热点10 锐角三角函数(6大题型+高分技法+限时提升练)-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练(上海专用)

热点10 锐角三角函数 锐角三角函数是上海中考数学中的重要考点，需要认真复习和掌握，主要考查锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值，尤其是应用主要在综合题中考查，是考查重点。每年都有一道三角函数的综合题，还常和四边形、圆、网格图形等结合考察，是近几年中考填空压轴题常考题型。 同学们在复习的时候，首先需要牢固掌握锐角三角函数的概念，包括正弦、余弦、正切的定义，以及它们在直角三角形中的应用。同时，需要熟记特殊角的三角函数值，并能够根据已知条件求出相应的锐角。 其次，理解基本的方法是解题的关键。在解决锐角三角函数问题时，常常需要利用辅助线构造直角三角形，然后利用三角函数的关系式进行求解。因此，熟练掌握直角三角形的性质和三角函数的关系式是非常重要的。最后，多做综合题进行练习。通过练习，可以加深对锐角三角函数的理解和掌握程度，提高解题能力和应试技巧。同时，也需要注意解题的规范性，确保答案符合实际意义。 考向一：特殊角的三角函数值与解直角三角形 【题型1 特殊角的三角函数值】 一、解题技巧（快速得分） 1．记忆口決： 正弦：（对应）； 余弦：与正弦反向； 正切：。 2．构造直角三角形： 三角形边长比为； 三角形边长比为 。 3．单位圆应用： 特殊角的坐标对应三角函数值（如对应点）。 二、注意事项 1．分母有理化： ，避免写成。 2．符号判断： 初中阶段默认角度在第一象限，三角函数值均为正。 3．与三角形结合： 已知角度和一边，用三角函数求其他边（如）。 1．（2025•静安区一模）如果锐角的余弦值为，下列关于锐角的取值范围的说法中，正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据特殊角的三角函数值判断即可． 【解答】解：，，，， ． 故选：． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是关键． 2．（2024•崇明区模拟）已知为锐角，若，则的度数为　　． 【分析】先求出的值，在确定的度数． 【解答】解：原方程可化为：， 则或 为锐角， 或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟记一些特殊角的三角函数值． 3．（2025•崇明区一模）计算：． 【答案】． 【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 4．（2025•黄浦区一模）计算：． 【答案】． 【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【题型2 解直角三角形】 一、核心公式（必记） 1．勾股定理：（为斜边）； 2．三角函数： 二、解题步骤（快速得分） 1．知二求三： 已知两边：用勾股定理求第三边，再用三角函数求角； 已知一边一角：用三角函数求另两边，或用角度关系求其他角。 2．实际问题建模： 标注已知角（如仰角，俯角）和边，转化为直角三角形问题。 三、常见题型技巧 1．仰角俯角问题： 仰角：从下往上看的角；俯角：从上往下看的角，均需作水平线辅助。 2．坡度（坡比）： 坡度（为坡角）。 3．多三角形组合： 利用公共边或角建立方程（如两相邻直角三角形共享高度）。 1．（2024•杨浦区二模）如图，在中，，的垂直平分线交边于点，如果，那么　　． 【答案】． 【分析】连接，根据垂直平分线的性质可知，根据勾股定理求出的值，即可求解． 【解答】解：连接， ， 设，则，， 的垂直平分线交边于点， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查解直角三角形，正确记忆相关知识点是解题关键． 2．（2023•金山区二模）已知中，，，，点是线段上的动点，点在线段上，如果点关于直线对称的点恰好落在线段上，那么的最大值为 　　． 【答案】． 【分析】在直角中，根据正切函数定义得出，利用勾股定理求出．根据轴对称的性质得到，那么，当取最小值时取最大值．根据垂线段最短得出当时，最小．根据三角形的面积求出，进而求出的最大值． 【解答】解：在中，，，， ， ． 点关于直线对称的点恰好落在线段上， ． 点在线段上， ， 当取最小值时取最大值． 如图，当时，最小． ， ， ， 即的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数定义，勾股定理，轴对称的性质，垂线的性质，三角形的面积等知识．根据题意得到当取最小值时取最大值是解题的关键． 3．（2023•普陀区三模）如图，已知△是等边三角形，点、、、在同一直线上，且，，则　　． 【答案】． 【分析】根据等边三角形三个角相等，可知，根据等腰三角形底角相等即可得出的度数，最后求出的值即可． 【解答】解：△是等边三角形， ，， ， ，， ， ． 过点作， ，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质、等腰三角形的性质，求是关键． 4．（2023•闵行区二模）阅读理解：如果一个三角形中有两个内角、满足，那么我们称这个三角形为特征三角形．问题解决：如图，在中，为钝角，，，如果是特征三角形，那么线段的长为 　　． 【答案】． 【分析】由题意可分：①设，，则在上截取一点，使得，此种情况不符合题意；②设，，过点作于点，过点作于点，然后根据三角函数及勾股定理可进行求解． 【解答】解：由题意可分：①设，，则在上截取一点，使得，如图所示： ， ， ， 为钝角，故不存在； ②设，，过点作于点，过点作于点，如图所示： 是特征三角形，即，且， ， 平分， ， ， ， 设，，，则有， ， ， 在中，由勾股定理得， 解得：或（舍去）， ； 故答案为：． 