专题01 平行线四大拐点模型（4种类型21道题）-【名校压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题精讲精练（浙教版2024）

专题01 平行线四大拐点模型（4种类型21道题） 考点导航 考点清单 模型01 “铅笔头”模型 模型基本图形 添加辅助线方法 条件：AB∥CD，求∠ABE、∠BED、∠CDE的数量关系。 辅助线：过点E作EF∥AB。 结论：∠ABE+∠BED+∠CDE=360° 证明：过点E作EF∥AB， ∴EF∥AB∥CD ∵EF∥AB， ∴ABE+∠BEF=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵EF∥CD ∴∠FED+∠EDC=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∴∠ABE+∠BED+∠CDE=360° “铅笔头”模型拓展 已知AB∥CD，如图，当存在n个E点时，求∠B+∠D+∠E1+∠E2+...+∠En ∠B+∠E+∠D=360° ∠B+∠E1+∠E2 +∠D=540° ∠B+∠E1+∠E2+∠E3 +∠D=720° ∠B+∠D+∠E1+∠E2+...+ ∠En=（n+1）180° 两条平行线的一端有两条凸出的线段并交于一点，可以过这一点作两条平行线的平行线，利用平行线的性质可得角度之间的数量关系。 【例1】（1）如图①，已知，你能得出，，之间的数量关系吗？请说明理由； （2）如图②，已知，根据（1）中的猜想，直接写出的度数． 【变式1-1】（1）如图1，，求的度数． 解：过点E作． （已作）， （   ）． 又（已知）， ______________（平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质）， 即_______； （2）根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中，，则_______； （3）根据（1）和（2）的规律，图3中，猜想：_______； （4）如图4，，在B，D两点的同一侧有共n个折点，则的度数为_______（用含n的代数式表示）． 【变式1-2】如图1，已知，求证：；小明想到了以下方法，请帮助他完成证明过程： 证明： (1)如图1，过点作，则___________．（        ） ， __________（            ） ____________（        ） 又， ． (2)如图2，，请写出的和并说明理由； (3)如图3，，请直接写出图3中的和． 【变式1-3】【问题提出】如图①，和的边与互相平行，边与交于点．若，求的度数． 【问题解决】 （1）请你完成下面的求解过程． 解：如图②，过点作． （_____）． ， ． ， （_____）． ． ， ． ． 【迁移应用】 （2）如图③，、分别是边、上的点，在直线的右侧作的平行线分别交边、于点、．是线段上一点，连结、．若，求的度数． 【变式1-4】（1）如图①，，则______； 如图②，，则______； 如图③，，则______． 利用图②，说明你所填写的结论的正确性； （2）如图④，，则______； （3）利用上述结论解决问题：如图⑤，已知，和的平分线相交于点，用含的代数式表示的度数． 【变式1-5】【探究发现】 如图1，，点A在，之间，连接，．求证：． 【学以致用】 哈尔滨某商场地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图2所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆升起到如图3所示的位置，其示意图如图4所示（，，栏杆宽度忽略不计），已知，填空：________度． 【拓展应用】 如图5，已知，点E在上，点A在，之间，交于点D，过点A作于点B，平分，平分，若，，求的度数． 模型02 “猪蹄”模型 模型基本图形 添加辅助线方法 条件：AB∥CD，求∠ABE、∠BED、∠CDE的数量关系。 辅助线：过点E作EF∥AB。 结论：∠ABE+∠CDE=∠BED 证明：过点E作EF∥AB， ∴EF∥AB∥CD ∵EF∥AB， ∴ABE=∠BEF（两直线平行，内错角相等） ∵EF∥CD ∴∠FED=∠EDC（两直线平行，内错角相等） ∴∠ABE+∠CDE=∠BED “猪蹄”模型拓展（锯齿模型） 已知AB∥CD，如图，当存在n个E点，n个F点时，求∠E1+∠E2+...+∠En=∠B+∠D+∠F1+∠F2...+∠F n ∠B+∠D=∠E ∠B+∠D+∠F=∠E1+∠E2 ∠B+∠F1+∠F2+∠D =∠E1+∠E2+∠E3 ∠B+∠D+∠F1+∠F2...+∠F n =∠E1+∠E2+...+∠En 两条平行线的一端有锯齿状的线段，并且相邻两条线段交于一点，可以过这一点作两条平行线的平行线，利用平行线的性质可得角度之间的数量关系。 【例2】推理能力 【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图①所示的几何图形很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象地称为“猪蹄模型”．“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． 