专题02 平行线折叠及动点问题（5种类型24道题）-【名校压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题精讲精练（浙教版2024）

专题02 平行线折叠及动点问题（5种类型24道题） 考点导航 考点清单 题型01 平行线与角的折叠问题 模型基本图形 折叠前后特征 1、折叠前后的对应角相等 ∠BFE=∠B'FE、∠AEF=∠A'EF 2、平行线折叠后仍然平行 BF//AE、B'F//A'E 3、折叠必有角平分线 折痕可看作角平分线 折叠问题解题步骤： ①还原：图形不完整时，先还原图形。 ②标角：折痕处的角，标记出相等的角，如上图相同符号标记的角。 ③列方程：利用交的和差关系列等量关系 【例1】如图，已知长方形纸片，点E，F分别在边和上，且，H和G 分别是边和上的动点，现将点 A，B 沿向下折叠至点N，M 处，将点 C，D沿向上折叠至点P，K 处，若，则的度数为 （　　） A．或 B．或 C．或 D．7或 【答案】D 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质与判定，分两种情况讨论：当在上方时，延长、交于点，先求出，再证明，得到，最后利用对顶角相等，即可求出的度数；当在下方时，延长，交于点，根据平行线的判定和性质，证明，得到，进而得到，即可求出的度数． 【详解】解：当在上方时，延长、交于点， 由折叠可知，，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当在下方时，延长，交于点， 由折叠可知，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； 综上所述：或， 故选：D． 【变式1-1】如图，将长方形纸片沿直线折叠，使得点落在边上的点处，点落在点处，交于点，且直线与交于点，与交于点，是直线上一点，连接，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据折叠得到，证明，则，由三角形的内角和得到，继而，再根据平行线的性质求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵长方形纸片沿直线折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1-2】将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质、角的和差，解答本题的关键掌握平行线的性质． 方法一：根据平行线的性质，可以得到，再根据折叠的性质，即可得到，最后根据平角的性质即可得解； 方法二：根据折叠可得，求出，再根据平行线的性质即可得解． 【详解】解：方法一：∵四边形是长方形纸片， ，， ， 由题意知， ， ； 方法二：由题意知， ，， ， ， ， ． 故选：D． 【变式1-3】如图所示，将长方形纸片沿折叠，使点C、D分别落在点、的位置，交于点G，再沿边将折叠到处．若，则 ． 【答案】/18度 【分析】此题考查了折叠的性质，平角的性质求解，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．根据折叠的性质可得，，从而得，进而即可求解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴ ∴， 根据折叠的性质可得，， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 延长到， ∵， ∴ ∴ 由折叠的性质得 ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ 故答案为：。 【变式1-4】如图，点分别在长方形纸片的边上，连接，将对折，使点落在直线上的点处，得折痕；折叠，使点落在边上的点处，得折痕．若，平分，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠问题，角平分线的定义，以及解一元一次方程．先分别求出，，然后代入计算即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴． 由折叠的性质得，，， ∴，． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1-5】数学活动课上，老师带领学生们进行了折纸的系列综合实践活动： 〖活动素材〗如图，长方形纸片． 〖活动1〗如图1，将长方形纸片 进行折叠，第1次折叠，折叠后与交于点G，在探究过程中，同学们通过测量发现与的度数总是相等的； 〖活动2〗如图2，在活动1的基础上，将长方形纸片进一步折叠，第 2次沿折叠，且，同学们通过研究发现与之间也存在一定的数量关系； 〖活动3〗如图3，在活动2的基础上，作的平分线，并反向延长与的平分线交于点Q，与之间是否也存在确定的数量关系呢? 〖任务1〗求证：； 〖任务2〗若，求的度数； 〖任务3〗请画出点 Q，并直接写出与之间的数量关系． 【答案】〖任务1〗  〖任务2〗  〖任务3〗 【分析】本题考查平行线的判定和性质，折叠的性质，角平分线的定义，作辅助线构造平行线是解题的关键． （1）根据折叠的性质和平行线的性质解题即可； （2）根据平行线的性质得到，然后根据角的和差得到，然后根据解题即可； （3）根据任务的结论计算，然后过点作，则，然后根据平行线的性质得到，，然后根据即可得到结论． 【详解】解：〖任务1〗如图1，则， 又∵ ∴， ∴； 〖任务2〗解：由折叠可得， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； 〖任务3〗由折叠可得， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； ∵平分，平分， ∴，， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【变式1-6】如图1，在一张正方形纸片（正方形的两组对边分别平行）的两边上分别有A，B两点，连接，点P是正方形纸片上一点，过点P翻折纸片，使点B落在直线上的点处，折痕交于点Q．    (1)①判断折痕与的位置关系，并说明理由； ②通过不断地尝试，除了上面的折法，过点P再也折不出其它折痕与有①中的位置关系，其中的数学道理是_______； (2)在图1的基础上，展平纸片，得到图2，在图2中过点P折出并画出与平行的折痕（折痕左端点记为点D，右端点记为点E），请简要阐述折叠方法并说明理由； (3)将图2的纸片展平得到图3，点S是线段上一动点（不与点E重合），若，，，请直接写出的度数．（用、β的代数式表示） 【答案】(1)①，理由见解析；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (2)折叠方法：过点P翻折纸片，使点M落在直线上，折痕为，理由见解析 (3)或 【分析】（1）①根据折叠的性质得出，根据，求出，即可得出结论； ②根据在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进行解答即可； （2）过点P翻折纸片，使点M落在直线上，折痕为，根据平行线的判定进行证明即可； （3）分两种情况进行讨论：当点S在线段上时，当点S在线段上时，分别画出图形，进行求解即可． 【详解】（1）解：①；理由如下： 根据折叠可知：， ∵， ∴， ∴； ②除了上面的折法，过点P再也折不出其它折痕与有①中的位置关系，其中的数学道理是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （2）解：折叠方法：过点P翻折纸片，使点M落在直线上，折痕为；如图所示：    理由：根据解析（1）可得：， ∵， ∴， ∴； （3）解：当点S在线段上时，如图所示：      ∵正方形纸片中， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∴ ； 当点S在线段上时，如图所示：    ∵正方形纸片中， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ； 综上分析可得：或． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质和判定，三角形内角和定理应用，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质，注意分类讨论． 题型02 平行线定值问题 【例2】如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和交射线于点E，F． (1)求的度数，若，请直接用含的式子表示； (2)随着点的运动，设，，与之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由； (3)当时，请直接写出的度数． 【答案】(1)， (2)不改变，恒为，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义的运用等知识点，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得出，再根据分别平分和，即可得出的度数；同理：当，用含的式子表示即可； （2）根据平行线的性质得出，再根据平分，即可得到进而得出，进而完成解答； （3）根据，得出，进而得，根据，进而求得的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴ ∴； 若， ∵，． ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴， ∴； （2）解：不变．恒为，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，， 当时，则有， ∴， ∴， ∴． 【变式2-1】某地汛期来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯A射线自顺时针旋转至便立即回转，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是/秒，灯B转动的速度是/秒，且a，b满足．假定这一带江堤是平行的，即，且． (1)求a，b的值． (2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，灯A转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达之前，若两灯射出的光束相交于点C，过点C作，交于点 D，则在转动过程中，的值是否发生变化？ 若不变，请求出该值；若改变，请求出其取值范围． 【答案】(1)， (2)15秒或秒 (3)不变， 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角的和差、非负数的性质等知识点，掌握两个非负数的和为0，则这两个非负数均为0成为解题的关键． （1）根据非负数之和为0，则两个非负数均为0，据此求解即可； （2）设灯A转动t秒，两灯的光束互相平行，分三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，分别列出方程即可求解即可； （3）设灯A转动t秒，用含t的式子表示出和，然后求出其比值即可解得． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴． （2）解：设灯A转动t秒，两灯的光束互相平行， ①当时，解得：； ②当时，解得：； ③当时，解得：，则舍去. 综上所述，灯A转动15秒或82.5秒时， 两灯的光束互相平． （3）解：不变， 设灯A转动t秒， ∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴． 【变式2-2】如图1，直线，，点在边上，且满足，并且平分． (1)求的度数． (2)如图1，若，求出的度数． (3)如图2，若平移，在平移过程中，是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值， 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，平移的性质，角平分线的性质等知识点， （1）由平行线的性质和可得，由角平分线的性质可得，然后利用角度进行计算即可得解； （2）设，用含x的代数式表示出，再由得出含x的方程，解方程即可得解； （3）设，用含x的代数式表示出和，然后求其和即可得解； 熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：是定值，理由如下， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2-3】如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上运动，点C在第一象限内，过点C作轴于点B，点D在线段上运动，连接，过点D作交x轴于点E，作和的平分线交点F． (1)当时，直接写出的度数； (2)当时，判断与的位置关系，并证明； (3)当点D在线段上运动时，问的大小是否为定值？若是定值，求其值，并说明理由；若变化，求其变化范围． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3)是定值，为，理由见详解 【分析】本题主要考查等角的余角相等，平行线的性质、角平分线的性质以及角度之间的和差关系， （1）根据等角的余角相等，直角三角形的两个锐角互余，求出度数即可； （2）有题意得和，结合平行线的性质，有，即可判定二者之间的关系； （3）根据角平分线的性质得，进一步得，过点F作，则，根据平行线的性质得，则 即可知为定值． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵ 则； （2）证明：，理由如下， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 则； （3）解：点D在线段上运动时，是定值，理由如下， ∵和平分和， ∴， ∵， ∴， 过点F作，如图， ∵， ∴， ∴， 则 ． 故当点D在线段上运动时，是定值，为． 【变式2-4】玩转三角板．在一副三角板与中，，．将这副三角板按图1的方式放置在两条平行线之间（点落在直线上，边与直线重合，点在同一条直线上，固定三角板）． (1)如图1，的度数为___________； (2)如图2，将三角板绕点逆时针方向旋转，边与三角板的边相交于点，试问：的值是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由； (3)在图1的基础上，将三角板绕点逆时针方向旋转，至边与直线首次重合时停止运动．设的度数为，试探究：在旋转的过程中，当为何值时，三角板的边与三角板的一条边平行？求出符合条件的的值． 【答案】(1) (2)为定值，这个定值为 (3)30或或 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论等知识，熟练掌握平行线的性质，并正确分情况讨论是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，再根据角的和差求解即可得； （2）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据即可得； （3）分三种情况：①，②和③，利用平行线的性质求解即可得． 【详解】（1）解：∵，，点在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：为定值，求解如下： 如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：①如图，当时， ∴， ∵， ∴， ∴点在同一条直线上， ∴， 即此时； ②如图，当时， ∵，即， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即此时； ③如图，当时， ∴， 即此时； 综上，在旋转的过程中，当或或时，三角板的边与三角板的一条边平行． 