第1讲 函数及其表示 讲义-2025届高三数学一轮复习

第 1 讲 函数及其表示 【重点难点】 重点：①函数的概念、定义域、值域及求法．②分段函数． 难点：复合函数及分段函数． 【基础知识】【最新2025年版】 1．映射与函数 函数 映射 两集合、 设、是两个非空数集 设、是两个非空集合 对应关系 如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应 如果按某一个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应 名称 称为从集合到集合的一个函数 称对应为从集合到集合的一个映射 记法 (） 对应是一个映射 【注】从映射的角度看，函数是由一个_________到另一个________的映射．思考？ 映射与函数有什么区别？ 【思考·提示】　函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集． 2.函数的有关概念 （1）函数的定义域 在函数，中，其中所有组成的集合称为函数的定义域 （2）函数的值域 对于中的每一个，都有一个输出值与之对应，将所有组成的集合叫做函数的值域；设值域为集合，则. （3）函数的三要素：定义域、对应关系和值域． （4）函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． ⓵解析法：如果在函数（）中是用自变量的代数式来表达的，则这种表达函数的方法叫做解析法． ⓶图象法：对于函数（），定义域内每一个的值都有唯一的值与它对应，把这两个对应的数构成的有序实数对作为点的坐标，记作，则所有这些点的集合构成一个曲线，把这种用点的集合表示函数的方法叫做图象法． ⓷列表法：用列出自变量与对应的函数值的表格来表达两个变量间的对应关系的方法叫做列表法． 3.函数的定义域及其求法 根据函数解析式求函数定义域的依据有： ①分式的分母不得为 ； ②中不能为 ； ③偶次方根的被开方数不得小于 ； ④对数函数的真数必须大于 ； ⑤指数函数和对数函数的底数必须 ； ⑥正切函数定义域为. 4. 抽象函数定义域问题 (1)若已知函数的定义域为，其复合函数的定义域由不等式求出； (2)若已知函数的定义域为，则的定义域为在上的值域． 5.相等函数 判断依据： 【注】①两函数值域与对应法则相同时，两函数不一定相同； ②两函数定义域与值域相同时，两函数不一定相同 6.分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数． 【注】（1）分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数． （2）分段函数的定义域是各段定义域的并集且不可以相交，值域是各段值域的并集． 7.基本初等函数的值域 ①的值域为. ②的值域 当时，值域为；当时，值域为. ③的值域是． ④(且，)的值域是． ⑤(且，)的值域是. ⑥，，的值域分别为，，. 【误区警示】 1．映射的定义是有方向性的，即从集合到与集合到的映射是两个不同的映射．映射是特殊的对应，只能是一对一或多对一，不能一对多． 2．判断两个函数是否为相等函数，关键看定义域和对应法则是否都相同． 3．复合函数求定义域时，因不能深刻理解函数定义域的意义而致误，常见的是把已知的定义域求的定义域与已知的定义域求的定义域混淆． 4．解题过程中不要忽视定义域的限制作用致误 5．不要忽视实际问题的实际意义的限制作用． 6．换元法求解析式或函数值域，换元后易漏掉考虑新元的取值范围． 7．判别式法求值域对端点要进行检验． 8．利用均值不等式求值域时，要注意必须满足已知条件和不等式一端是常数，等号能成立，还要注意符号． 9．熟练掌握求函数值域的几种常用方法，要注意这些方法分别适用于哪些类型的函数．如求函数与的值域，虽然形式上接近但采用的方法却不同． 10．分段函数求值或解不等式时，一定要先区分自变量在哪一段区间上取值． 一、定义法 用数学概念的基本定义解决相关问题的方法，称之为定义法．利用定义解题的关键是把握住定义的本质特征． 二、求函数值域的常用方法 求函数的值域是高中数学的难点，它没有固定的方法和模式．常用的方法有： ①直接法——从自变量x的范围出发，通过观察和代数运算推出的取值范围； ②配方法——配方法是求“二次型函数”值域的基本方法，形如的函数的值域问题，均可使用配方法． ③反函数法——利用函数和它的反函数的定义域与值域的关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域．形如的函数的值域，均可使用反函数法．此外，这种类型的函数值域也可使用“分离常数法”求解． ④判别式法——把函数转化成关于的二次方程，通过方程有实根，判别式 ，从而求得原函数的值域．形如的函数的值域常用此法求解． 