新高考一轮复习作业100 微专题50 古典概型-遇见最美的数学系列——专项好题版

新高考一轮复习作业 100 微专题 50 古典概型 一、单选题 1．某兴趣小组有 5 名学生，其中有 3 名男生和 2 名女生，现在要从这 5 名学生中任选 2 名学生参加活动，则选中 的 2 名学生的性别相同的概率是 A． 2 5 B． 3 5 C． 3 10 D． 1 2 2．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以 表示为两个素数的和”，如30 7 23  ．在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是 A． 1 12 B． 1 14 C． 1 15 D． 1 18 3．安排 5 名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排 1 名大学生，则大学生甲、乙 到同一家企业实习的概率为（ ） A． 1 5 B． 3 10 C． 3 25 D． 6 25 4．有 4 名大学生志愿者参加 2022 年北京冬奥会志愿服务.冬奥会志愿者指挥部随机派这 4 名志愿者参加冰壶、短 道速滑、花样滑冰 3个项目比赛的志愿服务，则每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的概率（ ） A． 9 16 B． 3 4 C． 2 27 D． 4 9 5．在 3 张卡片上分别写上 3 位同学的学号后，再把卡片随机分给这 3 位同学，每人 1 张，则恰有 1 位学生分到写 有自己学号卡片的概率为（ ） A． 1 6 B． 1 3 C． 1 2 D． 2 3 6．现有甲､乙､丙､丁､戊五位同学，分别带着 A､B､C､D､E 五个不同的礼物参加“抽盲盒”学游戏，先将五个礼物分别 放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的概率为（ ） A． 4 5 B． 1 2 C． 4 7 D． 3 8 7．一袋中有大小相同的3个白球和 4个红球，现从中任意取出3个球，记事件 :A “3个球中至少有一个白球”，事 件 :B “3个球中至少有一个红球”，事件 :C “3个球中有红球也有白球”，下列结论不正确的是（ ） A．事件A与事件 B 不为互斥事件 B．事件A与事件C不是相互独立事件 C．   30 31 P C A  D．    P AC P AB 8．甲､乙､丙､丁､戊 5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有 , ,A B C 三个小区可供选择，每个志愿者只能选 其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在A小区的概率为（ ） A． 193 243 B． 100 243 C． 2 3 D． 5 9 二、多选题 9．口袋里装有 2红，2白共 4个形状相同的小球，从中不放回的依次取出两个球，事件 A “取出的两球同色”，B  “第一次取出的是红球”，C “第二次取出的是红球”，D = “取出的两球不同色”，下列判断中正确的（ ） A．A 与 B 相互独立. B．A与 D互为对立. C．B与 C互斥. D．B 与 D 相互独立； 10．有 6 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取 1 个球，甲表示事件“第 一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之 和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ） A．乙发生的概率为 1 2 B．丙发生的概率为 1 2 C．甲与丁相互独立 D．丙与丁互为对立事件 11．甲､乙､丙､丁､戊共 5 位志愿者被安排到A， B ，C，D 四所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一 位志愿者，且每位志愿者只能到一所学校支教，则下列结论正确的是（ ） A．不同的安排方法共有 240 种 B．甲志愿者被安排到A学校的概率是 1 4 C．若A学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有 120 种 D．