大题预测02 （A+B+C三组解答题）-【大题精做】冲刺2025年高考数学大题突破+限时集训（新高考专用）

大题预测02（A组+B组+C组） 【A组】 （建议用时：60分钟 满分：77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分） （2025·福建福州·模拟预测）已知数列满足，当时，． (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)证明：． 16．（15分） （2025·广东·一模）如图，在直三棱柱中，，为的中点，为的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 17．（15分） （2025·福建厦门·二模）某工厂生产某款产品，根据质量指标值Q对产品进行等级划分，Q小于60的产品视为不合格品，Q不小于60的产品视为合格品，其中Q不小于90的产品视为优质品.工厂为了提升产品质量，对设备进行升级.为考察设备升级后产品的质量，质检部门对设备升级前后生产的产品进行简单随机抽样，得到样本数据，制作如下频数表：    (1)根据所给数据填写下列2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析产品合格与设备升级是否有关联. 不合格品件数 合格品件数 合计 升级前 升级后 合计 (2)以上述样本中设备升级后的优质品频率作为升级后产品的优质品率，质检部门为检查设备升级后是否正常运转，每天从该设备生产的产品中随机抽取10件产品并检测. （i）记X表示抽取的10件产品中的优质品件数，求（精确到0.001）； （ii）质检部门规定：若抽检的10件产品中，至少出现2件优质品，则认为设备正常运转，否则需对设备进行检修.请根据的值解释上述规定的合理性. 附：. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 参考数据：，， 18．（17分） （2025·河北秦皇岛·一模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有2个零点，求实数的取值范围； (3)若关于的方程有两个不相等的实数根，记其中一个实数根为，求证：. 19．（17分） （2025·黑龙江·二模）已知双曲线的一条渐近线方程为，点是双曲线上一点.过双曲线的右焦点且斜率存在的直线与双曲线交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点. (1)求双曲线的方程； (2)证明：； (3)当均位于双曲线的右支上时，若，求直线的方程. 【B组】 （建议用时：60分钟 满分：77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （2025·江苏南通·一模）已知的三边所对的角分别为． (1)求证：； (2)若，求的取值范围． 16．（15分） （2025·江苏盐城·三模）若函数与函数的图象在公共点处有相同的切线. (1)当时，求函数与在公共点处的切线方程； (2)求的最小值： 17．（15分） （2025·四川成都·二模）已知椭圆上的动点总满足关系式，且椭圆与抛物线有共同的焦点是椭圆与抛物线的一个公共点，. (1)求抛物线的方程和椭圆的标准方程； (2)过点的直线交抛物线于两点，交椭圆于两点，若，求直线的方程. 18．（17分） （24-25高三上·四川成都·期中）如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务.市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了人，并将这人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过元）： 消费金额（单位：百元） 频数 20 35 25 10 5 5 (1)由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额（单位：元）近似服从正态分布，其中近似为样本平均数（每组数据取区间的中点值，）．现从该市任取名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在元至元之间的人数为，求的数学期望； (2)市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动．规则是：在某张方格图上标有第格、第格、第格、…、第格共个方格．棋子开始在第格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是，其中），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从到），若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从到）．重复多次，若这枚棋子最终停在第格，则认为“闯关成功”，并赠送元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束． ①设棋子移到第格的概率为，求P2的值，并证明：当时，是等比数列； ②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 19．