前提条件：函数的定义域应为；分子、分母没有公因式． ⑤换元法——运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域．例如：形如(、、、均为常数，且)的函数常用此法求解． ⑥不等式法——利用基本不等式：（）求函数的值域．用不等式法求值域时，要注意均值不等式的使用条件“一正、二定、三相等”． ⑦单调性法——根据函数在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性求出函数的值域． ⑧求导法——当一个函数在定义域上可导时，可根据其导数求最值确定值域； ⑨数形结合法——当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域和最值；或利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域． 三、求函数解析式的常用方法 1．配凑法 当已知函数表达式比较简单时，可直接应用此法．即根据具体解析式凑出复合变量的形式，从而求出解析式． 2．换元法 已知是关于的函数，即，求的解析式，通常令，由此能解出．将代入中，求得的解析式，再用替换，便得的解析式．注意，换元后要确定新元的取值范围． [例1]　已知，则 ． 3．待定系数法 若已知函数的结构形式，则可用此法． [例2]　设二次函数满足，且的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，则的解析式为 ． 4．消元法 已知满足某个等式，这个等式除是未知量外，还出现其它未知量，如、等，必须根据已知等式再构造其它等式组成方程组，通过解方程组求出． [例3]　已知函数满足条件：，则 . 5．赋值法 此类解法的依据是：如果一个函数关系式中的变量对某个范围内的一切值都成立，则对该范围内的某些特殊值必成立，结合题设条件的结构特点，给变量适当取值，从而使问题简单化、具体化，从而获解． [例4]　已知，，求． 6．转化法 已知在某个区间上的表达式及具有某种性质(如奇偶性、对称性等)，求在另一个区间上的表达式，常用转化法求解． 典型例题：函数与映射 例1 已知函数，分别由下表给出 则的值为 ；满足的的 值是 ． 考点分析：1．判断对应是否为映射，即看A中元素是否满足“每元有象”和“象唯一”，即可以是“一对一”或者“多对一”． 2．形成函数时，即函数的定义域，但不一定是值域．如果中的元素都有原象，则才是值域，即函数就是从定义域到值域的映射． 【思路点拨】　由表格的映射可看出，，，，，可解决问题． [解析]因为，所以. 当时，，，而，，不适合， 同理可验证时，与的大小关系，当时不等式成立． 【答案】　1　2 【思维总结】　(1)函数的定义中应注意，是两个非空的数集，函数的值域与的关系是. （2）在映射中，集合与的地位是不对等的，在集合中不要求每个元素在集合中都有元素与之对应，即集合中可以有空闲的元素． 典型例题：求函数的解析式 （Ⅰ）已知是一次函数，且满足，求的解析式； （Ⅱ）已知，求的解析式. 例2 考点分析：函数解析式的求法 （1）待定系数法．若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法． （2）换元法．已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意变量的取值范围． （3）解方程组法：已知满足某个等式，这个等式除是未知量外，还出现其他未知量，如、等，必须根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过方程组求出. 注意：函数的解析式是函数表示法的一种．求函数的解析式一定要注明函数的定义域，否则往往会导致错解． 【思路点拨】（1）设出一次函数利用方程恒等建立待定字母的关系式写出的解析式． （2） 设用表示确定的定义域写出的解析式. [解]（Ⅰ）设（）， 则 故，即不论为何值都成立，即，解得，所以 （Ⅱ）法1：因为，则（），代入原式有 则，所以（）. 法2：因为， 所以（），即（）. 【名师点评】　题(1)的求解是利用待定系数法，待定系数法的关键是设出某种类型的函数，列出方程组求待定系数；题(2)的求解是利用换元法，做题时易忽略的范围． 已知某人在2023年1月份至6月份的月经济收入如下：1月份为1000元，从2月份起每月的月经济收入是其上一个月的2倍，用列表、图象、解析式三种不同形式来表示该人1月份至6月份的月经济收入(元)与月份序号的函数关系，并指出该函数的定义域、值域和对应法则． 例3 典型例题：函数的三种表示方法 考点分析：用解析式表示函数关系的优点是：函数关系清楚，容易根据自变量的值求出对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质． 