新高考一轮复习作业6 函数的概念及其表示-遇见最美的数学系列——专项好题版

新高考一轮复习作业 6 函数的概念及其表示 一、单选题 1．已知函数 2 1, 2 ( ) | 5 , 2 x x f x x x      ，则   1f f （ ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，当血药浓度介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间时药物发挥作 用．某种药物服用 1单位后，体内血药浓度变化情况如图所示（服用药物时间对应 t时），则下列说法中不正确的 是（ ） A．首次服药 1 单位后 30 分钟时，药物已经在发挥疗效 B．若每次服药 1 单位，首次服药 1 小时药物浓度达到峰值 C．若首次服药 1 单位，3小时后再次服药 1单位，一定不会发生药物中毒 D．每间隔 5.5 小时服用该药物 1 单位，可使药物持续发挥治疗作用 3．已知函数    3 1 bxf x a x x     的图象过点  0,1 与 93, 4       ，则函数  f x 在区间 1,4 上的最大值为（ ） A． 3 2 B． 7 3 C． 5 4 D． 8 5 4．已知函数  y f x 的定义域为 0,4 ，则函数 0( 1) ( 2) 1 f xy x x      的定义域是（ ） A．  1,5 B．    1,2 2,5 C．    1, 2 2,3 D．  1,3 5．已知函数     2 2 11 0xf x x x     ，则  f x （ ） A．    2 1 1 0 1 x x    B．    2 1 1 1 1 x x    C．    2 4 1 0 1 x x    D．    2 4 1 1 1 x x    6．已知函数  f x 满足   11 4 f  ，         4 , Rf x f y f x y f x y x y     ，则  7f （ ） A． 1 4  B． 1 4 C． 1 2  D． 1 2 二、多选题 7．下列各组函数中表示同一个函数的是（ ） A． ( ) 2f x x ， 2 , 0 ( ) 2 , 0 x x g x x x     B． 2( )f x x ， 2( )g t t C． 0 ( ) 3 xf x x  ， 1( ) 3g x x  D． ( ) 4f x x  ， 2 16( ) 4 xg x x    8．如图所示的函数图象，对应的函数解析式不可能是（ ） A． 22 1xy x   B． 2 siny x x C． ln xy x  D． 2( )2 xy x x e  9．已知函数  f x 满足：    2 2 4 3 22 3 2 5 16 48 64 32f x f x x x x x       ，则以下不正确的有（ ） A．  0 4f  B．  f x 对称轴为 4x  C．  2 3f  D．  7 25f  三、填空题 10．函数的图象是两条线段（如图），它的定义域为[ 1,0) (0,1]  ，则不等式 ( ) ( ) 1f x f x    的解集为________． 11．已知函数 y=f（x）和 y=g（x）在[-2，2]的图像如图所示，给 出下列四个命题： ①方程 f[g（x）]=0 有且仅有 6 个根 ②方程 g[f（x）]=0 有且仅有 3 个根 ③方程 f[f（x）]=0 有且仅有 5 个根 ④方程 g[g（x）]=0 有且仅有 4 个根 其中正确的命题是___ 12．已知函数 2 , 2,2 8 ( ) 1 , 2. 2 x a x x x f x x           若对任意的  1 2x  ， ，都存在唯一的  2 , 2x   ，满足 1 2( ) ( )f x f x ，则实 数 a的取值范围是______________． 四、解答题 13．（1）已知 3 3 1 1f x x x x        ，求 ( )f x ； （2）已知 2 1 lgf x x       ，求 ( )f x ； （3）已知  f x 是一次函数，且满足3 ( 1) 2 ( 1) 2 17f x f x x     ，求  f x ； 14．已知函数  f x 对任意的实数 a，b，都有      f ab f a f b  成立. (1)求  0f ，  1f 的值; (2)求证：   01f f x x        （ 0x  ）; (3)若  2f m ，  3f n （m， n均为常数），求  36f 的值. 15．