应相等的两三角形相似，能够判定△△，故①正确； ②，，由有两角对应相等的两三角形相似，能够判定△△，故②正确； ③，△和△两边对应出比例，但两边的夹角和不一定相等，因此不能判定△△，故③错误； ④由，得到，又，由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，能够判定△△，故④正确． 因此正确的个数是3个． 故选：． 【点评】本题考查相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定方法． 3．（2023•杨浦区模拟）如图，在中，平分，点在边上，线段与交于点，且，下列结论中，错误的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据相似三角形的判定逐一判定即可． 【解答】解：，， ， 故正确； ， ， 又， ， 故正确； 平分， ， 又， ， 故正确； 由已知条件无法证明， 故错误； 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 4．（2024•闵行区三模）如图，在梯形中，，与相交于点，点在线段上，的延长线与相交于点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果，，求证：． 【分析】（1）由已知得出，由平行线得出，得出，证出，得出，即可得出结论； （2）由平行线得出，，得出，证出．由已知得出，由平行四边形的性质得出，得出，由相似三角形的判定定理即可得出结论． 【解答】（1）证明：， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）证明：， ，， ， ， ，， ． ，， ． ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、梯形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质和平行四边形的判定是解题的关键． 【题型6 相似三角形的判定与性质】 一、核心判定方法（必记） 1．AA：两角对应相等相似； 2．SAS：两边成比例且夹角相等相似； 3．SSS：三边成比例相似； 4．HL：直角三角形斜边与直角边成比例相似。 二、核心性质（必记） 1．对应角相等，对应边成比例（相似比）； 2．周长比，面积比； 3．对应中线，角平分线，高的比。 三、解题技巧（快速得分） 1．优先选AA：平行线，角度相等时直接用； 2．边比例＋夹角：明确夹角时用SAS； 3．复杂图形：找型 ，型 等模型； 4．测高问题：利用相似比列方程（如树高标杆高影长比）。 四、注意事项 1．对应顺序：顶点顺序一致（如对应D）； 2．单位统一：计算前转换单位（如米厘米）； 3．全等与相似：全等是相似比为1的特例。 1．（2024•青浦区二模）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，过作的垂线交于点，与相交于点，且，那么下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】依据题意，由四边形是平行四边形，从而，，，又，故垂直平分，进而可以判断；依据题意，可得，又，从而，则，结合，故可判断；由，又，，可得△△，进而，即，故可判断；由，可得，再由，故△△，则，从而可以判断． 【解答】解：四边形是平行四边形， ，，． 又， 垂直平分． ，正确，故不符合要求． ． ， ． ． 又， ，正确，故不符合要求． ， ，， △△，，即． ，正确，故不符合要求． ， ． 又， △△． ，错误，故符合要求． 故选：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 2．（2024•普陀区二模）如图，在中，，是的重心，点在边上，，如果，，那么的值是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，延长交于，延长交于，连接，由三角形重心的性质推出、分别是、的中点，，由三角形中位线定理推出，得到，求出，得到，而，判定，得到，求出，由中点定义得到，即可求出，于是得到． 【解答】解：连接，延长交于，延长交于，连接， 是的重心， 、分别是、的中点，， 是的中位线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 是中点， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，三角形的重心，关键是由三角形中位线定理推出，得到． 3．（2024•浦东新区二模）如图，在中，，，．点在边上，且，交边于点，那么以为圆心，为半径的和以为圆心，为半径的的位置关系是　　 A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【答案】 【分析】利用勾股定理求得，利用平行线的性质求得，，利用相似三角形的判定与性质求得，再利用圆心角等于两圆的半径之和时，两圆外切的性质解答即可得出结论． 【解答】解：，，， ， ， ，． ， ， ，， ， ， ， ， 以为圆心，为半径的和以为圆心，为半径的的圆心距为， ， 与的位置关系是外切． 故选：． 【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，圆与圆的位置关系的判定定理，熟练掌握圆与圆的位置关系的判定定理是解题的关键． 4．（2024•宝山区二模）如图，边长分别为5，3，2的三个正方形拼接在一起，它们的一边在同一直线上，那么图中阴影三角形①和②的面积之比的比值为 　　． 【答案】． 【分析】设分别交、、于点、、，分别交、于点、，设，由，得，则，，由，得，则，求得，再证明，得，则，求得，即可由，求得，于是得到问题的答案． 