用图象法表示函数关系的优点是：能直观形象地表示出函数值的变化情况． 用列表法表示函数关系的优点是：不必通过计算就知道自变量取某些值时函数的对应值． 【思路点拨】　月份为自变量，月工资为函数值． 【解】　列表： 图象： 解析式：（）． 其中定义域为，值域为． 对应法则. 【规律小结】　列表法、图象法和解析式法是表示函数的三种方法，其实质是一样的，只是形式上的区别，列表和图象更加直观，解析式更适合计算和应用．在对待不同题目时，选择不同的表示方法，因为有的函数根本写不出其解析式． 典型例题：分段函数问题 甲、乙两地相距千米，某货车从甲地运送货物到乙地，以每小时千米的速度行驶，到达乙地后将货物卸下用了小时，然后以每小时千米的速度返回甲地．从货车离开甲地起到货车返回甲地为止，设货车离开甲地的时间和距离分别为小时和千米，试写出与的函数关系式． 例4 考点分析：若函数在定义域的不同子集上的对应关系不同，则可用几个不同的解析式来表示该函数，这种形式的函数叫分段函数．分段函数是一个函数，而不是几个函数，它的连续与间断完全由对应关系来确定．对于分段函数的求值问题，一定要坚持定义域优先的原则． 【思路点拨】　根据已知条件列出等式，这个含有x、y的方程就是所求的函数，这是一个分段函数，要注意距离与时间的变化关系． 【解】　由题意，可知货车从甲地前往乙地用了3小时，而从乙地返回甲地用了2.5小时． (1)当货车从甲地前往乙地时，由题意，可知（）； (2)当货车卸货时，（）； (3)当货车从乙地返回甲地时，由题意知（）． 所以. 【思维总结】　(1)由实际问题确定的函数，不仅要确定函数的解析式，同时要求出函数的定义域(一般情况下，都要受实际问题的约束)． (2)根据实际问题中自变量所表示的具体数量的含义来确定函数的定义域，使之必须有实际意义． 规律方法总结 1．函数概念理解应注意的问题 (1)函数是一种特殊的映射，必须满足,都是非空数集，其象的集合是的子集． (2)构成函数的三要素是：定义域、值域和对应法则，而值域由定义域和对应法则可以确定．分析判断两函数是否为同一函数时，就从这三个方面进行分析，只有三者完全相同时才为同一个函数． (3)不同的函数，会有不同的对应法则，如，其对应法则为“取正弦”． 2．函数的表示法 (1)平时表示函数常用的表示法是解析法，建立有实际意义的函数解析式，首先要选定自变量，然后寻找等量关系式，求得函数解析式，其中确定其定义域是关键． (2)若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． (3)并不是所有的函数都能写出解析式，有些函数只能用图象法或列表法来表示． 典型例题：求已知函数的定义域 例5 求下列函数的定义域： （Ⅰ）；（Ⅱ）. 考点分析：1．给定函数的解析式，求函数的定义域的依据是基本代数式的意义，如分式的分母不等于零，偶次根式的被开方数为非负数，零指数幂的底数不为零，对数的真数大于零且底数为不等于1的正数以及三角函数的定义等． 2．求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题．在解不等式组时要细心，取交集时可借助数轴，并且要注意端点值或边界值． 【思路点拨】　本例都给出了具体的解析式，应根据各种特殊函数的定义域要求，分别解出范围，最后取交集． [解]（Ⅰ）由，得， 所以函数的定义域为. （Ⅱ）由，得，所以定义域为. 【名师点评】　本题的易错点是：（Ⅰ）特殊函数的定义域把握不住；（Ⅱ）没有取交集，错误地认为取并集． 典型例题：求抽象函数的定义域 例6 已知函数的定义域是，则得定义域是 . 考点分析：1．所谓抽象函数是指用，或，等表示的函数，而没有具体解析式的函数类型． 2． 已知函数的定义域为，则函数的定义域是指满足不等式的的取值范围；一般地，若函数的定义域是，指的是，要求的定义域就是求时的值域． 【思路点拨】　(1)与已知中的含义相同．(2)分析分式的分母及对数式的真数满足的条件． [解]由，的，所以或， 故定义域为. 【误区警示】　误认为的定义域是，同时易漏掉这一限制． 已知函数的定义域是，则函数的定义域是 . 例7 [解]由，得，所以， 故函数的定义域是. 求下列函数的值域： （Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）； （Ⅳ）. 例8 典型例题：求已知函数的值域 考点分析：函数的值域是函数值的集合，它是由函数的定义域与对应关系确定的．函数的最值是函数值域的端点值，求最值与求值域的思路是基本相同的．在函数的定义域受到限制时，一定要注意定义域对值域的影响． 【思路点拨】　(1)对解析式变形利用基本初等函数的性质； (2)换元法或利用函数的单调性；(3)函数的单调性或导数法． [解]（Ⅰ）法1：因为， 又，所以，则，即函数的值域为. 法2：函数的定义域为，设，则，由反比例函数的图像性质可知，则原函数的值域为. 