上海市四校（金山中学、闵行中学、嘉定一中、崇明中学）2024-2025学年高二下学期5月联考数学试卷

上海四校2024-2025学年高二下5月联考数学试卷2025.05 （金山中学、闵行中学、嘉定一中、崇明中学） 一. 填空题 1．若复数（）的实部与虚部之和为0，则的值为 2．函数的定义域为 3．已知，且 4．已知等差数列满足，，则 5．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数的值为 6．已知集合，且，则实数的值为 7．已知，则 8．已知，．直线与曲线相切，则的最小值是 9．从椭圆的一个焦点发出的光线射到椭圆上的点，反射后光线经过椭圆的另一个焦点 ，事实上，点处的切线垂直于的角平分线，已知椭圆 的两个焦点是、，点是椭圆上除长轴端点外的任意一点，的角平分线PT交椭圆的长轴于点，则的取值范围是 10．若定义在上的函数同时满足：① 为奇函数；② ； ③ 对任意的、，且，都有. 则不等式的解集为 11．正方体棱长为4，点满足，点满足，， 则的最小值为 12．定义平面直角坐标系中的笛卡儿卵形线为满足方程：， 则下列结论正确的是 ① 该曲线关于x、y轴对称； ② 曲线与轴交点为和； ③ 若点在曲线上，则；④ 存在直线与该曲线恰有1个交点. 二．选择题 13．已知、，则是的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 14．如图所示，表示水平放置的的直观图， 则的面积是（ ）A. B．2 C． D．4 15．DeepSeek系统的登录密码由6个字符组成，其中前4位是大写字母D、E、E、P的某种排列，后2位是不相同的数字，则可能的密码总数是（ ） A．360 B．540 C．1080 D．2160 16．已知圆锥曲线的对称中心为原点．若对于上的任意一点，均存在上的点（、不重合）， 使得：（1）直线OP与OQ的斜率乘积为定值；（2）线段PQ的中点在一条固定直线上，则称为“双对称曲线”. 现有如下命题：① 任意椭圆都是双对称曲线；② 存在双曲线是双对称曲线. 下列判断正确的是（ ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 三. 解答题 17．如图，在四棱锥中，平面，， 且 ，，是AD的中点，N是AB的中点． （1）求证：平面ADE；（2）求直线CM与平面DEN所成角的正弦值． 18. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中给出了由三角形的三边a、b、c计算三角形面积的公式，这就是“三斜求积”公式．若的内角A、B、C的对应边分别为a、b、c． （1）若，，，求面积；（2）若，且， 求面积的最大值． 19．某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标（正手发高远球、定点高远球、吊球、 杀球以及半场计时往返跑）考核，满分100分．参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示． （1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）： （2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练．现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配）， 从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率； （3）现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差. 20． 如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为、，设是第一象限内上的一点，、的延长线分别交于点、．（1）求的周长；（2）求面积的取值范围； （3）设、分别为、的内切圆半径，求的最大值． 21．设函数().（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）设为的一个极值点，证明；（3）设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列、、、、， 证明：（、2、）. 上海四校高二下5月联考数学试卷参考答案2025.05 （金山中学、闵行中学、嘉定一中、崇明中学） 一. 