【点评】本题主要考查三角函数及勾股定理，熟练掌握三角函数及勾股定理是解题的关键． 5．（2024•普陀区二模）如图，在中，，点在边上，，． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）利用外角定理，结合等角对等边即可解决问题． （2）过点作的垂线构造出直角三角形即可解决问题． 【解答】解：（1）， ， 又， ． 又， ， ． ，， ． （2）过点作的垂线，垂足为， ， ， ． 在中， ， ． 【点评】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形是解题的关键． 6．（2024•浦东新区二模）如图，在中，是边上的高．已知，，． （1）求的长； （2）如果点是边的中点，联结，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）设，，可用表示出，再利用勾股定理即可解决问题． （2）过点作的垂线，构造出直角三角形即可解决问题． 【解答】解：（1），且是边上的高， 则设，， 在中， ． ， ， 则． 在中， ， 解得（舍负）， ． （2）过点作的垂线，垂足为， ，点为中点， ． 在中， ， ， ， 则， ． 则． 在中， ． 【点评】本题考查解直角三角形，熟知余切的定义及构造出合适的直角三角形是解题的关键． 考向二：解直角三角形的应用 【题型3 解直角三角形的应用】 一、解题步骤 1．建模：将实际问题抽象为直角三角形，标注已知角（如）和边。 2．选择公式：已知边与角关系，选正弦／余弦／正切或勾股定理。 3．计算验证：代入数据计算，检查单位统一和答案合理性（如高度为正）。 1．（2024•浦东新区模拟）图1是2002年世界数学大会的会徽，其主体图案（如图是由四个全等的直角三角形组成的四边形．若，，则的长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】在中，利用锐角三角函数的的定义求出，的长，即可解答． 【解答】解：，，， ，， 由题意得： ， ， 故选：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的的定义是解题的关键． 2．（2024•崇明区二模）某工程队购进几台新型挖掘机（如图，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成，图2是其侧面结构示意图：是基座（基座高度忽略不计），是主臂，是伸展臂，若主臂长为4.8米，主臂伸展角的范围是：，伸展臂伸展角的范围是：，当主臂伸展角最小，伸展臂伸展角最大时，伸展臂恰好能接触水平地面（点、、、在一直线上）．（参考数据：， （1）当挖掘机在处时，能否挖到距水平正前方6米远的土石？（请通过计算说明） （2）该工程队承担了新农村景观河的建设任务，计划用该型号的挖掘机进行施工．已知景观河全长1200米，实际开工后每天比原计划多挖20米，因此提前3天完成任务，求工程队原计划每天挖多少米？ 【答案】（1）当挖掘机在处时，能挖到距水平正前方6米远的土石，理由见解答； （2）工程队原计划每天挖80米． 【分析】（1）过点作，垂足为，根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答； （2）设工程队原计划每天挖米，则实际开工后每天挖米，根据题意可得：，然后进行计算即可解答． 【解答】解：（1）当挖掘机在处时，能挖到距水平正前方6米远的土石， 理由：过点作，垂足为， ， ， ， ， ， 在中，米， （米， （米， 在中，（米， （米， 米米， 当挖掘机在处时，能挖到距水平正前方6米远的土石； （2）设工程队原计划每天挖米，则实际开工后每天挖米， 由题意得：， 解得：或， 经检验：或是原方程的根， ， ， 工程队原计划每天挖80米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 3．（2024•静安区校级二模）如图，一个五角星，已知，，，四点共线，，，，四点共线，，，，四点共线，，，，四点共线，，，，四点共线，且，，现测得． （1）求的长（精确到． （2）作直线，求点到的距离（精确到． （参考数据：，，， 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）连接，过点作于点，在中，利用锐角三角函数先求出，再求； （2）连接，过点作于点，在中，利用锐角三角函数求出． 【解答】解：（1）连接，过点作于点． ，， ． ． ． （2）连接，过点作于点， 则． ． 在中，． 点到地面的距离为． 【点评】本题考查了解直角三角形和等腰三角形的性质，掌握直角三角形的边角间关系和等腰三角形的三线合一是解决本题的关键． 4．（2024•浦东新区模拟）一酒精消毒瓶如图1，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图2，，，．当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图． （1）求点转动到点的路径长； （2）求点到直线的距离（结果精确到．（参考数据：，，，，， 【分析】（1）由，求出，可得，根据弧长公式即可求出点转动到点的路径长为； （2）过作于，过作于，中，求出，中，，故，即点到直线的距离为， 【解答】解：，， ， ， ， ， 点转动到点的路径长为； （2）过作于，过作于，如图： 中，， 中，， ， ， 点到直线的距离约为， 答：点到直线的距离约为． 【点评】本题考查圆的弧长及解直角三角形的应用，解题的关键是掌握弧长公式，熟练运用三角函数解直角三角形． 【题型4 解直角三角形的应用-坡度坡角问题】 一、核心应用场景 1．仰角俯角问题： 仰角／俯角水平线+视线构成直角三角形，用三角函数求高度／距离。 2．坡度（坡比）： 坡度，结合勾股定理求坡长。 3．