精品解析：山东省日照市山海天旅游度假区2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试卷

2024~2025学年度上学期期末质量检测 八年级数学试题 （时间：120分钟 满分：120分） 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，平分交于点，于点，若，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 根据下列已知条件，不能画出唯一△ABC的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. °，， 5. 若点关于轴对称点为，关于轴的对称点为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 如图，将正五边形一角沿直线折叠，折叠后得到点，则（ ） A. B. C. D. 8. 如果，，，那么a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 如图．在中，平分，交于点，点分别为上的动点，若的面积为6，则的最小值为（ ） A. 2 B. 5 C. 3.5 D. 3 10. 为推进垃圾分类，推动绿色发展，某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类，用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人台数相同，两种型号机器人的单价和为140万元，若设甲型机器人每台x万元．根据题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，是的平分线，过作一直线分别与的两边交于、两点，线段的垂直平分线交于点，交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 12. 对于正数x，规定，例如，则的值是（ ） A. 9 B. 10 C. 9.5 D. 10.5 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 2020年1月24日，中国疾控中心成功分离我国首株新型冠状病毒毒种，该毒种直径大约为90纳米（1纳米＝0.000001毫米），数据“90纳米”用科学记数法表示为_____毫米． 14. 若是一个完全平方式，则的值等于________． 15. 当三角形中一个内角是另一个内角时，我们称此三角形为“希望三角形”，其中角称为“希望角”．如果一个“希望三角形”中有一个内角为，那么这个“希望三角形”的“希望角”度数为______． 16. 边长分别为a，b的甲、乙两个正方形按如图所示的两种方式放置．记图①中的阴影部分面积为，图②中的阴影部分面积为．若，则的值是______． 三、解答题 17. （1）因式分解： （2）先化简，再求值，其中，． 18. 如图，已知和，点C在线段上，． （1）求证； （2）若，连接，求证是等边三角形． 19. （1）先化简，再求值：，其中，2，3中选取一个合适数代入求值． （2）解下列方程： 20. 如图，平分，于点，．求证：． 21. 有一列按一定顺序和规律排列数： 第一个数是；第二个数是；第三个数是； 对任何正整数，第个数与第个数的和等于 （1）经过探究，我们发现：，， 设这列数的第个数为，那么①；②，③，则 正确（填序号）． （2）请你观察第个数、第个数、第个数，猜想这列数的第个数可表示 （用含的式子表示），并且证明：第个数与第个数的和等于； （3）利用上述规律计算：的值． 22. 在中，，点是射线上的一动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图①，当点在线段上，时，那么_____ （2）设，． ①如图②，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论． ②如图③，当点在线段的延长线上，时，请将图③补充完整，并直接写出此时与之间的数量关系（不需证明）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度上学期期末质量检测 八年级数学试题 （时间：120分钟 满分：120分） 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，解题的关键是掌握有关运算法则以及公式．运用相关运算法则逐项判断即可得解； 【详解】解：A、，此选项错误；不符合题意， B、，此选项错误；不符合题意， C、，此选项正确；符合题意， D、，此选项错误．不符合题意， 故选：C 2. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义，“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形”，据此求解即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故A符合题意； B．是轴对称图形，故B不符合题意； C．是轴对称图形，故C不符合题意； D．是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 3. 如图，平分交于点，于点，若，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握角平分线的性质得到是解题的关键． 过点作于点，由角平分线的性质可得，根据三角形的面积计算方法，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， 故选：A ． 4. 根据下列已知条件，不能画出唯一△ABC的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. °，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的判定条件及存在性，根据三角形全等的判定方法逐项判断即可得到答案，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、∵，，，满足的要求， ∴可以画出唯一的三角形，原选项不符合题意； 、∵，，，不是，的夹角， ∴可以画出多个三角形，原选项符合题意； 、∵，，，满足的要求， ∴可以画出唯一的三角形，原选项不符合题意； 、∵°，，，满足的要求， ∴可以画出唯一的三角形，原选项不符合题意； 故选：． 