【解答】解：设分别交、、于点、、，分别交、于点、，设， 正方形、正方形和正方形的一边在同一条直线上， ，，，， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】此题重点考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，设，求得，，，是解题的关键． 5．（2024•黄浦区二模）如图，是等边边上点，，作的垂线交、分别于点、，那么　　． 【答案】． 【分析】过点作，交于点，交的延长线于点，于点，于点，设，则，，利用等边三角形的性质和含角的直角三角形的性质，勾股定理表示出线段，，，的长度，利用相似三角形的判定与性质求得线段，的长度，最后利用平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质解答即可得出结论． 【解答】解：过点作，交于点，交的延长线于点，于点，于点，如图， ， 设，则， ． 为等边三角形， ，， ，， ， ，， ，． ，． ． ，， ， ． ． 同理：， ， ． ，， ， ， ． 故答案为：． 【点评】此题考查等边三角形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、分式的化简等知识与方法，正确的作出所需要的辅助线是解题的关键． 6．（2024•上海）如图所示，在矩形中，为边上一点，且． （1）求证：； （2）为线段延长线上一点，且满足，求证：． 【分析】（1）由矩形性质得到，，，由角的互余得到，从而确定△△，利用相似三角形性质得到； （2）由矩形性质，结合题中条件，利用等腰三角形的判定与性质得到，，，进而由三角形全等的判定与性质即可得到． 【解答】证明：（1）矩形， ，，， ， ， ， ， ， △△， ， ， ， ； （2）连接，交于点， 矩形， ， ， ， ， ， ， ， 矩形， ， ， ， ，， ， ， 在△和△中， ， △△， ． 【点评】本题考查了矩形综合，涉及矩形性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题的关键． 7．（2024•金山区二模）如图，已知：是△的边上一点，点在△外部，且，，交于点． （1）求证：； （2）如果，求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】（1）根据可以得出，再根据得出，从而得出△△，即可证明； （2）根据可以得出，进而可以证明倨傲，在根据，可以得出△△，从而得出结论． 【解答】证明：（1）， ， ， ， ， △△， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， △△， ， △△， ， ， ， ， △△， ， ， ． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，综合运用等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质是本题解题的关键． 8．（2024•静安区校级二模）已知：如图，在梯形中，，，，的平分线交延长线于点，交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）联结交于点，如果，求证：． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）证明见解答过程． 【分析】（1）根据角平分线定义可得，根据平行线的性质可得，等量代换可得，于是，又因为，所以四边形是平行四边 形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可得证； （2）如图，设与交于点，根据等腰梯形的性质可得，根据，可得，根据菱形的性质和垂直的定义可得，，根据四边形的内角和为，可得，又因为，可得，于是，再根据即可得到，利用相似三角形对应边的比相等即可得证． 【解答】证明：（1）平分， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2）如图，连接，交于点，交于点， 在梯形中，，， ， ， ， ， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了等腰梯形性质、等腰三角形的判定和性质、菱形的判定和性质定理、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 9．（2024•长宁区二模）已知：在梯形中，，，点在边上（点不与点、重合），点在边上，且． （1）求证：； （2）联结，与交于点，如果，求证：四边形为等腰梯形． 【答案】（1）证明见解答； （2）证明见解答． 【分析】（1）由，，得，而，可推导出，，进而证明，则； （2）将，变形为，因为，所以，得，再证明，得，则，，所以，由，证明，则，所以四边形为等腰梯形． 【解答】（1）证明：，， ， ， ， ， ，， ， ， ． （2）证明：联结，与交于点， ， ， ， ， ， ，，， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， 四边形为等腰梯形． 【点评】此题重点考查平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明及是解题的关键． 10．（2024•崇明区二模）如图，已知在四边形中，，对角线平分，点是上一点，以为半径的过、两点． （1）求证：四边形是菱形； （2）设与交于点，联结并延长，交的延长线于点，若，求证：． 【答案】（1）（2）证明见解析． 【分析】（1）由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，因此，由圆周角定理推出，得到，推出，得到，因此，判定四边形是菱形． （2）连接，由菱形的性质推出，，得到，判定，推出，由推出，得到，由平行线的性质推出，得到，即可证明． 