多三角形组合： －利用公共边／角建立方程（如两直角三角形共享高度，用三角函数联立求解）。 1．（2024•徐汇区二模）小杰沿着坡比的斜坡，从坡底向上步行了130米，那么他上升的高度是 　　米． 【答案】50． 【分析】设上升的高度为米，根据坡比和勾股定理列方程即可求解． 【解答】解：设上升的高度为米，坡比， 根据题意得， 解得， 故答案为：50． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解坡比的定义． 2．（2023•普陀区二模）如图，斜坡的坡度，现需要在不改变坡高的情况下将坡度变缓，调整后的斜坡的坡度，已知斜坡米，那么斜坡　　米． 【答案】13． 【分析】根据斜坡的坡度和的值先求出，再根据斜坡的坡度求出即可． 【解答】解：， ， ， （米， 坡度， ， 即， 解得， （米． 故答案为：13． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡脚问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键． 3．（2024•虹口区二模）根据以下素材，完成探索任务． 探究斜坡上两车之间距离 素材1 图①是某高架入口的横断面示意图．高架路面用表示，地面用表示，斜坡用表示．已知，高架路面离地面的距离为25米，斜坡长为65米． 素材2 如图②，矩形为一辆大巴车的侧面示意图，长为10米，长为3.5米．如图③，该大巴车遇堵车后停在素材1中的斜坡上，矩形的顶点与点重合，点与指示路牌底端点之间的距离为6.5米，且．小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶，小张的眼睛到斜坡的距离为1米． 问题解决 任务一 如图①，求斜坡的坡比． 任务二 如图③，当小张正好可以看到整个指示路牌（即、、在同一条直线上）时，试求小张距大巴车尾的距离． 【分析】任务一：根据勾股定理可得的值，进而根据坡比等于坡角的正切值计算后整理成的形式即可； 任务二：作于点，延长交于点，作于点．根据任务一中得到坡角所在的三角形的三边关系，分别求出，，，，即可求得的值．易得，那么，根据四边形是矩形，可得． 【解答】解：任务一． 由题意得：． ． 米，米， （米． 斜坡的坡比． 答：斜坡的坡比为； 任务二．作于点，延长交于点，作于点． ． 由题意得：， ． 由任务一得：． 由题意得：， ． ． ． ． ． 解得：． 同理：． ． 解得：． ， ． 由题意得：， ． ． ． ． ． 解得：． ，． 由题意得：，四边形是矩形， ， ，． ． ， ． ． ． ． ． 答：小张距大巴车尾的距离为． 【点评】本题考查解直角三角形的应用．合理利用坡角所在的三角形的三边关系是解决本题的关键．用到的知识点为：坡度等于坡角的正切值，一般写成的形式． 4．（2024•宝山区二模）小明家院内靠墙安装了一个遮阳篷（如图，图2是它的侧面示意图，遮阳篷长米，与水平面的夹角为，靠墙端离地高度米，已知该地区冬至正午太阳光照入射角，夏至正午太阳光照入射角，因此，点、之间的区域是一年四季中阳光不一定照射到的区域，求该区域深度的长．（结果精确到0.1米） 参考数据：，，；，，；，，． 【答案】3.8米． 【分析】过点作于点，于点，根据正切的定义求出，进而求出，根据正切的定义分别求出、，计算即可． 【解答】解：如图，过点作于点，于点， 则四边形为矩形， ， 在中，米，， ， （米， （米， 在中，米，， ， （米， 在中，米，， ， （米， 则（米， 答：的长约为3.8米． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 【题型5 解直角三角形的应用-仰角俯角问题】 一、核心概念（必记） 1．仰角：从观察点向上看目标时，视线与水平线的夹角； 2．俯角：从观察点向下看目标时，视线与水平线的夹角； 3．关键模型：仰角／俯角 + 水平线 + 视线构成直角三角形。 二、解题技巧（快速得分） 1．步骤分解： 画示意图：标注水平线，视线，仰角／俯角； 确定直角三角形：视线为斜边，水平线为邻边，垂直高度为对边； 选公式： 已知水平距离求高度：高度水平距离； 已知高度求水平距离：水平距离； 已知斜边（视线长度）求高度／水平距离：用正弦／余弦。 2．特殊角度速解： 若仰角为，高度为水平距离的倍； 若俯角为，高度水平距离。 1．（2024•青浦区二模）如图，热气球的探测器显示，从热气球处看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球处与楼的水平距离为米，那么这栋楼的高度为 　　米．（用含、、的式子表示） 【答案】． 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：过点作，垂足为， 由题意得：米， 在中，， （米， 在中，， （米， 米， 这栋楼的高度为米 故答案为：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 2．（2024•浦东新区二模）如图，小丽在大楼窗口处测得校园内旗杆底部的俯角为度，窗口离地面高度（米，那么旗杆底部与大楼的距离　　米（用和的式子表示）． 【答案】． 【分析】根据题意可得：，，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：如图： 由题意得：，，， ， 在中，米， （米， 旗杆底部与大楼的距离为米， 故选：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，列代数式，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 3．（2024•金山区二模）上海中心大厦位于中国上海浦东陆家嘴金融贸易区核心区，是一幢集商务、办公、酒店、商业、娱乐、观光等功能的超高层建筑．它的附近有一所学校的数学兴趣小组在讨论建筑物的高度测量问题，讨论发现要测量学校教学楼的高度可以用“立杆测影”的方法，他们在平地上立一根2米长并且与地面垂直的测量杆，量得影子长为1.6米，同时量得教学楼的影子长为24米，这样就可以计算出教学楼的高度．进而在讨论测量上海中心大厦高度时，由于距离远和周围建筑密集等因素，发现用“立杆测影”的方法不可行，要采用其他方法，经讨论提出两个方案（测角仪高度忽略不计） 方案1：如图1所示，利用计算所得的教学楼高度，分别在教学楼的楼顶（点和楼底地面（点分别测得上海中心大厦的楼顶（点的仰角和，通过计算就可以得到大厦的高度； 方案2：如图2所示，在学校操场上相对于上海中心大厦的同一方向上选取两点、，先量得的长度，再分别在点、测得上海中心大厦的楼顶（点的仰角和，通过计算就可以得到大厦的高度． 测量并通过计算得：米，，，，． （1）教学楼的高度为 　　米； （2）请你在两种方案中选取一种方案，计算出上海中心大厦的高度（精确到1米）． 【答案】（1）30； （2）上海中心大厦的高度为632米． 【分析】（1）设教学楼的高度为米，根据题意列方程即可得到结论； （2）方案1，设米，过点作，垂足为点，根据矩形的性质得到，（米解直角三角形得到上海中心大厦的高度为632米；方案2，设米，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：（1）设教学楼的高度为米， 根据题意得， 解得， 答：教学楼的高度为30米， 故答案为：30； （2）方案1，设米，过点作，垂足为点， ， 四边形是矩形， ，（米 在中，，， 在中，，， ， 解得：， 上海中心大厦的高度为632米； 方案2，设米， 在中，，， 在中，，， ， 解得， 上海中心大厦的高度为632米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确地作出辅助线是解题的关键． 4．（2023•杨浦区二模）如图，某水渠的横断面是以为直径的半圆，其中水面截线，小明在处测得点处小树的顶端的仰角为，已知小树的高为1.75米． （1）求直径的长； （2）如果要使最大水深为2.8米，那么此时水面的宽度约为多少米．（结果精确到0.1米，参考数据：， 【答案】（1）7米； （2）约为6.7米． 【分析】（1）由，，得，利用锐角三角形的正切值即可求解； （2）过点作，交于点，交半圆于点，连接，在中，利用勾股定理即可求得的值，从而可求解． 【解答】解：（1）小明在处测得点处小树的顶端的仰角为， ，， ， ，米， ， （米， 答：直径的长为7米； （2）过点作于，并延长交于，连接，如图： ，米， 的直径为7米， 米 米， 在中， ，（米， （米． 答：水面的宽度约为6.7米． 【点评】本题考查解直角三角形及应用，涉及勾股定理及应用，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数定义、勾股定理并能应用． 【题型6 解直角三角形的应用-方向角问题】 1．（2024•嘉定区二模）某东西方向的海岸线上有、两个码头，这两个码头相距60千米，有一艘船在这两个码头附近航行． （1）当船航行了某一刻时，由码头测得船在北偏东，由码头测得船在北偏西，如图1，求码头与船的距离的长），其结果保留3位有效数字； （参考数据：，，， （2）当船继续航行了一段时间时，由码头测得船在北偏东，由码头测得船在北偏西，船到海岸线的距离是（即，如图2，求的长，其结果保留根号． 【答案】（1）码头与船的距离为49.2千米． （2）船到海岸线的距离为千米． 【分析】（1）根据题意得：千米，由，得到，由，得到，求得；根据三角函数的定义即可得到结论． （2）根据题意得到千米，由，得到由，得到，求得，过点作，垂足为，解直角三角形即可得到结论． 【解答】（1）根据题意得：千米， ， ， ， ， ， ； 在中，， ， （千米）， 千米； 答：码头与船的距离为49.2千米． （2）根据题意得：千米， ， ， ， ， ， 过点作，垂足为， 在中，（千米），（千米）， 在中， （千米）， 千米， 答：船到海岸线的距离为千米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，熟练掌握方向角的定义是解题的关键． 2．（2024•普陀区校级三模）在城市地气象台测得台风中心在该地正西方向300千米的处正以每小时26千米的速度沿射线（北偏东方向）移动，如果距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域．假如这次台风从点位置沿北偏东方向移动3小时后，方向转为北偏东方向继续行进． 请问：城市是否受到台风的影响？如果受到影响，请计算影响的时间；如果不影响，请说明理由？（结果保留一位小数，参考数据： 【答案】城市不受台风的影响，理由详见解答． 【分析】过点作于点，过点作于点，风从点位置沿北偏东方向移动3小时到达点，求出，在中，，，，在中，，求，在射线上时最短的距离，，，，在中，，在中，，在中，，求出，在中，，求出，比较即可． 【解答】解：如图，过点作于点，过点作于点， 风从点位置沿北偏东方向移动3小时到达点， 则（千米）， ， 在中， ，， （千米）， 在中， ， ， 台风中心在射线上运动时，不是台风影响区域， 在射线上时最短的距离， ， ， ， ， 千米，（千米）， ， 在中， （千米）， 在中， ， 在中， （千米）， （千米）， 在中，， （千米）， ， 城市不受台风的影响． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是画图，作辅助线． （建议用时：15分钟） 1．（2023•普陀区一模）计算：． 【答案】． 【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 2．（2023•普陀区二模）如图，在中，，垂足为点，，，，． （1）求的长； （2）求的面积． 