第07讲 三角形的中位线（1个知识清单+3类热点题型讲练+分层练习）-2024-2025学年八年级数学下册同步专项训练（苏科版）

第07讲 三角形的中位线 目 录 题型归纳.........................................................................................................................................................................................1 题型01与三角形中位线有关的求解问题..................................................................................................................................2 题型02与三角形中位线有关的证明..........................................................................................................................................4 题型03三角形中位线的实际应用..............................................................................................................................................8 分层练习.........................................................................................................................................................................................12 夯实基础.........................................................................................................................................................................................12 能力提升........................................................................................................................................................................................35 知识点1．三角形中位线定理 （1）三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （2）几何语言： 如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE∥BC，DE＝BC． 题型01与三角形中位线有关的求解问题 1．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在平行四边形中，相交于点O，E为的中点，，则的长为（   ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用平行四边形的性质求解 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理，关键是掌握平行四边形的对角线互相平分． 根据平行四边形的性质可得，再由E为边中点可得是的中位线，利用三角形中位线定理可得答案． 【详解】解：∵在中，， 又点E是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：B． 2．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，点、分别是、的中点，若，则的度数为 ．    【答案】 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了三角形中位线定理，根据三角形中位线平行第三边求解即可． 【详解】点、分别是、的中点， ， ， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点均在格点上，请回答下列问题． (1)直接写出的长度为_______； (2)在格点上找一点C，连接，使； (3)利用格点，画线段的中点； (4)在格点上找一点，连接，使． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、勾股定理与网格问题 【分析】此题考查了勾股定理、三角形中位线的性质定理等知识，熟练掌握网格的特点是解题的关键． （1）利用勾股定理即可求解； （2）根据网的特点作图即可； （3）利用网格的特点找点D即可； （4）根据中位线定理进行作图即可． 【详解】（1）解： 故答案为： （2）如图，线段即为所求， （3）如图，点D即为所求 （4）如图，线段即为所求． 题型02与三角形中位线有关的证明 4．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）如图，在四边形中，、、、分别是、、、的中点，要使四边形是菱形，则四边形只需要满足的一个条件是（    ） A．对角线 B．四边形是菱形 C．对角线 D． 【答案】D 【知识点】证明四边形是菱形、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题考查了菱形的判定与性质．菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．利用三角形中位线定理可以证得四边形是平行四边形；然后由菱形的判定定理进行解答． 