精品解析：上海市闵行第三中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

闵行三中2024学年第二学期3月月考 高二年级数学学科试卷 满分分值：150分 完卷时间：120分钟 命题人：王定 一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果 1. 已知抛物线的方程为，则其准线方程为______． 2. 曲线在点处的切线斜率为_____________. 3. 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，焦距是6，椭圆上的一点到两个焦点的距离之和等于10，则该椭圆的标准方程为______． 4. 双曲线的渐近线方程是____________． 5. 已知，则______． 6. 从甲、乙、丙、丁四位家长中选三人对某小学附近的三个路口维护交通，每个路口安排一人，则不同的安排方法有__________种. 7. 若圆和圆外切，则______. 8. 若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的最大值为______． 9. 采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏斗形状（如图），已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R，它的值是固定的．当炸药包埋的深度为_______可使爆破体积最大． 10. 设P是曲线上任意一点，则曲线在点P处的切线的倾斜角α的取值范围是 __． 11. 已知函数 对有 则实数a的取值范围为________ 12. 定义在R上的奇函数y=f（x）满足f（3）=0，且当x＞0时，不等式f（x）＞﹣xf′（x）恒成立，则函数g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零点的个数为_______. 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 下列选项中，不属于排列问题的是（ ） A. 从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B. 有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C. 从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D. 从中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 14. 如果且，那么直线不经过（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 15. 如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于判断正确的是（ ） A. 在区间上是严格减函数 B. 在区间上是严格增函数 C. 是极小值点 D. 是极小值点 16. 已知函数在上导函数为，若对任意恒成立，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（ ） 命题①：方程至多只有一个实数根； 命题②：若是以2为周期的周期函数，则对任意，都有． A. ①真命题；②假命题 B. ①假命题；②真命题 C. ①真命题；②真命题 D. ①假命题；②假命题 三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 已知圆的圆心为，且与直线相切. （1）求圆的标准方程； （2）设直线与圆M交于A，B两点，求. 18. 设，已知函数． （1）若函数曲线在点处的切线斜率为－1，求实数a的值及函数的单调区间； （2）若函数在区间上严格增，求实数a的取值范围． 19. 为响应国家提出的“大众创业万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业，生产某小型电子产品.经过市场调研，生产该小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.已知在年产量不足4万件时，，在年产量不小于4万件时，.每件产品售价6元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-年固定成本-流动成本.） （2）年产量为多少万件时，小王在这一产品生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？ 20. 在平面直角坐标系中，已知椭圆离心率是，短轴长为2，若点分别是椭圆的左右顶点，动点，，直线交椭圆于点. （1）求椭圆的方程； （2）（i）求证：是定值； （ii）设的面积为，四边形的面积为，求的最大值. 21. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处切线方程； （2）已知有两个极值点，且， （i）求实数a的取值范围； （ii）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 闵行三中2024学年第二学期3月月考 高二年级数学学科试卷 满分分值：150分 完卷时间：120分钟 命题人：王定 一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果 1. 已知抛物线的方程为，则其准线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，且焦点在x轴的正半轴上，即可得准线方程. 【详解】由题意可知，且焦点在x轴的正半轴上， 所以其准线方程为. 故答案为：. 2. 曲线在点处切线斜率为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】求导，根据导数的几何意义运算求解. 【详解】因为，则， 可知曲线在点处的切线斜率. 故答案为：. 3. 已知椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，焦距是6，椭圆上的一点到两个焦点的距离之和等于10，则该椭圆的标准方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求，即可得椭圆方程. 【详解】由题意可知：，即，则， 且焦点在轴上，所以该椭圆的标准方程为. 故答案：. 4. 双曲线的渐近线方程是____________． 