【结论】（1）如图1，，M是、之间的一点，连接，．试说明：； 【运用】（2）如图2，，M，N是、之间的两点，且．请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，求出、、三者之间的数量关系，并说明理由． 【变式2-1】（1）如图①，，试问与的关系是什么？并说明理由； （2）如图②，，试问与的关系是什么？请直接写出结论； （3）如图③，，试问与的关系是什么？请直接写出结论． 【变式2-2】【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，，M是之间的一点，连接，若，求的度数； 【灵活运用】 （2）如图②，是之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，均是之间的点，如果，直接写出的度数． 【变式2-3】已知直线，为平面内一点，点分别在直线上，连接． (1)如图1，若点在直线之间，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若点在直线之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，求的度数． 【变式2-4】如图1，，在、内有一条折线． (1)求证：； (2)在图2中，画的平分线与的平分线，两条角平分线交于点，请你补全图形，试探索与之间的关系，并证明你的结论； (3)在（2）的条件下，已知和均为钝角，点在直线、之间，且满足，，（其中为常数且），直接写出与的数量关系． 【变式2-5】已知，如图，点在、两线之间，且在所在直线的左侧． (1)如图1，当，时， ①若平分，平分，则________； ②若，，则________； ③若，，则________． (2)如图2，当与相交，点、点重合时，猜想、、与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，直接运用（2）的结论探究下列问题： ①若平分，平分，当，时，求的度数； ②若，，当，时，求的度数． 模型03 “靴子”模型与“骨折”模型 靴子模型基本图形 骨折模型 条件：AB∥CD，求∠ABE、∠BED、∠CDE的数量关系。 辅助线：过点E作EF∥AB。 结论：∠BED=∠ABE-∠CDE 证明：过点E作EF∥AB ∴EF∥AB∥CD ∵EF∥AB ∴ABE=∠BEF（两直线平行，内错角相等） ∵EF∥CD ∴∠FED=∠CDE（两直线平行，内错角相等） ∵∠BED=∠BEF -∠FED ∴∠BED=∠ABE-∠CDE 条件：AB∥CD，求∠ABE、∠BED、∠CDE的数量关系。 辅助线：过点E作EF∥AB。 结论：∠BED=∠CDE -∠ABE 证明：过点E作EF∥AB ∴EF∥AB∥CD ∵EF∥AB ∴ABE=∠BEF（两直线平行，内错角相等） ∵EF∥CD ∴∠FED=∠CDE（两直线平行，内错角相等） ∵∠BED=∠FED-∠BEF ∴∠BED=∠CDE -∠ABE 【例3】直线，P 为直线上方一点，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，设，求的度数（用含α、β的式子表示）； (3)如图2，N为内部一点，，连接，若，求的值． 【变式3-1】小华在学习“平行线的性质”后，对图中，和的关系进行了探究： (1)如图1，，点在，CD之间，试探究，和之间有什么关系？并说明理由；小华添加了过点的辅助线，并且请帮助他写出解答过程； (2)如图2，若点在的上侧，试探究，和之间有什么关系？并说明理由； (3)如图3，若点在的下侧，试探究，和之间有什么关系？请直接写出它们的关系式． 【变式3-2】已知直线，直线和直线，交于点和，点是直线上一动点． (1)猜想论证：如图，当点在线段上运动时，，，之间存在什么数量关系？并说明理由． 请把下列过程补充完整： 猜想：． 证明：过点作． ， ______（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 又， ，______（______）． ， （______）． (2)类比探究： 如图，当点在线段的延长线上运动时，上述中的结论是否成立？若不成立，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 如图，当点在线段的延长线上运动时，请直接写出，，之间的数量关系，不必写理由． 【变式3-3】如图，，猜想与、的关系，并说明理由． (1)填空： 解：猜想．理由：过点作，如图所示，所以 (①___________)．因为，，所以 (如果两条直线都和第三条直线平行，那么②___________)，所以 (③___________)，所以④___________，即； (2)依照上面的解题方法，观察图，已知，猜想图中的与、的关系，并说明理由； (3)观察图和图，已知，猜想图中的与、的关系，不需要说明理由． 【变式3-4】数学活动课上，欣欣为了探究在平行线的条件下角之间的变化规律，进行了如下的探究实验．如图1，已知：直线，点M、N分别为上的点，点P为上一个动点， (1)初步探究：当点P在上方时，连接，她通过测量发现两个结论①；②；请你证明①中的结论； (2)大胆尝试：当点P在与之间时，她通过测量发现①；②请你猜想、、之间的关系式为______． (3)思维拓展：当点P运动到下方时，的平分线与的平分线的反向延长线相交于点Q，请你猜想与的关系，并证明你的结论． 