5. 若点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，根据这种关系转化为方程组的问题． 点关于轴的对称点为，则点的坐标是，点关于轴的对称点为，则的的坐标是，因而就得到关于，的方程组，从而求出，，得出点的坐标． 【详解】解：点关于轴的对称点为，则点的坐标是，点关于轴的对称点为，则的的坐标是， 根据题意得：， 解得：， 点的坐标为． 故选：D． 6. 若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式，掌握分式方程的解，解一元一次不等式，是解题的关键．解分式方程，得到含有m的方程的解，根据“方程的解是正数”，结合分式方程的分母不等于零，得到关于m的不等式，解之即可． 【详解】解：方程两边同时乘以得：， 解得：， ∵， ∴， 即， 解得：， 又∵方程的解是正数， ∴， 解不等式得：， 综上可知：且，故C正确． 故选：C． 7. 如图，将正五边形一角沿直线折叠，折叠后得到点，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正五边形，得到，根据折叠的性质，得，连接，利用三角形外角性质，计算的度数即可． 本题考查了正多边形的性质和内角和定理，折叠的性质，三角形外角性质，熟练掌握以上性质是解题的关键． 【详解】解：∵正五边形， ∴， 根据折叠的性质，得， 连接， ∵， ∴ ， 故选：C． 8. 如果，，，那么a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据有理数的乘方运算、零指数幂及负整数指数幂的运算进行运算，即可分别求得a、b、c的值，再比较大小即可． 【详解】解：，，， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的乘方运算、零指数幂及负整数指数幂的运算，有理数大小的比较，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键． 9. 如图．在中，平分，交于点，点分别为上的动点，若的面积为6，则的最小值为（ ） A. 2 B. 5 C. 3.5 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，根据等腰三角形的性质可知，垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，由此可得，又由“两点之间线段最短”和“垂线段最短”可得当三点共线且时最短，根据三角形的面积公式可求出的长，即的最小值，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，，平分， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 如图，当三点共线且时， ，此时最小，即的值最小， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值为， 故选：D． 10. 为推进垃圾分类，推动绿色发展，某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类，用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为140万元，若设甲型机器人每台x万元．根据题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设甲种型号机器人每台的价格是x万元，根据“用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同”，列出关于x的分式方程． 【详解】解：设甲型机器人每台x万元，则乙型机器人每台(140－x)万元，依题意得： ． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键正确找出等量关系，列出分式方程． 11. 如图，是的平分线，过作一直线分别与的两边交于、两点，线段的垂直平分线交于点，交于点．若，则的度数为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】如图，作于，于，则，可证，，则，，则，然后求即可． 【详解】解：如图，作于，于， ∵是的平分线，是线段的垂直平分线， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 12. 对于正数x，规定，例如，则的值是（ ） A. 9 B. 10 C. 9.5 D. 10.5 【答案】A 【解析】 【分析】根据，进而进行求解即可． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴， =， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了运算的规律，分式的混合运算，函数值的计算，正确读懂运算的规律是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 2020年1月24日，中国疾控中心成功分离我国首株新型冠状病毒毒种，该毒种直径大约为90纳米（1纳米＝0.000001毫米），数据“90纳米”用科学记数法表示为_____毫米． 【答案】9×10﹣5 【解析】 【分析】绝对值小于1数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：∵1纳米＝0.000001毫米， ∴90纳米＝90×10-6毫米＝9×10-5毫米， 故答案为：9×10-5； 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 14. 若是一个完全平方式，则的值等于________． 