在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校有两名志愿者的概率是 2 5 三、填空题 12．3名女生和 4 名男生随机站成一排，则每名女生旁边都有男生的概率为 ． 13．学校高一年级从 6 个班各自选出 2名同学参加市里组织的朗读比赛.若从这 12 名同学选出 6 人参加决赛，其中 预赛成绩优秀的一（1）班甲和一（2）班乙两名同学必须参加，其余任选，则这 6 人恰好仅有两名同学来自相同班 级的概率为 . 14．第 24 届冬奥会于 2022 年 2 月 4 日至 20 日在北京和张家口举行，中国邮政陆续发行了多款纪念邮票，其图案 包括“冬梦”“飞跃”“冰墩墩”"雪容融”等，小明现有“冬梦”"飞跃”“冰墩墩”"雪容融”邮票各 2张，他打算 从这 8张邮票中任选 3 张赠送给同学小红，则在选中的 3 张邮票中既有“冰墩墩”邮票又有“雪容融”邮票的概率 为 . 15．为普及空间站相关知识，某航天部门组织了空间站建造过程3D 模拟编程竞赛活动．该活动由太空发射、自定 义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等 8个程序题目组成，则该活动的题目顺序安排中，全尺寸太阳能排在前两位， 且太空发射与自定义漫游相邻，但两者均不与空间运输相邻的概率为 ． 16．一个袋子中有   *Nn n 个红球和 5 个白球，每次从袋子中随机摸出 2 个球．若“摸出的两个球颜色不相同” 发生的概率记为  p n ，则  p n 的最大值为 ． 答案第 1页，共 4页 新高考一轮复习作业 100 微专题 50 古典概型参考答案 1．A 由题意可知，选中的 2 名学生的性别相同的概率是： 2 2 3 2 2 5 3 1 2 10 5 C CP C      . 故选 A. 2．C 不超过 30 的素数有 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共 10 个，随机选取两个不同的数，共有 210 45C  种方 法，因为7+23=11+19=13+17=30，所以随机选取两个不同的数，其和等于 30 的有 3 种方法，故概率为 3 1= 45 15 ，选 C. 3．D 5 名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为 2,2,1 人或 3,1,1 人； 当分为 3,1,1 人时，有 3 35 3C A 60 种实习方案， 当分为 2,2,1 人时，有 2 2 35 3 32 2 C C A 90 A   种实习方案， 即共有60 90 150  种实习方案， 其中甲、乙到同一家企业实习的情况有 1 3 2 3 3 3 3 3C A C A 36  种， 故大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为 36 6 150 25  ， 故选：D. 4．D 先将 4人分成 3组，其一组有 2 人，另外两组各 1 人，共有 24 6C  种分法， 然后将 3 个项目全排列，共有 33 6A  种排法， 所以每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的方法数为6 6 36  种， 因为 4名志愿者参加 3 个项目比赛的志愿服务的总方法数 43 81 种， 所以每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的概率为 36 4 81 9  ， 故选：D 5．C 设三位同学分别为 , ,A B C，他们的学号分别为1,2,3， 用有序实数列表示三人拿到的卡片种类，如  1,3,2 表示A同学拿到1号， B同学拿到3号，C同学拿到 2号. 三人可能拿到的卡片结果为：            1, 2,3 , 1,3, 2 , 2,1,3 , 2,3,1 , 3,1, 2 , 3, 2,1 ，共 6 种， 其中满足题意的结果有      1,3,2 , 2,1,3 , 3,2,1 ，共 3 种， 结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为： 3 1 6 2 p   . 故选：C. 6．