【变式3-5】【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图①，已知，点E，F分别在直线上，点在直线之间，设，求证：． 证明：如图②，过点作， ， ，即． 可以运用以上结论解答下列问题：【类比应用】 （1）如图③，已知，求的度数． （2）如图④，已知，点在直线上，点在直线上方，连接，则之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图⑤，已知，点在直线上，点在直线上方，连接的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值． 【变式3-6】已知 (1)如图1，求证： (2)如图2，的平分线的反向延长线交的平分线于，若，，求的度数 (3)如图3，若平分，平分，的反向延长线和的反向延长线交于点，且，求的度数 【变式3-7】已知，点E在上，点F在上，点Q为射线上一点． (1)如图1，若，则______． (2)如图2，当点Q在线段的延长线上时，关于和的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． (3)如图3，平分，交于点H． ①若平分，求和的数量关系； ②若，直接写出的度数为______． 【变式3-8】已知，点E在上，点F在上，点G为射线上一点． (1)（基础问题）如图1，试说明：．（完成图中的填空部分） 证明：过点G作直线， 又， ，（ ） ∴ , （ ） ， ． (2)（类比探究）如图2，当点G在线段延长线上时，请写出、、三者之间的数量关系并说明理由． (3)（应用拓展）如图3，平分，交于点H，且，，，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平行线四大拐点模型 考点导航 考点清单 模型01 “铅笔头”模型 模型基本图形 添加辅助线方法 条件：AB∥CD，求∠ABE、∠BED、∠CDE的数量关系。 辅助线：过点E作EF∥AB。 结论：∠ABE+∠BED+∠CDE=360° 证明：过点E作EF∥AB， ∴EF∥AB∥CD ∵EF∥AB， ∴ABE+∠BEF=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵EF∥CD ∴∠FED+∠EDC=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∴∠ABE+∠BED+∠CDE=360° “铅笔头”模型拓展 已知AB∥CD，如图，当存在n个E点时，求∠B+∠D+∠E1+∠E2+...+∠En ∠B+∠E+∠D=360° ∠B+∠E1+∠E2 +∠D=540° ∠B+∠E1+∠E2+∠E3 +∠D=720° ∠B+∠D+∠E1+∠E2+...+ ∠En=（n+1）180° 两条平行线的一端有两条凸出的线段并交于一点，可以过这一点作两条平行线的平行线，利用平行线的性质可得角度之间的数量关系。 【例1】（1）如图①，已知，你能得出，，之间的数量关系吗？请说明理由； （2）如图②，已知，根据（1）中的猜想，直接写出的度数． 【答案】（1），理由见详解；（2） 【分析】本题考查了平行线的性质，利用两直线平行，同旁内角互补，添加辅助线之后，将分散的角集中起来，是解决问题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质即可求出得，，问题得解； （2）根据（1）中的结论，即可得到结果． 【详解】解：（1），理由如下： 过点作， ． 又， ， ， ， 即， （2）根据（1）中的结论， 可得出． 过点C作，过点D作， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， 即． 【变式1-1】（1）如图1，，求的度数． 解：过点E作． （已作）， （   ）． 又（已知）， ______________（平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质）， 即_______； （2）根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中，，则_______； （3）根据（1）和（2）的规律，图3中，猜想：_______； （4）如图4，，在B，D两点的同一侧有共n个折点，则的度数为_______（用含n的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理的推论，图形类规律探索，熟练掌握“两直线平行，同旁内角互补”和“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”是解题关键． （1）根据平行公理的推论可得，再根据根据平行线的性质可得、，即可求得； （2）过点C作，过点D作，根据平行公理的推论可得，再根据根据平行线的性质可得，，，即可求得； （3）由（1）和（2）总结规律即可求解； （4）根据所得规律可直接求解． 【详解】（1）解：过点E作． （已作）， （两直线平行，同旁内角互补）． 