第5章 第1讲 数列的概念及简单表示法（Word教参）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（北师大版）

第1讲　数列的概念及简单表示法 课标要求 考情分析 1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、公式). 2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数． 3．能够利用an与Sn的关系求通项公式an. 考点考法：以考查Sn与an的关系为主，简单的递推关系也是考查的热点．在高考中以选择、填空的形式进行考查，难度为低档． 核心素养：数学抽象、数学运算、逻辑推理． [对应学生用书P105] 1．数列的有关概念 (1)数列的定义 一般地，我们把按__一定次序__排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项． (2)数列的分类 项数__有限__的数列称为有穷数列，项数__无限__的数列称为无穷数列． 2．数列的表示法 解析式法、表格法、__图象法__． 3．数列的单调性 一般地，一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都__大于__它的前一项，即an＋1＞an，那么这个数列叫作递增数列；如果从第2项起，每一项都__小于__它的前一项，即an＋1＜an，那么这个数列叫作递减数列．特别地，如果数列{an}的各项都__相等__，那么这个数列叫作常数列． 4．数列的通项公式和递推公式 (1)如果数列{an}的__第n项an__与 __n__之间的函数关系可以用一个式子表示成an＝f(n)，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式． (2)如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫作这个数列的递推公式． 5．数列的前n项和公式 如果数列{an}的前n项和Sn与它的项数n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫作这个数列的前n项和公式． 1．(多选)已知数列{an}的通项公式为an＝9＋12n，则在下列各数中，是{an}的项的是(　　) A．21　　　　　　　 B．33 C．152 D．153 解析　由数列的通项公式得，a1＝21，a2＝33，a12＝153. 答案　ABD 2．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5＝(　　) A． B． C． D． 解析　a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝. 答案　D 3．数列{an}的前几项为，3，，8，，…，则此数列的通项公式可能是(　　) A．an＝ B．an＝ C．an＝ D．an＝ 解析　数列为，，，，，…，其分母为2，分子是首项为1，公差为5的等差数列，故通项公式为an＝. 答案　A 4．已知数列{an}的前n项和为Sn＝－2n2＋1，则{an}的通项公式为an＝________． 解析　当n＝1时，a1＝S1＝－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2n2＋1＋2(n－1)2－1＝－4n＋2，a1＝－1不适合上式，所以an＝ 答案　 5．(忽视项数为整数的情况致误)数列{an}中，an＝－n2＋11n(n∈N＋)，则此数列的最大值是____________． 解析　an＝－n2＋11n＝－＋，因为n∈N＋，所以当n＝5或n＝6时，an取得最大值30. 答案　30 1．若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝ 2．在数列{an}中，若an最大，则(n≥2)，若an最小，则(n≥2). 1．(2024·抚州模拟)若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n＋1(n∈N＋)，则数列的通项公式为____________． 解析　由题意可知，当n＝1时，a1＝S1＝12－10×1＋1＝－8； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－10n＋1－[(n－1)2－10(n－1)＋1]＝2n－11. 又a1＝－8不满足an＝2n－11， 所以an＝ 答案　an＝ 2．数列{an}中，an＝－n2＋11n(n∈N＋)，则此数列最大项的值是________． 解析　若an最大，则 即 解得5≤n≤6.因为n∈N＋，所以当n＝5或n＝6时，an取最大值30. 答案　30 [对应学生用书P106] 考点一　由an与Sn的关系求an(重难考点　师生共研) 　(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n，则an＝________． (2)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2n＋2－3，则an＝________． [解析]　(1)当n＝1时，a1＝S1＝3.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－[(n－1)2＋2(n－1)]＝2n＋1.由于a1＝3适合上式，∴an＝2n＋1. (2)根据题意，数列{an}满足Sn＝2n＋2－3， 当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝(2n＋2－3)－(2n＋1－3)＝2n＋1， 当n＝1时，有a1＝S1＝8－3＝5，不符合an＝2n＋1，故an＝ [答案]　(1)2n＋1　(2) Sn与an的关系问题的求解思路 (1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解． (2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解． 1．已知在正项数列{an}中，＋＋…＋＝，则数列{an}的通项公式为(　　) A．an＝n　　　　　　 B．an＝n2 C．an＝ D．an＝ 解析　∵＋＋…＋＝， ∴＋＋…＋＝(n≥2)， 两式相减得＝－(n≥2)， ∴an＝n2(n≥2)，① 又当n＝1时，＝＝1，a1＝1，适合①式， ∴an＝n2，n∈N＋. 