法3：由，得，因为，所以，解得， 故原函数的值域为. （Ⅱ）法1：设，则，所以， 因为二次函数的对称轴为，在上的最大值为1，无最小值，其值域为. 法2：因为与均为定义域上的增函数，故是定义域为上的增函数，故函数的值域为. （Ⅲ）法1：因为函数是定义域为上的奇函数，故其图像关于原点对称，故只讨论时，即可知的最值和值域. 因为当时，，当且仅当时取等， 所以当时，，综上所述，函数的值域为. 法2：因为， 当或时，，即在和上递增，在和上递减，故时，，当时，， 则所求函数的值域为. （Ⅳ）法1：由，可知函数的定义域为， 得， 当时，可得，符合题意， 当时，由方程是关于的一元二次方程有解， 则，解得且， 综上所述，可知函数的值域为. 法2：由， 当时，，当时，，由， 则，故， 综上所述，函数的值域为. 【规律小结】（1）形如的函数求值域或最值时，可先将函数化为的形式，然后利用不等式的性质或反比例函数的图像及性质求解，或者直接换元解决；（2）形如的形式的函数求值域或最值，可用换元法将根号化去转化为基本初等函数求函数的最值；（3）用均值不等式求值或最值时一定要注意其使用条件“一正、二定、三等号”.典型例题：函数的定义域与值域综合 已知函数的定义域为，值域为，求实数、的值. 例9 考点分析：给出函数的定义域或值域求其中的字母参数取值或范围，其关键是从定义域、值域入手、做好转化． [解]设，则，得， 因为，且设，所以， 即， 由可知，的一元二次方程的两根为1和9，由根与系数的关系可得;，解得. 若，即时，对应，符合条件， 综上所述，为所求. 【误区警示】　主要问题是对，的对应关系不理解不会转化为二次不等式问题． 若函数的最大值为，最小值为， 求实数，的值. 例10 [解]，得，显然在函数值域内， 当时，，所以，即，可得该不等式的解为，因而方程的两根为和， 由根与系数关系知，，所以，， 综上所述，，或，. 规律方法总结 1．求函数定义域的常见题型及求法 (1)已知函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可． (2)已知函数的定义域，求函数的定义域，此时的定义域即为的值域． (3)涉及实际问题的定义域问题需考虑问题的实际意义． (4)当解析式中含有参数时，需对参数进行讨论． 2．求函数值域常用的方法 (1)直接法——从自变量的范围出发，推出的取值范围； (2)二次函数法——利用换元法将函数转化为二次函数求值域(或最值)； (3)判别式法——运用方程思想，依据二次方程有实根的条件，求出y的取值范围； (4)利用函数的单调性； (5)利用重要不等式——基本不等式求值域； (6)图象法——当一个函数图象可画出时，通过图象可求其值域和最值； (7)利用函数的导数求最值——当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值； (8)数形结合法——利用函数所表示的几何意义，借助几何方法或图象来求函数的值域． 考点一 分段函数问题 【典例1】已知函数，则 ． [解]由，，所以 所以 故答案为： 【典例2】设函数则 ，不等式的解集是 . [解]由题意可知：，因为， 当，即时，则，可得，不合题意； 当，即时，可得， 解得或，所以； 当，即或时，则，可得，符合题意； 综上所述：不等式的解集是. 故答案为：1；. 【典例3】已知函数，存在最小值，则实数的取值范围是（    ） [解]当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 则，当时，，所以在上单调递增，无最小值，根据题意，存在最小值，所以，即.故选：. 【典例4】已知是上的减函数，那么的取值范围是（ ） （1）已知，是上的减函数，那么实数的取值范围是（ ） （2）若函数且满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（ ） （3）已知函数，若，则实数的值等于（ ） （4）己知函数，若对任意的，不等式 恒成立，则实数的取值范围是 . 考点二 相同函数的概念 相同函数的判断依据： 【典例】　下列各组中的两个函数是同一函数的是(　　) ， ， 与 ， （1）下列四组函数中，是相同函数的是(　　) （2）下列各组函数中，表示同一函数的是(　　) ， ， ， ， 考点三 函数的定义域 【典例】（1）函数的定义域是 ． （2）若，则的定义域为 ． （1）函数的定义域是(　　) （2）已知函数的定义域为，的定义域为，则等于(　　) 考点四 抽象函数定义域 求函数定义域时条件考虑不充分 易错1 【问题1】求函数的定义域. 错解： 剖析：基础不牢，忽略分母不为零；误以为对任意实数成立. 