又（已知）， （平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质）， 即； （2）如图，过点C作，过点D作， ∴， ∴，，， ∴， ∴； （3）解：由（1）可知在A，C两点的同一侧有1个折点，其； 由（2）可知在B，E两点的同一侧有2个折点，其； 因为B，F两点的同一侧有3个折点， 所以； （4）由（3）可知． 【变式1-2】如图1，已知，求证：；小明想到了以下方法，请帮助他完成证明过程： 证明： (1)如图1，过点作，则___________．（        ） ， __________（            ） ____________（        ） 又， ． (2)如图2，，请写出的和并说明理由； (3)如图3，，请直接写出图3中的和． 【答案】(1)；两直线平行，内错角相等；；平行于同一直线的两条直线平行；；两直线平行，内错角相等 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，平行公理的应用，正确的添加辅助线是解题的关键． （1）如图1，过点作，则，证明，可得，再结合角的和差运算可得答案； （2）过点作，证明，可得，结合，从而可得答案； （3）过点分别作，可得，再利用角的和差关系可得结论． 【详解】（1）证明：如图1，过点作，则（两直线平行，内错角相等）， ， （平行于同一直线的两条直线平行）． （两直线平行，内错角相等）． 又， ； 故答案为：；两直线平行，内错角相等；；平行于同一直线的两条直线平行；；两直线平行，内错角相等； （2）解：， 理由如下： 过点作， ， （平行于同一直线的两直线互相平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， 又， ； （3）解：如图：过点分别作，而， ， ， ． 【变式1-3】【问题提出】如图①，和的边与互相平行，边与交于点．若，求的度数． 【问题解决】 （1）请你完成下面的求解过程． 解：如图②，过点作． （_____）． ， ． ， （_____）． ． ， ． ． 【迁移应用】 （2）如图③，、分别是边、上的点，在直线的右侧作的平行线分别交边、于点、．是线段上一点，连结、．若，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意直接利用平行线的性质进行填空即可； （2）过点作，进一步利用平行线的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：如图②，过点作． （两直线平行，同旁内角互补）． ， ． ， （平行于同一直线的两直线平行）． ． ， ． ． 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；平行于同一直线的两直线平行；；100； （2）如图，过点作， ， ， ， ， ． 【变式1-4】（1）如图①，，则______； 如图②，，则______； 如图③，，则______． 利用图②，说明你所填写的结论的正确性； （2）如图④，，则______； （3）利用上述结论解决问题：如图⑤，已知，和的平分线相交于点，用含的代数式表示的度数． 【答案】（1），，；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，解题时注意：平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；还要注意规律性问题的探究过程． （1）根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，可得结论．根据平行于同一条直线的两条直线平行，把此问题转化为上题形式，可得结论．在上题的基础上，多加一个，思路不变，可得结论． （2）通过观察图形，寻找规律：两个A点时，结论是，三个A点时，结论是，四个A点时，结论是，可以得出n个A点时的结论． （3）运用上述结论和角平分线定义可得结论． 【详解】解：（1）如图∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 如图②，过点作， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）． ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∴， 即； 如图③，分别过点作、， 同上题可得， 即， 故答案为：；；． （2）∵， ， ， ∴． 故答案为：． （3）根据上述结论得： ， ， 又∵和的平分线相交于F， ∴， 即， ∴， ∴， 即 【变式1-5】【探究发现】 如图1，，点A在，之间，连接，．求证：． 【学以致用】 哈尔滨某商场地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图2所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆升起到如图3所示的位置，其示意图如图4所示（，，栏杆宽度忽略不计），已知，填空：________度． 【拓展应用】 如图5，已知，点E在上，点A在，之间，交于点D，过点A作于点B，平分，平分，若，，求的度数． 【答案】探究发现：证明见解析；学以致用：；拓展应用： 【分析】本题考查了平行线的判定与性质．关键是通过作辅助线，构造平行线，把实际问题转化为数学问题加以计算． 探究发现：过点A作，根据两直线平行，同旁内角互补解答即可； 学以致用：根据[探究发现]的结论解答即可； 拓展应用：过点A作，根据平行线的判定与性质解答即可． 