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线的方程可知，，即可直接写出其渐近线的方程. 【详解】由双曲线的方程为，可知，； 则双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 5. 已知，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】直接求导，再根据导数含义即可得到答案. 【详解】,，则 . 故答案为：1. 6. 从甲、乙、丙、丁四位家长中选三人对某小学附近的三个路口维护交通，每个路口安排一人，则不同的安排方法有__________种. 【答案】 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理即可，第一步从四个不同元素中选三个元素，第二步对所选元素进行排列. 【详解】首先从四位家长中选三人有种方法， 然后将选出的三位家长分别安排到三个路口有种方法， 根据分步乘法计数原理，总的安排方法数为种. 故答案为： 7. 若圆和圆外切，则______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据两圆外切则圆心距等于半径之和即可求解. 【详解】圆圆心为，半径为1， 圆圆心为， 所以圆心距， 因为两圆外切，所以,所以. 故答案为：4. 8. 若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据椭圆和双曲线方程可得出的表达式，再结合并利用对勾函数性质可求得的最大值为. 【详解】由椭圆可得， 由双曲线可得， 所以， 又，由对勾函数性质可得，当且仅当时，等号成立； 所以， 即的最大值为，当且仅当时，等号成立； 故答案为： 9. 采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏斗形状（如图），已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R，它的值是固定的．当炸药包埋的深度为_______可使爆破体积最大． 【答案】 【解析】 【分析】先将圆锥的体积转化为关于深处的关系式，再利用导数与函数性质的关系求得的最大值点，从而得解. 【详解】结合图形，可知圆锥的体积为， 又因为，即， 所以，，则， 令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以处取得最大值， 所以炸药包要埋在深处. 故答案为：. 10. 设P是曲线上任意一点，则曲线在点P处的切线的倾斜角α的取值范围是 __． 【答案】 【解析】 【分析】求出导函数的值域，再结合正切函数的单调性求解． 【详解】由已知得， 由得． 故答案为：． 11. 已知函数 对有 则实数a的取值范围为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设，不妨设，由已知化简可得即在上递增,进而判断可得结果. 【详解】根据题意设， 不妨设，，任意有 可得即可得在上递增, 因为，， 当时，恒成立，即在上递增. 当时，不能恒成立，即在不符合单调递增. 综上，实数a的取值范围为. 故答案为： 12. 定义在R上的奇函数y=f（x）满足f（3）=0，且当x＞0时，不等式f（x）＞﹣xf′（x）恒成立，则函数g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零点的个数为_______. 【答案】3 【解析】 【分析】要求函数g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零点的个数，可构造函数，将问题转化为函数与函数的图象的个数．根据已知条件可判断函数的单调性和奇偶性，进而画函数的图象，观察两个函数图象交点的个数即可． 【详解】令， 因为当x＞0时，不等式f（x）＞﹣xf′（x）恒成立， 所以当x＞0时，．所以函数在上为增函数． 因为y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以． 所以函数为偶函数，且函数在上为减函数． 因为定义在R上的奇函数y=f（x）满足f（3）=0，所以． 所以．做函数与函数的图象如图所示． 由函数的图象可知，函数与函数的图象有三个交点． 所以函数g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零点的个数为3个． 【点睛】本题考查函数零点的个数问题，判断函数的零点个数，方法一，零点存在性定理的运用；方法二，函数与方程的关系，零点个数可转化为方程根的个数的判断；方法三，可转化为两个函数的图象交点问题．本题由条件“不等式f（x）＞﹣xf′（x）恒成立，”应想到构造函数． 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 下列选项中，不属于排列问题的是（ ） A. 从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B. 有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C. 从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D. 从中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【答案】B 【解析】 【分析】排列是要求有顺序的，故而只需看每个选项中的是否和顺序有关即可. 【详解】A.选出3名学生后，哪位同学参加哪门竞赛需再排序，故属于排列问题，故A错误； B. 分组无顺序，故不属于排列问题，B正确； C. 如和是不同的，即哪个数作指数和底数是不同的，故属于排列问题，故C错误； D. 如和是不同的点，故属于排列问题，故D错误. 故选：B. 14. 如果且，那么直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据横截距和纵截距的范围求得正确答案. 【详解】由且，可得同号，异号，所以也是异号； 令，得；令，得； 所以直线不经过第三象限. 故选：C 15. 如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于判断正确的是（ ） A. 在区间上是严格减函数 B. 在区间上是严格增函数 C. 是极小值点 D. 是极小值点 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象分析在不同区间上取值的正负，然后判断相应的单调性，即可判断每个选项. 