专题04 【学案】因数与倍数

1 【学案·专题 04】因数与倍数 【思维导图】 【例 1】请你按下面的要求为明明家设计一个四位数的门牌号。 （1）�、�、�、�代表的数字各不相同，并且分别代表 6的一个因数。 （2）�、�组成的数��既是 3的倍数，又是 7的倍数。 （3）4和 9都是�、�组成的数��的因数。 【思路分析】 ① 6的因数有：1、2、3、6 → �、�、�、d 代表 1、2、3、6中的数字 ② �、�组成的数��既是 3的倍数，又是 7的倍数 → 组成的数是 21 →则�是 2，�是 1 ③ 4和 9都是�、�组成的数��的因数 → 可以是 36、63，符合条件的数是 36 →�是 3，�是 6 【解答】该门牌号是 2136。 � � � � 【考点一】因数与倍数的认识问 2 【例 2】从 0，3，5，7 这四个数字中任选 3 个数，排成能同时被 2、3、5 整除的三位数，这 个三位数可以是( )。 【思路分析】 ① 能被 2、5 整除的数，个位必须是 0，所以首先确定 0 只能放在个位； ② 能被 3 整除的数，必须满足各个数位上的数字和能被 3 整除，另外两个数是 5 和 7； ③ 0、5、7 组合满足条件的数有：750 和 570 【解答】750、570 【考点二】2、3、5的倍数特征 技巧点拨 1.因数、倍数： 整数�除以整数�（�不为 0）除得的商正好是整数而没有余数，即�能被�整除，或�整除�， �称为�的倍数，�称为�的因数。 2.找一个数的因数：试除法【一个数的因数个数是有限的】 用这个数作被除数，变换除数（非零自然数），所得的商是整数且没有余数，这些除数 和商都是这个数的因数。 3.找一个数的倍数【一个数的倍数个数是无限的】 一个数和任意非零自然数的乘积都是这个数的倍数。 技巧点拨 2、3、5的倍数特征： ①2的倍数特征：个位上是 0,2,4,6,8 的数都是 2 的倍数。 ②3的倍数特征：各数位上的数相加和是 3 的倍数。 ③5的倍数特征：个位上是 0 或 5 的数。 同时是 2、3、5 的倍数这个数个位上是 0，各数位上的数相加和是 3 的倍数。 3 【例 3】如果〇表示一个质数，△表示一个合数，那么（ ）的结果一定是合数。 A．〇×△ B．〇－△ C．〇＋△ D．〇÷△ 【思路分析】 A．质数×合数=合数。 如：质数 2 和合数 6 相乘得 12，12 是合数。 B．质数－合数可能是质数，也可能是 1。 如：质数 7 减合数 4 得 3，3 是质数；质数 5 减合数 4 得 1。 C．质数＋合数可能是质数，也可能是合数。 如：质数 11 加合数 4 得 15，15 是合数；质数 17 加合数 6 得 23，23 是质数。 D．质数÷合数不是整数，不可能是合数。 如：质数 7÷合数 4 得 1.75，1.75 不是整数，也不可能是合数。 【解答】A 【例 4】 1＋3+5＋…＋39 的和是（ ），1×3×5×…×39 的积是（ ）。（填“奇数” 或“偶数”） 【思路分析】 ①奇数＋奇数＝偶数 奇数个奇数相加的和还是奇数，偶数个奇数相加的和是偶数 1＋3+5＋…＋39 共有 20 个奇数相加 和是偶数 ②奇数×奇数＝奇数 1×3×5×…×39 因数都是奇数 积是奇数 【解答】偶数 奇数 【考点三】质数与合数 【考点四】奇数和偶数 技巧点拨 质数：指在一个大于 0 的自然数中，除了 1 和此整数本身外，再没有其他的因数。 合数：指一个数除了 1 和它本身以外还有别的因数的数。 自然数 1，只有一个因数 1，所以 1 既不是质数也不是合数。 4 【例 5】若�、�、�、�是互不相等的正整数，且����＝441，那么� + � + � + �＝( )。 【思路分析】 将 441 分解质因数得：441=3×3×7×7 �、�、�、�是互不相等的正整数，对质因数进行组合：441＝1×3×7×21 即����＝1×3×7×21 则� + � + � + �＝1＋3＋7＋21＝32 【解答】32 【例 6】 已知�÷�＝1……1（�和�为非零的自然数），那么�和�的最大公因数是( )， 最小公倍数是( )。 【思路分析】 已知�÷�＝1……1（�和�为非零的自然数），则�和�互质，即�和�的最大公因数是 1，最 小公倍数是��。 【解答】1 �� 【考点五】分解质因数 【考点六】最大公因数和最小公倍数 技巧点拨 奇偶性质 奇数±偶数＝奇数 奇数±奇数＝偶数 偶数±偶数＝偶数 奇数×偶数＝偶数 奇数×奇数＝偶数 偶数×偶数＝偶数 多个数相加：奇数个奇数相加的和还是奇数，偶数个奇数相加的和是偶数 技巧点拨 分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来。 分解质因数的方法：短除法 3 27 3 9 3 27＝3×3×3 5 【例 7】 一筐苹果，2 个 2 个地数剩 1 个，3 个 3 个地数剩 2 个，4 个 4 个地数剩 3 个，5 个 5 个地数剩 4 个，6 个 6 个地剩 5 个，则这对苹果至少（ ）个。 A.59 B.57 C.55 D.53 【思路分析】 加 1 个苹果，即可被 2、3、4、5、6 整除 苹果的总数为 2、3、4、5、6 的最小公倍数－1 2、3、4、5、6 的最小公倍数为：2×3×2×5＝60 苹果的数量为：60－1＝59（个） 【解答】A 技巧点拨 某物按 x个分组还余 y个：最小公倍数作周期，余同加余，和同加和，差同减差。 余同加余：一个数除以 4 余 1，除以 5 余 1，除以 6 余 1，这个数是 60n+1 和同加和：一个数除以 4 余 3，除以 5 余 2，除以 6 余 1，这个数是 60n+7 差同减差：一个数除以 4 余 3，除以 5 余 4，除以 6 余 5，这个数是 60n+7 根据题目对数字范围的要求来确定 n的具体取值 技巧点拨 特殊情况确定最大公因数和最小公倍数： 倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。 互质关系的两个数，最大公因数是 1，最小公倍数是它们的乘积。 4+3=7 5+2=7 6+1=7 4、5、6的最小公倍数：60 4－3=1 5－4=1 6－5=1