【详解】证明：如图1，过点A作， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， 即； 学以致用：由； ∴， 故答案为：120； 拓展应用：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点A作，如图5， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 模型02 “猪蹄”模型 模型基本图形 添加辅助线方法 条件：AB∥CD，求∠ABE、∠BED、∠CDE的数量关系。 辅助线：过点E作EF∥AB。 结论：∠ABE+∠CDE=∠BED 证明：过点E作EF∥AB， ∴EF∥AB∥CD ∵EF∥AB， ∴ABE=∠BEF（两直线平行，内错角相等） ∵EF∥CD ∴∠FED=∠EDC（两直线平行，内错角相等） ∴∠ABE+∠CDE=∠BED “猪蹄”模型拓展（锯齿模型） 已知AB∥CD，如图，当存在n个E点，n个F点时，求∠E1+∠E2+...+∠En=∠B+∠D+∠F1+∠F2...+∠F n ∠B+∠D=∠E ∠B+∠D+∠F=∠E1+∠E2 ∠B+∠F1+∠F2+∠D =∠E1+∠E2+∠E3 ∠B+∠D+∠F1+∠F2...+∠F n =∠E1+∠E2+...+∠En 两条平行线的一端有锯齿状的线段，并且相邻两条线段交于一点，可以过这一点作两条平行线的平行线，利用平行线的性质可得角度之间的数量关系。 【例2】推理能力 【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图①所示的几何图形很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象地称为“猪蹄模型”．“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． 【结论】（1）如图1，，M是、之间的一点，连接，．试说明：； 【运用】（2）如图2，，M，N是、之间的两点，且．请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，求出、、三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，利用“猪蹄模型”是解题关键． （1）如图，过作．得，故，，因此． （2）过点N作的平行线，设，则，由“猪蹄模型”可表示，再借助平行线的性质计算即可． 【详解】（1）证明：如图，过作． ， ， ，， ． （2）解：、、三者之间的数量关系：． 理由如下： 如图：过点N作的平行线． ∵， ∴由“猪蹄模型”知， 设，则， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴ ∴ 即：． ∴、、三者之间的数量关系：． 【变式2-1】（1）如图①，，试问与的关系是什么？并说明理由； （2）如图②，，试问与的关系是什么？请直接写出结论； （3）如图③，，试问与的关系是什么？请直接写出结论． 【答案】（1），见解析；（2）；（3） 【分析】此题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． （1）过点作，从而推出，根据两直线平行，内错角相等，可知，，从而推出与的关系； （2）分别过点，，，作，，，从而推出，根据两直线平行，内错角相等，可推出与的关系； （3）分别过点，，，，，作，，，，，从而知道，根据两直线平行，内错角相等，可推出与的关系． 【详解】解：（1），理由如下： 如图，过点作， ，， ， ，， ； （2）同理（1）得：，理由如下： 分别过点，，，作，，， ，，， （3）同理（1）得：． 理由如下：分别过点，，，，，作，，，，， ， ， ，，，，，， ． 【变式2-2】【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，，M是之间的一点，连接，若，求的度数； 【灵活运用】 （2）如图②，是之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，均是之间的点，如果，直接写出的度数． 【答案】（1）100°；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，构造辅助线掌握“猪蹄模型”是解本题的关键． （1）过点M作，证明，则，进而得，由此可得∠B+∠D的度数； （2）过点M作，则，证明，由（1）得，则，进而得，再根据，即可得出和之间的数量关系； （3）过点G作，依题意得，证明，由（1）得，则，由此可得的度数． 【详解】解：（1）过点M作，如图①所示： ， ， ， ， ， ； （2）和之间的数量关系是：，理由如下： 过点M作，如图②所示， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ， ， 又， ， ； （3），理由如下： 过点G作，如图③所示： ， ， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ． 