（17分） （2025·山东·一模）如图，四面体中，为等边三角形，且，为等腰直角三角形，且． (1)当时， （ⅰ）求二面角的正弦值； （ⅱ）当为线段中点时，求直线与平面所成角正弦值； (2)当时，若，且平面为垂足，中点为中点为；直线与平面的交点为，当三棱锥体积最大时，求的值． 【C组】 （建议用时：60分钟 满分：77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （2024·云南曲靖·二模）在中，角的对边分别为，且. (1)求角的取值范围； (2)已知内切圆的半径等于，求周长的取值范围. 16．（15分） （2024·山东淄博·一模）为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表.            年龄次数 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] 每周0~2次 70 55 36 59 每周3~4次 25 40 44 31 每周5次及以上 5 5 20 10 (1)若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联； (2)从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求ξ的分布列与期望； (3)已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为 ，求小明星期天选择跑步的概率. 参考公式： 附： α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17．（15分） （24-25高三上·重庆·阶段练习）在底面是菱形的四棱锥中，已知，，过作侧面的垂线，垂足恰为棱的中点. (1)在棱上是否存在一点E，使得侧面，若存在，求的长；若不存在，说明理由. (2)二面角的大小为，二面角的大小为，求. 18．（17分） （2025·重庆·模拟预测）已知函数，，. (1)证明：. (2)讨论函数在上的零点个数. (3)当，时，证明：，. 19．（17分） （2025·云南大理·模拟预测）已知点在抛物线上，过点作斜率为的直线交于另一个点，设与关于轴对称，再过作斜率为的直线交与另一个点，设与关于轴对称，以此类推一直做下去，设. (1)求的值； (2)求数列的通项公式，并求数列的前项和的取值范围； (3)求的面积. 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大题预测02（A组+B组+C组） 【A组】 （建议用时：60分钟 满分：77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （2025·福建福州·模拟预测）已知数列满足，当时，． (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）由已知递推式，得到，结合等差数列的定义即可证明结论，由等差数列通项公式，即可得到所求通项公式； （2）求得，由裂项相消求和，结合不等式的性质即可得证． 【详解】（1）因为，所以，即，（2分） 又因为，（3分） 所以是首项为1，公差1的等差数列， 所以，（4分） 所以．（5分） （2）证明：因为，（6分） 所以（9分） （10分） 因为，所以（13分） 16．（15分） （2025·广东·一模）如图，在直三棱柱中，，为的中点，为的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，根据中位线的性质得到，然后得到四边形为平行四边形，根据直棱柱的性质得到，最后利用线面垂直的判定定理证明； （2）解法一：利用余弦定理得到，然后建系，利用空间向量的方法求线面角； 解法二：根据线面角的定义得到即为直线与平面所成角，然后求线面角； 解法三：利用等体积的思路得到点到平面的距离，然后求线面角. 【详解】（1）    取中点，连接， 因为，所以，（1分） 为的中点，所以为的中位线，所以， 又，所以四边形为平行四边形，有，（3分） 又因为平面平面，则，（4分） 由于平面，所以平面，（5分） 又因为，（6分） 所以平面．（7分） （2）由（1）可知：两两垂直，如图，以为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 在中，由余弦定理可得：，则，（8分） 于是，（9分） 则， 设平面， 于是，即，（10分） 令，则，（11分） 设直线与平面所成角为， 那么，（14分） 即直线与平面所成角的正弦值为．（15分）    17．（15分） （2025·福建厦门·二模）某工厂生产某款产品，根据质量指标值Q对产品进行等级划分，Q小于60的产品视为不合格品，Q不小于60的产品视为合格品，其中Q不小于90的产品视为优质品.工厂为了提升产品质量，对设备进行升级.为考察设备升级后产品的质量，质检部门对设备升级前后生产的产品进行简单随机抽样，得到样本数据，制作如下频数表：    (1)根据所给数据填写下列2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析产品合格与设备升级是否有关联. 