【详解】解：∵在四边形中，E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴，，， ∴； 同理，，， ∴四边形是平行四边形； A、若，得不到，则，不能证明四边形是菱形，故本选项错误； B、若四边形是菱形时，点四点共线；故本选项错误； C、若对角线时，得不到，则，不能证明四边形是菱形；故本选项错误； D、当时，则；所以平行四边形是菱形；故本选项正确； 故选：D． 5．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）顺次连接等腰梯形各边中点所围成的四边形是 【答案】菱形 【知识点】证明四边形是菱形、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题考查等腰梯形的性质，菱形的判定方法，以及三角形中位线的性质．连接、，可证为的中位线，为的中位线，根据中位线定理可证，，同理可证，，根据等腰梯形的性质可知，故可证四边形为菱形． 【详解】解：连接、， 、分别为、的中点 为的中位线， ，， 同理可证，， ，，四边形为平行四边形， 同理可证， 根据等腰梯形的性质可知， ， 为菱形． 故顺次连接等腰梯形各边中点所围成的四边形是菱形． 故答案为：菱形． 6．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）如图，、是四边形的对角线，点、、、分别是线段、、、上的中点． (1)求证：线段、互相平分； (2)四边形满足什么条件时，？证明你得到的结论． 【答案】(1)见解析 (2)当时，，理由见解析 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、根据菱形的性质与判定求线段长、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题考查的是平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握菱形的对角线互相垂直是解题的关键． （1）连接、、、，根据三角形中位线定理得到，，，，证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质证明结论； （2）根据菱形的判定定理得到平行四边形是菱形，根据菱形的性质定理证明即可． 【详解】（1）证明：连接、、、， ∵点E、F分别是线段、的中点， ∴，， ∵点G、H分别是线段、的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴线段、互相平分； （2）解：当时，， 理由如下：∵点G、F分别是线段、的中点， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴． 题型03三角形中位线的实际应用 7．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，两地中间有一个池塘，为测量两地的距离，在地面上选一点，连接、，分别取、的中点．若测量的长为54m，则两地的距离为（  ） A．54m B．81m C．108 m D．216 m 【答案】C 【知识点】三角形中位线的实际应用 【分析】本题考查三角形中位线定理．根据三角形中位线定理，由的长即可求得两地的距离为的长的2倍． 【详解】解：分别是、的中点 是的中位线 m m． 故选：C． 8．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D、E，测量得米，则A、B两点间的距离为 米． 【答案】24 【知识点】三角形中位线的实际应用 【分析】本题考查三角形中位线定理．由三角形中位线定理得到，据此求解即可． 【详解】解：∵D、E分别是、中点， ∴是的中位线， ∴， ∵米， ∴米， ∴A、B两点间的距离为24米． 故答案为：24． 9．（22-23八年级下·江苏·阶段练习）【知识回顾】我们在八年级上学期已学习定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【新知应用】请你利用矩形的性质，证明该定理． 已知：如图1，在中，，O是的中点； 求证：　 　． 证明： 【灵活运用】如图2，四边形中，，E，F分别是的中点，连接，求证：． 【答案】；见解析 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、斜边的中线等于斜边的一半、三角形中位线的实际应用 【分析】[新知应用] 求证：．延长至点D，使，连接，证得四边形是平行四边形，根据，得到平行四边形是矩形，即可推出； [灵活运用]根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到，及三角形的中位线定理得到，进而得到，再利用等边对等角得到． 【详解】[新知应用] 解：已知：如图1，在中，，O是的中点； 求证：． 证明：延长至点D，使，连接， ∵O是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：； ［灵活运用］ 证明：∵，E是的中点， ∴， ∵F是的中点， ∴EF是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了矩形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线的性质定理，熟练掌握各定理是解题的关键． 夯实基础 一、单选题 1．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，若DE=4，则BC等于（     ） A．2 B．4 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：∵D、E分别是AB、AC边上的中点，DE=4， ∴BC=2DE=2×4=8， 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 2．顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形一定是（    ） A．矩形 B．菱形 C．平行四边形 D．