精品解析：广东省深圳外国语学校高中园2024-2025学年高二上学期期末数学试题

深外高中园2024-2025学年第一学期高二年级期末考试 数学试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上. 2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上. 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4、考生必须保持答题卡的整洁和平整. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线方程得直线的斜率，得直线的倾斜角. 【详解】直线的斜率为，设倾斜角为， 则，且，所以. 故选：C. 2. 若圆与圆相交于、，则所在直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将两圆方程作差，可得出直线的方程. 【详解】因为圆与圆相交于、， 将这两圆方程作差可得， 因此，直线的方程为. 故选：A. 3. 已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两向量垂直数量积为零求出，计算出. 【详解】因为，，与垂直， 所以，解得， 所以，所以. 故选：C. 4. 已知双曲线，则下列选项中不正确的是（ ） A. 的焦点坐标为 B. 的顶点坐标为 C. 的离心率为 D. 的虚轴长为 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的性质逐一判断即可 【详解】因为，所以， 因为焦点在轴上， 所以的焦点坐标为，顶点为，离心率为，虚轴长为． 故选：A 5. 已知函数的图象是下列四个图象之一.且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求解即可. 【详解】图象可知，. 故函数在处，切线的斜率为0， 只有选项D满足条件. 故选：D 6. 在等差数列中，，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差中项的性质，建立方程求解即可. 【详解】因为是等差数列，所以，则. 故选：C. 7. 已知椭圆：（）的上顶点为，左、右焦点分别为，，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用椭圆定义，结合余弦定理和离心率公式计算即可. 【详解】由题意可得，因为， 所以，， 因为为椭圆的上顶点，所以，则， 在中，， 在中，， 即，所以. 故选：C. 8. 如图，正方形的棱长为分别是的中点，是四边形内一动点，，若直线与平面没有公共点，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，设，由空间向量法求出点轨迹方程，然后再由向量的模的坐标表示求得模，再化为关于的函数，结合函数知识得最小值． 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，. 设平面的法向量为， 则，即 令，可得. 设，则. 因为直线与平面没有公共点，所以平面，则， 所以，即. 当时，取得最小值，最小值为 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错、不选或多选的得0分. 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面 B. 已知两个向量，，且，则 C. 若，且，，则 D. ，，则在上的投影向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用空间中四点共面的推论可判断A选项；利用空间向量共线的坐标表示可判断B选项；利用空间向量垂直的坐标表示可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，若、、、四点共面，则存在、，使得， 即， 所以，，且， 因为对空间中任意一点，有，且， 故、、、四点不共面，A错； 对于B选项，已知两个向量，，且， 设，即，则，解得，故，B对； 对于C选项，若，且，，则，C对； 对于D选项，若，，则在上的投影向量为 ，D错. 故选：BC. 10. 已知直线l：，点P为⊙M ：上一点，则（ ） A. 直线l与⊙M相离 B. 点P到直线l距离的最小值为 C. 与⊙M关于直线l对称的圆的方程为 D. 平行于l且与⊙M相切的两条直线方程为和 【答案】AC 【解析】 【分析】利用圆心到直线l的距离与半径的关系可以判断A正确；点P到直线l距离的最小值为，判断B错误；求出圆心关于直线l对称点，进而求出圆的方程，判断C正确；利用圆心到直线的距离，求出其切线方程，判断D错误. 【详解】⊙M ：，圆心，半径， 圆心到直线l：的距离为：， 所以直线l与⊙M相离，故A正确； 点P到直线l距离的最小值为，故B错误； 设圆心关于直线l对称点为， 则，解得， 则与⊙M关于直线l对称的圆的方程为，故C正确； 设平行于l且与⊙M相切的直线方程为， 则，解得或， 平行于l且与⊙M相切的两条直线方程为和，故D错误. 故选：AC. 11. 十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作：再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作：；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若第n次操作去掉的区间长度记为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】分析题意发现是一个等比数列，按照等比数列的性质逐一验证即可，其中B选项是化简成一个等差数列进行判断，CD两个选项需要利用数列的单调性进行判断，尤其是D选项，需要构造新数列，利用做差法验证单调性. 【详解】由题可知，；，；， 由此可知，即一个等比数列； A：，A错误； B：，因为，所以该数列为递减数列， 又因为当时，，所以恒成立，B正确； C：，即，两边约去得到， 当时，，原式成立； 当时，恒成立，所以成立， 即成立，C正确； D：令，再令， 令解得，因为，所以取， 由此可知时；时， 故为最大值，，根据单调性，即不恒成立，D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 以坐标原点为顶点，为焦点的抛物线的标准方程为 ______. 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线焦点求出，即可得解. 【详解】因为抛物线的顶点为坐标原点，焦点为，所以抛物线开口向左， 设抛物线的标准方程为，所以，解得. 所以抛物线方程为. 故答案为： 13. 函数在处的切线与平行，则________. 【答案】2 【解析】 【分析】由得出的值. 【详解】 因为函数在处的切线与平行 所以，故 故答案为：2 14. 已知为不超过的最大整数，例如，设等差数列的前项和为且，记，则数列的前100项和为______． 【答案】480 【解析】 【分析】求出，则，利用的定义及对数函数的性质确定，求和可得答案． 【详解】由题意得，∴， ∵，∴， ∴公差， ∴，， 当时，，∴； 当时，，即，∴； 当时，，即，∴； 当时，，即，∴； 当时，，即，∴； 当时，，即，∴； 当时，，即，∴， 所以数列的前100项和为． 故答案为：480． 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16-17题各15分，第18-19题各17分，共77分. 15. 已知直线 （1）求过点，且与直线平行的直线的方程； （2）直线与圆相交于两点，求线段的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由平行直线斜率相等求出直线的斜率，用直线的点斜式方程求解或设直线方程为，将点代入即可求解. （2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，根据即可求解. 【小问1详解】 解法一： 直线的斜率为 直线的斜率为 直线的方程为 即 解法二： 直线的方程为 直线过点 直线的方程为 【小问2详解】 易知圆心，半径 圆心到直线的距离 16. 已知函数． （1）求函数的单调区间和极值． （2）若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数与函数单调性之间的关系可求得函数的增区间和减区间，即求得函数的极大值和极小值； （2）利用导数求出函数在区间上的最小值，可得出，由此可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，则， 令，可得或，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数增区间为、，减区间为， 函数的极大值为，极小值为. 【小问2详解】 由（1）可知，函数在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且， 故当时，， 因为对恒成立，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 17. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是4长为的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为PA的中点，PA＝PD＝． （1）求证：PC∥平面BMD； （2）求二面角M－BD－P的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】连接AC交BD于N，连接由三角形中位线知MN∥PC即得证； 取AD的中点O，连接OP，说明OP、OD、ON两两相互垂直，则分别以OD、ON、OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系利用向量法即可求出二面角的大小. 【小问1详解】 连接AC交BD于N，连接 在正方形ABCD中，， ∴N是AC的中点. 又M是AP的中点， ∴MN是的中位线，， ∵面BMD，面BMD， ∴∥平面BMD， 【小问2详解】 取AD的中点O，连接OP， 在中，，O是AD的中点， ∴， 又平面平面ABCD，平面PAD，平面平面， ∴平面 在正方形ABCD中，O，N分别是AD、BD的中点， ∴， ∴OP，OD，ON两两相互垂直，分别以OD，ON，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系 ，，，， ∴，， 设平面MBD的一个法向量， 则，即 取，得， ∴是平面MBD的一个法向量： 同理，是平面PBD的一个法向量， ∴， 设二面角的大小为， 由图可知，，，且为锐角， ∴， 故二面角的大小是 18. 已知数列是等差数列，设为数列的前项和，数列是等比数列，，若，，，． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）若，求数列前项和． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知列出方程组，求得公差和公比，然后求的数列的通项公式； （2）由（1）先求出，再利用错位相减法即可求出数列的前项和； （3）先根据已知条件整理得，设数列的前项和为，然后分组求和，利用等比数列求和公式以及裂项相消法求得结果. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为，，则由， 即，得 ， 解得 或，因为，故舍去， 所以，． 【小问2详解】 由（1）得，，所以， 令数列的前项和为，则， 即①， ②， 两式相减得： ， 所以. 【小问3详解】 设数列的前项和为 由，，得， 则，即； 故 . 19. 已知椭圆C的右焦点，且经过点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过右焦点F作直线，与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点． （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）是否存在椭圆C上一点Q及x轴上一点，使四边形为菱形？若存在，求，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（i）或；（ii）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义及性质可求得结果； （2）（i）直曲联立，求出弦长，再根据三角形的面积可求出结果；（ii）根据菱形对角线互相垂直平分可构造出等式，即可求得结果. 【小问1详解】 由题可知，左焦点， ，， ，， 故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 （i）方程为，，，， 由， ，， ， 原点到直线的距离， ，解得， 直线方程为：或； （ii）设的中点为，则为的垂直平分线， 而，， 故，故， 故的直线方程为：， 令，则，故，， 而在椭圆上，故， 整理得，该方程无解，所以不存在满足条件点. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意根的判别式的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为与韦达定理相关的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 深外高中园2024-2025学年第一学期高二年级期末考试 数学试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上. 2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上. 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4、考生必须保持答题卡的整洁和平整. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 若圆与圆相交于、，则所在直线方程是（ ） A. B. C. D. 3. 已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ） A. B. C. 3 D. 4. 已知双曲线，则下列选项中不正确的是（ ） A. 的焦点坐标为 B. 的顶点坐标为 C. 的离心率为 D. 的虚轴长为 5. 已知函数的图象是下列四个图象之一.且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（ ） A. B. C. D. 6. 在等差数列中，，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 已知椭圆：（）的上顶点为，左、右焦点分别为，，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形的棱长为分别是的中点，是四边形内一动点，，若直线与平面没有公共点，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错、不选或多选的得0分. 9. 关于空间向量，以下说法正确是（ ） A. 若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面 B 已知两个向量，，且，则 C. 若，且，，则 D. ，，则在上的投影向量为 10. 已知直线l：，点P⊙M ：上一点，则（ ） A. 直线l与⊙M相离 B. 点P到直线l距离的最小值为 C. 与⊙M关于直线l对称的圆的方程为 D. 平行于l且与⊙M相切两条直线方程为和 11. 十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作：再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作：；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若第n次操作去掉的区间长度记为，则（ ） A. B. C D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 以坐标原点为顶点，为焦点的抛物线的标准方程为 ______. 13. 函数在处的切线与平行，则________. 14. 已知为不超过的最大整数，例如，设等差数列的前项和为且，记，则数列的前100项和为______． 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16-17题各15分，第18-19题各17分，共77分. 15. 已知直线 （1）求过点，且与直线平行的直线的方程； （2）直线与圆相交于两点，求线段的长. 16. 已知函数． （1）求函数的单调区间和极值． （2）若对恒成立，求实数的取值范围． 17. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是4长为的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为PA的中点，PA＝PD＝． （1）求证：PC∥平面BMD； （2）求二面角M－BD－P的大小． 18. 已知数列是等差数列，设为数列的前项和，数列是等比数列，，若，，，． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）若，求数列的前项和． 19. 已知椭圆C的右焦点，且经过点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过右焦点F作直线，与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点． （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）是否存在椭圆C上一点Q及x轴上一点，使四边形为菱形？若存在，求，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$