精品解析：山东省淄博第七中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

高一数学阶段性检测试题 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分. 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式计算得解. 详解】由，得. 故选：A 2. 已知向量的夹角为，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量的数量积运算公式结合已知直接计算即可. 【详解】因为， 所以，即， 因为，向量的夹角为， 所以， 所以，即. 故选：A. 3. 下列命题中： ①存在唯一的实数，使得；②为单位向量，且，则；③；④与共线，与共线，则与共线；⑤若，则，其中正确命题的序号是（ ） A. ①⑤ B. ②③④ C. ①④⑤ D. ②③ 【答案】D 【解析】 【分析】运用零向量，单位向量概念，向量共线定理、向量数量积定义和运算律等知识，对每个命题逐一进行分析判断即可. 【详解】根据向量共线定理，当，时，对于任意实数，都有，此时不存在实数使得；只有当时，存在唯一的实数，使得.所以命题①不正确.  已知为单位向量，即.若，则与方向相同或相反.当 方向相同时，；当方向相反时，，所以，命题②正确.  根据向量数量积的性质，，所以. 再根据向量模的运算性质，，命题③正确.  当时，因为零向量与任意向量都共线，所以与共线，与共线，但与不一定共线.所以命题④不正确.  根据向量数量积定义（为与的夹角），（为与的夹角）. 若，且，则，并不能得出.所以命题⑤不正确.  则命题②和③正确， 故选：D. 4. 如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】平面内三点共线的充要条件为：存在实数，使，且.求得，从而可得结果. 【详解】由，可得， 所以， 又三点共线，由三点共线定理，可得：， ， 故选C. 【点睛】本题主要考查平面向量共线定理的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题. 5. 已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由的部分图象可求得其解析式为，再根据平移规则可求得. 【详解】根据图象可知， 由，可得， 又，可得； 由可知，可得； 将函数图象上所有的点向左平移个单位长度可得. 故选：C 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两角和的正弦，二倍角余弦结合齐次式化简求值. 【详解】 . 故选：A 7. 已知向量与是非零向量，且满足在上的投影向量为，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量、向量数量积等知识求得正确答案. 【详解】设与的夹角为， 在上的投影向量为 所以， 所以， 所以为钝角，且. 故选：A 8. 已知为坐标原点，向量，，（点，，不重合）满足，，若平面内一点满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得、、三点在以为圆心，1为半径的圆上，且是圆的直径，所以，设、的夹角为，根据数量积的运算律及定义得到，再根据余弦函数的性质计算可得. 【详解】解：因为， 所以、、三点在以为圆心，1为半径的圆上， 又， 所以，所以， 所以是圆的直径， 所以， 所以， 设、的夹角为， 则 ， 因为， 所以， 所以， 所以， 即的取值范围是. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的的0分. 9. 计算下列各式的值，其结果为1的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用二倍角公式、辅助角公式、和角的正切公式逐项计算判断. 【详解】对于A，，A是； 对于B，，B不是； 对于C， ，C不是； 对于D，，D. 故选：AD 10. 已知函数的两个相邻零点间的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. C. 函数在区间上单调递增 D. 函数在区间内的零点个数为3 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合平移变换求出函数和，再利用正弦函数的图象性质逐项判断. 【详解】由函数的两个相邻零点间的距离为，得，解得， 函数，，B正确； 对于A，，函数的图象关于直线不对称，A错误； 对于C，当时，，函数在区间上单调递增，C正确； 对于D，当时，，由，得， ，函数在区间内的零点个数为3，D正确. 故选：BCD 11. 在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，且，则为等边三角形 B. 若点是边上的点，且，则的面积是面积的 C. 若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形 D. 若，则为锐角三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由已知确定的角平分线与BC垂直，所以，所以，再利用向量夹角的余弦得出，最后得出是等边三角形，判断A正确； 对于B，已知，得到 . 得到，根据三角形面积公式可知的面积与面积之比转化为底边MC与BC之比，判断B错误； 对于C，由向量模长关系得到角的大小，再用全等关系得出等边三角形判断C正确； 对于D，利用弦切互化，三角恒等变换和两角和与差的正余弦展开式判断D正确. 【详解】对于选项A，因为，，分别为单位向量， 所以的角平分线与BC垂直，所以，所以.又因为， 即，因，所以，所以，所以为等边三角形，故选项A正确； 对于B，已知，则.  这说明在线段BC上，且，那么.  因为和高相同，根据三角形面积公式可知的面积与面积之比等于它们底边MC与BC之比，即的面积是面积的，选项B错误.   对于C，因为，故，即，又， 所以，故，由于，故， 同理可得，结合， 故，可得，故为等边三角形，C正确； 对于D，， 而，所以A，B，C都为锐角，D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，，，则_______________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算律、向量夹角公式计算得解. 【详解】由，，，得， ，所以. 帮答案为： 13. 设四边形为平行四边形，.若点满足，则=______. 【答案】9 【解析】 【分析】利用向量的加减运算法则，对进行变形，最后用向量表示，再将代入可得答案. 【详解】由题， 故答案为9 【点睛】本题考查了向量数量积，解题的关键是掌握平面向量的加减运算法则，属于中档题目. 14. 已知函数，若，且在区间上有最小值无最大值，则__________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据三角函数的对称性、最值求得正确答案. 【详解】因为，且在区间上有最小值无最大值， 则，则， 可得，解得， 且，解得， 可知：或1，或. 故答案为：或. 四、解答题：本题共5个小题，共77分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，已知，，，. （1）求的值； （2）求的值； （3）求角的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用诱导公式化简函数、结合，求出，再用同角三角函数的基本关系求出即可； （2）运用同角三角函数关系式，求出，再用二倍角的正弦公式计算即可； （3）根据，范围，得到.又因为，缩小范围，求出，根据二倍角公式算出.根据两角差的正弦公式求出，根据范围得角. 【小问1详解】 根据诱导公式化简函数 已知，由可得，即. 因为，所以. 又因为，将代入可得： ，. 因为，所以，则. 【小问2详解】 由，，可得. 根据二倍角公式，所以. 【小问3详解】 已知，，则. 又因为，所以， 则 根据两角差的正弦公式可得： 根据二倍角公式. 将，，，代入上式可得： . 因为，，所以， 又因为，所以. 16. 已知，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为. （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递减区间； （3）若方程在有两个根，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再由给定对称性求出即可. （2）利用正弦函数的单调性列出不等式，求解即得. （3）探讨函数在上的性质，借助直线与函数的图象交点问题求解. 【小问1详解】 函数， 由的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，得的最小正周期，解得， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 由，解得， 所以函数的单调递减区间是. 【小问3详解】 当时，，由，得， 则函数在上单调递增，函数值从增大到0，在上单调递减，函数值从0减小到， 当时，直线与函数的图象有两个交点， 即方程在有两个根， 所以的取值范围. 17. 已知单位向量，，夹角为，向量，，且与的夹角为. （1）求及； （2）求在上的投影向量； （3）若与所成的角是锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1），； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据与的夹角列方程求得，利用平方的方法求得. （2）根据投影向量的知识求得在上的投影向量 （3）根据向量夹角是锐角列不等式，由此求得实数的取值范围. 【小问1详解】 已知单位向量，夹角为，则， ，， 将上述结果代入可得： ，两边平方可得， 即，解得（舍去）. 将代入得，则. . 【小问2详解】 由（1）知，，. 根据向量投影向量公式，在上的投影向量为. 【小问3详解】 已知，， 则，. 因为与所成的角是锐角， 则且与不共线. 解得. 若与共线，则存在实数，使得， 即，可得，解得， 所以且. 综上，实数的取值范围是. 18. 某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(，单位：小时)呈周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如表： t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.6 1.0 （1）从，，中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式； （2）如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间． 【答案】（1）选择较合适，()； （2）应安排在11时到19时训练较恰当 【解析】 【分析】（1）在坐标系中画出散点图，选择合适的函数，再由最大值与最小值求出的值，由周期可得出，代入最大值点可得出的值. （2）在指定区间内角正弦函数不等式即可得答案. 【小问1详解】 把表格中的数据在坐标系内描出，如下， 由所描点知：应选择， 令，，， 依题意，函数的最大值为，最小值为，周期为， 则，，， 于是，代入点，得， 即，则，又，因此， 所以该模型的解析式为：. 【小问2详解】 令，得，则， 解得，而， 当时，，则；当时，，则； 当时，，则，因此或或， 依题意，应在白天11点到19点之间训练较恰当. 19. 已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质. （1）若一次函数具有性质，且，求解析式； （2）若函数（其中）具有性质，求的单调递增区间； （3）对于（1）（2）中的函数，求函数在区间上的所有零点之和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，利用定义求出可得答案； （2）由定义求出的解析式，再根据正弦函数的单调性可得答案； （3）问题转化为曲线和所有交点的横坐标之和，画出它们的大致图象可得共有8个交点，再根据它们的图象都关于对称可得答案. 【小问1详解】 设，则， 由，得， 又， ； 【小问2详解】 由，得， ，又， ， 由，得， 即， ，或， 又， 令，得， 故的单调递增区间为； 【小问3详解】 令，得， 问题转化为曲线和所有交点的横坐标之和， 曲线和均关于成中心对称.. ，， ， 在上单调递减， 画出它们的图象如图所示. 由图象可知曲线和共有8个交点， 设其交点的横坐标从小到大依次为， 则， 故函数在区间上的所有零点之和为. 【点睛】方法点睛：对于以函数为背景的新定义问题的求解策略：1.紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2.用好函数的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的函数的性质的一些因素. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学阶段性检测试题 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分. 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量的夹角为，且，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中： ①存在唯一的实数，使得；②为单位向量，且，则；③；④与共线，与共线，则与共线；⑤若，则，其中正确命题的序号是（ ） A. ①⑤ B. ②③④ C. ①④⑤ D. ②③ 4. 如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量与是非零向量，且满足在上的投影向量为，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为坐标原点，向量，，（点，，不重合）满足，，若平面内一点满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的的0分. 9. 计算下列各式的值，其结果为1的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数两个相邻零点间的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. C. 函数在区间上单调递增 D. 函数在区间内零点个数为3 11. 在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，且，则为等边三角形 B. 若点是边上的点，且，则的面积是面积的 C. 若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形 D. 若，则为锐角三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，，，则_______________. 13. 设四边形为平行四边形，.若点满足，则=______. 14. 已知函数，若，且在区间上有最小值无最大值，则__________. 四、解答题：本题共5个小题，共77分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，已知，，，. （1）求值； （2）求的值； （3）求角的值. 16. 已知，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为. （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递减区间； （3）若方程在有两个根，求取值范围. 17. 已知单位向量，，夹角为，向量，，且与夹角为. （1）求及； （2）求在上的投影向量； （3）若与所成的角是锐角，求实数的取值范围. 18. 某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(，单位：小时)呈周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如表： t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.6 1.0 （1）从，，中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式； （2）如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间． 19. 已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质. （1）若一次函数具有性质，且，求的解析式； （2）若函数（其中）具有性质，求的单调递增区间； （3）对于（1）（2）中的函数，求函数在区间上的所有零点之和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$