【变式2-3】已知直线，为平面内一点，点分别在直线上，连接． (1)如图1，若点在直线之间，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若点在直线之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会探究规律，利用规律解决问题． （1）如图，过点作，根据平行线的性质得到，，等量代换即可得到结论； （2）如图，过点作，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，得到，进而求解即可； （3）如图，过点作，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，进而求解即可． 【详解】（1）解：， 理由如下： 如图，过点作， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作， 同理（1）可得，， ，， ， ∵平分，平分， ，， ， 同理（1）可得，； （3）解： 如图，过点作， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∵平分， ∴ 由（1）可得，． 【变式2-4】如图1，，在、内有一条折线． (1)求证：； (2)在图2中，画的平分线与的平分线，两条角平分线交于点，请你补全图形，试探索与之间的关系，并证明你的结论； (3)在（2）的条件下，已知和均为钝角，点在直线、之间，且满足，，（其中为常数且），直接写出与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解答此题的关键． （1）首先过点P作，然后根据，，可得，，据此判断出即可； （2）首先由（1）可得，；然后根据的平分线与的平分线相交于点Q，推得 ，即可判断出． （3）首先由（1）可得，；然后根据，，进一步即可判断出． 【详解】（1）证明：如图1，过点作， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴； （2）解：如图2，平分，平分，交点为， 由（1）可得：，， ∵的平分线与的平分线相交于点， ∴ ， ∴； （3）解：如图，由（2）可得：，， ∵，， ∴ ， ∴； 【变式2-5】已知，如图，点在、两线之间，且在所在直线的左侧． (1)如图1，当，时， ①若平分，平分，则________； ②若，，则________； ③若，，则________． (2)如图2，当与相交，点、点重合时，猜想、、与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，直接运用（2）的结论探究下列问题： ①若平分，平分，当，时，求的度数； ②若，，当，时，求的度数． 【答案】(1)①；②； (2) (3)①；② 【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义． （1）①分别过点作，根据平行线的性质结合角平分线的定义即可得出结论；②同理①，即可求解；③同理①，即可求解； （2）如图，作射线，分别过点作，根据平行线的性质结合角平分线的定义即可得出结论； （3）①结合（2）中结论，再利用角平分线的定义即可求解；②同理①，即可求解． 【详解】（1）解：①分别过点作， ， ， ， ， ， 平分，平分， ， ； ②同理①得：， ，， ； ③同理①得：， ，，， ； （2）解：，理由如下： 如图，作射线，分别过点作， 则， ， ， ， ， 即原图中：， （3）解： 由（2）可得：，， 平分，平分， ， ， 即， ， ； ② ，， ，， ， 同理①的：， ，即， ． 模型03 “靴子”模型与“骨折”模型 靴子模型基本图形 骨折模型 条件：AB∥CD，求∠ABE、∠BED、∠CDE的数量关系。 辅助线：过点E作EF∥AB。 结论：∠BED=∠ABE-∠CDE 证明：过点E作EF∥AB ∴EF∥AB∥CD ∵EF∥AB ∴ABE=∠BEF（两直线平行，内错角相等） ∵EF∥CD ∴∠FED=∠CDE（两直线平行，内错角相等） ∵∠BED=∠BEF -∠FED ∴∠BED=∠ABE-∠CDE 条件：AB∥CD，求∠ABE、∠BED、∠CDE的数量关系。 辅助线：过点E作EF∥AB。 结论：∠BED=∠CDE -∠ABE 证明：过点E作EF∥AB ∴EF∥AB∥CD ∵EF∥AB ∴ABE=∠BEF（两直线平行，内错角相等） ∵EF∥CD ∴∠FED=∠CDE（两直线平行，内错角相等） ∵∠BED=∠FED-∠BEF ∴∠BED=∠CDE -∠ABE 【例3】直线，P 为直线上方一点，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，设，求的度数（用含α、β的式子表示）； (3)如图2，N为内部一点，，连接，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用． （1）过点P向右，则，得出，进而求出结论； （2）过点P向右，则，得出，进而求出结论； （3）过点P向左作，过N向左作，则，设，则，得出，进而求出结论． 【详解】（1）解：过点P向右， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）过点P向右， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）过点P向左作，过N向左作， ∵， ∴， 与（2）同理，得， 依题意，设， 则 ． ∴， ∴ ． 