题型03 平行线动点分类讨论及求值问题 解题思路 ①明确运动时间、方向及路径；②算出关键的时间节点；③分时间段讨论，用方程思想求t（根据等量关系列方程，解方程） 【例3】如图，已知直线，直线和直线、分别交于点和点，为直线上一点，、分别是直线、上的定点．设，，． (1)若点在线段（、两点除外）上）运动时，问、、之间的关系是什么？说明理由． (2)在的前提下，若点在线段之外时，、、之间的关系又怎样？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键． （1）过点P作，根据可知，故可得出，，再由即可得出结论； （2）由于点P的位置不确定，故应分当点P在线段的延长线上与点P在线段的延长线上两种情况进行讨论． 【详解】（1）解：．理由如下： 如图，过点作， 因为， 所以， 所以，． 又因为， 所以； （2）解：①当点在线段的延长线上时，．理由如下： 如图所示，当点在线段的延长线上时，过点作， 所以． 因为，所以， 所以， 所以； ②当点在线段的延长线上时，．理由如下： 如图所示，当点在线段的延长线上时，过点作， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． 【变式3-1】“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：_______； (2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线第一次到达之前，灯A转动几秒，两灯的光束互相平行？ 【答案】(1) (2)30或110秒 【分析】本题主要考查了平行线的性质与角的和差关系的运用、一元一次方程的几何应用， （1）根据两角之和为以及两角之比为即可求解； （2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分为两种情况得到关于t的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵且， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）设灯A转t秒时，两灯的光束互相平行， 或， 所以或． 答：灯A转动30或110秒，两灯的光束互相平行． 【变式3-2】【发现】如图1，直线被直线所截，平分，平分．若，，试判断与平行吗？并说明理由； 【探究】如图2，若直线，点在直线之间，点分别在直线上，，P是上一点，且平分．若，则的度数为________； 【延伸】若直线，点分别在直线上，点在直线之间，且在直线的左侧，是折线上的一个动点，保持不变，移动点，使平分或平分．设，，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】[发现]平行，理由见解析；[探究] ；[延伸]或 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，通常需要根据题意作出相关的辅助线，运用数形结合的思想方法，从图形中寻找角之间的位置关系根据平行线的性质从而判断角之间的大小关系，同时注意运用分类讨论的思想方法． [发现]根据角平分线的定义分别求出，，可得，即可判定平行； [探究] 过M作，根据平行公理可得，利用两直线平行，内错角相等推出，再根据求出，最后根据角平分线的定义求出； [延伸]分平分，平分，两种情况，结合[探究]中的结论，结合角平分线的定义可得结果． 【详解】解：[发现]平行，理由如下： ∵，平分， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴； [探究]如图，过M作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； [延伸]如图，若平分， ∴， 同上可得：， ∴， ∴，即； 若平分， ∴， 同上可得：， ∴； 综上：与之间的数量关系为或． 【变式3-3】【探究】（1）如图1，，点E在直线与之间，连接，，试说明：．请完成下面的解题过程． 解：过点E作， （               ）． ，， （               ）， ， ， ； 【应用】（2）如图2，，点F在，之间，与交于点M，与交于点N．若，，求的度数； 【拓展】（3）如图3，直线在直线，之间，且，点G，H分别在，上，Q是直线上的一个动点，且不在直线上，连接，．若，直接写出的度数．    【答案】（1），两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行，；（2）；（3）或 【分析】本题考查了平行线的判定及性质； （1）由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，则，即可得证； （2）利用（1）中的结论可知，，则可得的度数为，由对顶角相等可得，即可求解； （3）结合（1）中的结论可得，分类讨论：是钝角或是锐角时两种情况，分别根据平行线的性质求解即可． 掌握平行线的判定及性质，并能利用平行线的判定及性质进行熟练求解是解题的关键． 【详解】解：（1）过点E作， （两直线平行，内错角相等）． ，， （平行于同一条直线的两条直线平行）， ， ， ； （2）由（1）中探究可知，， ，且， ， ； 故答案为：，两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行，； （3）如图，当为钝角时，    由（1）中结论可知， ， ； 当为锐角时，如图，    由（1）中结论可知， ， 即， 综上，的度数为或． 【变式3-4】综合与探究，问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动． (1)如图1，，点A，B分别为直线上的一点，点P为平行线间一点且，求度数； 问题迁移 (2)如图2，射线与射线交于点O，直线，直线m分别交于点A，D，直线n分别交于点B，C，点P在射线上运动． ①当点P在A，B（不与A，B重合）两点之间运动时，设．则之间有何数量关系？请说明理由； ②若点P不在线段上运动时（点P与点A，B，O三点都不重合），请你直接写出间的数量关系． 【答案】(1) (2)①理由见解析；② 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，正确的作出辅助线、灵活运用平行线的性质成为解题的关键． （1）如图：过P作，则，根据平行线的性质得出，再将已知条件代入即可解答； （2）①同（1）求解即可；②如图：当P在延长线时，过P作交于E，结合图形可得；同理：可求当P在之间时． 【详解】（1）解：如图：过P作， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴； （2）解∶①理由如下： 如图：过P作交于E， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图：当P在延长线时， 此时； 如图：当P在之间时， 此时． 题型04 平行线存在性问题 【例4】三角板是学习数学的重要工具，将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起，当，且点在直线的上方时，解决下列问题：（友情提示，，）． (1)①若，则的度数为 ； ②若，则的度数为 ； (2)由（1）猜想与的数量关系，请说明理由； (3)这两块三角板是否存在一组边互相平行的情况?若存在，请直接写出的度数的所有可能的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)，理由见解析 (3)存在，或 【分析】（1）①根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数；②根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数； （2）根据以及，进行计算即可得出结论； （3）根据且点在直线的上方，分两种情况进行讨论． 