【解答】证明：（1）， ， 平分， ， ，， ， 是圆直径， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． （2）连接， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，角平分线定义，关键是由角平分线定义，平行线的性质推出，由圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系推出；由，推出，由推出． 11．（2024•普陀区二模）已知：如图，四边形中，，点在边上，与的延长线交于点，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）联结，分别延长、交于点，如果，求证：． 【答案】（1）证明见解答； （2）证明见解答． 【分析】（1）由，证明，得，而，所以，则，即可证明四边形为平行四边形； （2）由平行四边形的性质得，由，得，可证明，得，而，所以，则，即可证明． 【解答】（1）证明：，点在的延长线上， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形． （2）证明：如图，联结，分别延长、交于点， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明及是解题的关键． 12．（2024•宝山区二模）如图，在中，直径垂直于弦，垂足为点，联结、，延长交于点． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 【答案】（1）证明见解答； （2）的长是． 【分析】（1）连接，由垂径定理得，则，由，得， 得，求得，，所以，则，根据相似三角形的性质得，则，由，得，求得． 【解答】（1）证明：连接， 直径垂直于弦，垂足为点， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：，，， ，， ， ， ， 解得， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得或（不符合题意，舍去）， 的长是． 【点评】此题重点考查垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 13．（2024•奉贤区二模）如图，在四边形中，，，点、分别在边、上，且． （1）求证：； （2）联结、，如果，求证：四边形是菱形． 【答案】证明见解答． 【分析】（1）根据平行线的判定和性质，得出四边形为平行四边形，然后再根据三角形相似的判定和性质证明即可； （2）根据平行线分线段成比例以及（1）的结论，可以得出，从而可以判定四边形为菱形． 【解答】证明：（1）， ， 又， ， ， 四边形为平行四边形， ，，， 又， ， ， ； （2）， ， ， 由（1）知，， ， ， 四边形为平行四边形， 四边形为菱形． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及菱形的判定，根据平行线的性质以及平行线分线段成比例来证明是本题解题的关键． 14．（2024•静安区二模）已知：如图，直线经过矩形顶点，分别过顶点、作的垂线，垂足分别为点和点，且，联结． （1）求证：； （2）联结和，求证：． 【答案】（1）证明见解答； （2）证明见解答． 【分析】（1）由矩形的性质得，由于点，于点，得，可推导出，进而证明，则，所以，再证明，得，即可证明； （2）联结交于点，则，所以是梯形的中位线，则，于是得，所以垂直平分，则． 【解答】（1）证明：四边形是矩形， ， 于点，于点，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）证明：联结交于点，则， ，， ， ，， 是梯形的中位线， ， ， 垂直平分， ． 【点评】此题重点考查矩形的性质、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、梯形的中位线定理、线段的垂直平分线的性质等知识，证明是解题的关键． 15．（2024•青浦区二模）已知：如图，在四边形中，，点是对角线上一点，，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）延长分别交线段、的延长线于点、，如果，求证：． 【答案】（1）证明见解答； （2）证明见解答． 【分析】（1）由，得，则，所以，则四边形是平行四边形，由，且，得，所以，则，即可证明四边形是菱形； （2）由菱形的性质得，而，所以，可证明，得，则，再证明，得，所以，再证明，得，则，即可证明． 【解答】（1）证明：， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形． （2）证明：如图，延长分别交线段、的延长线于点、， 四边形是菱形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，且， ， ， ， ， ， ． 【点评】此题重点考查平行线的性质、菱形的判定性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出是解题的关键． 16．（2024•闵行区二模）如图，在中，点在边上，点在边上，点、在边上，，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求证：． 【答案】（1）证明见解答； （2）证明见解答． 【分析】（1）由点、在边上，，得，由，且，得，所以，即可根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形； （2）由，得，而，所以，而，即可证明，得，所以． 【解答】（1）证明：点、在边上，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】此题重点考查平行线的性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出及是解题的关键． 