【变式3-1】小华在学习“平行线的性质”后，对图中，和的关系进行了探究： (1)如图1，，点在，CD之间，试探究，和之间有什么关系？并说明理由；小华添加了过点的辅助线，并且请帮助他写出解答过程； (2)如图2，若点在的上侧，试探究，和之间有什么关系？并说明理由； (3)如图3，若点在的下侧，试探究，和之间有什么关系？请直接写出它们的关系式． 【答案】(1)，见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． （1）求出，根据平行线的性质得出，，再得出答案即可； （2）求出，根据平行线的性质得出，，再得出答案即可； （3）求出，根据平行线的性质得出，，再得出答案即可． 【详解】（1）， 理由是：，， ， ，， ； （2）， 理由是：如图：过作， ， ， ，， ； （3）， 理由是：如图：过作， ，OM∥CD， ， ，， ． 【变式3-2】已知直线，直线和直线，交于点和，点是直线上一动点． (1)猜想论证：如图，当点在线段上运动时，，，之间存在什么数量关系？并说明理由． 请把下列过程补充完整： 猜想：． 证明：过点作． ， ______（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 又， ，______（______）． ， （______）． (2)类比探究： 如图，当点在线段的延长线上运动时，上述中的结论是否成立？若不成立，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 如图，当点在线段的延长线上运动时，请直接写出，，之间的数量关系，不必写理由． 【答案】(1)见解析 (2)不成立，应为，见解析； ． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解决本题的关键是添加辅助线，利用平行线的性质把两个角转化到同一个顶点的位置． 过点作，根据平行线的性质可得，，利用等量代换可得：； 仿照的证明过程添加辅助线，然后利用平行线的性质证明即可． 【详解】（1）解：猜想：， 证明：过点作， ， （如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， 又， ，（两直线平行内错角相等）， ， （等量代换）， 故答案为：，，两直线平行，内错角相等， 等量代换； （2）中的结论不成立，， 理由如下： 如下图所示， 过点作， ， ， 又， ，， ， ； ， 如下图所示， 过点作， ， ， ，， ． 【变式3-3】如图，，猜想与、的关系，并说明理由． (1)填空： 解：猜想．理由：过点作，如图所示，所以 (①___________)．因为，，所以 (如果两条直线都和第三条直线平行，那么②___________)，所以 (③___________)，所以④___________，即； (2)依照上面的解题方法，观察图，已知，猜想图中的与、的关系，并说明理由； (3)观察图和图，已知，猜想图中的与、的关系，不需要说明理由． 【答案】(1)①两直线平行，同旁内角互补；②这两条直线也互相平行；③两直线平行，同旁内角互补；④ (2)，见解析 (3)图中，图中 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）根据平行线的性质补充完整即可； （2）过点P作，根据平行线的性质求解即可； （3）过点P作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：猜想． 理由：过点作，如图所示， 所以 (①两直线平行，同旁内角互补)． 因为，， 所以 (如果两条直线都和第三条直线平行，那么②这两条直线也互相平行)， 所以 (③两直线平行，同旁内角互补)， 所以④，即． 故答案为：①两直线平行，同旁内角互补；②这两条直线也互相平行；③两直线平行，同旁内角互补；④ （2）解：猜想． 理由：过点P作，如图所示， 所以． 因为，， 所以， 所以， 所以，即； （3）解：图中，图中． 如图，过作， ， 则， 因为，， 所以， 所以， ∴； 如图，过作， ， 则， 因为，， 所以， 所以， ∴． 【变式3-4】数学活动课上，欣欣为了探究在平行线的条件下角之间的变化规律，进行了如下的探究实验．如图1，已知：直线，点M、N分别为上的点，点P为上一个动点， (1)初步探究：当点P在上方时，连接，她通过测量发现两个结论①；②；请你证明①中的结论； (2)大胆尝试：当点P在与之间时，她通过测量发现①；②请你猜想、、之间的关系式为______． (3)思维拓展：当点P运动到下方时，的平分线与的平分线的反向延长线相交于点Q，请你猜想与的关系，并证明你的结论． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1），过点P作，则，由平行线的性质得到，据此根据角之间的关系可得答案； （2）根据，即可得到答案； （3）同理可得过点P作，则，可得，，则，再由角平分线的定义得到；由平角的定义得到，则． 【详解】（1）证明：如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：猜想，理由如下： ∵，， ∴， ∴； （3）解：，证明如下； 同理可得 过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 【变式3-5】【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图①，已知，点E，F分别在直线上，点在直线之间，设，求证：． 