正方形 【答案】C 【分析】本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的判定．如图，根据三角形的中位线得出，，进而得证平行四边形． 【详解】解：如图，四边形中，、、、分别是、、、的中点， ，， 同理，， ，， 四边形是平行四边形， 故选：C． 3．如图在中，点点分别是边的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵点D，点E分别是AB，AC边的中点， ∴DE是△ABC的中位线， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 4．如图，在△ABC中，AC=BC，D、E分别是边AB、AC的中点，△ADE≌△CFE，则四边形ADCF一定是（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质可得AE=CE，DE=EF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形ADCF是平行四边形，然后利用等腰三角形三线合一的性质求出∠ADC=90°，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形解答． 【详解】解：△ADE≌△CFE， ∴AE=CE，DE=EF， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵AC=BC，点D是边AB的中点， ∴∠ADC=90°， ∴四边形ADCF是矩形． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形、菱形、正方形的判定，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 5．如图是一块等腰三角形空地ABC，已知点D，E分别是边AB，AC的中点，量得AC=12米，AB=BC=8米，若用篱笆围成四边形BCED，则需要篱笆的长是（    ） A．22米 B．20米 C．17米 D．14米 【答案】A 【分析】根据三角形的中位线定理可知，然后根据篱笆周长计算即可． 【详解】由题意可知，点D，E分别是边AB，AC的中点， ∴是的中位线， ∴，，，即 ∴四边形BCED的周长 故选A． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，熟知三角形中位线平行且等于底边的一半是解题关键． 6．中，点D、E、F分别为边的中点，作．若的面积是12，则的面积是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】过A作AH⊥BC于H，取BH中点为G，连结DG，EM⊥DF于M，根据三角形的中位线性质可得，，DF∥BC，由D、G为AB、BH中点，可得DG∥AH，且DG=，根据平行线间的距离处处相等可得DG=ME=，利用三角形面积公式S△ABC=，再求即可． 【详解】解：过A作AH⊥BC于H，取BH中点为G，连结DG，EM⊥DF于M， ∵、分别是的、边的中点， ∴，DF∥BC， ∵D、G为AB、BH中点， ∴DG∥AH，且DG=， ∵AH⊥BC ∴DG⊥BC， ∵DF∥BC，EM⊥DF ∴DG⊥DF， ∴DG=ME= ∵S△ABC= ∴． 故选择B． 【点睛】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中位线性质，平行线间的距离性质，熟练掌握三角形的中位线性质，三角形的面积，平行线间的距离性质是解题关键． 7．如图，△ABC中，AC=3，BC=5，AD⊥BC交BC于点D，AD=，延长BC至E使得CE=BC，将△ABC沿AC翻折得到△AFC，连接EF，则线段EF的长为（　　） A．6 B．8 C． D． 【答案】A 【详解】试题解析：△ABC中，AC=3，BC= 5，AD⊥BC交BC于点D，AD=， 是直角三角形，如图所示： 此时 故选A. 8．如图，在中，D，E，F分别是，，的中点．若，，则四边形的周长是（    ） A．28 B．14 C．10 D．7 【答案】B 【分析】首先根据D，E，F分别是，，的中点，可判定四边形是平行四边形，再根据三角形中位线定理，即可求得四边形的周长． 【详解】解：D，E，F分别是，，的中点， 、分别是的中位线， ，且，， 四边形是平行四边形， ，， 四边形的周长为： ， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，三角形中位线定理，判定出四边形是平行四边形是解决本题的关键． 二、填空题 9．三角形的周长为，它的三条中位线围成的三角形的周长是 ． 【答案】/9厘米 【分析】根据三角形的中位线得出，再根据的周长是求出即可． 【详解】解：如图， ∵中，D、E、F分别为的中点， ∴， ∵的周长是，即， ∴的周长是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的中位线，能熟记三角形的中位线的内容是解此题的关键，注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 10．如图，中，点D、E分别是， 的中点，若的周长是4，则的周长为 ．    【答案】8 【分析】本题主要考查了中位线定理以及三角形的周长公式．根据题意和中位线定理可知，，再结合的周长是4即可得解．掌握中位线定理是解题的关键． 【详解】解：∵点D、E分别是， 的中点， ∴是的中位线，， ∴， 又∵的周长是4， 即， ∴的周长， 故答案为：8． 11．如图，将Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°到△A′B′C的位置， 已知斜边AB=10cm，BC=6cm，设A′B′的中点是M，连结AM，则AM= cm． 【答案】 【分析】作于，根据垂直平分线的性质可得的大小，又因为，，计算可得的值，根据勾股定理可得的大小. 【详解】作于，因为为的中点，故， 又因为，则，， 又因为，所以， . 故答案为：. 【点睛】根据图形的翻折不变性，结合勾股定理和中位线定理解答. 12．