17．（2024•浦东新区二模）已知：如图，在菱形中，点是边上的任意一点（不与点、重合），交对角线于，过点作交于点． （1）求证：； （2）当时，求证：． 【答案】（1）证明见解答； （2）证明见解答． 【分析】（1）由菱形的性质得，则，得，由，证明，得，所以，即可证明； （2）连接交于点，则，由，且，得，所以，而，即可证明，得，则． 【解答】（1）证明：四边形是菱形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． （2）证明：连接交于点，则，， ， ，且， ， ， ， ， ， ． 【点评】此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 18．（2024•黄浦区二模）如图，是边上点，已知，，． （1）求边的长； （2）如果（点、、对应点、、，求的度数． 【答案】（1）6； （2）． 【分析】（1）由可得，根据相似三角形的性质即可解答； （2）由得出，进而得出． 【解答】解：（1），． ， ，， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 考向三：相似三角形的应用 【题型7 相似三角形的应用】 一、核心应用场景 1．测高问题： 标杆法：树高标杆高（树影长／标杆影长）； 仰角法：利用仰角与三角函数建立相似关系。 2．测宽问题： 构造相似三角形求不可直接测量的距离（如河宽）。 3．几何证明： 证明线段平行或比例关系（如通过相似证明 DE\｜BC）。 4．实际工程： 比例尺应用（如地图距离与实际距离的相似比）。 二、解题步骤 1．建模：将实际问题抽象为相似三角形，标注已知边／角； 2．找对应关系：确定相似比，明确对应边／角； 3．列比例式：利用相似性质求未知量（如 三、注意事项 1．单位统一：计算前统一单位（如厘米米）； 2．相似比顺序：对应顶点顺序一致（如对应）； 3．实际意义：结果需合理（如高度不能为负数）。 1．（2024•静安区校级模拟）如图，用一个卡钳测量某个零件的内孔直径，量得长度为，则等于 ． 【答案】18． 【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得的长． 【解答】解：，， ， ， ， ， 故答案为：18． 【点评】本题考查相似三角形的应用，求出的值是解答本题的关键． 2．（2024•长宁区三模）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为　　米． 【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：，， ， ， ， ， （米， 故答案为：7． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键． 3．（2024•宝山区校级模拟）如图，已知平行四边形的三个顶点、、都在半径为5的上，且，垂足为点，． （1）求平行四边形的边的长； （2）延长线段交于点，求点到的距离． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）由，，得出，再根据勾股定理即可得出的长度，进而得出答案； （2）延长线段交于点，过点作，得出，再得出，即可得出与的长度，再根据，得出，进而求出答案． 【解答】解：（1），， ， ， ， ， ． （2）如图，延长线段交于点，过点作， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查相似三角形的应用，勾股定理，垂径定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （建议用时：15分钟） 1．（2024•上海）在梯形中，，点在边上，且． （1）如图1所示，点在边上，且，联结，求证：； （2）已知； ①如图2所示，联结，如果△外接圆的圆心恰好落在的平分线上，求△的外接圆的半径长； ②如图3所示，如果点在边上，联结、、，与交于．如果，，且，求边的长． 【答案】（1）证明过程见解析； （2）①；②． 【分析】（1）添加辅助线，转移比例线段，得到，从而证出； （2）利用三角形外接圆得性质得出△△，再根据平分得出，然后得出相似，求出半径的长度； （3）最后一问难度较大，首先将条件转化成线段和角度关系，由，很容易找到△△，再根据这个相似结论证出△△，多组相似转化，再利用勾股定理建立方程，求出未知数． 【解答】（1）证明：延长和交于点， ， ， ， ，， ， ． （2）①记点为△外接圆圆心，过点作于点，连接，，． 点为△外接圆的圆心， ， ， ， ， ，，， △△， ， 平分， ， ， ， ，即， ， ， ， ， △△， ，即， ， △外接圆半径为． ②方法一：延长，交于点，过点作，垂足为点． ， △△， ， 由①知， ， ， ， ， ， △△， ， ， ， ， ， 由，得，， ， ， △△， ， 设，则， ， ， ，， ， △△， ， 设，则， ，， △△， ，即， ，解得， ， 在△中，由勾股定理可得： ， ， 解得， ， ， 在△中，由勾股定理可得，， ， ． 方法二： ， ， ，， ，即， ， ，， 为中点， ， △△， ， ， 也为中点， ， ， ， ， △△， ， 设，则，， ，解得， ． 方法三：由易得△△， ， ， ， ， 延长、交于点， 则四边形是平行四边形， △△， ， 设，则，， ， 解得， ，， 连接， 由可得， 设，则，，设，则， 由△△可得， ，即， ， 解得， 由得， ， 解得， ． 【点评】本题主要考查了圆的综合题，同时也考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，三角形的外接圆等知识点，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 2．