【详解】（1）①∵，， ∴， ∴． ②∵，， ∴， ∴． 故答案为：①；②． （2），理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）存在一组边互相平行， 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：存在，或． 【点睛】本题主要考查了三角板的角度的计算和平行线的性质与判定，角的和差与分情况讨论是解本题的关键． 【变式4-1】线段与线段互相平行，点是平面内的一点，且点不在直线上． (1)连接，如图1，，求的度数．小紫的思路是： 如图2，过点作，通过平行线性质可求的度数．请你按小紫的思路，写出度数的求解过程； (2)若点在线段上，如图3，射线分别是和的平分线． ①依题意补全图3； ②判断与的位置关系，并证明； (3)连接，射线分别是和的平分线．是否存在点，使若存在，直接写出点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，证明见解析 (3)当P点在直线上，位于与两平行线之外时，，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂线的定义： （1）过点作，则，根据两直线平行，同旁内角互补分别求出的度数即可得到答案； （2）①根据题意作图即可；②由平行线的性质得，由角平分线定义得，，进而得，最后根据平行线的判定定理得出结论便可； （3）当点在直线上，位于与两平行线之外时，．根据平行线的性质得出，结合角平分线的定义得出，即得． 【详解】（1）解：如图2，过点作， ∵，， ∴， ∴,， ∴； （2）解：①如图所示，即为所求； ②，证明如下： ∵， ∴， ∵射线分别是和的平分线， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，当P点在直线上，位于与两平行线之外时，，理由如下： ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【变式4-2】如图1，把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上． (1)填空： ， ； (2)如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转，当，且点C恰好落在边上时，若恰好是的倍，求n的值； (3)如图1三角板的放置，现将射线绕点B以每秒的转速逆时针旋转得到射线，同时射线绕点Q以每秒的转速顺时针旋转得到射线，当射线旋转至第一次与重合时，则射线均停止转动，设旋转时间为．在旋转过程中，是否存在；若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)120，90 (2)36 (3)存在，t的值为12或48 【分析】本题考查平行线的性质及应用，解题的关键是掌握平行线的性质定理并能熟练应用． （1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答； （2）根据恰好是的倍列方程，计算可求解； （3）分两种情况，根据画出图形，列方程可解得答案． 【详解】（1）解：由题意，得：，， ∵， ∴，， ∴； 故答案为：120，90； （2）解：∵恰好是的倍， ∴， 解得， ∴n的值是36； （3）解：存在，理由如下： 如图：由题意，得：，， ∵， ∴， ∴， 解得； 如图： ∵， ∴， ∴， 解得， 综上所述，t的值为12或48． 题型05 平行线关系探究问题 【例5】若，，，分别为，的平分线．试猜想和间的数量关系，并说明理由； 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查角平分线的定义，平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键； 过点作，过点作，设，，进而证明，根据题意证明，进而得到，从而求解； 【详解】解：， 理由如下：如图所示，过点作，过点作， 设，， ， ， ，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 为的平分线，为的平分线， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【变式5-1】如图，，C为两直线之间的一点． (1)观察猜想：如图1，猜想，与之间的关系，并说明理由．      图1 (2)类比探究：已知与的平分线相交于点D． ①在图2中，若，求的度数；      图2    ②在图3中，与有何数量关系？请说明理由．       图3 【答案】(1)．见解析 (2)①；②，见解析 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会利用基本结论解决问题，属于中考常考题型． （1）利用基本结论解决问题即可． （2）利用基本结论以及角平分线的定义即可解决问题． （3）利用基本结论以及角平分线的定义邻补角的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：． 理由：如图，过点C作. ， . ，． ． （2）解：①与（1）同理可得，． 与的平分线相交于点D， ∴，. ∴. ， ； ②. 理由：与（1）同理可得，． 与的平分线相交于点D， ∴，. ∴ . 【变式5-2】（新素材）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．光线在同种介质中传播，发生反射时，入射角等于反射角． (1)如图①，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成．若，，求的度数； (2)如图②，水面与水杯下沿平行，水杯上盖上一块镜子，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，接触镜子发生反射，光线变成，遇水杯边沿反射，光线变成，猜想和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题的关键： （1）根据平行线的性质，求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）如图，过点作镜面，，与相交于点，根据反射定律，角的和差关系，推出，即可得证． 【详解】（1）解：， ． ， ． ， ． （2）．理由如下： 如图，过点作镜面，，与相交于点． 由题意，得，． ， ， ， ， ． 【变式5-3】已知直线，点E，G为直线上不重合的两个点，，分别交直线于点F，H，平分交于点P． (1)如图1，试说明：； (2)如图1，若，求的大小． (3)如图2，点M为线段延长线上一点，连结．若，试探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)；理由见解析 【分析】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义、角的和差，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质和等量代换很容易得解； （2）由，设参数，再根据平行线的性质得到，从而建立方程求解即可； （3）设，则，，再利用平行线的性质和角平分线得到，进而即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：， ， 平分， ， ∴， ∵， ∴， 由（1）知； ∴， ∵， 可设，则， 则， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：；理由如下： 设，则， ∵， ∴，， ∴， ∴， ， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平行线折叠及动点问题（5种类型24道题） 考点导航 考点清单 题型01 平行线与角的折叠问题 模型基本图形 折叠前后特征 1、折叠前后的对应角相等 ∠BFE=∠B'FE、∠AEF=∠A'EF 2、平行线折叠后仍然平行 BF//AE、B'F//A'E 3、折叠必有角平分线 折痕可看作角平分线 折叠问题解题步骤： ①还原：图形不完整时，先还原图形。 ②标角：折痕处的角，标记出相等的角，如上图相同符号标记的角。 ③列方程：利用交的和差关系列等量关系 【例1】如图，已知长方形纸片，点E，F分别在边和上，且，H和G 分别是边和上的动点，现将点 A，B 沿向下折叠至点N，M 处，将点 C，D沿向上折叠至点P，K 处，若，则的度数为 （　　） A．或 B．或 C．或 D．7或 【答案】D 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质与判定，分两种情况讨论：当在上方时，延长、交于点，先求出，再证明，得到，最后利用对顶角相等，即可求出的度数；当在下方时，延长，交于点，根据平行线的判定和性质，证明，得到，进而得到，即可求出的度数． 【详解】解：当在上方时，延长、交于点， 由折叠可知，，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当在下方时，延长，交于点， 由折叠可知，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； 综上所述：或， 故选：D． 【变式1-1】如图，将长方形纸片沿直线折叠，使得点落在边上的点处，点落在点处，交于点，且直线与交于点，与交于点，是直线上一点，连接，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据折叠得到，证明，则，由三角形的内角和得到，继而，再根据平行线的性质求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵长方形纸片沿直线折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1-2】将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质、角的和差，解答本题的关键掌握平行线的性质． 方法一：根据平行线的性质，可以得到，再根据折叠的性质，即可得到，最后根据平角的性质即可得解； 方法二：根据折叠可得，求出，再根据平行线的性质即可得解． 【详解】解：方法一：∵四边形是长方形纸片， ，， ， 由题意知， ， ； 方法二：由题意知， ，， ， ， ， ． 故选：D． 【变式1-3】如图所示，将长方形纸片沿折叠，使点C、D分别落在点、的位置，交于点G，再沿边将折叠到处．若，则 ． 【答案】/18度 【分析】此题考查了折叠的性质，平角的性质求解，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．根据折叠的性质可得，，从而得，进而即可求解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴ ∴， 根据折叠的性质可得，， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 延长到， ∵， ∴ ∴ 由折叠的性质得 ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ 故答案为：。 【变式1-4】如图，点分别在长方形纸片的边上，连接，将对折，使点落在直线上的点处，得折痕；折叠，使点落在边上的点处，得折痕．若，平分，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠问题，角平分线的定义，以及解一元一次方程．先分别求出，，然后代入计算即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴． 由折叠的性质得，，， ∴，． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1-5】数学活动课上，老师带领学生们进行了折纸的系列综合实践活动： 〖活动素材〗如图，长方形纸片． 〖活动1〗如图1，将长方形纸片 进行折叠，第1次折叠，折叠后与交于点G，在探究过程中，同学们通过测量发现与的度数总是相等的； 〖活动2〗如图2，在活动1的基础上，将长方形纸片进一步折叠，第 2次沿折叠，且，同学们通过研究发现与之间也存在一定的数量关系； 〖活动3〗如图3，在活动2的基础上，作的平分线，并反向延长与的平分线交于点Q，与之间是否也存在确定的数量关系呢? 〖任务1〗求证：； 〖任务2〗若，求的度数； 〖任务3〗请画出点 Q，并直接写出与之间的数量关系． 【答案】〖任务1〗  〖任务2〗  〖任务3〗 【分析】本题考查平行线的判定和性质，折叠的性质，角平分线的定义，作辅助线构造平行线是解题的关键． （1）根据折叠的性质和平行线的性质解题即可； （2）根据平行线的性质得到，然后根据角的和差得到，然后根据解题即可； （3）根据任务的结论计算，然后过点作，则，然后根据平行线的性质得到，，然后根据即可得到结论． 【详解】解：〖任务1〗如图1，则， 又∵ ∴， ∴； 〖任务2〗解：由折叠可得， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； 〖任务3〗由折叠可得， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； ∵平分，平分， ∴，， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【变式1-6】如图1，在一张正方形纸片（正方形的两组对边分别平行）的两边上分别有A，B两点，连接，点P是正方形纸片上一点，过点P翻折纸片，使点B落在直线上的点处，折痕交于点Q．    (1)①判断折痕与的位置关系，并说明理由； ②通过不断地尝试，除了上面的折法，过点P再也折不出其它折痕与有①中的位置关系，其中的数学道理是_______； (2)在图1的基础上，展平纸片，得到图2，在图2中过点P折出并画出与平行的折痕（折痕左端点记为点D，右端点记为点E），请简要阐述折叠方法并说明理由； (3)将图2的纸片展平得到图3，点S是线段上一动点（不与点E重合），若，，，请直接写出的度数．（用、β的代数式表示） 【答案】(1)①，理由见解析；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (2)折叠方法：过点P翻折纸片，使点M落在直线上，折痕为，理由见解析 (3)或 【分析】（1）①根据折叠的性质得出，根据，求出，即可得出结论； ②根据在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进行解答即可； （2）过点P翻折纸片，使点M落在直线上，折痕为，根据平行线的判定进行证明即可； （3）分两种情况进行讨论：当点S在线段上时，当点S在线段上时，分别画出图形，进行求解即可． 【详解】（1）解：①；理由如下： 根据折叠可知：， ∵， ∴， ∴； ②除了上面的折法，过点P再也折不出其它折痕与有①中的位置关系，其中的数学道理是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （2）解：折叠方法：过点P翻折纸片，使点M落在直线上，折痕为；如图所示：    理由：根据解析（1）可得：， ∵， ∴， ∴； （3）解：当点S在线段上时，如图所示：      ∵正方形纸片中， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∴ ； 当点S在线段上时，如图所示：    ∵正方形纸片中， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ； 综上分析可得：或． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质和判定，三角形内角和定理应用，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质，注意分类讨论． 题型02 平行线定值问题 【例2】如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和交射线于点E，F． (1)求的度数，若，请直接用含的式子表示； (2)随着点的运动，设，，与之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由； (3)当时，请直接写出的度数． 【答案】(1)， (2)不改变，恒为，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义的运用等知识点，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得出，再根据分别平分和，即可得出的度数；同理：当，用含的式子表示即可； （2）根据平行线的性质得出，再根据平分，即可得到进而得出，进而完成解答； （3）根据，得出，进而得，根据，进而求得的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴ ∴； 若， ∵，． ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴， ∴； （2）解：不变．恒为，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，， 当时，则有， ∴， ∴， ∴． 【变式2-1】某地汛期来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯A射线自顺时针旋转至便立即回转，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是/秒，灯B转动的速度是/秒，且a，b满足．假定这一带江堤是平行的，即，且． (1)求a，b的值． (2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，灯A转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达之前，若两灯射出的光束相交于点C，过点C作，交于点 D，则在转动过程中，的值是否发生变化？ 若不变，请求出该值；若改变，请求出其取值范围． 【答案】(1)， (2)15秒或秒 (3)不变， 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角的和差、非负数的性质等知识点，掌握两个非负数的和为0，则这两个非负数均为0成为解题的关键． （1）根据非负数之和为0，则两个非负数均为0，据此求解即可； （2）设灯A转动t秒，两灯的光束互相平行，分三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，分别列出方程即可求解即可； （3）设灯A转动t秒，用含t的式子表示出和，然后求出其比值即可解得． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴． （2）解：设灯A转动t秒，两灯的光束互相平行， ①当时，解得：； ②当时，解得：； ③当时，解得：，则舍去. 综上所述，灯A转动15秒或82.5秒时， 两灯的光束互相平． （3）解：不变， 设灯A转动t秒， ∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴． 【变式2-2】如图1，直线，，点在边上，且满足，并且平分． (1)求的度数． (2)如图1，若，求出的度数． (3)如图2，若平移，在平移过程中，是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值， 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，平移的性质，角平分线的性质等知识点， （1）由平行线的性质和可得，由角平分线的性质可得，然后利用角度进行计算即可得解； （2）设，用含x的代数式表示出，再由得出含x的方程，解方程即可得解； （3）设，用含x的代数式表示出和，然后求其和即可得解； 熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：是定值，理由如下， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2-3】如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上运动，点C在第一象限内，过点C作轴于点B，点D在线段上运动，连接，过点D作交x轴于点E，作和的平分线交点F． (1)当时，直接写出的度数； (2)当时，判断与的位置关系，并证明； (3)当点D在线段上运动时，问的大小是否为定值？若是定值，求其值，并说明理由；若变化，求其变化范围． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3)是定值，为，理由见详解 【分析】本题主要考查等角的余角相等，平行线的性质、角平分线的性质以及角度之间的和差关系， （1）根据等角的余角相等，直角三角形的两个锐角互余，求出度数即可； （2）有题意得和，结合平行线的性质，有，即可判定二者之间的关系； （3）根据角平分线的性质得，进一步得，过点F作，则，根据平行线的性质得，则 即可知为定值． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵ 则； （2）证明：，理由如下， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 则； （3）解：点D在线段上运动时，是定值，理由如下， ∵和平分和， ∴， ∵， ∴， 过点F作，如图， ∵， ∴， ∴， 则 ． 故当点D在线段上运动时，是定值，为． 【变式2-4】玩转三角板．在一副三角板与中，，．将这副三角板按图1的方式放置在两条平行线之间（点落在直线上，边与直线重合，点在同一条直线上，固定三角板）． (1)如图1，的度数为___________； (2)如图2，将三角板绕点逆时针方向旋转，边与三角板的边相交于点，试问：的值是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由； (3)在图1的基础上，将三角板绕点逆时针方向旋转，至边与直线首次重合时停止运动．设的度数为，试探究：在旋转的过程中，当为何值时，三角板的边与三角板的一条边平行？求出符合条件的的值． 【答案】(1) (2)为定值，这个定值为 (3)30或或 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论等知识，熟练掌握平行线的性质，并正确分情况讨论是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，再根据角的和差求解即可得； （2）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据即可得； （3）分三种情况：①，②和③，利用平行线的性质求解即可得． 【详解】（1）解：∵，，点在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：为定值，求解如下： 如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：①如图，当时， ∴， ∵， ∴， ∴点在同一条直线上， ∴， 即此时； ②如图，当时， ∵，即， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即此时； ③如图，当时， ∴， 即此时； 综上，在旋转的过程中，当或或时，三角板的边与三角板的一条边平行． 