直角三角形斜边的中线长是，则它的两条直角边中点的连线长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形中位线定理，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以求出斜边的长，进而利用三角形中位线定理可求它的两条直角边中点的连线长． 【详解】解：∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ∴斜边的长为， ∴它的两条直角边中点的连线长为． 故答案为：4． 13．如图，在中，已知平分于点是的中点．若，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．证明，根据全等三角形的性质得到，，进而求出，再根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：平分， ， ， ， 在和中， ， ∴， ，， ， ，是的中点， 是的中位线， ， 故答案为：3． 14．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，，，，分别是，，的中点，下列结论： ①； ②四边形是平行四边形； ③； ④， 其中正确的有 个． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质可得AB=CD，AD=BC，BO=DO=BD，AO=CO，ABCD，即可得BO=DO=AD=BC，由等腰三角形的性质可判断①，由中位线定理和直角三角形的性质可判断②④，由平行四边形的性质可判断③，即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC，BO=DO=BD，AO=CO，ABCD， ∵BD=2AD， ∴BO=DO=AD=BC，且点E是OC中点， ∴BE⊥AC， ∴①正确； ∵E、F、分别是OC、OD中点， ∴EFDC，CD=2EF， ∵G是AB中点，BE⊥AC， ∴AB=2BG=2GE，且CD=AB，CDAB， ∴BG=EF=GE，EFCDAB， ∴四边形BGFE是平行四边形， ∴②④正确； ∵四边形BGFE是平行四边形， ∴BG=EF，GF=BE，且GE=GE， ∴△BGE≌△FEG（SSS）， ∴③正确． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． 三、解答题 15．（1）如图1，在四边形ABCD中，F、E分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE，求证：AB=CD；（提示取BD的中点H，连结FH，HE作辅助线） （2）如图2，在△ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G，若AB=DC=5，∠OEC=60°，求OE的长度. 【答案】（1）证明见解析；（2）OE=. 【分析】（1）连结BD，取DB的中点H，连结EH、FH，证明出EH∥AB，EH=AB，FH∥CD，FH=CD，证出HE=HF，进而证出AB=CD； （2）连结BD，取DB的中点H，连结EH、OH，证明出HO=HE，可证明证出△OEH是等边三角形，进而求出OE=. 【详解】 （1）    证明：如图一，连结BD，取DB的中点H，连结EH、FH. ∵E、F分别是AD、BC的中点， ∴EH∥AB，EH=AB，FH∥CD，FH=CD， ∵∠BME=∠CNE， ∴∠HEF=∠HFE， ∴HE=HF， ∴AB=CD； （2）    如图二，连结BD，取DB的中点H，连结EH、OH， ∵AB=CD，HE为△ABD的中位线，HO为△BCD的中位线， ∴HO=HE=AB=CD，， ∴∠HOE=∠HEO， ∵OH∥AC，∠OEC=60°， ∴∠OEH=∠HOE=∠OEC=60°， ∴△OEH是等边三角形， ∵AB=DC=5， ∴OE=. 故答案为（1）证明见解析；（2）OE=. 【点睛】本题考查三角形中位线定理，等边三角形的判定与性质. 16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D． （1）若DE∥AB交AC于点E，证明：△ADE是等腰三角形； （2）若BC＝12，DE＝5，且E为AC中点，求AD的值． 【答案】（1）见解析；（2）8 【分析】（1）根据“三线合一”性质先推出∠BAD=∠CAD，再结合平行线的性质推出∠BAD=∠ADE，从而得到∠ADE=∠EAD，即可根据“等角对等边”证明； （2）根据题意结合中位线定理可先推出AC=2DE，然后在Rt△ADC中利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证：∵在△ABC中，AB＝AC， ∴△ABC为等腰三角形， ∵AD⊥BC于点D， ∴由“三线合一”知：∠BAD=∠CAD， ∵DE∥AB交AC于点E， ∴∠BAD=∠ADE， ∴∠CAD=∠ADE， 即：∠ADE=∠EAD， ∴AE=DE， ∴△ADE是等腰三角形； （2）解：由“三线合一”知：BD=CD， ∵BC=12， ∴DC=6， ∵E为AC中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴AB=2DE， ∴AC=AB=2DE=10， 在Rt△ADC中，， ∴AD=8． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质与判定，勾股定理解三角形，以及三角形的中位线定理等，掌握等腰三角形的基本性质，熟练运用中位线定理和勾股定理计算是解题关键． 17．如图，在四边形中，E，F，G，H分别是的中点．四边形是平行四边形吗？请证明你的结论． 【答案】是，证明见解析 【分析】根据三角形的中位线定理，可证明EGFH的对边平行，从而可证明四边形EGFH是平行四边形． 【详解】解：四边形EGFH是平行四边形．理由如下： ∵点E、G分别是线段AB、AC的中点， ∴EGBC， 同理 HFBC，GFAD，EHAD， ∴GEHF，GFEH， ∴四边形EGFH是平行四边形． 【点睛】本题考查三角形的中位线定理以及平行四边形的判定定理． 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．解题关键是熟练掌握三角形的中位线定理以及平行四边形的判定定理． 18．