（2024•静安区校级二模）如图，在△中，，，，分别为，，的中点，连接，． （1）如图1，求：的值． （2）如图2，将绕点顺时针旋转一定角度，得到，当射线交于点，射线交于点时，连接并延长交射线于点，判断与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，当时，求的长． 【答案】（1）； （2），理由见解析； （3）． 【分析】（1）连接，可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据中位线定理可得，即可求解； （2）证明△△，根据（1）的结论即可得； （3）连接，过点作于，证明△△，可得，勾股定理求得，，根据，，可得，进而求得，根据求得，根据（2）的结论，即可求解． 【解答】解：（1）如图1，连接， ，，，分别为，，的中点， ，， ， ． （2）， 理由如下： 连接，如图2， ，，，分别为，，的中点， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 将绕点顺时针旋转一定角度，得到， ， ， ， △△， ， ； （3）如图，连接，过点作于， ， ， ， ， ， △△， ， ， △中，， △中，， ， ， ， ， ， ， △△， ， ． 【点评】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的性质定理，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 3．（2024•嘉定区二模）在菱形中，，点在射线上，联结、． （1）如图1，当点是边的中点，求的正切值； （2）如图2，当点在线段的延长线上，联结与边交于点，如果，的面积等于，求的长； （3）当点在边上，与交于点，联结并延长与的延长线交于点，如果，与以点、、所组成的三角形相似，求的长。 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）连接，证和均为等边三角形，再由点为的中点得，，则，设，则，，进而在中可求出的正切值； （2）过点作于，先求出，则，从而得， 进而得，则，，证得，则，，再由勾股定理求出，进而可得的长； （3）过点作于，先证点只能和点是对应点得，则，从而得，设，则，在中由得，进而得，再证得，即，由此解出即可得的长． 【解答】解：（1）连接，如图1所示： 四边形为菱形，， ，，，， 和均为等边三角形， ， 点为的中点， ，， ， 设，则， 由勾股定理得：， 在中，； （2）过点作于，如图2所示： ，和均为等边三角形，， ， ， ， 由勾股定理得：， ， 又的面积等于， ， 的边和的边上的高相同， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ； （3）过点作于，如图3所示： 和均为等边三角形，，，， ，， 又，， ， 与以点、、所组成的三角形相似， 点只能和点是对应点， ， ， 又， ， 设， ，则， 在中，， ， ， ， ， ， ， 即， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 故． 【点评】此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，理解菱形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理，锐角三角函数的定义，相似三角形的性质进行计算是解决问题的关键． 4．（2024•奉贤区三模）如图，已知在等腰中，，，，垂足为，点是边上一点（不与，重合）． （1）求边的长； （2）如图2，延长交的延长线于点，如果，求线段的长； （3）过点作，垂足为，交于点，联结，如果和相似，求线段的长． 【答案】（1）10； （2）； （3）或． 【分析】（1）先利用等腰三角形的性质判断出，再用三角函数和勾股定理求出，即可得出结论； （2）先利用勾股定理和三角函数求出，再判断出和，得出比例式，即可得出结论； （3）先求出，再判断出，得出，设，则，，进而表示出，，，再分两种情况，利用相似得出比例式表示出，最后用建立方程求出，即可得出结论． 【解答】解（1）如图1，过点作于， ， ， ， 在中，， ， 根据勾股定理得，， ， ， ； （2）， ， ， ， 由（1）知，， ， ， 在中，， ， 根据勾股定理得，， ， ， ， 如图2，过点作交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如备用图， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设，则， 根据勾股定理得，， 在中，， ， 根据勾股定理得，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 和相似， ①当时， ， ， ， ， ， ， ， ②当时，， ， ， ， ， ， 即的长为或． 【点评】此题是相似形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理，相似三角形的判定和性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键． 5．（2024•静安区校级三模）如图1，梯形中，，，．一个动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段方向运动，过点作，交折线段于点，以为边向右作正方形，点在射线上，当点到达点时，运动结束．设点的运动时间为秒． （1）当正方形的边恰好经过点时，求运动时间的值； （2）在整个运动过程中，设正方形与的重合部分面积为，请直接写出与之间的函数关系式和相应的自变量的取值范围； （3）如图2，当点在线段上运动时，线段与对角线交于点，将沿翻折，得到，连接．是否存在这样的，使是等腰三角形？