题型03 平行线动点分类讨论及求值问题 解题思路 ①明确运动时间、方向及路径；②算出关键的时间节点；③分时间段讨论，用方程思想求t（根据等量关系列方程，解方程） 【例3】如图，已知直线，直线和直线、分别交于点和点，为直线上一点，、分别是直线、上的定点．设，，． (1)若点在线段（、两点除外）上）运动时，问、、之间的关系是什么？说明理由． (2)在的前提下，若点在线段之外时，、、之间的关系又怎样？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键． （1）过点P作，根据可知，故可得出，，再由即可得出结论； （2）由于点P的位置不确定，故应分当点P在线段的延长线上与点P在线段的延长线上两种情况进行讨论． 【详解】（1）解：．理由如下： 如图，过点作， 因为， 所以， 所以，． 又因为， 所以； （2）解：①当点在线段的延长线上时，．理由如下： 如图所示，当点在线段的延长线上时，过点作， 所以． 因为，所以， 所以， 所以； ②当点在线段的延长线上时，．理由如下： 如图所示，当点在线段的延长线上时，过点作， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． 【变式3-1】“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：_______； (2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线第一次到达之前，灯A转动几秒，两灯的光束互相平行？ 【答案】(1) (2)30或110秒 【分析】本题主要考查了平行线的性质与角的和差关系的运用、一元一次方程的几何应用， （1）根据两角之和为以及两角之比为即可求解； （2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分为两种情况得到关于t的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵且， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）设灯A转t秒时，两灯的光束互相平行， 或， 所以或． 答：灯A转动30或110秒，两灯的光束互相平行． 【变式3-2】【发现】如图1，直线被直线所截，平分，平分．若，，试判断与平行吗？并说明理由； 【探究】如图2，若直线，点在直线之间，点分别在直线上，，P是上一点，且平分．若，则的度数为________； 【延伸】若直线，点分别在直线上，点在直线之间，且在直线的左侧，是折线上的一个动点，保持不变，移动点，使平分或平分．设，，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】[发现]平行，理由见解析；[探究] ；[延伸]或 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，通常需要根据题意作出相关的辅助线，运用数形结合的思想方法，从图形中寻找角之间的位置关系根据平行线的性质从而判断角之间的大小关系，同时注意运用分类讨论的思想方法． [发现]根据角平分线的定义分别求出，，可得，即可判定平行； [探究] 过M作，根据平行公理可得，利用两直线平行，内错角相等推出，再根据求出，最后根据角平分线的定义求出； [延伸]分平分，平分，两种情况，结合[探究]中的结论，结合角平分线的定义可得结果． 【详解】解：[发现]平行，理由如下： ∵，平分， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴； [探究]如图，过M作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； [延伸]如图，若平分， ∴， 同上可得：， ∴， ∴，即； 若平分， ∴， 同上可得：， ∴； 综上：与之间的数量关系为或． 【变式3-3】【探究】（1）如图1，，点E在直线与之间，连接，，试说明：．请完成下面的解题过程． 解：过点E作， （               ）． ，， （               ）， ， ， ； 【应用】（2）如图2，，点F在，之间，与交于点M，与交于点N．若，，求的度数； 【拓展】（3）如图3，直线在直线，之间，且，点G，H分别在，上，Q是直线上的一个动点，且不在直线上，连接，．若，直接写出的度数．    【答案】（1），两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行，；（2）；（3）或 【分析】本题考查了平行线的判定及性质； （1）由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，则，即可得证； （2）利用（1）中的结论可知，，则可得的度数为，由对顶角相等可得，即可求解； （3）结合（1）中的结论可得，分类讨论：是钝角或是锐角时两种情况，分别根据平行线的性质求解即可． 掌握平行线的判定及性质，并能利用平行线的判定及性质进行熟练求解是解题的关键． 【详解】解：（1）过点E作， （两直线平行，内错角相等）． ，， （平行于同一条直线的两条直线平行）， ， ， ； （2）由（1）中探究可知，， ，且， ， ； 故答案为：，两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行，； （3）如图，当为钝角时，    由（1）中结论可知， ， ； 当为锐角时，如图，    由（1）中结论可知， ， 即， 综上，的度数为或． 【变式3-4】综合与探究，问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动． (1)如图1，，点A，B分别为直线上的一点，点P为平行线间一点且，求度数； 问题迁移 (2)如图2，射线与射线交于点O，直线，直线m分别交于点A，D，直线n分别交于点B，C，点P在射线上运动． ①当点P在A，B（不与A，B重合）两点之间运动时，设．则之间有何数量关系？请说明理由； ②若点P不在线段上运动时（点P与点A，B，O三点都不重合），请你直接写出间的数量关系． 【答案】(1) (2)①理由见解析；② 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，正确的作出辅助线、灵活运用平行线的性质成为解题的关键． （1）如图：过P作，则，根据平行线的性质得出，再将已知条件代入即可解答； （2）①同（1）求解即可；②如图：当P在延长线时，过P作交于E，结合图形可得；同理：可求当P在之间时． 【详解】（1）解：如图：过P作， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴； （2）解∶①理由如下： 如图：过P作交于E， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图：当P在延长线时， 此时； 如图：当P在之间时， 此时． 题型04 平行线存在性问题 【例4】三角板是学习数学的重要工具，将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起，当，且点在直线的上方时，解决下列问题：（友情提示，，）． (1)①若，则的度数为 ； ②若，则的度数为 ； (2)由（1）猜想与的数量关系，请说明理由； (3)这两块三角板是否存在一组边互相平行的情况?若存在，请直接写出的度数的所有可能的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)，理由见解析 (3)存在，或 【分析】（1）①根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数；②根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数； （2）根据以及，进行计算即可得出结论； （3）根据且点在直线的上方，分两种情况进行讨论． 