【答案】（1）16． （2）32． 【分析】（1）在中，由，求出，再由得，即可求出． （2）由勾股定理求出，根据得到，即可求出结果． 【解答】解：（1）， ， ， ， ， ， ， 又， ， ． （2）在中，由勾股定理得， ， ， ． 【点评】本题主要考查了解直角三角形，以及平行线分线段成比例定理，三角形的面积计算，熟练运用三角函数的定义是解题关键． 3．（2023•青浦区二模）如图，在中，已知，，． （1）求边的长； （2）已知点在边上，且，连接，试说明与相等． 【答案】（1）的长为； （2）理由见解析． 【分析】（1）过点作，垂足为点，先证明，再根据证得，进而利用求出和，再利用勾股定理求出即可； （2）根据已知求出，进而证得点是的中点，直线是线段的垂直平分线，根据垂直平分线的性质证得结论． 【解答】解：（1）过点作，垂足为点， 在中，， ， ， 在中，， ， 设，那么，， ， ， 解得， ，， 在中，， 即的长为； （2）过点作，垂足为点， ， ， ， ， 由得， ， ， ， 是线段的垂直平分线， ， ． 【点评】本题考查了解直角三角形以及平行线分线段成比例定理，解题的关键是添加适当的辅助线构造直角三角形． 4．（2023•徐汇区二模）如图，、分别是边上的高和中线，已知，． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1）的长为2； （2）． 【分析】（1）根据三角形中线的定义得出．根据正切函数的定义设，则，．由，列出方程，求出即可得到的长； （2）如图，作于．利用勾股定理求出．在中，利用正切函数定义以及勾股定理求出，然后根据正弦函数定义即可求出． 【解答】解：（1）是边上中线，， ． 是边上的高，， 是等腰直角三角形，， ， 设，则，． ， ， 解得， 的长为2； （2）如图，作于． 由（1）知，， ， ． 在中，， 可设，则． ， ， 解得， ， ． 【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数定义，三角形的中线和高，掌握相关定义及定理是解题的关键． 5．（2023•金山区二模）如图，已知在△中，，，点、分别是、的中点，过点作交的延长线于点，联结． （1）求的正弦值； （2）求线段的长． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）过点作于，交于．根据等腰三角形三线合一的性质得出，利用勾股定理求出，再根据正弦函数的定义求解即可； （2）根据线段中点的定义，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，勾股定理求出．再证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得出，然后利用勾股定理即可求出线段的长． 【解答】解：（1）如图，过点作于，交于． ，， ， ， ； （2）点、分别是、的中点， ，，， ， ，即， ， ． ，， 四边形是平行四边形， ， ， ． 故线段的长为． 【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，锐角三角函数等知识，综合性较强．准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 6．（2023•浦东新区模拟）如图，在△中，，是边上的中线，过点作，垂足为点，若，． （1）求的长； （2）求的正切值． 【答案】（1）7． （2）6． 【分析】（1）设，，所以，，由可求出，从而可求出答案． （2）过点作于点，由于是的中点，所以是△的中位线，从而可求出，再求出即可求出的正切值． 【解答】解：（1）设，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． （2）过点作于点， ， 是的中点， 是△的中位线， ，， 由（1）可知：， ，， ， ． 【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是求出、的长度，本题属于中等题型． 7．（2023•宝山区二模）“小房子”是一种常见的牛奶包装盒（如图，图2是其一个侧面的示意图，由“盒身”矩形和“房顶”等腰三角形组成．已知厘米，厘米，厘米． （1）求“房顶”点到盒底边的距离； （2）现设计了牛奶盒的一个新造型，和原来相比较，折线段的长度（即线段与的和）及矩形的面积均不改变，且，，求新造型“盒身”的高度（即线段的长）． 【答案】（1）房顶”点到盒底边的距离为7.5厘米； （2）新造型“盒身”的高度为6.5厘米． 【分析】（1）作，垂足为，交于点，根据矩形的性质得到厘米，，根据勾股定理即可得到结论； （2）设厘米，厘米，根据勾股定理得到（厘米），求得厘米，根据矩形的面积公式列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）作，垂足为，交于点， 四边形是矩形， 厘米，， ． 厘米，厘米， 厘米， （厘米）， （厘米） 答：房顶”点到盒底边的距离为7.5厘米； （2）在△中，， 设厘米，厘米， （厘米）， 厘米， （厘米）， 厘米， 矩形的面积不改变， ， 解得或， ，或，， ， ． 答：新造型“盒身”的高度为6.5厘米． 【点评】本题考查的是直角三角形的应用，解此题的关键是把实际问题转化为数学问题，要把实际问题抽象到直角三角形中，利用三角函数求解． 8．（2023•闵行区二模）如图，在修建公路时，需要挖掘一段隧道，已知点、、、在同一直线上，，，米； （1）求隧道两端、之间的距离（精确到个位）； （参考数据：，，． （2）原计划单向开挖，但为了加快施工进度，从、两端同时相向开挖，这样每天的工作效率提高了，结果提前2天完工．问原计划单向开挖每天挖多少米？ 【答案】（1）1200； （2）100． 【分析】（1）求出的度数，再根据锐角三角函数直接进行计算即可； （2）设未知数，列方程求解即可． 