不合格品件数 合格品件数 合计 升级前 升级后 合计 (2)以上述样本中设备升级后的优质品频率作为升级后产品的优质品率，质检部门为检查设备升级后是否正常运转，每天从该设备生产的产品中随机抽取10件产品并检测. （i）记X表示抽取的10件产品中的优质品件数，求（精确到0.001）； （ii）质检部门规定：若抽检的10件产品中，至少出现2件优质品，则认为设备正常运转，否则需对设备进行检修.请根据的值解释上述规定的合理性. 附：. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 参考数据：，， 【答案】(1)列联表见解析，可以认为产品合格与设备升级有关联，该推断犯错误的概率不超过 (2)（i）；（ii）理由见解析 【分析】（1）先计算出的值，根据独立性检验的思想对照临界值得结论； （2）（i）根据二项分布的有关计算公式，求出的概率；（ii）优质品件数少于2个的概率只有，据此可得结论. 【详解】（1）依题意可得列联表为： 不合格品件数 合格品件数 合计 升级前 20 80 100 升级后 10 90 100 合计 30 170 200 （3分） 零假设：产品合格与设备升级没有关联， 由列联表可计算，（5分） 依据小概率的独立性检验，我们可以推断不成立， 因此可以认为产品合格与设备升级有关联，该推断犯错误的概率不超过.（6分） （2）（i）根据题意，设备升级后的优质品率为，（7分） 可以认为从生产线中抽出的10件产品是否为优质品是相互独立的，则，（8分） ， 所以；（11分） （ii）如果设备正常运转，一天内抽取的10 件产品中，优质品件数少于2个的概率只有，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为设备运转异常，需对设备进行检修，可见上述规定是合理的.（15分，叙述合理即可） 18．（17分） （2025·河北秦皇岛·一模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有2个零点，求实数的取值范围； (3)若关于的方程有两个不相等的实数根，记其中一个实数根为，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求函数导数得切线斜率，再由点斜式可得解； （2）由，分和两种情况讨论导函数的正负，可得函数的单调区间，即可根据极值求解. （3）分析可得要证，，令，利用导数证得，即可得证． 【详解】（1）由可得，（1分） ，，（3分） 故切线方程为，即（4分） （2）函数定义域为，，（5分） 当时，，此时在上单调递减；此时至多有一个零点，不符合题意，舍去，（7分） 当时，令，得， 此时在上，在单调递增， 在上，在单调递减，（8分） 当，（9分） 故要使有两个零点，则需要，解得（10分） （3）由可得 由（2）可知，当时，才有两个不相等的实根，且，（11分） 则要证，即证，即证，（12分） 而，则（，否则方程不成立），（13分） 所以即证，化简得，（14分） 令，则，（15分） 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 所以，而，所以， 所以，得证．（17分） 19．（17分） （2025·黑龙江·二模）已知双曲线的一条渐近线方程为，点是双曲线上一点.过双曲线的右焦点且斜率存在的直线与双曲线交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点. (1)求双曲线的方程； (2)证明：； (3)当均位于双曲线的右支上时，若，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】(1)由双曲线渐近线方程和经过的定点，可列出方程组求出； (2)利用直线与双曲线联立方程组，求出弦长，再利用中点坐标写出直线的方程，求出点坐标，从而可求出，问题即可得证； (3)利用第二问的结论，把转化为，从而转化到，这样就可以利用韦达定理消去即可得的方程求解. 【详解】（1）由双曲线的一条渐近线方程为，可知：（1分） 再由点是双曲线上一点得：，（2分） 代入得：，故，（3分） 所以双曲线；（4分） （2） 设过双曲线的右焦点且斜率存在的直线为， 与双曲线，联立消去得： ，其中，不等于0， 设，则，（5分） 所以（6分） 设的中点为， 则，，（7分） 所以线段的垂直平分线方程为：，（8分） 令得：，（9分） 则， 所以有；（10分） （3） 设过双曲线的右焦点且斜率存在的直线为， 与双曲线，联立消去得： ， 设，则，（11分） 由直线与双曲线右支相交，则，解得，（12分） 由（2）知，由可知：， 即，根据，结合与右支交点可知，（13分） 根据（2）可知：， 则， ，（14分） 代入到上两式得：，，（15分） 再消得：，（16分） 此时满足，故符合题意， 则直线方程为.