填空题1. 2. 3. 0 4. 8 5. 6. 3 7. 8. 9 9. 10. 11. 12. ② 8．已知，．直线与曲线相切，则的最小值是 8．【分析】根据题意设直线与曲线的切点为，进而根据导数的几何意义得 ，再根据基本不等式“1”的用法求解即可.【详解】根据题意，设直线与曲线的切点为，因为，直线的斜率为， 所以，，，所以，因为 所以，当且仅当时等号成立. 所以的最小值是.故答案为：. 9． 从椭圆的一个焦点发出的光线射到椭圆上的点，反射后光线经过椭圆的另一个焦点 ，事实上，点处的切线垂直于的角平分线，已知椭圆 的两个焦点是、，点是椭圆上除长轴端点外的任意一点，的角平分线PT交椭圆的长轴于点，则的取值范围是 9．【解析】利用切线方程和角的平分线垂直，结合斜率之积为，即可求解.【详解】由题意，椭圆C在点处的切线，且，所以切线的斜率为，而角的角平分线的斜率为， 又由切线垂直角的角平分线，所以，即.故答案为：. 10．若定义在上的函数同时满足：① 为奇函数；② ； ③ 对任意的、，且，都有. 则不等式的解集为 10． 【分析】由题意可得，判断的奇偶性和单调性，进而判断的单调性，注意到 ，利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】因对任意的，且，都有，则在上单调递减， 又为奇函数及，所以，则为偶函数，且， 故在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减. 又，则，当时，， 得，解得或，故；当时，，即， 得或，解得或，综上，不等式的解集为 .故答案为：【点睛】解决本题的关键是根据 构造函数，且判断其单调性和奇偶性，再结合单调性与奇偶性解不等式即可. 11．正方体棱长为4，点满足，点满足，， 则的最小值为 11．【分析】建立空间直角坐标系，先根据题目条件得出点、点和点三点共线，进而设出点，的坐标；再借助二次函数得出当时，的最小值为；最后再根据点的轨迹和的几何意义即可求解.【详解】如图建立空间直角坐标系： 则由题意可得，,，. 因为点满足，，所以点、点和点三点共线. 设，，则，， 所以，则， 令，则该函数可以看做是关于t的二次函数， 则当时，函数有最小值，为，所以要使最小， 可先取，此时，其几何意义是点在平面上的射影点 到点的距离，又因为，所以点的轨迹是以点为球心，为半径的球面， 则射影点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆及其内部，所以 ，又因为，所以.故答案为：. 12．定义平面直角坐标系中的笛卡尔卵形线为满足方程：， 则下列结论正确的是 ① 该曲线关于x、y轴对称； ② 曲线与轴交点为和； ③ 若点在曲线上，则；④ 存在直线与该曲线恰有1个交点. 12. ②【详解】笛卡尔卵形线方程为： ，选项①：若点(x，y)在曲线上， 则(x，-y)也满足方程，则曲线方程满足关于x轴对称，因方程中y均为平方项，故成立；若点(x，y)在曲线上， (-x，y)也满足方程，则曲线方程关于x轴对称，代入后，原方程变为 与原始表达式不同 (系数3和2不相等)，故不成立；结论：①错误；选项②：求曲线与x轴交点， ，分区间讨论：； 时， ，与范围不符，无解；结论：交点为和(2，0)， ②正确；选项③：求y的最大值，当时，方程化简为： 但是由图可知不成立，③错误；选项④：用描点法画出 方程的草图，考虑几何 对称性，由图可知，不存在直线与该笛卡尔卵曲线恰有1个交点， 结论：④错误；故答案为：. 二. 选择题 13. B 14. D 15. C 16. C 15．DeepSeek系统的登录密码由6个字符组成，其中前4位是大写字母 D、E、E、P的某种排列，后2位是不相同的数字，则可能的密码总数是（ ） A．360 B．540 C．1080 D．2160 15．C【分析】利用倍缩法可得出前个位置的排法种数，利用排列计数原理可得出后两位的排法种数， 再利用分步乘法计数原理可得结果.【详解】由题意可知，前个位置中有两个位置安排字母，有种， 然后从中选择两个不同的数字排最后两个位置，有种，由分步乘法计数原理可知， 可能的密码种数为.故选：C. 16．已知圆锥曲线的对称中心为原点．若对于上的任意一点，均存在上的点（、不重合）， 使得：（1）直线OP与OQ的斜率乘积为定值；（2）线段PQ的中点在一条固定直线上，则称为“双对称曲线”. 现有如下命题：① 任意椭圆都是双对称曲线；② 存在双曲线是双对称曲线. 下列判断正确的是（ ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 16．