【解答】解：（1），， ， 在中，，， （米， 答：隧道两端、之间的距离约为1200米； （2）设有原计划每天开挖米，则实际每天开挖米，由题意得， ， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：原计划单向开挖每天挖100米． 【点评】本题考查解直角三角形的应用以及分式方程的应用，掌握直角三角形的边角关系以及分式方程的应用是正确解答的前提． 9．（2023•杨浦区二模）如图，某地下停车库入口的设计示意图，已知，坡道的坡比，的长为7.2米，的长为0.4米．按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，以便告知停车人车辆是否能安全驶入，根据所给数据，确定该车库入口的限高，即点到的距离的值为 　 　米． 【答案】2.4． 【分析】延长交于，根据坡度和坡角可得，，过点作于，根据锐角三角函数即可求出的长． 【解答】解：如图： 延长交于， ， ， ， ， ， ， ， 过点作于， ， ， ， （米． 答：点到的距离的值为2.4米． 故答案为：2.4． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角定义． 10．（2023•奉贤区二模）图是某地下商业街的入口的玻璃顶，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，它的示意图．经过测量，支架的立柱与地面垂直，米，点、、在同一水平线上，斜杆与水平线的夹角，支撑杆，垂足为，该支架的边与的夹角，又测得米． （1）求该支架的边的长； （2）求支架的边的顶端到地面的距离．（结果精确到0.1米） （参考数据：，，，，， 【答案】（1）该支架的边的长7米． （2）支架的边的顶端到地面的距离为6.5米． 【分析】（1）由题意得，， 米，，， 米，，在中先求出，进而求出，在中求出即可； （2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，在中先确定，再根据求出即可． 【解答】解：（1）由题意得，， 米，，， 米，， 在中，，， 即 （米， （米， 在中，，， 即 （米， 答：该支架的边的长7米； （2）过点作，垂足为，过点作，垂足为， ， ， ， ， ， ， 在中，，， 即 （米， （米， （米， 答：支架的边的顶端到地面的距离为6.5米． 【点评】本题考查解直角三角形坡度坡角问题、仰角俯角问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 11．（2023•长宁区二模）为了测量某建筑物的高度，从与建筑物底端在同一水平线的点出发，沿着坡比为的斜坡行走一段路程至坡顶处，此时测得建筑物顶端的仰角为，再从处沿水平方向继续行走100米后至点处，此时测得建筑物顶端的仰角为，建筑物底端的俯角为，如图，已知点、、、、在同一平面内，求建筑物的高度与的长．（参考数据： 【答案】建筑物的高度约为136.6米，的长为130米． 【分析】过点作，垂足为，延长交于点，根据题意可得：，米，，，，先利用三角形的外角性质进行计算可得，从而可得米，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出，的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后根据斜坡的坡比为，可求出的长，再在中，利用勾股定理求出的长，即可解答． 【解答】解：过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得：，米，，，， 是的一个外角， ， ， 米， 在中，（米， （米， 在中，（米， 米， （米， 斜坡的坡比为， ， （米， 在中，（米， 建筑物的高度约为136.6米，的长为130米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点10 锐角三角函数 锐角三角函数是上海中考数学中的重要考点，需要认真复习和掌握，主要考查锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值，尤其是应用主要在综合题中考查，是考查重点。每年都有一道三角函数的综合题，还常和四边形、圆、网格图形等结合考察，是近几年中考填空压轴题常考题型。 同学们在复习的时候，首先需要牢固掌握锐角三角函数的概念，包括正弦、余弦、正切的定义，以及它们在直角三角形中的应用。同时，需要熟记特殊角的三角函数值，并能够根据已知条件求出相应的锐角。 其次，理解基本的方法是解题的关键。在解决锐角三角函数问题时，常常需要利用辅助线构造直角三角形，然后利用三角函数的关系式进行求解。因此，熟练掌握直角三角形的性质和三角函数的关系式是非常重要的。最后，多做综合题进行练习。通过练习，可以加深对锐角三角函数的理解和掌握程度，提高解题能力和应试技巧。同时，也需要注意解题的规范性，确保答案符合实际意义。 考向一：特殊角的三角函数值与解直角三角形 【题型1 特殊角的三角函数值】 一、解题技巧（快速得分） 1．记忆口決： 正弦：（对应）； 余弦：与正弦反向； 正切：。 2．构造直角三角形： 三角形边长比为； 三角形边长比为 。 3．单位圆应用： 特殊角的坐标对应三角函数值（如对应点）。 二、注意事项 1．分母有理化： ，避免写成。 2．符号判断： 初中阶段默认角度在第一象限，三角函数值均为正。 3．与三角形结合： 已知角度和一边，用三角函数求其他边（如）。 1．（2025•静安区一模）如果锐角的余弦值为，下列关于锐角的取值范围的说法中，正确的是　　 A． B． C． D． 2．（2024•崇明区模拟）已知为锐角，若，则的度数为　　． 3．（2025•崇明区一模）计算：． 4．（2025•黄浦区一模）计算：． 【题型2 解直角三角形】 一、核心公式（必记） 1．勾股定理：（为斜边）； 2．