D 先从五人中抽取一人，恰好拿到自己的礼物，有 1 5C 种情况，接下来的四人分为两种情况，一种是两两一对，两个人 都拿到对方的礼物，有 2 2 4 2 2 2 C C A 种情况，另一种是四个人都拿到另外一个人的礼物，不是两两一对，都拿到对方的情 况，由 3 2 1 1C C 种情况，综上：共有 2 2 1 1 14 2 5 3 22 2 45C CC C C A         种情况，而五人抽五个礼物总数为 5 5 120A  种情况，故恰有 答案第 2页，共 4页 一位同学拿到自己礼物的概率为 45 3 120 8  . 故选：D 7．D 根据题意，取出的3个球的可能情况为：3个红球；1个红球 2个白球； 2个红球1个白球；3个白球. 故事件A包含：1个红球 2个白球； 2个红球1个白球；3个白球，且   3 4 3 7 C 311 C 35 P A    ； 事件 B包含：1个红球 2个白球； 2个红球1个白球；3个红球，且   3 3 3 7 C 341 C 35 P B    ； 事件C包含：1个红球 2个白球； 2个红球1个白球，且   2 1 1 2 3 4 3 4 3 7 C C C C 30 6 C 35 7 P C    . 所以，   2 1 1 2 3 4 3 4 3 7 C C C C 6 C 7 P AB   ，   2 1 1 2 3 4 3 4 3 7 C C C C 6 C 7 P AC   ， 因为 A B   ，则事件A与事件 B不为互斥事件，A选项正确；       2 1 1 2 3 4 3 4 3 7 C C C C 6 C 7 P AC P A P C   ，故事件A与事件C不是相互独立事件，B正确；     2 1 1 2 3 4 3 4 3 7 C C C C 6 C 7 P AB P AC   ，故 D 错误；      6 307 31 31 35 P AC P C A P A    ，故 C 正确； 故选：D. 8．B 首先求所有可能情况，5个人去 3个地方，共有 53 243 种情况， 再计算 5 个人去 3 个地方，且每个地方至少有一个人去， 5人被分为3,1,1或 2,2,1 当 5 人被分为3,1,1时，情况数为 3 35 3C A 60  ; 当 5 人被分为 2,2,1时，情况数为 1 2 3 5 4 3 2 2 C C A 90 A    ； 所以共有60 90 150  . 由于所求甲不去A，情况数较多，反向思考，求甲去A的情况数，最后用总数减即可， 当 5 人被分为3,1,1时，且甲去A，甲若为 1，则 3 24 2C A 8  ，甲若为 3，则 2 2 4 2C A 12  共计8 12 20  种， 当 5 人被分为 2,2,1时，且甲去A，甲若为 1，则 2 24 22 2 C A 6 A   ，甲若为 2，则 1 1 24 3 2C C A 24   ，共计6 24 30  种， 所以甲不在A小区的概率为  150 20 30 100 243 243    故选：B. 9．ABD 由题可得 2 2 1( ) 4 3 3 P A    ， 2 3 1( ) 4 3 2 P B    ， 2 2 2 2 2( ) 4 3 3 P D      ， 2 1 1( ) 4 3 6 P AB    ， 2 2 1( ) 4 3 3 P BD    ， 所以 ( ) ( ) ( )P AB P A P B  ， ( ) ( ) ( )P BD P B P D  ， 所以 A 与 B 相互独立，B 与 D 相互独立，故 AD 正确； 对于 B，由题意知，取出两个球要么颜色相同，要么颜色不同，即 A 与 D 互为对立事件，故 B 正确； 答案第 3页，共 4页 对于 C， “第 1次取出的是红球”，“第 2 次取出的是红球”， C 与 D 可能同时发生，故 C 错误. 故选：ABD. 10．ACD 设A为事件“第一次取出的球的数字是奇数”， B为事件“第二次取出的球的数字是偶数”， C为事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，D为事件“两次取出的球的数字之和是偶数”， 则   3 1 6 2 P A   ，   3 2 3 3 1 6 5 6 5 2 P B      ，故 A 正确.   3 3 32 6 5 5 P C     ，   3 2 22 6 5 5 P D     ，故 B 错误. 而      3 2 1 6 5 5 P AD P A P D    ，故 C 正确. 两次取出的数字之和要么为奇数，要么为偶数，故丙与丁互为对立事件， 故 D 正确. 故选：ACD. 11．ABD 甲､乙､丙､丁､戊共 5 位志愿者被安排到 A，B，C，D 四所山区学校参加支教活动， 则共有 2 45 4C A 240  种安排方法，故 A 正确； 甲志愿者被安排到 A学校， 若 A 学校只有一个人，则有 2 34 3C A 36  种安排方法， 若 A 学校只有 2个人，则有 44A 24 种安排方法， 所以甲志愿者被安排到 A学校有36 24 60  种安排方法， 所以甲志愿者被安排到 A学校的概率是 60 1 240 4  ，故 B正确； 若 A 学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有 2 35 3C A 60  种，故 C 错误； 甲志愿者被安排到 A学校有60种安排方法， 在甲志愿者被安排到 A 学校支教的前提下，A 学校有两名志愿者的安排方法有 24 种， 所以在甲志愿者被安排到 A 学校支教的前提下，A 学校有两名志愿者的概率是 24 2 60 5  ，故 D 正确. 故选：ABD. 12． 22 35 解：依题意基本事件总数为 7 7A ， 若女生都不相邻，首先将 4 个男生全排列，再将 3 个女生插入所形成的 5 个空中的 3个空，则有 4 3 4 5A A 种排法， 若有两个女生相邻，首先从 3个女生中选出 2 个作为一个整体A，将 4 个男生全排列， 再将整体A插入中间 3个空中的 1 个，再将另一个女生插入 4 个空中的 1个空，则有 2 2 4 1 13 2 4 3 4C A A A A 种排法， 故每名女生旁边都有男生的概率 4 3 2 2 4 1 1 4 5 3 2 4 3 4 7 7 A A C A A A A 22 A 35 P   故答案为： 22 35 13． 8 15 12 名同学中选 6人，其中 2 人必须参加，即在余下的 10 人中任选 4 人，所以基本事件总数为 410C 210 ， 余下 4人中如有一人来自一（1）班或一（2）班选法有 3 1 1 1 4 2 2 22C C C C 64 种， 余下 4人均来自余下的四个班选法有 1 2 1 1 4 3 2 2C C C C 48 种，故所求概率为 64 48 8 210 15   . 答案第 4页，共 4页 故答案为： 8 15 14． 5 14 3 张邮票中有 1张“冰墩墩”邮票和 2 张“雪容融”邮票的情况有 1 2 2 2 2C C  种，有 2张“冰墩墩”邮票和 1 张“雪 容融”邮票的情况有 1 2 2 2 2C C  种， 有 1 张“冰墩墩”邮票和 1 张“雪容融”邮票和 1 张其他邮票的情况有 1 1 12 2 4 16C C C   种， 3张邮票中既有“冰墩墩”邮票又有“雪容融”邮票的概率为 3 8 2 2 16 5 14C    . 故答案为： 5 14 . 15． 37 840 解：8个程序题目全排列共有 88A 种方法；全尺寸太阳能排在前两位，可分类讨论： ①全尺寸太阳能排在首位：太空发射与自定义漫游相邻，将二者捆绑起来有 2 2A 种方法，两者均不与空间运输相邻， 可先将其余 4 个全排列，有 4 4A 种方法，再插空有 25A 种排法，故此时共有 2 4 2 2 4 5A A A 2 24 20 960    种方法； ②全尺寸太阳能排在第二位，再分两种情况 ( )i 首位排空间运输，太空发射与自定义漫游相邻，将二者捆绑起来有 22A 种方法，和余下 4个元素一起全排列，有 5 5A 种方法，共 2 52 5A A 240 种方法； ( )ii 首位不排空间运输，余下四个一般元素挑一个排在首位，有 14A 种方法，太空发射与自定义漫游相邻，将二者捆 绑起来有 2 2A 种方法，余下 3 个一般元素全排列，有 3 3A 种方法，最后在 4 个空位中对空间运输和捆绑元素插空有 2 4A 种，共 1 2 3 24 2 3 4A A A A 576 ； 由①②所有符合条件的排法有960 240 576 1776   ； 故所求概率为： 8 8 1776 1776 37 A 8 7 6 5 4 3 2 1 840          ． 故答案为： 37 840 ． 16． 5 9      1 1 5 2 2 5 C C 5 10 10 205 4C 9 20 9 2 n n n np n n n n n n n             ， 对勾函数 20y x x   在  0, 20 上单调递减，在  20, 上单调递增， 故当 4n  或 5n  时， 20n n  有最小值为9，故   10 10 5 20 9 9 99 p n n n      . 故答案为： 5 9