证明：如图②，过点作， ， ，即． 可以运用以上结论解答下列问题：【类比应用】 （1）如图③，已知，求的度数． （2）如图④，已知，点在直线上，点在直线上方，连接，则之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图⑤，已知，点在直线上，点在直线上方，连接的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查平行线的判定与性质，添加平行线探究角之间的关系是解答的关键． （1）过P作，则，利用平行线的性质得到，，进而可求解； （2）过P作，则，利用平行线的性质得到，，进而可得结论； （3）过P作，则，利用平行线的性质推导出，利用角平分线的定义得，，结合（2）中结论得到，进而可得结论． 【详解】解：（1）如图③，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）如图④，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3）过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵的平分线与的平分线所在直线交于点Q， ∴，， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴． 【变式3-6】已知 (1)如图1，求证： (2)如图2，的平分线的反向延长线交的平分线于，若，，求的度数 (3)如图3，若平分，平分，的反向延长线和的反向延长线交于点，且，求的度数 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键． （1）过E作，根据平行线的性质可求，，进而可证明结论； （2）先求出，根据（1）的结论可求解，根据角平分线的定义可得，过点F作，结合平行线的性质利用可求解； （3）设，，由（1）知，过M作，由平行线的性质得出，，求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，过作， ， ， ，， ， 即：； （2）解：， ， 平分， ， 由（1）得：， 平分， ， 过点作，如图： ， ， ，， ； （3）解：，分别平分，， ， 设， 由（1）知：， 即， 过作， ， ， 则，， ， ， ． 【变式3-7】已知，点E在上，点F在上，点Q为射线上一点． (1)如图1，若，则______． (2)如图2，当点Q在线段的延长线上时，关于和的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． (3)如图3，平分，交于点H． ①若平分，求和的数量关系； ②若，直接写出的度数为______． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3) ，理由见解析； ． 【分析】（1）过点Q作进而利用两直线平行，内错角相等解答即可； （2）过点Q作进而利用两直线平行，内错角相等解答即可； （3）过点H作根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可； ②根据①的结论，利用角的关系解答即可． 此题考查了几何变换综合题，平行线的判定和性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答． 【详解】（1）解： 过点Q作如图： ， 故答案为：； （2）解：理由如下： 过点Q作如图： ， 即 （3）解：过点H作如图： ， 又∵平分 平分 由（2）可得 ； 理由如下： 故答案为：． 【变式3-8】已知，点E在上，点F在上，点G为射线上一点． (1)（基础问题）如图1，试说明：．（完成图中的填空部分） 证明：过点G作直线， 又， ，（ ） ∴ , （ ） ， ． (2)（类比探究）如图2，当点G在线段延长线上时，请写出、、三者之间的数量关系并说明理由． (3)（应用拓展）如图3，平分，交于点H，且，，，求的度数． 【答案】(1)平行于同一直线的两条直线互相平行；；两直线平行，内错角相等； (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的定义，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线的性质． （1）根据平行线的判定和性质进行解答即可； （2）过点G作直线，根据平行线的性质进行解答即可； （3）过点G作直线，过点作直线，根据平行线的性质和角平分线的定义进行求解即可． 【详解】（1）证明：过点G作直线， 又， ，（平行于同一直线的两条直线互相平行） ∴， （两直线平行，内错角相等） ， ， ． 故答案为：平行于同一直线的两条直线互相平行；；两直线平行，内错角相等；； （2）解：，理由如下， 过点G作直线，如图所示： 则， ， ， ∴， ． （3）解：如图，过点G作直线，过点作直线， 则，， ， ，， ∴，， ∴， ， ，， ， ∵平分∠GAB， ， ∴，， ， ， ∵， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$