（17分） 【B组】 （建议用时：60分钟 满分：77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （2025·江苏南通·一模）已知的三边所对的角分别为． (1)求证：； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）可以采用正弦定理边角互化，再用余弦定理得到，最后结合和角公式和同角三角函数关系式计算即可; （2）有了，两角之间的正切关系，直接将用和表示，转变成关于的函数，借助函数单调性求范围即可． 【详解】（1）由正弦定理得（1分） ，（2分） （3分） （4分） ．（5分） （2）（7分） ，（8分） 令, 由于在上单调递增，（10分） 则原函数也是在上单调递增.（11分） ，即的取值范围为．（13分） 16．（15分） （2025·江苏盐城·三模）若函数与函数的图象在公共点处有相同的切线. (1)当时，求函数与在公共点处的切线方程； (2)求的最小值： 【答案】(1) (2)1 【分析】(1)设切点，求斜率，建立方程组求解即可； (2) 设切点，求斜率，建立方程组，包含三个未知数，消参，得到关于的关系式，再转化为函数关系式，通过研究函数单调性进而求值域即可. 【详解】（1）当时，， 设为与的一个公共点， 因，（2分） 则得，（4分） 故切点为且，（5分） 所以与在公共点处的切线方程为（6分） （2）设为与的一个公共点， 因，（7分） 则（9分） 由②得，即，将其代入①中得，，（10分） 即， 令，则， （11分） 则当时，在区间单调递增； 当时，在单调递减， （13分） 故，（14分） 又因，故，当且仅当时取“”， 故的最小值为.（15分） 17．（15分） （2025·四川成都·二模）已知椭圆上的动点总满足关系式，且椭圆与抛物线有共同的焦点是椭圆与抛物线的一个公共点，. (1)求抛物线的方程和椭圆的标准方程； (2)过点的直线交抛物线于两点，交椭圆于两点，若，求直线的方程. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据给定条件，求出焦点坐标，再由抛物线方程求出点，进而求出即可. （2）联立直线与抛物线、椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式列式求解. 【详解】（1）由椭圆：，得右焦点，（1分） 而是抛物线的焦点，则，所以抛物线；（2分） 由对称性不妨令，由，得，（3分） 解得，（4分） 即点，则，（5分） 因此椭圆的长半轴长，短半轴，（6分） 所以椭圆的标准方程为（7分） （2）直线不垂直于轴，设其方程为，， 由，得，即，（9分） 由消去，得，则，（11分） 由消去，得，则，（13分） 因此，解得，（14分） 所以直线的方程为.（15分）    18．（17分） （24-25高三上·四川成都·期中）如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务.市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了人，并将这人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过元）： 消费金额（单位：百元） 频数 20 35 25 10 5 5 (1)由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额（单位：元）近似服从正态分布，其中近似为样本平均数（每组数据取区间的中点值，）．现从该市任取名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在元至元之间的人数为，求的数学期望； (2)市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动．规则是：在某张方格图上标有第格、第格、第格、…、第格共个方格．棋子开始在第格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是，其中），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从到），若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从到）．重复多次，若这枚棋子最终停在第格，则认为“闯关成功”，并赠送元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束． ①设棋子移到第格的概率为，求P2的值，并证明：当时，是等比数列； ②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】(1) (2)①，证明见解析 ；②该大学生闯关成功的概率大于闯关失败的概率，理由见解析 【分析】（1）根据数据算出，由服从正态分布算出概率，即，进而算出的数学期望； （2）棋子开始在第格为必然事件，.第一次掷硬币出现正面，棋子移到第1格，其概率为，即，棋子移到第格的情况是下列两种，即棋子先到第格，又掷出反面，其概率为；棋子先到第格，又掷出正面，其概率为，所以即，进而求证当时，是等比数列，计算符号即可判断. 【详解】（1），（2分） 因为服从正态分布， 所以．（4分） 所以，所以的数学期望为．（5分） （2）①棋子开始在第格为必然事件，．