【详解】对于A，由图象知在上取正值，所以在上递增，A错误； 对于B，由图象知上取正值，所以在上递增，B正确； 对于C，由图象知在某个上取负值，这里，所以在上递减，从而不可能是的极值点，C错误； 对于D，由图象知在上取正值，在某个上取负值，这里，所以在上递增，在上递减，从而是的极大值点，D错误. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于使用图象判断导数的正负，再由此确定函数的单调性. 16. 已知函数在上的导函数为，若对任意恒成立，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（ ） 命题①：方程至多只有一个实数根； 命题②：若是以2为周期的周期函数，则对任意，都有． A. ①真命题；②假命题 B. ①假命题；②真命题 C. ①真命题；②真命题 D. ①假命题；②假命题 【答案】C 【解析】 【分析】对于命题①：构造函数，利用导数判断其单调性，结合单调性分析其零点即可；对于命题②：利用函数是定义域为的周期函数，知函数在一个周期上必有最大值和最小值，再利用条件，得到，再对与1的大小关系进行分类讨论，即可得出结论. 【详解】因为，即， 对于命题①：令，故， 可知函数在上单调递增，则至多有一个零点， 所以方程至多只有一个实数根，故命题①为真命题； 对于命题②：因为函数是周期为2，取一个周期， 由题意可知在内连续不断，则在内必有最大值和最小值， 设在内的最大值为，最小值为， 设，，且， 对任意， 显然时，恒成立，下面考虑的情况， 由导数定义可知，即， 若，则成立； 若，设，即， 则，且，可得， 所以成立； 综上所述：对任意实数，都成立，故命题②为真命题； 故选：C. 【点睛】关键点点睛：对于命题②：设的最大值为，最小值为，在一个周期上，，当时，结论显然成立，当时，利用不等式的性质可证明. 三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 已知圆的圆心为，且与直线相切. （1）求圆的标准方程； （2）设直线与圆M交于A，B两点，求. 【答案】（1）+ （2） 【解析】 【分析】（1）由圆心到切线的距离等于半径求得半径后可得圆的标准方程； （2）求出圆心到弦所在直线的距离，由勾股定理求得弦长． 【小问1详解】 因为圆心为，所以圆心M到切线的距离= ，所以半径， 所以圆M的标准方程为：+； 【小问2详解】 由题可知圆心M到直线的距离= ，又由（1）知半径， 所以=， 所以=． 18. 设，已知函数． （1）若函数曲线在点处的切线斜率为－1，求实数a的值及函数的单调区间； （2）若函数在区间上严格增，求实数a的取值范围． 【答案】（1）；减区间是，增区间是 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，由，求出a的值即可； （2）求出函数的导数，结合函数的单调性讨论a的范围即得. 【小问1详解】 由得， 由曲线在处切线斜率为-1， 可得，. ,当单调递增；单调递减. 减区间是，增区间是. 【小问2详解】 由得： ① 时，，∴在递增，满足函数在区间上严格增， ② 时， 时，，在递增，若函数在区间上严格增 ， 综上可得 19. 为响应国家提出的“大众创业万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业，生产某小型电子产品.经过市场调研，生产该小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.已知在年产量不足4万件时，，在年产量不小于4万件时，.每件产品售价6元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-年固定成本-流动成本.） （2）年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1）； （2）当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元. 【解析】 【分析】（1）分以及，分别求解得出表达式，写成分段函数即可； （2）当时，求导得出.然后根据基本不等式求出时，的最值，比较即可得出答案. 【小问1详解】 由题意，当时，；当时，. 所以. 【小问2详解】 当时，，令，解得. 易得在上单调递增，在上单调递减，所以当时， . 当时，， 当且仅当，即时取等号. 综上，当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元. 20. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率是，短轴长为2，若点分别是椭圆的左右顶点，动点，，直线交椭圆于点. （1）求椭圆的方程； （2）（i）求证：是定值； （ii）设的面积为，四边形的面积为，求的最大值. 【答案】（1）； （2）①证明见解析；②1. 【解析】 【分析】（1）由已知得的值，再由离心率求出关系，即可求出椭圆方程. （2）①由（1）得，求出直线方程，与椭圆方程联立，求出点坐标，进而得出坐标，即可证明结论；②，将表示为关于的函数，进而得出关于的函数，整理利用的范围，即可求解. 【小问1详解】 由短轴长为2，得，由离心率为，得，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，，直线的斜率， 直线的方程为， 由消去得，设点， 则，解得，， ，， 所以. ②依题意，， ， 因此，当时取等号， 所以的最大值为1. 21. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）已知有两个极值点，且， （i）求实数a的取值范围； （ii）求的最小值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义计算即可求解； （2）（i）根据极值点的概念可得是方程的两个正根，结合计算即可求解； （ii）由（i）得，化简计算可得，令，利用导数求出即可. 【小问1详解】 当时，， 则，得， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 （i）， 又是函数的两个极值点，所以是方程的两个正根 则，解得， 经检验，当时，符合题意. 所以实数的取值范围为. （ii）由（i）知，则，， ， 令， 则， 当时，，则单调递减 当时，，则单调递增 故当时，取得最小值， 所以，即的最小值为. 【点睛】方法点睛：函数由极值、极值点求参数的取值范围的常用方法与策略： 1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围； 2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $