第1讲数列的概念及简单表示法讲义-2025届高三数学一轮复习

第六章 数列 第1讲 数列的概念及简单表示法 必备知识⇄自主排查 理一理 1. 数列的概念 概念 含义 数列 按照①确定的顺序排列的一列数 数列的项 数列中的②每一个数 数列的通项 数列的第项 通项公式 数列的第项与③序号  之间的关系式 前 项和 数列中，④   ［提醒］ 数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号. 2.数列的分类及性质 3. 数列的表示方法 列表法 列表格表示与的对应关系 图象法 把点⑤  画在平面直角坐标系中 公式法 通项公式 把数列的通项用⑥公式表示 递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式 记一记 1.若数列的前项和为，通项公式为，则 2.在数列中，若最大，则,若最小，则. 用一用 1. 已知数列的前项和为，则数列的通项公式为  . [解析]当 时，；当 时，,又 不满足上式，所以 2. 已知数列中，，则此数列最大项的值是30. [解析]若 最大，则, 即, 解得.因为，所以当 或 时，取最大值，最大值为30. 核心考点⇄师生共研 考点一 由与的关系求通项公式 例1 （1） 设为数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. D. （2） 设是数列的前项和，已知,,则  . 解题技法 （1）已知 求 的3个步骤 ①先利用求出; ②用替换中的得到一个新的关系式，利用便可求出当时的表达式； ③注意检验当时的表达式是否可以与时的表达式合并. （2）与 关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化. ①利用转化为只含,的关系式，再求解； ②利用转化为只含,的关系式，再求解. 对点训练 1. 若数列的前项和满足,则数列的通项公式为  . 2. 已知数列满足,则 考点二 由数列的递推关系求通项公式 角度1 累加法 例2 已知数列，，，则数列的通项公式为 角度2 累乘法 例3 已知,,则数列的通项公式为 角度3 构造法 例4 （一题多解）若数列满足，，则 思路一：递推式两边同除以，构造等差数列写出通项公式. 思路二：通过待定系数法构造等比数列写出通项公式. 思路三：运用迭代法求通项公式. 解题技法 由递推关系求数列的通项公式的常用方法 ［注意］ 避免两种失误 （1）利用累乘法，易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到，漏掉而导致错误；二是根据连乘求出之后，不注意检验是否成立. （2）利用构造法求解时应注意数列的首项的正确求解以及准确确定最后一个式子的形式. 对点训练 1. 已知在数列中，,,则 2. 设数列满足，且，则数列的通项公式为 3. 已知数列满足，且，则 考点三 数列的函数特征 角度1 数列的周期性 例5 在数列中，,,为数列的前项和,则 解题技法 解决数列周期性问题的方法 根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前项的和. 角度2 数列的单调性 例6 已知数列满足 若，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 解题技法 解决数列单调性问题的三种方法 （1）作差比较法：根据的符号判断数列是递增数列、递减数列还是常数列. （2）作商比较法：根据与1的大小关系进行判断. （3）函数法：结合相应的函数图象直观判断. 角度3 数列的最大（小）项 例7 若数列的前项积,则的最大值与最小值的和为（ ） A. B. C. 2 D. 解题技法 求数列的最大项与最小项的常用方法 （1）函数法，将数列视为函数，即当时所对应的一列函数值，根据的类型作出相应的函数图象或利用求函数最值的方法，求出的最值，进而求出数列的最大（小）项. （2）如例7可利用确定最大项，利用确定最小项. 对点训练 1. 在数列中，若,则（ ） A. B. C. D. 2. 设数列的前项和为，且，，.请写出一个满足条件的数列的通项公式 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. 已知数列,,, ，则是该数列的（ ） A. 第5项 B. 第6项 C. 第7项 D. 第8项 2. 已知数列满足,，则（ ） A. 4 046 B. C. 2 D. 3. 已知是数列的前项和，则“”是“是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知数列的通项公式为，其最大项和最小项的值分别为（ ） A. 1， B. 0， C. ， D. 1， 5. （多选）已知数列的通项公式为则（ ） A. B. C. D. 6. 已知正项数列中，，则 7. 已知数列中，,若数列为递减数列，则实数的取值范围是 8. 已知数列满足，，则数列的通项公式为 9. 已知数列中，，，. （1） 求，的值； （2） 求的前2 024项和. B 综合运用 10. 在数列中，，，,且，则（ ） A. B. C. 100 D. 11. 已知数列满足,,则  . 12. 已知数列的通项公式为，若是中的最大项，则实数的取值范围是  . 13. （人教A版选择性必修第二册P9 T4改编）已知数列满足，，且，. （1） 求数列的通项公式； C 素养提升 14. 已知数列中，，其前项和为，且满足. （1） 求数列的通项公式； （2） 记，若数列为递增数列，求实数 的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 数列 第1讲 数列的概念及简单表示法 必备知识⇄自主排查 理一理 1. 数列的概念 概念 含义 数列 按照①确定的顺序排列的一列数 数列的项 数列中的②每一个数 数列的通项 数列的第项 通项公式 数列的第项与③序号  之间的关系式 前 项和 数列中，④   ［提醒］ 数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号. 2.数列的分类及性质 3. 数列的表示方法 列表法 列表格表示与的对应关系 图象法 把点⑤  画在平面直角坐标系中 公式法 通项公式 把数列的通项用⑥公式表示 递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式 记一记 1.若数列的前项和为，通项公式为，则 2.在数列中，若最大，则,若最小，则. 用一用 1. 已知数列的前项和为，则数列的通项公式为  . [解析]当 时，；当 时，,又 不满足上式，所以 2. 已知数列中，，则此数列最大项的值是30. [解析]若 最大，则, 即, 解得.因为，所以当 或 时，取最大值，最大值为30. 核心考点⇄师生共研 考点一 由与的关系求通项公式 例1 （1） 设为数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 【解】根据,可得, 两式相减得,即. 当 时，，解得. 所以数列 是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以.故选. （2） 设是数列的前项和，已知,,则  . [解析]依题意得,整理得. 又,则数列 是以1为首项，1为公差的等差数列. 因此，即. 解题技法 （1）已知 求 的3个步骤 ①先利用求出; ②用替换中的得到一个新的关系式，利用便可求出当时的表达式； ③注意检验当时的表达式是否可以与时的表达式合并. （2）与 关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化. ①利用转化为只含,的关系式，再求解； ②利用转化为只含,的关系式，再求解. 对点训练 1. 若数列的前项和满足,则数列的通项公式为  . [解析]当 时，；当 时，满足上式，所以. 2. 已知数列满足,则 [解析]当 时,. 因为,① 故,② 由，得,所以. 显然当 时不满足上式，所以 考点二 由数列的递推关系求通项公式 角度1 累加法 例2 已知数列，，，则数列的通项公式为 [解析]由题意得，,，， ，, 以上各式相加得，，又，所以，所以. 角度2 累乘法 例3 已知,,则数列的通项公式为 [解析]因为,所以,, ，,, 以上各式累乘得 ，且 也满足上式，所以. 角度3 构造法 例4 （一题多解）若数列满足，，则 思路一：递推式两边同除以，构造等差数列写出通项公式. 思路二：通过待定系数法构造等比数列写出通项公式. 思路三：运用迭代法求通项公式. [解析]方法一（构造等差数列） 因为，两边同除以，得，又. 所以数列 是以 为首项，1为公差的等差数列. 所以，所以. 方法二（构造等比数列） 由，令，比较两式得，故，所以数列 是首项为，公比为 的等比数列. 所以，所以. 方法三（迭代法） 由 得. 解题技法 由递推关系求数列的通项公式的常用方法 ［注意］ 避免两种失误 （1）利用累乘法，易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到，漏掉而导致错误；二是根据连乘求出之后，不注意检验是否成立. （2）利用构造法求解时应注意数列的首项的正确求解以及准确确定最后一个式子的形式. 对点训练 1. 已知在数列中，,,则 解析]由题得，因为,且 满足上式，所以. 2. 设数列满足，且，则数列的通项公式为 [解析]由,得,所以,因为,所以,所以数列 是以3为首项，3为公比的等比数列.所以,所以. 3. 已知数列满足，且，则 [解析]由 两边同时取倒数可得，即,又,所以数列 是首项为2,公差为3的等差数列，所以,所以. 考点三 数列的函数特征 角度1 数列的周期性 例5 在数列中，,,为数列的前项和,则 [解析]因为,,所以,,,所以数列 是以3为周期的周期数列，且,则. 解题技法 解决数列周期性问题的方法 根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前项的和. 角度2 数列的单调性 例6 已知数列满足 若，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. [解析]由题知数列 是递减数列， 所以 即 解得.故选. 解题技法 解决数列单调性问题的三种方法 （1）作差比较法：根据的符号判断数列是递增数列、递减数列还是常数列. （2）作商比较法：根据与1的大小关系进行判断. （3）函数法：结合相应的函数图象直观判断. 角度3 数列的最大（小）项 例7 若数列的前项积,则的最大值与最小值的和为（ ） A. B. C. 2 D. [解析]由题意知，当 时，; 当 时，, 则, 当 时也满足上式，所以, 所以当 时，单调递减，且； 当 时，单调递减，且， 故 的最大值为，最小值为， 所以 的最大值与最小值的和为2. 解题技法 求数列的最大项与最小项的常用方法 （1）函数法，将数列视为函数，即当时所对应的一列函数值，根据的类型作出相应的函数图象或利用求函数最值的方法，求出的最值，进而求出数列的最大（小）项. （2）如例7可利用确定最大项，利用确定最小项. 对点训练 1. 在数列中，若,则（ ） A. B. C. D. [解析]选.因为,所以,,,, ， 可得该数列的周期为4，故. 故选. 2. 设数列的前项和为，且，，.请写出一个满足条件的数列的通项公式 [解析]由，可知数列 是递增数列，又，故数列 从第7项开始为正，则，因此不妨设数列 是等差数列，公差为1，，所以，（答案不唯一）. 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. 已知数列,,, ，则是该数列的（ ） A. 第5项 B. 第6项 C. 第7项 D. 第8项 [解析]选.由数列，，， 的前三项，，可知，数列的通项公式为,由,解得.故选. 2. 已知数列满足,，则（ ） A. 4 046 B. C. 2 D. [解析]选.由题得，,,, , 所以,所以 是周期为2的周期数列， 所以.故选. 3. 已知是数列的前项和，则“”是“是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 [解析]选.若，则，所以 是递增数列，所以“”是“是递增数列”的充分条件；若 是递增数列，则，所以,但是 的符号不确定，所以“”不是“是递增数列”的必要条件.故选. 4. 已知数列的通项公式为，其最大项和最小项的值分别为（ ） A. 1， B. 0， C. ， D. 1， [解析]选.因为，所以当 时，，且单调递减;当 时，，且单调递减，所以最小项为，最大项为. 5. （多选）已知数列的通项公式为则（ ） A. B. C. D. [解析]选.由题意得，，,,,,,,,故 错误，正确；,故 正确；,,则,故 错误.故选. 6. 已知正项数列中，，则 [解析]由题意得，, 所以,所以, 又当 时，,所以 满足上式， 所以,. 7. 已知数列中，,若数列为递减数列，则实数的取值范围是 [解析]，由数列 为递减数列知，对任意，，所以 对任意 恒成立，所以实数 的取值范围为. 8. 已知数列满足，，则数列的通项公式为 [解析]因为, 所以，又,所以, 所以数列 是以2为首项,3为公比的等比数列. 所以,所以. 9. 已知数列中，，，. （1） 求，的值； 解：当 时，，所以； 当 时，，所以. （2） 求的前2 024项和. [答案] 当 时，，所以； 由 得，所以，故数列 是以4为周期的周期数列， 即，，，， 所以. B 综合运用 10. 在数列中，，，,且，则（ ） A. B. C. 100 D. [解析]选.由题意得，，所以,所以，, ,.以上各式左右分别相乘，得,因为,所以. 11. 已知数列满足,,则  . [解析]因为,所以, 则,所以,又 也满足上式，所以. 12. 已知数列的通项公式为，若是中的最大项，则实数的取值范围是  . [解析]当 时，单调递增，因此当 时取得最大值，最大值为; 当 时,, 因为 是 中的最大项，即 所以 解得, 所以实数 的取值范围是. 13. （人教A版选择性必修第二册P9 T4改编）已知数列满足，，且，. （1） 求数列的通项公式； 解：令，则，又， 所以数列 是首项为2，公差为4的等差数列，即， 所以，又，所以. （2） 设，，求的最小值. [答案] 由（1）得，， 所以，当且仅当,即 时等号成立，又,故 且在 上单调递增，又，所以 的最小值为1. C 素养提升 14. 已知数列中，，其前项和为，且满足. （1） 求数列的通项公式； 解：因为， 所以， 两式相减得， 即， 所以, 所以,所以. （2） 记，若数列为递增数列，求实数 的取值范围. [答案] 由（1）得，. . 因为数列 为递增数列， 所以, 即. 令,则. 所以数列 为递增数列，所以, 即实数 的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$