如图，在△ABC中，AB=AC，CD是AB边上的中线，延长AB到点E，使BE=AB，连接CE．求证：CD= CE． 【答案】见解析 【分析】作BF∥AC交EC于F，通过证明△FBC≌△DBC，得到CD=CF，根据三角形中位线定理得到CF=CE，等量代换得到答案． 【详解】证明：作BF∥AC交EC于F． ∵BF∥AC， ∴∠FBC=∠ACB． ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∴∠FBC=∠ABC． ∵BF∥AC，BE=AB， ∴BF= AC，CF=CE． ∵CD是AB边上的中线， ∴BD=AB， ∴BF=BD． 在△FBC和△DBC中，∵BF＝BD，∠FBC＝∠DBC，BC＝BC， ∴△FBC≌△DBC， ∴CD=CF， ∴CD=CE． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，正确作出辅助线、灵活运用定理是解题的关键． 19．如图，在中，平分， 于点E， 点F是的中点． (1)如图1，的延长线与边相交于点 D， 求证：； (2)如图2，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、等腰三角形的判定和性质． （1）先根据, 得, 再根据角平分线的定义得出, 进而得出, 所以, 根据等腰三角形的三线合一, 推出，根据三角形的中位线定理即可解决问题. （2）延长交的延长线于根据角平分线得到得出, 根据两角和为, 证明，根据等腰三角形的“三线合一”，推出，根据三角形的中位线定理即可解决问题. 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵于点E， ∴， ∴， ∴， ∴是的中点， 又∵点F是的中点， ∴是的中位线， ∴； （2） 证明如下： 如图中，延长交的延长线于. ∵, ∴, ∴, ∵ 平分, ∴, ∴, ∴, ∵, ∴, ∵是的中点, ∴是中位线 ． 20．2022版《数学课程标准》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力，目前我们已经具备应用已学知识证明其他结论的能力．请阅读下列材料，完成相应任务． 【方法解析】 求证：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” 如图1，中，，是斜边上的中线．求证：． 分析：要证明等于的一半．可以用“倍长法”将延长一倍，如图2，延长到，使得．连接，．可证四边形是矩形，由矩形的对角线相等得，这样将直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系转化为矩形对角线的数量关系，进而得到．    （1）请你按材料中的分析写出证明过程； 【数学思想】 （2）上述证明方法中主要体现的数学思想是________； A．转化思想    B．类比思想    C．数形结合思想    D．从一般到特殊思想 【知识迁移】 （3）如图3，点是线段上一点，，点是线段上一点，分别连接，点，分别是和的中点，连接．若，，，请求的长． 【答案】（1）见解析；（2）A；（3） 【分析】本题考查矩形的判定和性质，三角形的中位线定理． （1）延长到，使得，连接、，根据是斜边上的中线，得到，进而得到四边形是平行四边形，再根据，得到平行四边形是矩形，即可得证； （2）根据将直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系转化为矩形对角线的数量关系，体现了转化思想，作答即可； （3）过点在上方作，过点作于，过点在上方作，过点作于，连接、、，延长交于，得到四边形、四边形、四边形都为矩形，进而得到四边形、四边形均为矩形，勾股定理求出，再根据三角形的中位线定理，进行求解即可． 掌握矩形的判定和性质，三角形的中位线的定理，是解题的关键． 【详解】（1）证明：延长到，使得，连接、， ∵是斜边上的中线， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∵， ∴； （2）根据将直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系转化为矩形对角线的数量关系，体现了转化思想， 故选A； （3）解：过点，在上方作，过点作于，过点，在上方作，过点作于，连接、、，延长交于，    则四边形、四边形、四边形都为矩形， ∴四边形、四边形均为矩形， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵点，分别是和的中点，四边形、四边形都是矩形， ∴点，分别是和的中点， ∴是的中位线， ∴． 能力提升 一、单选题 21．如图，在梯形中，，中位线与对角线交于两点，若cm, cm，则的长等于(    ) A．10 cm B．13 cm C．20 cm D．26 cm 【答案】D 【详解】分析：根据梯形的中位线的定理和平行线分线段成比例定理求出AM=CM，NB=DN，然后根据三角形的中位线定理求出CD的长，然后再根据梯形的中位线定理求出AB的长即可. 详解：∵EF是梯形的中位线， ∴EF∥CD∥AB． ∴AM=CM，BN=DN． ∴EM是△ACD的中位线，NF是△BCD的中位线， ∴EM=CD，NF=CD． ∴EM=NF==5，即CD=10． ∵EF是梯形ABCD的中位线， ∴DC+AB=2EF，即10+AB=2×18=36． ∴AB=26． 故选D． 点睛：此题主要考查了平行线分线段成比例定理，关键是灵活运用中位线的性质定理求出CD的长. 22．如图，在中，点D、E分别是边、的中点，，，将沿折叠，点A的对应点是点，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的内角和定理得到，再由中位线定理可得，根据平行线的性质得出，根据折叠的性质得，再求的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点D、E分别是边、的中点， ∴， ∴， ∵将沿折叠， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，并运用了三角形的翻折变换知识，解答此题的关键是要了解图形翻折变换后对应角相等． 