正确答案： 反思：函数定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，因此求函数定义域时就要根据函数解析式把各种情况下的自变量的限制条件找出来，列成不等式组，不等式组的解集就是该函数的定义域.在求函数的定义域时应注意以下几点：①分式的分母不为零；②偶次方根被开方数非负；③对数的真数大于零；④零的零次幂没有意义；⑤函数的定义域是非空的数集. 求复合函数定义域时忽视“内层函数的值域是外层函数的定义域” 易错2 【问题2】已知函数，，求函数的值域. 错解：设，因为，则，所以， 因为，所以函数的值域是. 剖析：知识欠缺，求函数的定义域时，应考虑， 解得，令，则，所以的值域为. 反思：在复合函数中，外层函数的定义域是内层函数的值域，求复合函数定义域类型为： ①若已知的定义域为，其复合函数的定义域，可由不等式解出即可；②若已知的定义域为，求的定义域，相当于时，求的值域，即的定义域. 【典例1】若函数的定义域是，则函数的定义域是(　　) 【典例2】若函数的定义域为，则的定义域为(　　) （1）已知函数的定义域是，则函数的定义域是(　　) （2）已知函数的定义域为，则的定义域是 ． （3）若函数的定义域为，则的取值范围为 ． 考点五 函数值域 【典例1】已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（    ） [解]当时，，符合题意； 当时，因为函数的值域为满足， 由指数函数的单调性可知，即二次函数的最小值小于或等于零； 若时，依题意有的最小值，即， 若时，不符合题意；综上：，故选：. 【典例2】已知函数的值域为.若，则实数的取值范围是（    ） [解]因为，令，所以； 令函数的值域为，因为， 所以，所以必须能取到上的所有值， ，解得.故选：. 【典例3】已知函数的定义域和值域都是，则实数的值是 ． （1）函数的值域为(　　) （2）函数的值域是(　　) （3） 已知函数 1.若的定义域为，则实数的取值范围为 . 2.若的值域为，则实数的取值范围为 . （4）已知函数值域为，则实数的取值范围为 . 考点六 分段函数 【典例】（1）设函数，若，则的取值范围为(　　) （2） 已知函数，则满足不等式的的范围 _________． 求参数或自变量的值(或范围) （1）设函数则满足的的取值范围是(　　) （2）设函数若，则实数的取值范围是____________． （3）设函数则满足的的取值范围是________． 考点七 求函数解析式 【典例】已知，则____________． （1）已知函数，则 . （2）已知函数满足，则 . （3）已知满足，则 . A组　考点能力演练【最新2025年版】 1.下列所给图象是函数图象的个数为(　　) 2.函数的定义域是(　　) 3.与函数的图象相同的函数是(　　) 4.函数的定义域为(　　) 5.已知，且，则等于(　　) 6.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为，值域为的“同族函数”共有(　　) 7个 8个 9个 10个 7.已知具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①；②；③ 其中满足“倒负”变换的函数是(　　) ①② ①③ ②③ ① 8.函数的定义域为 . 9.已知函数则等于(　　) 10.设函数，则的定义域为(　　) 11.函数的定义域为(　　) 12.函数的定义域为(　　) 13.若函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为(　　) 14.已知，则 . 15.若函数,则 . B组　高考题型专练【最新2025年版】 1.已知函数若，则(　　) 2.下列函数中，不满足的是(　　) 3.设函数,若，则(　 　) 4.存在函数满足：对于任意都有(　　) 5.已知，，设函数，若对任何的实数，都有在区间上至少存在两个零点，则（ ）（偏难） 5.已知集合.给定一个函数，定义集合 .若对任意的成立，则称该函数具有性质“”.则下列函数中具有性质“”的是（ ）（多选） 7.若函数，则 (1) ； (2)______. 8.若函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 9.若函数的值域为，则函数的值域为 ． 冲刺清北数学工作室 10.若函数的定义域为，则函数的值域为 ． 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 学科网（北京）股份有限公司 11.已知函数. （Ⅰ）若函数的定义域与值域均为，求的值. （Ⅱ）设，试问：是否存在实数使得函数的定义域与值域均为？若存在，求出实数的取值范围，并指出所满足的条件；若不存在，请说明理由. [解] 12.已知函数， 函数， 令函数. （Ⅰ）求函数的解析式，并求出定义域； （Ⅱ）当时，求函数的值域. [解] $$