答案　B 2．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝a2＝1，当n≥2时，Snan＝Sn－1an＋1，则Sn＝________，a12＝________． 解析　当n≥2时，Sn(Sn－Sn－1)＝Sn－1(Sn＋1－Sn)， 所以S＝Sn－1Sn＋1.因为a1＝a2＝1, 所以{Sn}是首项为1，公比为2的等比数列， 所以Sn＝2n－1，所以a12＝S12－S11＝210＝1 024. 答案　2n－1　1 024 考点二　由数列的递推关系求通项公式(一题多变　师生共研) 　(1)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，则通项公式an＝________． (2)已知a1＝2，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式an＝________． [解析]　(1)因为an＋1－an＝＝－，所以an－an－1＝－， an－1－an－2＝－， … a2－a1＝1－， 以上各式累加得an－a1＝1－， 所以an＝4－，且a1＝3也适合上式， 所以an＝4－. (2)因为＝2n，所以＝2n－1，＝2n－2， … ＝22，＝2， 以上各式累乘得an＝··…···a1 ＝2n－1·2n－2·…·22·2·2 ＝21＋2＋3＋…＋(n－1)·2 ＝2 ＝2， 且a1＝2也适合上式，所以an＝2. [答案]　(1)4－　(2)2 1．(变条件)本例(2)中条件“an＋1＝2nan”改为“an＋1＝an”，其他不变，怎样求解？ 解析　由已知，可得＝(n≥2)， 所以an＝···…···a1＝···…·××2＝， 又a1＝2也适合上式，所以an＝. 2．(变条件)本例(2)中条件“an＋1＝2nan”改为“an＋1＝2n＋an”，其他不变，怎样求解？ 解析　由已知，可得an＝2n－1＋an－1(n≥2)， 所以an－an－1＝2n－1， 所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋2＝＋2＝2n，且a1＝2也适合上式． 故an＝2n. 由递推关系求数列的通项公式的常用方法 [提醒]　避免两种失误 (1)利用累乘法，易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到，漏掉a1而导致错误；二是根据连乘求出an之后，不注意检验a1是否成立． (2)利用构造法求解时应注意数列的首项的正确求解以及准确确定最后一个式子的形式． 1．已知在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)，则an＝________． 解析　因为an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝0＋1＋3＋…＋(2n－5)＋(2n－3)＝(n－1)2，且a1＝0适合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝(n－1)2. 答案　(n－1)2 2．已知数列{an}满足a1＝，且an＋1＝，则an＝________． 解析　由an＋1＝两边取倒数可得＝＋3，即－＝3，所以－＝3(n≥2)，所以＝＋＋…＋＋＝3(n－1)＋2＝3n－1，所以an＝，且a1＝也适合上式，所以an＝. 答案　 考点三　数列的性质与应用(多维探究　师生共研) 角度1　数列的周期性 　若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则a2 024的值为(　　) A．2 B．－3 C．－ D． [解析]　由题意知，a1＝2，a2＝＝－3，a3＝＝－，a4＝＝，a5＝＝2，a6＝＝－3，…，因此数列{an}是周期为4的周期数列，所以a2 024＝a505×4＋4＝a4＝. [答案]　D 解决数列周期性问题的方法 根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和． 角度2　数列的单调性与最值 　(1)已知数列{an}的通项公式为an＝，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为(　　) A．(3，＋∞) B．(2，＋∞) C．(1，＋∞) D．(0，＋∞) (2)若数列{an}的前n项积bn＝1－n，则an的最大值与最小值之和为(　　) A．－ B． C．2 D． [解析]　(1)因为an＋1－an＝－＝，由数列{an}为递减数列，知对任意n∈N＋，an＋1－an＝＜0，所以k＞3－3n对任意n∈N＋恒成立，所以k∈(0，＋∞). (2)∵数列{an}的前n项积bn＝1－n， 当n＝1时，a1＝； 当n≥2时，bn－1＝1－(n－1)， an＝＝＝＝1＋， 当n＝1时也适合上式， ∴an＝1＋， ∴当n≤4时，数列{an}单调递减，且an＜1； 当n≥5时，数列{an}单调递减，且an＞1， 故an的最大值为a5＝3，最小值为a4＝－1， ∴an的最大值与最小值之和为2. [答案]　(1)D　(2)C 1．判断数列单调性的方法 (1)作差比较法：根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列． (2)作商比较法：根据(an＞0或an＜0)与1的大小关系进行判断． (3)函数法：结合相应的函数图象直观判断． 2．求数列最值的常用方法 (1)利用数列的单调性：根据单调性求数列的最值． (2)利用均值不等式：要注意均值不等式成立的条件以及数列项数n只能取正整数这一特殊性质. 1．在数列{an}中，an＋1＝若a1＝，则a2 023的值为(　　) A． B． C． D． 解析　因为a1＝＞，所以a2＝2a1－1＝＞， a3＝2a2－1＝＜，a4＝2a3＝＜， a5＝2a4＝，…， 可得该数列的周期为4，故a2 023＝a4×505＋3＝a3＝，故选D. 答案　D 2．已知数列{an}的通项公式为an＝(20－n)·，则an取最大值时，n＝________． 解析　由an＝(20－n)·可得，当n≥21时，an＜0，当n＝20时，an＝0， 当n≤19时，an＞0，故an取最大值时，一定有n≤19，设an为数列{an}的最大项， 则 即 解得17≤n≤18， 则当n＝17或n＝18时，an取得最大值，最大值为a17＝a18＝. 答案　17或18 学科网（北京）股份有限公司 $$