二、填空题 23．如图，菱形的对角线相交于点分别是边上的中点，如果，那么菱形的边长为 . 【答案】 【分析】由菱形的性质得出AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，OA=AC=4，OB=BD，证出EF是△ABD的中位线，由三角形中位线定理得出BD=2EF=12，得出OB=6，由勾股定理求出AB即可． 【详解】∵四边形是菱形， ∴， ∴. ∵分别是边上的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴ ∴. 【点睛】此题考查菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，由三角形中位线定理得出AC，由勾股定理求出AB是解题的关键． 24．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具．如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E，F分别为BC，CD的中点，AP⊥EF分别交BD，EF于O，P两点，M，N分别为BO，DO的中点，连接MP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．在剪开之前，随机向正方形ABCD内投一粒米，则米粒落在四边形BMPE内的概率为 ． 【答案】. 【分析】设BE＝a，根据三角形的中位线的性质得到EF∥BD，EF＝BD，推出点P在AC上，得到PE＝EF，得到四边形BMPE 是平行四边形，过M作MH⊥BC于H，于是得到结论． 【详解】设BE＝a， ∵E，F分别为BC，CD的中点， ∴EF∥BD，EF＝BD，BC＝2a， ∴BD＝2a， ∵AP⊥EF， ∴AP⊥BD， ∴BO＝OD， ∴点P在AC上， ∴PE＝EF， ∴PE＝BM， ∴四边形BMPE是平行四边形， ∴BO＝BD， ∵M为BO的中点， ∴BM＝BD， ∵E为BC的中点， ∴BC＝2a， ， 过M作MH⊥BC于H， ∴， ∴S正方形ABCD＝4a2，S四边形BMPE＝a2， ∴米粒落在四边形BMPE内的概率为， 故答案为． 【点睛】本题考查了几何概率，七巧板，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正确的识别图形是解题的关键． 三、解答题 25．如图，△ABC的中线BE，CF相交于点G，已知P，Q分别是BG，CG的中点．   （1）求证：四边形EFPQ是平行四边形；     （2）请判断BG与GE的数量关系，并证明．     【答案】（1）证明见解析；（2）BG＝2GE. 【详解】试题分析：（1）根据BE，CF是△ABC的中线可得EF是△ABC的中位线，P，Q分别是BG，CG的中点可得PQ是△BCG的中位线，根据三角形中位线定理可得EF∥BC且EF=BC，PQ∥BC且PQ=BC，进而可得EF∥PQ且EF=PQ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论； （2）根据平行四边形的性质可得GE=GP，再根据P是BG的中点可得BG=2PG，利用等量代换可得答案． 试题解析：（1）∵BE、CF是△ABC的中线，∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥BC且EF＝BC， ∵P、Q分别是BG、CG的中点，∴PQ是△BCG的中位线， ∴PQ∥BC且PQ＝BC， ∴EF∥PQ且EF＝PQ， ∴四边形EFPQ是平行四边形； （2）BG＝2GE， ∵四边形EFPQ是平行四边形，∴GP＝GE， ∵P是BG中点，∴BG＝2PG， ∴BG＝2GE. 26．如图1，在平面直角坐标系中，点，点，且a，b满足．平移OA至CB（点O与点C对应，点A与点B对应），连接OC，AB． (1)填空： ， ，点B的坐标为 ； (2)点D，E分别是OA，AB边上的动点，连接DC，DE，M，N分别为DC，DE的中点，连接MN．当D，E分别在OA，AB边上运动时，MN是否存在最小值？若存在，求出MN的最小值；若不存在，请说明理由； (3)如图2，将线段CO绕点C逆时针旋转90°至CF，连接OF．P为线段OF上一点，以CP为直角边作等腰直角三角形CPQ，其中．试猜想，，三者之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)6，4，（9，4） (2)存在， (3)，证明见解析 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件和绝对值的意义求解即可； （2）连接CE，根据中位线定理可知MN=CE，当时，CE有最小值，根据三角形面积可求CE的值，即可求解； （3）连接QF，可证△OCP≌△FCQ，得OP=QF，在直角三角形QFP中，，可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴6-a=0，b-4=0， ∴a=6，b=4． ∴点B的坐标为(9，4)． 故答案为：6，4，（9，4）． （2）解：MN存在最小值，理由是： 连接CE，如图1， ∵M、N分别是CD、DE的中点， ∴MN=CE． 当时，CE有最小值， ∵C(3，4)，A(6，0)， ∴OA=6，AB=OC=5， ∴， ∴MN=． （3）解：连接QF，如图2， 由旋转可知，OC=OF，∠OCF=90°，∠O=∠CFO=45°． ∵△CPQ为等腰直角三角形CPQ， ∴CP=CQ，∠PCQ=90°，∠QCP=45°， ∴∠OCF=∠PCQ， ∴∠OCF-∠PCF=∠PCQ-∠PCF， 即∠OCP=∠FCQ， 在△OCP和△FCQ中， ∴△OCP≌△FCQ（SAS）， ∴OP=QF， ∠QFP=∠QFC+∠CFO=45°+45°=90°， ∴， ∵OP=QF， ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的中位线、勾股定理等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 三角形的中位线 目 录 