【详解】（1）①∵，， ∴， ∴． ②∵，， ∴， ∴． 故答案为：①；②． （2），理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）存在一组边互相平行， 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：存在，或． 【点睛】本题主要考查了三角板的角度的计算和平行线的性质与判定，角的和差与分情况讨论是解本题的关键． 【变式4-1】线段与线段互相平行，点是平面内的一点，且点不在直线上． (1)连接，如图1，，求的度数．小紫的思路是： 如图2，过点作，通过平行线性质可求的度数．请你按小紫的思路，写出度数的求解过程； (2)若点在线段上，如图3，射线分别是和的平分线． ①依题意补全图3； ②判断与的位置关系，并证明； (3)连接，射线分别是和的平分线．是否存在点，使若存在，直接写出点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，证明见解析 (3)当P点在直线上，位于与两平行线之外时，，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂线的定义： （1）过点作，则，根据两直线平行，同旁内角互补分别求出的度数即可得到答案； （2）①根据题意作图即可；②由平行线的性质得，由角平分线定义得，，进而得，最后根据平行线的判定定理得出结论便可； （3）当点在直线上，位于与两平行线之外时，．根据平行线的性质得出，结合角平分线的定义得出，即得． 【详解】（1）解：如图2，过点作， ∵，， ∴， ∴,， ∴； （2）解：①如图所示，即为所求； ②，证明如下： ∵， ∴， ∵射线分别是和的平分线， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，当P点在直线上，位于与两平行线之外时，，理由如下： ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【变式4-2】如图1，把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上． (1)填空： ， ； (2)如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转，当，且点C恰好落在边上时，若恰好是的倍，求n的值； (3)如图1三角板的放置，现将射线绕点B以每秒的转速逆时针旋转得到射线，同时射线绕点Q以每秒的转速顺时针旋转得到射线，当射线旋转至第一次与重合时，则射线均停止转动，设旋转时间为．在旋转过程中，是否存在；若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)120，90 (2)36 (3)存在，t的值为12或48 【分析】本题考查平行线的性质及应用，解题的关键是掌握平行线的性质定理并能熟练应用． （1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答； （2）根据恰好是的倍列方程，计算可求解； （3）分两种情况，根据画出图形，列方程可解得答案． 【详解】（1）解：由题意，得：，， ∵， ∴，， ∴； 故答案为：120，90； （2）解：∵恰好是的倍， ∴， 解得， ∴n的值是36； （3）解：存在，理由如下： 如图：由题意，得：，， ∵， ∴， ∴， 解得； 如图： ∵， ∴， ∴， 解得， 综上所述，t的值为12或48． 题型05 平行线关系探究问题 【例5】若，，，分别为，的平分线．试猜想和间的数量关系，并说明理由； 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查角平分线的定义，平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键； 过点作，过点作，设，，进而证明，根据题意证明，进而得到，从而求解； 【详解】解：， 理由如下：如图所示，过点作，过点作， 设，， ， ， ，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 为的平分线，为的平分线， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【变式5-1】如图，，C为两直线之间的一点． (1)观察猜想：如图1，猜想，与之间的关系，并说明理由．      图1 (2)类比探究：已知与的平分线相交于点D． ①在图2中，若，求的度数；      图2    ②在图3中，与有何数量关系？请说明理由．       图3 【答案】(1)．见解析 (2)①；②，见解析 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会利用基本结论解决问题，属于中考常考题型． （1）利用基本结论解决问题即可． （2）利用基本结论以及角平分线的定义即可解决问题． （3）利用基本结论以及角平分线的定义邻补角的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：． 理由：如图，过点C作. ， . ，． ． （2）解：①与（1）同理可得，． 与的平分线相交于点D， ∴，. ∴. ， ； ②. 理由：与（1）同理可得，． 与的平分线相交于点D， ∴，. ∴ . 【变式5-2】（新素材）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．光线在同种介质中传播，发生反射时，入射角等于反射角． (1)如图①，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成．若，，求的度数； (2)如图②，水面与水杯下沿平行，水杯上盖上一块镜子，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，接触镜子发生反射，光线变成，遇水杯边沿反射，光线变成，猜想和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题的关键： （1）根据平行线的性质，求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）如图，过点作镜面，，与相交于点，根据反射定律，角的和差关系，推出，即可得证． 【详解】（1）解：， ． ， ． ， ． （2）．理由如下： 如图，过点作镜面，，与相交于点． 由题意，得，． ， ， ， ， ． 【变式5-3】已知直线，点E，G为直线上不重合的两个点，，分别交直线于点F，H，平分交于点P． (1)如图1，试说明：； (2)如图1，若，求的大小． (3)如图2，点M为线段延长线上一点，连结．若，试探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)；理由见解析 【分析】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义、角的和差，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质和等量代换很容易得解； （2）由，设参数，再根据平行线的性质得到，从而建立方程求解即可； （3）设，则，，再利用平行线的性质和角平分线得到，进而即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：， ， 平分， ， ∴， ∵， ∴， 由（1）知； ∴， ∵， 可设，则， 则， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：；理由如下： 设，则， ∵， ∴，， ∴， ∴， ， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$