三角函数： 二、解题步骤（快速得分） 1．知二求三： 已知两边：用勾股定理求第三边，再用三角函数求角； 已知一边一角：用三角函数求另两边，或用角度关系求其他角。 2．实际问题建模： 标注已知角（如仰角，俯角）和边，转化为直角三角形问题。 三、常见题型技巧 1．仰角俯角问题： 仰角：从下往上看的角；俯角：从上往下看的角，均需作水平线辅助。 2．坡度（坡比）： 坡度（为坡角）。 3．多三角形组合： 利用公共边或角建立方程（如两相邻直角三角形共享高度）。 1．（2024•杨浦区二模）如图，在中，，的垂直平分线交边于点，如果，那么　　． 2．（2023•金山区二模）已知中，，，，点是线段上的动点，点在线段上，如果点关于直线对称的点恰好落在线段上，那么的最大值为 　　． 3．（2023•普陀区三模）如图，已知△是等边三角形，点、、、在同一直线上，且，，则　　． 4．（2023•闵行区二模）阅读理解：如果一个三角形中有两个内角、满足，那么我们称这个三角形为特征三角形．问题解决：如图，在中，为钝角，，，如果是特征三角形，那么线段的长为 　　． 5．（2024•普陀区二模）如图，在中，，点在边上，，． （1）求的长； （2）求的值． 6．（2024•浦东新区二模）如图，在中，是边上的高．已知，，． （1）求的长； （2）如果点是边的中点，联结，求的值． 考向二：解直角三角形的应用 【题型3 解直角三角形的应用】 一、解题步骤 1．建模：将实际问题抽象为直角三角形，标注已知角（如）和边。 2．选择公式：已知边与角关系，选正弦／余弦／正切或勾股定理。 3．计算验证：代入数据计算，检查单位统一和答案合理性（如高度为正）。 1．（2024•浦东新区模拟）图1是2002年世界数学大会的会徽，其主体图案（如图是由四个全等的直角三角形组成的四边形．若，，则的长为　　 A． B． C． D． 2．（2024•崇明区二模）某工程队购进几台新型挖掘机（如图，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成，图2是其侧面结构示意图：是基座（基座高度忽略不计），是主臂，是伸展臂，若主臂长为4.8米，主臂伸展角的范围是：，伸展臂伸展角的范围是：，当主臂伸展角最小，伸展臂伸展角最大时，伸展臂恰好能接触水平地面（点、、、在一直线上）．（参考数据：， （1）当挖掘机在处时，能否挖到距水平正前方6米远的土石？（请通过计算说明） （2）该工程队承担了新农村景观河的建设任务，计划用该型号的挖掘机进行施工．已知景观河全长1200米，实际开工后每天比原计划多挖20米，因此提前3天完成任务，求工程队原计划每天挖多少米？ 3．（2024•静安区校级二模）如图，一个五角星，已知，，，四点共线，，，，四点共线，，，，四点共线，，，，四点共线，，，，四点共线，且，，现测得． （1）求的长（精确到． （2）作直线，求点到的距离（精确到． （参考数据：，，， 4．（2024•浦东新区模拟）一酒精消毒瓶如图1，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图2，，，．当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图． （1）求点转动到点的路径长； （2）求点到直线的距离（结果精确到．（参考数据：，，，，， 【题型4 解直角三角形的应用-坡度坡角问题】 一、核心应用场景 1．仰角俯角问题： 仰角／俯角水平线+视线构成直角三角形，用三角函数求高度／距离。 2．坡度（坡比）： 坡度，结合勾股定理求坡长。 3．多三角形组合： －利用公共边／角建立方程（如两直角三角形共享高度，用三角函数联立求解）。 二、解题步骤 1．建模：将实际问题抽象为直角三角形，标注已知角（如）和边。 2．选择公式：已知边与角关系，选正弦／余弦／正切或勾股定理。 3．计算验证：代入数据计算，检查单位统一和答案合理性（如高度为正）。 1．（2024•徐汇区二模）小杰沿着坡比的斜坡，从坡底向上步行了130米，那么他上升的高度是 　　米． 2．（2023•普陀区二模）如图，斜坡的坡度，现需要在不改变坡高的情况下将坡度变缓，调整后的斜坡的坡度，已知斜坡米，那么斜坡　　米． 3．（2024•虹口区二模）根据以下素材，完成探索任务． 探究斜坡上两车之间距离 素材1 图①是某高架入口的横断面示意图．高架路面用表示，地面用表示，斜坡用表示．已知，高架路面离地面的距离为25米，斜坡长为65米． 素材2 如图②，矩形为一辆大巴车的侧面示意图，长为10米，长为3.5米．如图③，该大巴车遇堵车后停在素材1中的斜坡上，矩形的顶点与点重合，点与指示路牌底端点之间的距离为6.5米，且．小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶，小张的眼睛到斜坡的距离为1米． 问题解决 任务一 如图①，求斜坡的坡比． 任务二 如图③，当小张正好可以看到整个指示路牌（即、、在同一条直线上）时，试求小张距大巴车尾的距离． 4．（2024•宝山区二模）小明家院内靠墙安装了一个遮阳篷（如图，图2是它的侧面示意图，遮阳篷长米，与水平面的夹角为，靠墙端离地高度米，已知该地区冬至正午太阳光照入射角，夏至正午太阳光照入射角，因此，点、之间的区域是一年四季中阳光不一定照射到的区域，求该区域深度的长．（结果精确到0.1米） 参考数据：，，；，，；，，． 【题型5 解直角三角形的应用-仰角俯角问题】 一、核心概念（必记） 1．仰角：从观察点向上看目标时，视线与水平线的夹角； 2．俯角：从观察点向下看目标时，视线与水平线的夹角； 3．关键模型：仰角／俯角 + 水平线 + 视线构成直角三角形。 二、解题技巧（快速得分） 1．步骤分解： 画示意图：标注水平线，视线，仰角／俯角； 确定直角三角形：视线为斜边，水平线为邻边，垂直高度为对边； 选公式： 已知水平距离求高度：高度水平距离； 已知高度求水平距离：水平距离； 已知斜边（视线长度）求高度／水平距离：用正弦／余弦。 