题型归纳.........................................................................................................................................................................................1 题型01与三角形中位线有关的求解问题..................................................................................................................................2 题型02与三角形中位线有关的证明..........................................................................................................................................4 题型03三角形中位线的实际应用..............................................................................................................................................8 分层练习.........................................................................................................................................................................................12 夯实基础.........................................................................................................................................................................................12 能力提升........................................................................................................................................................................................35 知识点1．三角形中位线定理 （1）三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （2）几何语言： 如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE∥BC，DE＝BC． 题型01与三角形中位线有关的求解问题 1．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在平行四边形中，相交于点O，E为的中点，，则的长为（   ）    A．3 B．4 C．5 D．6 2．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，点、分别是、的中点，若，则的度数为 ．    3．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点均在格点上，请回答下列问题． (1)直接写出的长度为_______； (2)在格点上找一点C，连接，使； (3)利用格点，画线段的中点； (4)在格点上找一点，连接，使． 题型02与三角形中位线有关的证明 4．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）如图，在四边形中，、、、分别是、、、的中点，要使四边形是菱形，则四边形只需要满足的一个条件是（    ） A．对角线 B．四边形是菱形 C．对角线 D． 5．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）顺次连接等腰梯形各边中点所围成的四边形是 6．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）如图，、是四边形的对角线，点、、、分别是线段、、、上的中点． (1)求证：线段、互相平分； (2)四边形满足什么条件时，？证明你得到的结论． 题型03三角形中位线的实际应用 7．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，两地中间有一个池塘，为测量两地的距离，在地面上选一点，连接、，分别取、的中点．若测量的长为54m，则两地的距离为（  ） A．54m B．81m C．108 m D．216 m 8．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D、E，测量得米，则A、B两点间的距离为 米． 9．（22-23八年级下·江苏·阶段练习）【知识回顾】我们在八年级上学期已学习定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【新知应用】请你利用矩形的性质，证明该定理． 已知：如图1，在中，，O是的中点； 求证：　 　． 证明： 【灵活运用】如图2，四边形中，，E，F分别是的中点，连接，求证：． 夯实基础 一、单选题 1．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，若DE=4，则BC等于（     ） A．2 B．4 C．8 D．10 2．顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形一定是（    ） A．矩形 B．菱形 C．平行四边形 D．正方形 3．如图在中，点点分别是边的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在△ABC中，AC=BC，D、E分别是边AB、AC的中点，△ADE≌△CFE，则四边形ADCF一定是（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．