【答案】3或-1##-1或3 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到m的值，即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴2（m-1）=±2×2， 解得：m=3或-1 故答案为：3或-1 【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 15. 当三角形中一个内角是另一个内角的时，我们称此三角形为“希望三角形”，其中角称为“希望角”．如果一个“希望三角形”中有一个内角为，那么这个“希望三角形”的“希望角”度数为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】分角是α或是β或既不是α也不是β三种情况，根据希望角的定义以及三角形的内角和定理列式计算即可得解．本题考查了三角形的内角和定理，读懂题目信息，理解希望角的定义是解题的关键，难点在于分情况讨论． 【详解】解：依题意，①角是α，则“希望角”度数为； ②角是β，则， ∴ ∴“希望角”度数为； ③角既不是α也不是β， 则， ∴ 解得， ∴“希望角”度数为； 综上所述，“希望角”度数为或或 故答案为：或或 16. 边长分别为a，b的甲、乙两个正方形按如图所示的两种方式放置．记图①中的阴影部分面积为，图②中的阴影部分面积为．若，则的值是______． 【答案】－2 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．根据题意可得，，从而得出，求得． 【详解】解：，，， ， ， 故答案为：. 三、解答题 17. （1）因式分解： （2）先化简，再求值，其中，． 【答案】（1）；；（2），4 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，整式的混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可； 连续利用平方差公式因式分解即可； （2）首先计算括号内完全平方公式和平方差公式，然后合并同类项，最后计算多项式除以单项式化简，然后代数求解即可． 【详解】（1） ； ； （2） ， ∵， ∴原式． 18. 如图，已知和，点C在线段上，． （1）求证； （2）若，连接，求证是等边三角形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定． （1）由，，，根据证明； （2）由全等三角形的性质得，，则可得出结论． 【小问1详解】 证明：在和中， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）得， ， 是等边三角形． 19. （1）先化简，再求值：，其中，2，3中选取一个合适的数代入求值． （2）解下列方程： 【答案】（1），当时，原式为；（2）原方程无解 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，解分式方程．熟练掌握分式的混合运算是解题的关键， （1）根据分式的运算法则化简，然后根据分式有意义的条件得到，，，再把代入计算即可； （2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】（1） ， ∵，，， ∴，， ∴当时，原式； （2） 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴是原方程的增根 ∴原方程无解． 20. 如图，平分，于点，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，首先过点作，交的延长线于点，可证，根据可证，所以可得，等量代换可证结论成立． 【详解】证明：如图所示，过点作，交的延长线于点． 平分，， ， ，， ． 在和中， ， ， 在和中， ， ， ， ． 21. 有一列按一定顺序和规律排列的数： 第一个数是；第二个数是；第三个数是； 对任何正整数，第个数与第个数的和等于 （1）经过探究，我们发现：，， 设这列数的第个数为，那么①；②，③，则 正确（填序号）． （2）请你观察第个数、第个数、第个数，猜想这列数的第个数可表示 （用含的式子表示），并且证明：第个数与第个数的和等于； （3）利用上述规律计算：的值． 【答案】（1）②；（2），证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据题干知道即可得到结果； （2）根据题干中的规律总结出第 个数表示为，再分别表示出第n个和第n+1个数求和即可； （3）根据题意发现每一项两分母之差为2，即通分后分子为2，故每一项乘以即可，再提取公因数合并各项计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； 故填： （2）第个数表示为：， 证明：第个数表示为：， 第个数表示为： （3）原式 【点睛】此题考查了有理数运算的规律观察能力，从已知题干中提取规律解题运算是关键． 22. 在中，，点是射线上的一动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图①，当点在线段上，时，那么_____ （2）设，． ①如图②，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论． ②如图③，当点在线段的延长线上，时，请将图③补充完整，并直接写出此时与之间的数量关系（不需证明）． 【答案】（1） （2）①，理由见解析；②补充图形见解析，，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理以及全等三角形对应边相等，对应角相等． （1）先证，即可证明，可得，等量代换可得，进而根据三角形内角和定理，即可求解； （2）①先证，即可证明，可得，等量代换可得，结合，可证； ②先根据题意补充图形，由（1）同理可得，推出，可得，根据，，可得，即可得出． 【小问1详解】 解：， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 【小问2详解】 解：①， 证明如下： ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， 即， ， ； ②，证明如下： 如图， 由（1）同理可得， ， ， ， 即， ，， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$