若存在，求出对应的的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）作，，垂足分别为、，可以得出四边形为矩形，根据矩形的性质及相关条件可以得出，可以求出的值，再由勾股定理就可以求出的值，就可以求出的值，即可以求出结论的值； （2）运用求分段函数的方法，分四种情况，当，当，，时，运用梯形的面积公式和三角形的面积公式就可以求出的值； （3）先由条件可以求出，分为三种情况：时可以求出值，当时，作，垂足为，可以求出值，当时，作，垂足为，可以求出值． 【解答】解：（1）如图2，作，，垂足分别为、， 四边形为矩形． 梯形，， ， ，， 当正方形的边恰好经过点时，点与点重合，此时， ，， ，即4秒时，正方形的边恰好经过点； （2）如图1，当时，， ，， ，，， ， ； 如图3，当时，， ，，， ， ； 如图4，当时，， ，，，，， ， ， ； 如图5，当时，， ，，， ； ； （3）， ， ， 由（1）可知， 则， ①如图6，当时，， ； ②如图7，当时，作，垂足为， ， ， ； ③如图8，当时，作，垂足为， ， ， ． 当、或时，是等腰三角形． 【点评】本题是一道相似形综合试题，考查了动点问题的运用，等腰直角梯形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，分段函数的运用，等腰三角形的性质的运用．解答本题时求分段函数时灵活运用梯形的面积是关键．在第三问运用等腰三角形的性质解答是关键． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点11 相似三角形 一、考情分析 相似三角形是中考数学中的重要考察内容。题型以选择、填空、解答综合题目为主，难度相对较高。考察的重点包括相似三角形的性质和判定方法，以及相似三角形与全等三角形的关系。同时，相似多边形、黄金分割的应用，以及相似形与三角形、平行四边形的综合性题目也是考察的难点。 二、备考指导 1.理解相似三角形的概念和性质 相似三角形的对应角相等，对应边的比相等。这是相似三角形的基本性质，也是解题的基础。考生需要深入理解这一性质，并能够灵活应用。 2.掌握相似三角形的判定方法 相似三角形的判定方法有多种，包括三组对应边的比相等、两组对应边的比相等且夹角相等、两个角对应相等等。考生需要熟练掌握这些判定方法，并能够根据题目条件灵活运用。 3.注意相似三角形与全等三角形的关系 全等三角形是相似比为1的特殊相似三角形。考生需要明确这一点，并能够理解全等三角形和相似三角形之间的联系和区别。 4.多做练习题，提高解题能力 通过大量的练习，考生可以加深对相似三角形知识点的理解和掌握，提高解题能力。在练习过程中，要注重总结归纳，形成自己的解题思路和方法。 5.注意题目的陷阱和易错点 在解题过程中，考生要注意题目的陷阱和易错点，如平行线分线段成比例定理的应用、相似三角形模型的识别等。要避免因粗心大意或理解不透彻而导致的错误。 6.培养综合运用知识的能力 相似三角形常常与其他知识点综合运用，如函数、几何证明等。考生需要培养综合运用知识的能力，能够灵活运用所学知识解决实际问题。 考向一：比例线段与相似图形 【题型1 比例线段】 一、核心公式与性质（必记） 1．比例基本性质： 2．合比性质： 3．分比性质： 4．等比性质： 二、解题技巧（快速得分） 1．设比例常数： 若，则（如已知，设 2．交叉相乘： 比例方程转整式方程（如）。 3．黄金分割计算： 若点是的黄金分割点，则：\ 三、注意事项 1．比例顺序： 保持分子分母对应关系（如中，与对应，与对应）。 2．分母非零： 所有分母均不为0。 3．单位统一： 计算比例前需统一单位（如1米与50厘米需转换为100厘米50厘米）。 1．（2024•虹口区模拟）如果四条线段、、、构成，，则下列式子中，成立的是　　 A． B． C． D． 2．（2023•长宁区模拟）已知线段是线段、的比例中项，且，，那么　　． 3．（2024•松江区二模）一个凸四边形的四条边及两条对角线共6条线段中，如果只有两种大小不同的长度，那么称这个四边形为“精致四边形”．如正方形的四条边都相等，两条对角线相等，且边长与对角线长度不等，所以正方形是一个“精致四边形”． （1）如图所示的四边形是一个“精致四边形”，其中，．试写出该“精致四边形”的两条性质， 除外）； （2）如果一个菱形（除正方形外）是“精致四边形”，试画出它的大致图形，并求出该“精致四边形”的6条线段中较长线段与较短线段长度的比值； （3）如果一个梯形是“精致四边形”，试画出它的大致图形，指出两种长度的线段各是哪几条，并求出它的各内角度数． 【题型2 黄金分割】 一、核心概念（必记） 1．定义：点将线段分成两部分，若，则为的黄金分割点。 2．比例公式： 若； 若。 二、解题技巧（快速得分） 1．代数法求分割点： 设（如，则）。 2．几何法验证黄金矩形： 矩形宽与长比为0.618时，去掉一个正方形后剩余矩形仍为黄金矩形。 3．黄金三角形： 顶角的等腰三角形，底边与腰的比为0.618。 三、注意事项 1．黄金分割比固定： 始终为，非近似值0.618（填空题需写精确形式）。 2．分割点位置： 黄金分割点有两个（或），题目末说明时默认。 3．非角度或面积比例： 黄金分割仅针对线段比例，与角度，面积无关。 1．（2024•浦东新区二模）定义：四边形中，点在边上，联结、，如果的面积是四边形面积的一半，且的面积是及面积的比例中项，我们称点是四边形的边上的一个面积黄金分割点． 已知：如图，四边形是梯形，且，，如果点是它的边上的一个面积黄金分割点，那么的值是 　　． 2．（2023•徐汇区模拟）如果把两条邻边中较短边与较长边的比值为的矩形称作黄金矩形．现将长度为的铁丝折成一个黄金矩形，这个黄金矩形较短的边长是　　． 3．（2023•徐汇区模拟）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，，得，记，，，，则 。 【题型3 相似图形】 一、核心概念（必记） 1．定义： 形状相同，大小不同的图形，对应角相等，对应边成比例（相似比）。 2．性质： 对应角相等，对应边成比例； 周长比相似比，面积比相似比2 。 二、判定方法（快速得分） 1．SSS：三边对应成比例； 2．