精品解析：北京市第二中学2024-2025学年高一下学期第一次测试数学试题

高一下数学测试（一） 一、选择题 1. 已知平面向量，不共线，，，，则（　　） A. 三点共线 B. 三点共线 C 三点共线 D. 三点共线 2. 若是非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 中，点D在边AB上，．记，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 已知非零向量，满足，且，则与夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，点P在直线上，且，则点P的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 已知向量与的夹角为，，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 若四边形是边长为2的菱形，，分别为的中点，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知单位向量，若对任意实数x，恒成立，则向量的夹角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 在中，点满足，过点直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为 A. B. C. D. 11. 已知等边的边长为，P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 12. 已知向量，，．若，则________． 13. 已知向量，满足，，则______． 14. 已知向量，，且与夹角为锐角，则实数的取值范围是_____. 15. 给定两个长度为的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点在以为圆心的圆弧上运动，若，其中，则的最大值是_____；的最大值是______. 三、解答题 16. 如图，正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点. （1）求的余弦值； （2）设，求的值及点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一下数学测试（一） 一、选择题 1. 已知平面向量，不共线，，，，则（　　） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 【答案】D 【解析】 【分析】运用向量共线的判定先证明向量共线，再得到三点共线. 【详解】对于A，，与不共线，A不正确； 对于B，，，则与不共线，B不正确； 对于C，，，则与不共线，C不正确； 对于D，， 即，又线段AC与CD有公共点C，所以三点共线，D正确． 故选：D． 2. 若是非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】结合，设，，根据充分性和必要性两个角度分别判断即得. 【详解】如图作，设，， 由向量加法平行四边形法则知：由可得是菱形， 因菱形的对角线不一定相等，故不一定成立，即充分性不成立； 又由可得是矩形，因矩形的一组邻边不一定相等， 故也不一定成立，即必要性不成立. 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 3. 在中，点D在边AB上，．记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出． 【详解】因为点D在边AB上，，所以，即， 所以． 故选：B． 4. 已知向量，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先求得，然后求得. 【详解】因为，所以. 故选：D 5. 已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量垂直的表达式列方程，结合条件求出的值即得. 详解】∵， ∴， ∴， ∵，∴. 故选：B. 6. 已知，，点P在直线上，且，则点P的坐标为（ ） A B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】 设点P的坐标为，表示出，的坐标，由且P在直线上，故分或两种情况讨论，根据向量相等得到方程组，解得． 【详解】解：设点P的坐标为，， 则，． 由且点P在直线上，得或． ∴或解得或 ∴点P的坐标为或． 故选： 【点睛】本题考查向量的坐标运算，属于基础题. 7. 已知向量与的夹角为，，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合向量的投影的定义和计算方法，即可求解. 【详解】由题意知，向量且向量与的夹角为， 所以向量在上的投影为， 又因为，所以向量在上的投影向量为. 故选：A. 8. 若四边形是边长为2的菱形，，分别为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算和数量积运算解答. 【详解】因为四边形是边长为2的菱形，， 所以. 所以 故选：A 9. 已知单位向量，若对任意实数x，恒成立，则向量的夹角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量数量积与模长的关系结合一元二次不等式恒成立的解法计算即可. 【详解】设向量的夹角为θ，因为，所以， 则，即恒成立. 所以，解得， 故的夹角的取值范围是. 故选：A. 10. 在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为 A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得出，再由，，可得出，由三点共线得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值. 【详解】如下图所示： ，即，， ，，，， ，、、三点共线，则. ， 当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：B. 【点睛】本题考查三点共线结论的应用，同时也考查了利用基本不等式求和式的最小值，解题时要充分利用三点共线得出定值条件，考查运算求解能力，属于中等题. 11. 已知等边的边长为，P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先建立平面直角坐标系且，，，进而确定的轨迹圆，再利用向量数量积的坐标表示并结合所得表达式的几何意义求范围即可. 【详解】如下图构建平面直角坐标系，且，，， 所以在以为圆心，1为半径的圆上，即轨迹方程为， 而，故， 综上，只需求出定点与圆上点距离平方的范围即可， 而圆心与的距离，故定点与圆上点的距离范围为， 所以 故选：B 二、填空题 12. 已知向量，，．若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由两向量共线的坐标关系计算即可． 【详解】由题可得 ,即 故答案为 【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题． 13. 已知向量，满足，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解. 【详解】法一：因为，即， 则，整理得， 又因为，即， 则，所以. 法二：设，则， 由题意可得：，则， 整理得：，即. 故答案为：. 14. 已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用且与不共线求解. 【详解】，，则， 因与的夹角为锐角，则，得， 当时，，得，此时与同向， 则实数的取值范围是. 故答案为： 15. 给定两个长度为的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点在以为圆心的圆弧上运动，若，其中，则的最大值是_____；的最大值是______. 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】建立以点为原点的坐标系，设 ，写出向量的坐标表示形式，用的三角函数表示，，最后用辅助角公式求最值 【详解】建立如图所示坐标系， 则 ，设 ， 由 , 化简得:， （1）, 则当 时, 最大，值为 （2） 其中 且为第一象限角 则当 时,最大，值为 故答案为：； 三、解答题 16. 如图，正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点. （1）求的余弦值； （2）设，求的值及点的坐标． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，求，的坐标，结合向量夹角公式求结论； （2）由关系求，根据，，三点共线列方程求，再求的坐标. 【小问1详解】 如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系， 则，，，， ∴，， 由于就是，的夹角， ∴ ， ∴的余弦值为. 【小问2详解】 ∵， 则，则， 又，，三点共线， 则设，， 即， 则，解得， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$