（6分） 第一次掷硬币出现正面，棋子移到第格，其概率为，即． （7分） 棋子移到第格的情况是下列两种，而且也只有两种： 棋子先到第格，又掷出反面，其概率为； 棋子先到第格，又掷出正面，其概率为， 所以，（9分） 即，且，（11分） 所以当时，数列是首项，公比为的等比数列． ②由①知，，，，，（12分） 以上各式相加，得，（13分） 所以．（14分） 所以闯关成功的概率为，（15分） 闯关失败的概率为．（16分） ， 所以该大学生闯关成功的概率大于闯关失败的概率．（17分） 19．（17分） （2025·山东·一模）如图，四面体中，为等边三角形，且，为等腰直角三角形，且． (1)当时， （ⅰ）求二面角的正弦值； （ⅱ）当为线段中点时，求直线与平面所成角正弦值； (2)当时，若，且平面为垂足，中点为中点为；直线与平面的交点为，当三棱锥体积最大时，求的值． 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）． (2)． 【分析】（1）（i）由题意可得出，，则为二面角的平面角，由余弦定理求解即可；（ii）过点作轴垂直平面，建立如图所示的空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，由线面角公式求解即可得出答案； （2）因为两两相互垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设，由题意可知，在上，由此可得所以，表示出三棱锥体积，由二次函数的性质求出三棱锥体积的最大值，即可知分别为，的中点，再用两点间距离公式计算即可. 【详解】（1）（ⅰ）取的中点，连接， 因为为等腰直角三角形，且． 所以，则，所以，（1分） 又因为，所以，（2分） 则， 又因为，所以为二面角的平面角，（3分） ，（4分） 所以..， 所以二面角的正弦值为．（5分） （ⅱ）过点作轴垂直平面，又因为， 建立如图所示的空间直角坐标系， 所以， ，（6分） 设平面的法向量为， 则， 取，可得，所以，（7分） ， 设直线与平面所成角为， 所以，（8分） 直线与平面所成角正弦值为．（9分） （2）取的中点，连接， 因为为等腰直角三角形，且． 所以，则，所以， 又因为，所以， 则，又，则， 所以，又因为， 平面，所以平面，（10分） 因为两两相互垂直，建立如图所示的空间直角坐系， 所以， 设，因为， 所以由可得：， 所以， ，（11分） 由（1）知，平面，又平面， 所以，在上， 因为，所以，，所以， 即，所以， 所以，（13分） 三棱锥体积为： ，（14分） 因为，当时，三棱锥体积最大为， 此时分别为的中点，所以， ，（15分） 因为是的中点，所以到平面的距离相等，又因为是中点， 所以，到平面的距离是到平面的距离的一半． 同理，到平面的距离是到平面的距离的一半． 所以，到平面的距离相等． 因为直线与平面的交点为，所以是线段的中点，（16分） 则．（17分） 【C组】 （建议用时：60分钟 满分：77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （2024·云南曲靖·二模）在中，角的对边分别为，且. (1)求角的取值范围； (2)已知内切圆的半径等于，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由正弦定理可得，利用三角恒等变换可得，可求角的取值范围； （2）由三角形的面积可求得，结合余弦定理可得，计算可得或，进而可求得 的周长，设与圆内切于点，，进而分析可得的周长的取值范围. 【详解】（1） 由正弦定理得：，（1分） ，， .（2分） .（4分） ， ，，（5分） 角的取值范围是.（6分） （2），（7分） ，即，（8分） 由余弦定理得：. ， . ，（9分） （当且仅当时取等号）， ,或.（10分） 设与圆内切于点，则. （11分） （当且仅当时取等号）. 的周长， （当且仅当时两处都取等号）. ，（2分） ， 时，，, 的周长的取值范围是.（13分） 16．（15分） （2024·山东淄博·一模）为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表.            年龄次数 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] 每周0~2次 70 55 36 59 每周3~4次 25 40 44 31 每周5次及以上 5 5 20 10 (1)若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联； (2)从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求ξ的分布列与期望； (3)已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为 ，求小明星期天选择跑步的概率. 参考公式： 附： α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)有关 (2)分布列见解析；期望为 (3) 【分析】（1）求出卡方值并与临界值比较即可得到结论； （2）根据步骤列出分布列，利用数学期望公式即可得到答案； （3）利用全概率公式即可得到答案. 