SAS：两边对应成比例且夹角相等； 3． ：两角对应相等（最常用）。 三、解题技巧 1．比例计算： 已知相似比，求边长／周长／面积（如相似比为，面积比为4：9）。 2．实际应用： 测高问题：利用标杆与物体的相似三角形，列比例式求解（如树高标杆高物体影长标杆影长）。 3．几何证明： 通过相似证明线段平行（如）。 1．下列各组图形中，一定相似的是　　 A．两个菱形 B．两个正方形 C．两个三角形 D．两个等腰三角形 2．（2024•黄浦区二模）小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰梯形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，你认为　　 A．结论1、结论2都正确 B．结论1正确、结论2不正确 C．结论1不正确、结论2正确 D．结论1、结论2都不正确 3．下列图形，相似的一组是　　 A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．有一个内角为的两个菱形 D．边长分别是2厘米和3厘米的两个菱形 考向二：相似三角形的性质与判定 【题型4 相似三角形的性质】 一、核心性质（必记） 1．对应角相等：相似三角形的对应角大小相同； 2.对应边成比例：相似比=； 3．周长比：等于相似比； 4．面积比：等于相似比的平方。 二、解题技巧（快速得分） 1．比例线段求边长： 若，且，，相似比，则。 2．周长与面积转换： 已知相似比，原三角形面积为相似三角形面积。 3．相似比传递性： 若，则，相似比为。 三、注意事项 1．相似比顺序： 对应顶点顺序必须一致（如对应对应）。 2．单位统一： 计算比例前需统一单位（如厘米与米转换为相同单位）。 3．中线，角平分线，高： 相似三角形对应中线，角平分线，高的比等于相似比。 1．（2024•上海模拟）将一张以为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片，其中，，，，，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是　　 A． B． C．10 D． 2．（2024•奉贤区二模）如图，正方形的边长为1，点在延长线上，联结、，如果与相似，那么　　． 3．（2024•杨浦区三模）如图，已知在中，，垂足为点，，，点、分别在边和上，将分割成两个小三角形，将分割成两个小三角形，如果分割成的两个小三角形与分割成的两个小三角形分别相似，那么的值是 　　． 【题型5 相似三角形的判定】 一、核心判定方法（必记） 1．AA（两角对应相等）： 若与中，。 2．SAS（两边对应成比例且夹角相等）： 若且。 3．SSS（三边对应成比例）： 若。 4．HL（直角三角形斜边与直角边对应成比例）： 若Rt与Rt中，。 二、解题技巧（快速得分） 1．优先选AA： 题目中给出角度相等或平行线（同位角／内错角相等）时，首选AA判定。 2．边比例＋夹角： 已知两边比例且夹角明确，用SAS（如且）。 3．三边比例验证： 复杂图形中，按顺序计算三边比例（如）。 4．常见模型： A型：； 型：。 三、注意事项 1．对应顺序： 对应顶点顺序必须一致（如对应对应）。 2．夹角非任意角： SAS判定中，相等的角必须是两边的夹角（如与的夹角是）。 3．避免混淆全等： 全等是相似比为1的特殊情况，相似不一定全等。 1．（2024•静安区校级模拟）如图，已知与都是等边三角形，点在边上（不与点、重合），与相交于点，那么与相似的三角形是　　 A． B． C． D． 2．（2023•徐汇区模拟）如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够判定△△的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2023•杨浦区模拟）如图，在中，平分，点在边上，线段与交于点，且，下列结论中，错误的是　　 A． B． C． D． 4．（2024•闵行区三模）如图，在梯形中，，与相交于点，点在线段上，的延长线与相交于点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果，，求证：． 【题型6 相似三角形的判定与性质】 一、核心判定方法（必记） 1．AA：两角对应相等相似； 2．SAS：两边成比例且夹角相等相似； 3．SSS：三边成比例相似； 4．HL：直角三角形斜边与直角边成比例相似。 二、核心性质（必记） 1．对应角相等，对应边成比例（相似比）； 2．周长比，面积比； 3．对应中线，角平分线，高的比。 三、解题技巧（快速得分） 1．优先选AA：平行线，角度相等时直接用； 2．边比例＋夹角：明确夹角时用SAS； 3．复杂图形：找型 ，型 等模型； 4．测高问题：利用相似比列方程（如树高标杆高影长比）。 四、注意事项 1．对应顺序：顶点顺序一致（如对应D）； 2．单位统一：计算前转换单位（如米厘米）； 3．全等与相似：全等是相似比为1的特例。 1．（2024•青浦区二模）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，过作的垂线交于点，与相交于点，且，那么下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 2．（2024•普陀区二模）如图，在中，，是的重心，点在边上，，如果，，那么的值是　　 A． B． C． D． 3．（2024•浦东新区二模）如图，在中，，，．点在边上，且，交边于点，那么以为圆心，为半径的和以为圆心，为半径的的位置关系是　　 A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 4．（2024•宝山区二模）如图，边长分别为5，3，2的三个正方形拼接在一起，它们的一边在同一直线上，那么图中阴影三角形①和②的面积之比的比值为 　　． 5．（2024•黄浦区二模）如图，是等边边上点，，作的垂线交、分别于点、，那么　　． 