无法确定 5．如图是一块等腰三角形空地ABC，已知点D，E分别是边AB，AC的中点，量得AC=12米，AB=BC=8米，若用篱笆围成四边形BCED，则需要篱笆的长是（    ） A．22米 B．20米 C．17米 D．14米 6．中，点D、E、F分别为边的中点，作．若的面积是12，则的面积是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 7．如图，△ABC中，AC=3，BC=5，AD⊥BC交BC于点D，AD=，延长BC至E使得CE=BC，将△ABC沿AC翻折得到△AFC，连接EF，则线段EF的长为（　　） A．6 B．8 C． D． 8．如图，在中，D，E，F分别是，，的中点．若，，则四边形的周长是（    ） A．28 B．14 C．10 D．7 二、填空题 9．三角形的周长为，它的三条中位线围成的三角形的周长是 ． 10．如图，中，点D、E分别是， 的中点，若的周长是4，则的周长为 ．    11．如图，将Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°到△A′B′C的位置， 已知斜边AB=10cm，BC=6cm，设A′B′的中点是M，连结AM，则AM= cm． 12．直角三角形斜边的中线长是，则它的两条直角边中点的连线长为 ． 13．如图，在中，已知平分于点是的中点．若，，则 ． 14．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，，，，分别是，，的中点，下列结论： ①； ②四边形是平行四边形； ③； ④， 其中正确的有 个． 三、解答题 15．（1）如图1，在四边形ABCD中，F、E分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE，求证：AB=CD；（提示取BD的中点H，连结FH，HE作辅助线） （2）如图2，在△ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G，若AB=DC=5，∠OEC=60°，求OE的长度. 16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D． （1）若DE∥AB交AC于点E，证明：△ADE是等腰三角形； （2）若BC＝12，DE＝5，且E为AC中点，求AD的值． 17．如图，在四边形中，E，F，G，H分别是的中点．四边形是平行四边形吗？请证明你的结论． 18．如图，在△ABC中，AB=AC，CD是AB边上的中线，延长AB到点E，使BE=AB，连接CE．求证：CD= CE． 19．如图，在中，平分， 于点E， 点F是的中点． (1)如图1，的延长线与边相交于点 D， 求证：； (2)如图2，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 20．2022版《数学课程标准》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力，目前我们已经具备应用已学知识证明其他结论的能力．请阅读下列材料，完成相应任务． 【方法解析】 求证：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” 如图1，中，，是斜边上的中线．求证：． 分析：要证明等于的一半．可以用“倍长法”将延长一倍，如图2，延长到，使得．连接，．可证四边形是矩形，由矩形的对角线相等得，这样将直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系转化为矩形对角线的数量关系，进而得到．    （1）请你按材料中的分析写出证明过程； 【数学思想】 （2）上述证明方法中主要体现的数学思想是________； A．转化思想    B．类比思想    C．数形结合思想    D．从一般到特殊思想 【知识迁移】 （3）如图3，点是线段上一点，，点是线段上一点，分别连接，点，分别是和的中点，连接．若，，，请求的长． 能力提升 一、单选题 21．如图，在梯形中，，中位线与对角线交于两点，若cm, cm，则的长等于(    ) A．10 cm B．13 cm C．20 cm D．26 cm 22．如图，在中，点D、E分别是边、的中点，，，将沿折叠，点A的对应点是点，则的度数是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 23．如图，菱形的对角线相交于点分别是边上的中点，如果，那么菱形的边长为 . 24．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具．如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E，F分别为BC，CD的中点，AP⊥EF分别交BD，EF于O，P两点，M，N分别为BO，DO的中点，连接MP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．在剪开之前，随机向正方形ABCD内投一粒米，则米粒落在四边形BMPE内的概率为 ． 三、解答题 25．如图，△ABC的中线BE，CF相交于点G，已知P，Q分别是BG，CG的中点．   （1）求证：四边形EFPQ是平行四边形；     （2）请判断BG与GE的数量关系，并证明．     26．如图1，在平面直角坐标系中，点，点，且a，b满足．平移OA至CB（点O与点C对应，点A与点B对应），连接OC，AB． (1)填空： ， ，点B的坐标为 ； (2)点D，E分别是OA，AB边上的动点，连接DC，DE，M，N分别为DC，DE的中点，连接MN．当D，E分别在OA，AB边上运动时，MN是否存在最小值？若存在，求出MN的最小值；若不存在，请说明理由； (3)如图2，将线段CO绕点C逆时针旋转90°至CF，连接OF．P为线段OF上一点，以CP为直角边作等腰直角三角形CPQ，其中．试猜想，，三者之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$