【详解】（1）零假设：体育锻炼频率的高低与年龄无关， 由题得列联表如下： 青年 中年 合计 体育锻炼频率低 125 95 220 体育锻炼频率高 75 105 180 合计 200 200 400 （2分） ，（4分） 根据小概率值的独立性检验推断不成立， 即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.（5分） （2）由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在内的人数分别为1，2， 依题意，的所有可能取值分别为为0，1，2， 所以，（6分） ，（7分） ，（8分） 所以的分布列：： 0 1 2 所以的数学期望为.（10分，分布列、期望各1分） （3）记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球，分别为事件A，B，C， 星期天选择跑步为事件，则，（11分） ，（13分） 所以 所以小明星期天选择跑步的概率为.（15分） 17．（15分） （24-25高三上·重庆·阶段练习）在底面是菱形的四棱锥中，已知，，过作侧面的垂线，垂足恰为棱的中点. (1)在棱上是否存在一点E，使得侧面，若存在，求的长；若不存在，说明理由. (2)二面角的大小为，二面角的大小为，求. 【答案】(1)存在， (2) 【分析】（1）连接，证明平面，再过作于，证明平面，再根据三角形中的关系求解的长即可； （2）以为原点建立空间直角坐标系，分别利用向量法求出二面角的平面角的余弦值，二面角的平面角的余弦值，再利用两角和的余弦公式求解即可. 【详解】（1）如图，连接，，是的中点，，（1分） 又平面，平面， ，又，平面，平面，（3分） 过作于，又，， 又平面，，（4分） 又，平面，平面，（5分） 在中，，， ，（6分） 得， .（7分） （2）以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 由（1）知，，可得，，（8分） 又平面，所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得， ，（9分） ，（10分） 由图可知二面角的平面角为钝角，则，，（11分） 由题知，平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得， .（12分） ，（13分） 由图可知二面角的平面角为锐角，则，，（14分） .（15分） 18．（17分） （2025·重庆·模拟预测）已知函数，，. (1)证明：. (2)讨论函数在上的零点个数. (3)当，时，证明：，. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求导，即可根据函数的单调性求解最值得解， （2）求导，对分奇偶，根据函数的单调性求解， （3）根据（2）的结论可得，将问题转化为证明，根据（1）的结论可得，即可利用对数的运算性质化简求解. 【详解】（1）因为，，所以.（1分） 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，（3分） 从而，则.（4分） （2）因为，， 所以，（5分） 当时，，当时，， 故，（6） 当为奇数时，在上恒成立，则在上单调递减， 因为，，所以在上的零点个数为1.（7分） 当为偶数时，，则当时，，单调递减， 当时，，单调递增，（8分） 从而，（9分） 所以在上的零点个数为0. 综上可得：当为奇数时，在上的零点个数为1， 当为偶数时，在上的零点个数为0.（10分） （3）由（2）可知，当，时，（11分） 要证，， 即证， 即证， 即证， 即证.（14分） 由（1）可知，，当且仅当时，等号成立.（15分） 令，可得，（16分） 故 从而，.（17分） 19．（17分） （2025·云南大理·模拟预测）已知点在抛物线上，过点作斜率为的直线交于另一个点，设与关于轴对称，再过作斜率为的直线交与另一个点，设与关于轴对称，以此类推一直做下去，设. (1)求的值； (2)求数列的通项公式，并求数列的前项和的取值范围； (3)求的面积. 【答案】(1) (2)， (3)16 【分析】（1）将代入抛物线方程即可求解； （2）由点在抛物线上，可得，且，将直线的方程与抛物线方程联立可得出，根据等差数列的定义和通项公式即可求出的通项公式，再利用裂项相消法求数列的前项和即可； （3）求出直线的方程，可求出，并求出点到直线的距离，然后利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）因为点在抛物线上，则，（1分） 解得.（3分） （2）由可知，， 因为点在抛物线上，则，且， 过，，且斜率为的直线，（3分） 联立方程，消去可得，（4分） 解得或，（5分） 因，故，即， 故数列是以首项为2，公差为4的等差数列，所以，（6分） 又，所以，（7分） 所以（8分） 所以，又是关于的递增函数，故， 的取值范围是.（9分） （3）由（2）可知：，，，（10分） 直线的方程为，（12分） 即，（13分） 点到直线的距离为， （15分） ，（16分） 所以的面积为.（17分） 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$