6．（2024•上海）如图所示，在矩形中，为边上一点，且． （1）求证：； （2）为线段延长线上一点，且满足，求证：． 7．（2024•金山区二模）如图，已知：是△的边上一点，点在△外部，且，，交于点． （1）求证：； （2）如果，求证：． 8．（2024•静安区校级二模）已知：如图，在梯形中，，，，的平分线交延长线于点，交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）联结交于点，如果，求证：． 9．（2024•长宁区二模）已知：在梯形中，，，点在边上（点不与点、重合），点在边上，且． （1）求证：； （2）联结，与交于点，如果，求证：四边形为等腰梯形． 10．（2024•崇明区二模）如图，已知在四边形中，，对角线平分，点是上一点，以为半径的过、两点． （1）求证：四边形是菱形； （2）设与交于点，联结并延长，交的延长线于点，若，求证：． 11．（2024•普陀区二模）已知：如图，四边形中，，点在边上，与的延长线交于点，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）联结，分别延长、交于点，如果，求证：． 12．（2024•宝山区二模）如图，在中，直径垂直于弦，垂足为点，联结、，延长交于点． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 13．（2024•奉贤区二模）如图，在四边形中，，，点、分别在边、上，且． （1）求证：； （2）联结、，如果，求证：四边形是菱形． 14．（2024•静安区二模）已知：如图，直线经过矩形顶点，分别过顶点、作的垂线，垂足分别为点和点，且，联结． （1）求证：； （2）联结和，求证：． 15．（2024•青浦区二模）已知：如图，在四边形中，，点是对角线上一点，，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）延长分别交线段、的延长线于点、，如果，求证：． 16．（2024•闵行区二模）如图，在中，点在边上，点在边上，点、在边上，，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求证：． 17．（2024•浦东新区二模）已知：如图，在菱形中，点是边上的任意一点（不与点、重合），交对角线于，过点作交于点． （1）求证：； （2）当时，求证：． 18．（2024•黄浦区二模）如图，是边上点，已知，，． （1）求边的长； （2）如果（点、、对应点、、，求的度数． 考向三：相似三角形的应用 【题型7 相似三角形的应用】 一、核心应用场景 1．测高问题： 标杆法：树高标杆高（树影长／标杆影长）； 仰角法：利用仰角与三角函数建立相似关系。 2．测宽问题： 构造相似三角形求不可直接测量的距离（如河宽）。 3．几何证明： 证明线段平行或比例关系（如通过相似证明 DE\｜BC）。 4．实际工程： 比例尺应用（如地图距离与实际距离的相似比）。 二、解题步骤 1．建模：将实际问题抽象为相似三角形，标注已知边／角； 2．找对应关系：确定相似比，明确对应边／角； 3．列比例式：利用相似性质求未知量（如 三、注意事项 1．单位统一：计算前统一单位（如厘米米）； 2．相似比顺序：对应顶点顺序一致（如对应）； 3．实际意义：结果需合理（如高度不能为负数）。 1．（2024•静安区校级模拟）如图，用一个卡钳测量某个零件的内孔直径，量得长度为，则等于 ． 2．（2024•长宁区三模）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为　　米． 3．（2024•宝山区校级模拟）如图，已知平行四边形的三个顶点、、都在半径为5的上，且，垂足为点，． （1）求平行四边形的边的长； （2）延长线段交于点，求点到的距离． （建议用时：15分钟） 1．（2024•上海）在梯形中，，点在边上，且． （1）如图1所示，点在边上，且，联结，求证：； （2）已知； ①如图2所示，联结，如果△外接圆的圆心恰好落在的平分线上，求△的外接圆的半径长； ②如图3所示，如果点在边上，联结、、，与交于．如果，，且，求边的长． 2．（2024•静安区校级二模）如图，在△中，，，，分别为，，的中点，连接，． （1）如图1，求：的值． （2）如图2，将绕点顺时针旋转一定角度，得到，当射线交于点，射线交于点时，连接并延长交射线于点，判断与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，当时，求的长． 3．（2024•嘉定区二模）在菱形中，，点在射线上，联结、． （1）如图1，当点是边的中点，求的正切值； （2）如图2，当点在线段的延长线上，联结与边交于点，如果，的面积等于，求的长； （3）当点在边上，与交于点，联结并延长与的延长线交于点，如果，与以点、、所组成的三角形相似，求的长。 4．（2024•奉贤区三模）如图，已知在等腰中，，，，垂足为，点是边上一点（不与，重合）． （1）求边的长； （2）如图2，延长交的延长线于点，如果，求线段的长； （3）过点作，垂足为，交于点，联结，如果和相似，求线段的长． 5．（2024•静安区校级三模）如图1，梯形中，，，．一个动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段方向运动，过点作，交折线段于点，以为边向右作正方形，点在射线上，当点到达点时，运动结束．设点的运动时间为秒． （1）当正方形的边恰好经过点时，求运动时间的值； （2）在整个运动过程中，设正方形与的重合部分面积为，请直接写出与之间的函数关系式和相应的自变量的取值范围； （3）如图2，当点在线段上运动时，线段与对角线交于点，将沿翻折，得到，连接．是否存在这样的，使是等腰三角形？若存在，求出对应的的值；若不存在，请说明理由． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$