2．特殊角度速解： 若仰角为，高度为水平距离的倍； 若俯角为，高度水平距离。 1．（2024•青浦区二模）如图，热气球的探测器显示，从热气球处看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球处与楼的水平距离为米，那么这栋楼的高度为 　　米．（用含、、的式子表示） 2．（2024•浦东新区二模）如图，小丽在大楼窗口处测得校园内旗杆底部的俯角为度，窗口离地面高度（米，那么旗杆底部与大楼的距离　　米（用和的式子表示）． 3．（2024•金山区二模）上海中心大厦位于中国上海浦东陆家嘴金融贸易区核心区，是一幢集商务、办公、酒店、商业、娱乐、观光等功能的超高层建筑．它的附近有一所学校的数学兴趣小组在讨论建筑物的高度测量问题，讨论发现要测量学校教学楼的高度可以用“立杆测影”的方法，他们在平地上立一根2米长并且与地面垂直的测量杆，量得影子长为1.6米，同时量得教学楼的影子长为24米，这样就可以计算出教学楼的高度．进而在讨论测量上海中心大厦高度时，由于距离远和周围建筑密集等因素，发现用“立杆测影”的方法不可行，要采用其他方法，经讨论提出两个方案（测角仪高度忽略不计） 方案1：如图1所示，利用计算所得的教学楼高度，分别在教学楼的楼顶（点和楼底地面（点分别测得上海中心大厦的楼顶（点的仰角和，通过计算就可以得到大厦的高度； 方案2：如图2所示，在学校操场上相对于上海中心大厦的同一方向上选取两点、，先量得的长度，再分别在点、测得上海中心大厦的楼顶（点的仰角和，通过计算就可以得到大厦的高度． 测量并通过计算得：米，，，，． （1）教学楼的高度为 　　米； （2）请你在两种方案中选取一种方案，计算出上海中心大厦的高度（精确到1米）． 4．（2023•杨浦区二模）如图，某水渠的横断面是以为直径的半圆，其中水面截线，小明在处测得点处小树的顶端的仰角为，已知小树的高为1.75米． （1）求直径的长； （2）如果要使最大水深为2.8米，那么此时水面的宽度约为多少米．（结果精确到0.1米，参考数据：， 【题型6 解直角三角形的应用-方向角问题】 1．（2024•嘉定区二模）某东西方向的海岸线上有、两个码头，这两个码头相距60千米，有一艘船在这两个码头附近航行． （1）当船航行了某一刻时，由码头测得船在北偏东，由码头测得船在北偏西，如图1，求码头与船的距离的长），其结果保留3位有效数字； （参考数据：，，， （2）当船继续航行了一段时间时，由码头测得船在北偏东，由码头测得船在北偏西，船到海岸线的距离是（即，如图2，求的长，其结果保留根号． 2．（2024•普陀区校级三模）在城市地气象台测得台风中心在该地正西方向300千米的处正以每小时26千米的速度沿射线（北偏东方向）移动，如果距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域．假如这次台风从点位置沿北偏东方向移动3小时后，方向转为北偏东方向继续行进． 请问：城市是否受到台风的影响？如果受到影响，请计算影响的时间；如果不影响，请说明理由？（结果保留一位小数，参考数据： （建议用时：15分钟） 1．（2023•普陀区一模）计算：． 2．（2023•普陀区二模）如图，在中，，垂足为点，，，，． （1）求的长； （2）求的面积． 3．（2023•青浦区二模）如图，在中，已知，，． （1）求边的长； （2）已知点在边上，且，连接，试说明与相等． 4．（2023•徐汇区二模）如图，、分别是边上的高和中线，已知，． （1）求的长； （2）求的值． 5．（2023•金山区二模）如图，已知在△中，，，点、分别是、的中点，过点作交的延长线于点，联结． （1）求的正弦值； （2）求线段的长． 6．（2023•浦东新区模拟）如图，在△中，，是边上的中线，过点作，垂足为点，若，． （1）求的长； （2）求的正切值． 7．（2023•宝山区二模）“小房子”是一种常见的牛奶包装盒（如图，图2是其一个侧面的示意图，由“盒身”矩形和“房顶”等腰三角形组成．已知厘米，厘米，厘米． （1）求“房顶”点到盒底边的距离； （2）现设计了牛奶盒的一个新造型，和原来相比较，折线段的长度（即线段与的和）及矩形的面积均不改变，且，，求新造型“盒身”的高度（即线段的长）． 8．（2023•闵行区二模）如图，在修建公路时，需要挖掘一段隧道，已知点、、、在同一直线上，，，米； （1）求隧道两端、之间的距离（精确到个位）； （参考数据：，，． （2）原计划单向开挖，但为了加快施工进度，从、两端同时相向开挖，这样每天的工作效率提高了，结果提前2天完工．问原计划单向开挖每天挖多少米？ 9．（2023•杨浦区二模）如图，某地下停车库入口的设计示意图，已知，坡道的坡比，的长为7.2米，的长为0.4米．按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，以便告知停车人车辆是否能安全驶入，根据所给数据，确定该车库入口的限高，即点到的距离的值为 　 　米． 10．（2023•奉贤区二模）图是某地下商业街的入口的玻璃顶，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，它的示意图．经过测量，支架的立柱与地面垂直，米，点、、在同一水平线上，斜杆与水平线的夹角，支撑杆，垂足为，该支架的边与的夹角，又测得米． （1）求该支架的边的长； （2）求支架的边的顶端到地面的距离．（结果精确到0.1米） （参考数据：，，，，， 11．（2023•长宁区二模）为了测量某建筑物的高度，从与建筑物底端在同一水平线的点出发，沿着坡比为的斜坡行走一段路程至坡顶处，此时测得建筑物顶端的仰角为，再从处沿水平方向继续行走100米后至点处，此时测得建筑物顶端的仰角为，建筑物底端的俯角为，如图，已知点、、、、在同一平面内，求建筑物的高度与的长．（参考数据： 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$