C【分析】根据“双对称曲线”的定义判断椭圆和双曲线是否是“双对称曲线”. 【详解】对椭圆：如图：设椭圆（），作圆， 与圆：，取圆上点，向圆 作切线，，则,因为椭圆必在圆内， 所以椭圆上不存在，使能成立， 所以椭圆不是“双对称曲线”，故①不成立；对双曲线， 取双曲线：，，如图：过点作直线， 与双曲线有公共点，则直线斜率的取值范围为：； 过作直线的垂线，其斜率为， 即双曲线上存在，使能成立. 所以此时存在双曲线是“双对称曲线”. 故②成立.故选：C. 三. 解答题 17.（1）略；（2） 【分析】（1）由已知线面关系，证明平面，有，又可证，可证得平面； （2）以C为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值. 【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以，由，知，， 又，平面，所以平面，因为平面，所以， 因为，是的中点，所以，又，平面，所以平面． （2） 平面，，以为坐标原点， 以，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，， 故，， ，设平面的法向量， 则，令，则，设直线与平面所成角为， 则，即直线与平面所成角的正弦值． 18.（1）；（2）.【分析】（1）将所给边长代入公式直接计算即可；（2）利用正弦定理边化角整理可得， 根据两边和大于第三边求出的范围，然后根据面积公式和二次函数性质可解. 【详解】（1）因为，，，所以； （3） 因为，所以，由正弦定理边化角得， 所以，即，由解得， 所以，因为， 所以当时，取得最大值. 19. （1），平均值79.5；（2）；（3）平均数81，方差26.8. 【分析】（1）根据频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1，可求出t的值，再利用百分位数的定义求解； （2）利用古典概型的概率公式求解；（3）利用分层随机抽样的均值和方差公式求解． 【详解】（1）由题意得：10×（0.01+0.015+0.020+t+0.025）＝1，解得t＝0.03，设第60百分位数为x， 则0.01×10+0.015×10+0.02×10+0.03×（x﹣80）＝0.6，解得x＝85，即第60百分位数为85； （2）由题意知，抽出的5位同学中，得分在[70，80）的有人，设为A、B， 在[80.90）的有人，设为a、b、c，则样本空间为Ω＝{（A，B），（A，a），（A，b），（A，c）， （B、a），（B，b），（B，c），（a，b），（a，c），（b，c）}，n（Ω）＝10， 设事件M＝“C两人分别来自[70，80）和[80，90）”， 则M＝（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c）}，n（M）＝6， 因此，所以两人得分分别来自[70，80）和[80，90）的概率为； （3）考核得分在[70，80）内的人数为0.02×10×40＝8人，在[80，90）内的人数为0.03×10×40＝12人， 所以得分在[70，90）内的平均数为7585＝81， 方差为[6.25+（75﹣81）2][0.5+（85﹣81）2]＝26.8． 20. 【详解】（1）∵为椭圆的两焦点，且为椭圆上的点， ∴的周长为．由题意得，即的周长为． （2）由题意可得直线的倾斜角不为， 所以设直线的方程为）． 联立消去整理得则， 所以．令， 则（当且仅当，即时等号成立）， 所以，故面积的取值范围为． （3）设，因为， 所以. 由题知直线的方程为，将其代入椭圆的方程可得， 整理可得，则， 得，故． 当时，直线的方程为，将其代入椭圆方程并整理可得， ，同理可得； ， 当且仅当时，等号成立；当时，轴，易知， 此时．综上，的最大值为． 21. 【详解】（1）函数定义域为，对任意，有， 且恒成立，故函数为偶函数； （2） 因为函数，所以，令，则， （3） 对满足方程的有，所以，由函数与函数的图象可知此方程一定有解， 故的一个极值点满足， 所以 （3）设是的任意正实根，则，则存在一个非负整数，使， 即为第二或第四象限角，因为， 所以在第二或第四象限变化时，变化如下， （k为奇数） 0 （k为偶数） 0 所以满足的正根都为函数的极值点，由题可知， 为方程的全部正实根且满足 所以， 因为 则，由，可得，所以． 成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$