对于函数  f x ，若  0 0f x x ，则称 0x 为  f x 的“不动点”，若  0 0f f x x   ，则称 0x 为  f x 的“稳定点”， 函数  f x 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和 B，即   |A x f x x  ，   |B x f f x x    ，那么， （1）求函数   3 8f x x  的“不动点”和“稳定点”； （2）求证： A B ； （3）若    2 1 ,f x ax a x R   ，且 A B ，求实数 a的取值范围． 答案第 1页，共 4页 新高考一轮复习作业 6 函数的概念及其参考答案 1．A 【详解】当 1x  时，   11 2 1 3f    ，当 3x  时，  3 3 5 2f    ，所以     1 3 2f f f  . 故选：A. 2．C 【详解】由图象知，当服药半小时后，血药浓度大于最低有效浓度，故药物已发挥疗效，故 A正确； 由图象可知，首次服药 1小时药物浓度达到峰值，故 B 正确； 首次服药 1单位，3小时后再次服药 1单位，经过 1 小时后，血药浓度超过3 6 9a a a  ，会发生药物中毒，故 C 错 误； 服用该药物 5.5 小时后血药浓度达到最低有效浓度，再次服药可使血药浓度超过最低有效浓度且不超过最低中毒浓 度，药物持续发挥治疗作用，故 D正确. 故选：C 3．B 【详解】因为函数    3 1 bxf x a x x     的图象过点  0,1 与 93, 4       ，所以  0 1f  ，   93 4 f  ，则 3 9 4 4 3 1 b a      ， 解得 1 3 a  ， 3b  ，故函数  f x 的解析式为：   3 1 1 3 x xf x x     . 而    3 1 33 13 3 1 13 3 1 71 1 2 1 3 1 3 3 1 3 3 1 3 3 xx x x x xf x x x x x                       ，当且仅当 2x  时取等号， 函数  f x 在区间 1,4 上的最大值为 7 3 . 故选：B. 4．C 【详解】因为函数  y f x 的定义域为 0,4 ，又函数 0( 1) ( 2) 1 f xy x x      有意义， 则有 0 1 4 1 0 2 0 x x x          ，解得1 2x  或 2 3x  ，所以函数 0 ( 1) ( 2) 1 f xy x x      的定义域是    1, 2 2,3 . 故选：C 5．A 【详解】令 1t x  ，则 1x t  ，且 0x  ，则 1t  ， 可得         2 2 2 1 1 1 1 1 1 t f t t t        ，所以      2 1 1 0 1 xf x x     . 故选：A. 6．B 【详解】令 1, 0x y  ，则        1 04 1 1f f f f  ，即 1(0) 2 f  ， 令 1, 1x y  ，则        4 1 1 2 0f f f f  ，即 1(2) 4 f   ，令 2, 1x y  ，则        4 2 1 3 1f f f f  ，即 1(3) 2 f   ， 令 2, 2x y  ，则        2 24 4 0f f f f  ，即 1(4) 4 f   ，令 4, 3x y  ，则        4 34 7 1f f f f  ，即 1(7) 4 f  ， 故选：B 7．AB 【详解】A中两个函数定义域都是R ，对应法则都是乘以 2后取绝对值，是同一函数； B中两个函数定义域都是R ，对应法则都是取平方，是同一函数； C中 ( )f x 定义域是{ | 0}x x  ， ( )g x 的定义域是R ，不是同一函数； D中 ( )f x 的定义域是R ， ( )g x 的定义域是{ | 4}x x  ，不是同一函数． 故选：AB． 8．ABC 答案第 2页，共 4页 【详解】由图象可知当 0x  时，   0f x  ， 而 A 中函数当 = 1x  时， 1 32 0 2 2 y      ， B中函数当 x   时， 0y  ，故 A 和 B 不可能； C中函数的定义域是 0, 1x x x ∣ ，与图象不符，故 C不可能. 对于 2( ) xy x x e  ，当 0x  时， ( )2 0xxx e  ，当0 2x  时， ( )2 0xxx e  ， 当 2x  时， ( )2 0xxx e  ，所以 D 符合， 故选：ABC. 9．BC 【详解】因为 4 3 2 4 3 2 45 16 48 64 32 2( 8 24 32 16) 3x x x x x x x x x          4 3 2 2 4 2 2 42[( 8 16 ) 8( 4 ) 16] 3 2[( 4 ) 8( 4 ) 16] 3x x x x x x x x x x x             2 4 4 42( 4 4) 3 2( 2) 3x x x x x       ， 于是 2 2 4 42 ( ) 3 (2 ) 2( 2) 3f x f x x x     ，可得  42 2 42 (2 ) 3 ( ) 2 3 2f x f x x x     两式联立解得 2( ) ( 2)f x x  ， 2(2 )f x x  ，因此 2( ) ( 2)f x x  ， (0) 4f  ， (7) 25f  ，AD 正确；函数 ( )f x 图象的对称轴为 2x  ， (2) 0f  ，BC 错误. 故选：BC 10．  11,0 ,1 2      【详解】解： 当 x∈[ 1,0) 时，设线段所在直线的方程为 y kx b  ，线段过点（﹣1，0），（0，1）， 根据一次函数解析式的特点，可得出方程组 0 1 k b b      ，解得 1 1 b k    ．故当 x∈[﹣1，0）时，f（x）＝x+1； 同理当 x∈（0，1]时，f（x）＝x1；当 x∈[﹣1，0）时，不等式 f（x）﹣f（﹣x） 1 可化为： x+1﹣（x1） 1，解得：x 3 2   ，∴﹣1≤x＜0．当 x∈（0，1]时，不等式 f（x）﹣f（﹣x）﹣1可化为： x1﹣（x+1） 1，解得： 1 2 x  ，∴ 1 2  x≤1，综上所述，不等式 f（x）﹣f（﹣x）﹣1的解集为   11,0 ,1 2      ． 故答案为：  11,0 ,1 2      11．①③④ 【详解】对于①，令  t xg ， 结合图象可得   0f t  有三个不同的解 1 2 32 1, 0,1 2t t t       ，从图象上看   1g x t 有两个不同的解，   2g x t 有 两个不同的解，   3g x t 有两个不同的解，故 [ ( )] 0f g x  有 6 个不同解，故①正确. 对于②，令  t f x ，结合图象可得   0g t  有两个不同的解 1 22 1,0 1t t      ，从图象上看   1f x t 的有一个解，   2f x t 有三个不同的解，故 [ ( )] 0g f x  有 4 个不同解，故②错误. 对于③，令  t f x ，结合图象可得   0f t  有三个不同的解 1 2 32 1, 0,1 2t t t       ，从图象上看   1f x t 有一 个解，   2f x t 有三个不同的解，   3f x t 有一个解，故 [ ( )] 0f f x  有 5个不同解，故③正确. 对于④，令  t xg ，结合图象可得   0g t  有两个不同的解 1 22 1,0 1t t      ，从图象上看   1g x t 有两个不同 的解，   2g x t 有两个不同的解，故 [ ( )] 0g g x  有 4 个不同解，故④正确. 故答案为①③④. 12．  1,5 【详解】解：【法 1】当  2,x  时， 2( ) 2 8 xf x x   ．因为 1( ) 42 f x x x       ， 而 4 42 4x x x x     ，当且仅当 4x x  ，即 2x  时，等号成立，所以 ( )y f x 的取值范围是 10 8      ， ． 答案第 3页，共 4页 由题意及函数 1( ) 2 2 x a f x x        ， 的图像与性质可得 2 2 1 1 2 8 a a          或 2 2 1 1 2 8 a a          ，如上图所示．解得 2 5a  或 1 2a   ，所以所求实数 a的取值范围是  1,5 ． 【法 2】 当  2,x  时， 2( ) 2 8 xf x x   ，即 1( ) 42 f x x x       ，因为 4 42 4x x x x     ，当且仅当 4x x  ，即 2x  时，等号 成立，所以 ( )y f x 的取值范围是 10 8      ， ； 当  , 2x  时， （1）若 2a  ，则 | |1 1( ) 2 2 x a a x f x               （  , 2x  ），它是增函数，此时 ( )y f x 的取值范围是 210, 2 a         ．由 题意可得 21 1 2 8 a       ，解得 5a  ，又 2a  ，所以 2 5a  ； （2）若 2a  ，则 1 , , 2 ( ) 1 , 2 2 a x x a x a f x a x                ．函数 ( )y f x 在  ,a 上是增函数，此时 ( )y f x 的取值范围是  0,1 ； 而函数 ( )y f x 在 , 2a 上是减函数，此时 ( )y f x 的取值范围是 21 ,1 2 a          ．由题意可得 21 1 2 8 a       ，解得 1a   ， 又 2a  ，所以 1 2a   ． 综上，所求实数 a的取值范围是  1,5 ． 故答案为：[-1,5). 13．（1） 3( ) 3 ( 2f x x x x   或 2)x   ;（2） 2( ) lg ( 1) 1 f x x x    ;（3） ( ) 2 7f x x  . 【详解】 3 2 3 2 1 1 1 1 1f x x x x x x x x                     2 31 1 1 13 3x x x x x x x x                                  因为当 0x  时 1 2x x   ，当 0x  时 1 2x x    ， 所以 3( ) 3 ( 2f x x x x   或 2)x   . (2)令 2 1 ( 1)t t x    , 答案第 4页，共 4页 则 2 2, ( ) lg 1 1 x f t t t      , 2( ) lg ( 1) 1 f x x x     (3)设 ( ) ( 0)f x ax b a   , 则3 ( 1) 2 ( 1) 3 3 3 2 2 2 5 2 17f x f x ax a b ax a b ax b a x              所以 2, 7, ( ) 2 7a b f x x     . 14．(1)  0 0f  ，  1 0f  (2)证明见解析 (3)2 2m n . 【详解】（1）令 0a b= = ，则      0 0 0 0f f f   ，故  0 0f  . 令 1a b  ，则      1 1 1 1f f f   ，故  1 0f  . （2）    1 11f f x f x f x x               ， 0x  ，又  1 0f  ， 故   01f f x x        （ 0x  ）. （3）          4 2 2 2 2 2 2 2f f f f f m      ，          9 3 3 3 3 2 3 2f f f f f n      ， 故        36 4 9 4 9 2 2f f f f m n      . 15．（1）“不动点”为 4，“稳定点”为 4；（2）证明见解析；（3） 1 3, 4 4     【详解】（1）由   3 8f x x x   ，解得 4x  ， 由  f f x x    有  3 3 8 8x x   ，解得 4x  ， 所以函数   3 8f x x  的“不动点”为 4，“稳定点”为 4； （2）证明：若 A ，则 A B ，显然成立； 若 A  ，设 t A ，有  f t t ，则有    f f t f t t     ， 所以 t B ，故 A B ， 综上， A B ； （3）因为 A  ，所以方程 2 1ax x  有实根，即 2 1 0ax x   有实根， 所以 0a  或 0 1 4 0 a a      ，解得 1 4 a   ， 又由  f f x x    得：   22 1 1a ax x   ，即  3 4 2 22 1 0 *a x a x x a     ， 由（1）知 A B ，故方程  * 左边含有因式 2 1ax x  ， 所以    2 2 21 1 0ax x a x ax a      ，又 A B ， 所以方程 2 2 1 0a x ax a    要么无实根，要么根是方程 2 1 0ax x   的解， 当方程 2 2 1 0a x ax a    无实根时， 0a  或  2 2 0 4 1 0 a a a a        ，即 3 4 a  ， 当方程 2 2 1 0a x ax a    有实根时，则方程 2 2 1 0a x ax a    的根是方程 2 1 0ax x   的解， 则有 2 2a x ax a  ，代入方程 2 2 1 0a x ax a    得 2 1 0ax   ，故 1 2 x a   ， 将 1 2 x a   代入方程 2 1 0ax x   ，得 1 1 1 0 4 2a a    ，所以 3 4 a  . 综上： a的取值范围是 1 3, 4 4     .